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第五章 一元函数的导数及其应用
5.2.3简单复合函数的导数
1.了解复合函数的概念；
2.理解复合函数的求导法则，并能求简单复合函数的导数；
3.在独立思考的基础上，主动参与到数学活动中，感受数学思考过程的条理性和数学结论的确定性，增强学好数学的信心.
重点：复合函数的求导法则.
难点：复合函数的概念，分清函数的复合关系，选好中间变量.
（一）复习导入
师生活动：教师提出问题，学生回顾并回答.
思考1：导数的四则运算法则是什么？
答：一般地，对于两个函数和的和、差、积、商的导数，有如下法则：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
思考2：如何求函数的导数呢？
本节课就来研究这类问题.
设计意图：回顾上节课所学的主要知识，温故知新.提出问题，开门见山，点明本节课要探究复合函数的求导问题.
（二）探究新知
任务一：复合函数的概念
探究：什么是复合函数？
师生活动：教师提出问题，引导学生探究.
思考1：函数是由基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的吗？
答：基本初等函数通过加、减、乘、除运算无法得到函数.
思考2：函数的结构特点是什么，它与函数有什么不同？
师生活动：学生观察思考、讨论、交流.
答：在函数中，其中的占据了对数函数中的位置，，，这里有代入、代换的思想；而是两个基本初等函数、之间相乘的关系，没有代入、代换的意思.
若设，则.从而可以看成是由和经过“复合”得到的，即可以通过中间变量表示为自变量的函数.
如果把与的关系记作，与的关系记作，那么这个“复合”过程可表示为.
【概念的形成】教师给出复合函数的概念：
复合函数的概念：一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数,记作.
说明：通常称与分别为内、外层函数，内外层函数一般为基本初等函数.
总结：(1)函数是复合函数，其中外层函数为，内层函数为；不是复合函数.
(2)判断一个函数是否为复合函数，主要看该函数是否可以表示为两个或多个基本函数（如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等）通过有限次加、减、乘、除以及函数的复合等运算得到的结果.
思考3：函数是由哪些函数复合而成的？
答：函数是由和复合而成.
设计意图：通过分析函数的结构特点，引入复合函数的概念，体现了由特殊到一般的思想，发展学生的数学抽象核心素养.
做一做：下列函数不可以看成是复合函数的是（ ）
.
师生活动：学生观察思考、回答，教师点评.
解：选项中，函数由函数和复合而成，其中是中间变量；
选项中，函数由函数和复合而成，其中是中间变量；
选项中，函数由函数和复合而成，其中是中间变量.
设计意图：通过练习的解答，让学生加深对复合函数概念的理解，进一步弄清函数的复合关系，为接下来复合函数的求导做铺垫.
任务二：简单复合函数的求导法则
探究：如何求函数的导数呢？
师生活动：教师提出问题，并引导学生思考、回答，然后完善、讲解.
答：
.
思考：函数是由和复合而成的，如果以表示对的导数，表示对的导数，表示对的导数，那么与及有什么关系呢？
师生活动：学生先求出和，然后找关系，教师完善、讲解.
答：，，又，所以.
师生活动：教师引导学生抽象出复合函数的求导法则.
总结：复合函数的求导法则：
一般地，对于由函数和复合而成的函数，它的导数与函数，的导数间的关系为.
即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积.
设计意图：通过设置问题引导学生进行思考与探究，从而得出复合函数的求导法则，提高学生探究问题的能力，通过对复合函数求导法则的推导，发展学生的数学抽象、数学运算等核心素养.
做一做：求下列函数的导数
；
；
；
．
师生活动：学生独立完成求导，并在小组内讨论、交流、校对答案，教师点评完善.
解：设，，
则
，；
设，，
则．
设，，
则；
设，，
则，．
设计意图：通过练习的解答，让学生掌握复合函数的求导方法.
注意：(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构；
(2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则；
(3)求每层函数的导数时，注意分清对哪个变量求导.
师生活动：师生共同总结复合函数的求导步骤.
总结：求复合函数的导数的一般步骤：
(1)分解：选定中间变量，正确分解复合关系.即说明函数关系、；
(2)求导：分层求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导），要特别注意中间变量对自变量求导.即求和；
如，而不是.
