资源简介

26.2 二次函数的图象与性质
3.求二次函数的表达式
一、教学目标
1．能够利用待定系数法确定二次函数的表达式.
2．通过利用待定系数法确定二次函数的表达式，体会方程思想的应用.
二、教学重难点
重点：利用待定系数法确定二次函数的表达式.
难点：确定二次函数的表达式的不同方法.
三、教学过程
【新课导入】
[情境导入]
炎炎夏日，我们外出时总是戴着墨镜，你观察过自己的墨镜吗？如图所示是一副墨镜，它下半部分的轮廓是不是对应两条抛物线？你知道如何求这两条抛物线的表达式吗？让我们一起来探究如何求二次函数的表达式吧！
【新知探究】
1.特殊条件的二次函数的表达式
[提出问题]问题1：已知二次函数y＝ax2+bx的图象经过点(－2，8)和(－1，5)，求这个二次函数的表达式．
[学生活动]学生思考问题，动手写出解答过程：
解:∵该图象经过点（-2,8）和（-1,5），∴解得∴这个二次函数的表达式为 y=-x2-6x.
[提出问题]问题2：已知二次函数y＝ax2+c的图象经过点(2,3)和(－1,－3)，求这个二次函数的表达式．
[学生活动]学生思考问题，动手写出解答过程：
解:∵该图象经过点（2,3）和(－1,－3)，∴解得
∴这个二次函数的表达式为 y=2x2－5.
[归纳总结]观察上述两个表达式，总结：当没有c（c=0）时，图象经过原点；没有b（b=0）时，图象关于y轴对称.
2.顶点法求二次函数的表达式
[提出问题]问题3： 已知抛物线的顶点坐标为(4，-1)，与y轴交于点(0，3)，求这条抛物线的表达式.
[师生活动]教师提示:若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式y＝a(x-h)2＋k (a≠0).这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.
学生思考问题，动手写出解答过程：
解：依题意设y＝a(x-h)2＋k ，将顶点(4，-1)及交点(0，3)代入y＝a(x-h)2＋k ，得3=a(0-4)2-1.解得a=. ∴这条抛物线的表达式为y=(x-4)2-1.
[归纳总结]顶点法求二次函数的方法：
①设函数表达式是y=a(x-h)2+k；
②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
3.交点法求二次函数的表达式
[提出问题]问题4：已知某一抛物线经过点（-3，0），（-1，0），（0，-3），求这条抛物线的表达式.
[师生活动]教师提示:根据抛物线与x轴的交点（x1，0）（x2，0），可设为二次函数的交点式，即y=a(x-x1)(x-x2).这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.
学生思考问题，动手写出解答过程：
解： ∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2)(其中x1、x2为交点的横坐标）.
因此，得y=a(x+3)(x+1).
再把点（0，-3）代入上式，得
a(0+3)(0+1)=-3.解得a=-1.
∴这条抛物线的表达式是y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.
[归纳总结]交点法求二次函数表达式的方法：
①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)；
②先把两交点的横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
[过渡]在什么情况下，一个二次函数只知道其中两点就可以确定它的表达式？
[交流讨论]小组之间交流讨论，得出结论：
1.用顶点式y=a(x－h)2+k时，知道顶点（h,k）和图象上的另一点坐标,就可以确定这个二次函数的表达式.
2.用交点式y=a(x-x1)(x-x2)时，抛物线与x轴交点的横坐标x1,x2,就可以确定这个二次函数的表达式.
3.用一般式y=ax +bx+c时，如果系数a,b,c中有两个是未知的，知道图象上两个点的坐标，也可以确定这个二次函数的表达式.
4.一般式法求二次函数的表达式
[课件展示]思考： 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有 3 个待定系数？需要 3 个抛物线上的点的坐标才能求出来？
[提出问题]问题5：已知二次函数的图象经过(-1,10)，(1,4)，(2,7)三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标.
[师生活动]教师提示:已知抛物线上三个点的坐标，可设为二次函数的一般式：y=ax2+bx+c(a≠0).这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.
学生思考问题，动手写出解答过程：
解：设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.
将三点(-1,10)，(1,4)，(2,7)的坐标分别代入表达式，
得解这个方程组，得
∴这个二次函数的表达式为y=2x2-3x+5.
∵y=2x2-3x+5=2（x-）2+ ， ∴对称轴为直线x= ，顶点坐标为（，）.
[归纳总结]一般式法求二次函数表达式的方法：
①设函数表达式为y=ax2+bx+c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a,b,c的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
[课件展示]议一议：一个函数的图象经过点A(0,1)，B(1,2)，C(2,1)，你能确定这个二次函数的表达式吗？你有几种方法？与同伴进行交流.
[师生活动]学生思考问题，教师引导，师生配合得出答案:
方法一：解：由对称性可知顶点坐标为B(1,2)，
∴设二次函数的表达式为y=a（x-1）2+2.
将A(0,1)的坐标代入表达式，得1=a（0-1）2+2.
解得a=-1.
∴所求二次函数的表达式为y=-1（x-1）2+2.
方法二：解：设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.
将点A(0,1)，B(1,2)，C(2,1)的坐标分别代入表达式，
得解这个方程组，得
∴这个二次函数的表达式为y=-x2+4x+1.
【课堂小结】
一、用待定系数法求二次函数表达式
①已知三点坐标，用一般式法：y=ax2+bx+c.
②已知顶点坐标或对称轴或最值，用顶点法：y=a(x－h)2+k.
③已知抛物线与x轴的两个交点，用交点法：y=a(x－x1)(x－x2) (x1, x2为交点的横坐标）.
【课堂训练】
1. （2023秋 万宁期中）如图的抛物线的表达式为（　C　）
A．y=x2-1 B．y=x2+1 C．y=（x-1）2 D．y=（x+1）2
2.（2023秋 朝阳区校级月考）二次函数y=x2-2mx+5m的图象经过点（1，-2）．其表达式为 y=x2+2x-5 ．
3.（2023秋 包河区月考）已知二次函数的图象经过点（1，-4），且顶点坐标为（-1，0），则二次函数的表达式为 y=-x2-2x-1 ．
4. （2023秋 唐山月考）形状与抛物线y=-x2-2相同，对称轴是直线x=-2，且过点（0，3）的抛物线是（　D　）
A．y=x2+4x+3 B．y=-x2-4x+3
C．y=-x2+4x+3 D．y=x2+4x+3或y=-x2-4x+3
5.（2023秋 余杭区月考）已知二次函数的图象如图所示，则它的表达式可能是（　C　）
A．y=-4(x-m)2-m2-2 B．y=-(x+a)(x-a+1)
C．y=-x2-(a+3)x+(-a) D．y=ax2-bx+b-a
6. （2023 宁波）如图，已知二次函数y=x2+bx+c图象经过点A（1，-2）和B（0，-5）．
（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
（2）当y≤-2时，请根据图象直接写出x的取值范围．
解：（1）把A（1，-2）和B（0，-5）代入y=x2+bx+c，得
解得
∴二次函数的表达式为y=x2+2x-5.
∵y=x2+2x-5=（x+1）2-6，
∴顶点坐标为（-1，-6）.
（2）如图：
∵点A（1，-2）关于对称轴直线x=-1的对称点C（-3，-2），
∴当y≤-2时，x的范围是-3≤x≤1．
【布置作业】
【板书设计】
第二章 二次函数
3 确定二次函数的表达式
1.用待定系数法求函数表达式的一般步骤:
(1)设：（表达式）
(2)列：（坐标代入，列方程或方程组）
(3)解：（解方程或方程组）
(4)还原：（写表达式）
2.顶点法求二次函数的方法：
①设函数表达式是y=a(x-h)2+k；
②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
3.交点法求二次函数表达式的方法：
①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)；
②先把两交点的横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
4.一般式法求二次函数表达式的方法：
①设函数表达式为y=ax2+bx+c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a,b,c的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
【教学反思】
本课时主要学习用待定系数法确定二次函数的表达式 ，让绝大部分学生掌握，在教学中采用启发式、讨论式结合的教学方法，教师引导，学生思考、归纳、总结确定二次函数的表达式的方法.对于如何选择更简便的方法来确定二次函数的表达式，让中等偏上的学生掌握，学习能力较差的学生慢慢体会，等教学活动结束之后，再跟踪练习，加上教学活动的归纳，就可以让不同水平的学生先后得到提高．
教学过程中，强调学生自主探索与合作交流，经历收集、加工、整理等思维过程，培养学生的探索精神和分析问题、处理问题的能力.

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