(3)回代：计算，并把中间变量转化为原自变量的函数.
任务三 较复杂的复合函数的求导
探究：求函数的导数
师生活动：学生先独立思考完成求导过程，根据学生作答情况，指出错误并进行点评.
错解：.
错因分析：对求导时没有按照复合函数的求导法则进行，导致出现错误.
正解：
.
总结：复合函数的求导法则通常称为链条法则，因为它像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的任何一环.在对复合函数求导时，要严格按照相应的法则进行，不要漏掉任何一步.
做一做：求下列函数的导数．
；
；
；
．
师生活动：学生独立思考完成求导过程，教师指导评价.
解：(1)因为，所以；
(2)因为，所以；
(3)因为，所以；
(4)因为，
所以．
设计意图：通过探究和练习，进一步加深对复合函数求导法则的理解.
（三）应用举例
例1：求下列函数的导数：
；
；
．
师生活动：教师出示例题，请三名同学板演，其他同学独立完成求解过程.教师对学生的完成情况进行点评.
解：函数可以看作函数和的复合函数．
根据复合函数的求导法则，
有．
函数可以看作函数和的复合函数．
根据复合函数的求导法则，
有．．
函数可以看作函数和的复合函数．
根据复合函数的求导法则，
有．
注意：求复合函数的导数常犯的两个错误：
(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；
(2)所给函数若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成的.
设计意图：通过例题的解答，帮助学生熟练掌握复合函数的求导方法，克服求导过程中常见的错误，发展学生的数学运算等核心素养.
例2：某个弹簧振子在震动过程中的位移单位：与时间单位：之间的关系为求函数在时的导数，并解释它的实际意义．
师生活动：教师出示例题并引导学生分析复合函数的结构，让学生利用复合函数的求导法则独立完成解答.
思考：函数是由哪两个函数复合而成的？
答：由函数和复合而成.
解：函数可以看作函数和的复合函数，
根据复合函数的求导法则，
有
当时，．
它表示当时，弹簧振子振动的瞬时速度为．
总结：对三角函数型函数进行求导，往往需要利用三角恒等变换公式先对函数进行化简，再进行求导；对复合函数的求导法则熟悉后，求导时中间步骤可以省略不写，即不必再写出函数的复合过程，而是直接运用公式逐层求导.
设计意图：通过弹簧振子的位移这一实际问题，让学生体会复合函数求导的实际应用，通过引导学生分析复合函数的结构，并让学生完成解答过程，发展学生的数学运算和数学建模等核心素养.
例3：求下列函数的导数．
；
．
分析：可先利用导数的四则运算法则求导，再利用复合函数的求导法则求导；
先利用诱导公式和二倍角公式化简，再求导．
解：；
因为，所以，
.
总结：求较复杂的复合函数的导数时，一般先整理化简再求导.若直接求导，则应辨明和、差、积、商运算关系及复合关系，分清复合部分的层次，找准构成复合函数的基本初等函数，再依据基本初等函数的导数公式与导数的四则运算法则求导.
（四）课堂练习
1.下列函数的求导正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
解：对于项，因，故 A项错误；
对于项，，故 B项正确；
对于项，，故 C项错误；
对于项，，故 D项错误．
故选：．
2.设定义在上的函数记，对任意的，，则( )
A. B. C. D.
解：由题意知，
则 ，
，
，
，
，
故 ，的结果由两个因式的积组成，一个因式为 ，符号以为一个周期
另一个因式：当为奇数时，它为，当为偶数时，它为，
故
3.已知定义在上的函数，为的导函数，定义域也是，满足，则
【答案】
解：对，
两边同时求导得，
即，
则，，，
则．
故答案为：．
4.曲线上的点到直线的距离的最小值为 ．
【答案】
解：假设是曲线上的一个动点，
当曲线在处的切线与直线平行时，所求的距离最小，设此时，
由题意得，由，得，则，所以．
所以所求距离的最小值为．
故答案为：．
设计意图：通过课堂练习，检验学生对本节所学内容的掌握情况.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.

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