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第26章 二次函数
26.3 实践与探索
第1课时 二次函数的实际应用
一、教学目标
1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.
2.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.
3.会运用二次函数解决抛物线型问题.
二、教学重难点
重点：能根据实际问题列出函数关系式，并根据问题的实际情况确定自变量取何值时，函数取得最值.
难点：通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，在解决问题的过程中体会数形结合思想．
三、教学过程
【新课导入】
[提出问题]生活中有哪些场景可以让你联想到抛物线？（学生回答）
[解答]生活中有很多模型或者场景都能抽象出抛物线的模型，如空中绽放的烟花的瞬间，各种拱桥，彩虹，喷泉，投篮时篮球的运动轨迹等等，那我们在生活中也免不了掌握有关抛物线的实际问题的计算，这节课我们就具体来学习二次函数的实际应用.在开始本节课学习之前，我们先复习下上节课的最值问题，最值问题、顶点问题也是二次函数实际应用中常见的问题类型.
[课件展示]
[提出问题]我们回顾下上节课学过的知识，根据自变量的取值范围求出二次函数 y = ax2 + bx + c 的最小（大）值.当自变量的取值范围是全体实数时，如何确定？（学生回答，教师补充）当自变量的取值范围是x1≤x≤x2时，又如何确定？（学生回答，教师补充）
[过渡]这节课我们就来具体地详细地学习二次函数的实际应用.
【新知探究】
1.用二次函数求几何图形的最大面积
[提出问题]复习完后我们开始今天的学习，首先是常见的面积问题.如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中AB和CD分别在两直角边上.
[课件展示]
(1)如果设矩形的一边AB=xm，那么AD边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为ym ，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
[师生活动]教师提示:思考△CBF与△EAF有什么关系？有何启发？
学生思考问题，动手写出解答过程：
解：（1）∵AB=x,则BF=40-x.
∵BC∥AD,
∴△BCF∽△AEF.
∴=,即=.
∴BC=AD=(40-x).
（2）由面积公式易得：y=AD AB=(40-x) x,
即y=-x2+30x=-(x 20)2+300(0＜x＜40).
∴当x=20时，y的值最大，最大值是300.
即当AB=20m时，矩形的面积最大，
最大值是300m .
[提出问题]议一议：在上面的问题中，如果把矩形改为如图所示的位置,其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎样知道的？
[课件展示]
[师生活动]教师提示:类比原题的方法，思考能否利用相似表示AD？
学生思考问题，动手写出解答过程：
解：过点O作OM⊥EF于点M，交AD于点N，由勾股定理易得EF=50m，由等面积法可得OM=24m.
设AB=x，则MN=AB=x，ON=OM-MN=24-x.
由△AOD∽△FOE，得=,
即24 =.∴AD=50-x.
易得y=AD AB=(50-x) x=-(x-12)2+300.
∴当AB=12m时，矩形的面积最大，最大值是300m .
[课件展示]
[提出问题]完成例题的学习接下来请同学们尝试完成如下练习题.某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x等于多少时，窗户通过的光线最多？(结果精确到0.01m)此时，窗户的面积是多少？(结果精确到0.01m2)
[课件展示]
[师生活动]教师提示:利用二次函数解决实际问题，必须求出自变量取值范围.
学生思考问题，动手写出解答过程：
解：∵7x+4y+πx=15,∴y=.
∵0＜x＜15,且0＜＜15, ∴0＜x＜1.48.
设窗户的面积是S m2, 则S=+2xy=+2x =-+x=-+.
∴当1.07时,=4.02.
因此，当x约为1.07m时，窗户通过的光线最多.此时，窗户的面积约为4.02 m2.
[归纳总结]二次函数解决几何面积最值问题的方法:
①求出函数表达式和自变量的取值范围；
②配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值;
③检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值，使之必须在自变量的取值范围内.
[过渡]除了图形面积问题，在几何应用题中，还常见的一种就是含有抛物线型的图形应用题.接下来我们一起继续探究.
利用二次函数解决抛物线型问题
[提出问题]如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成.长方形的长是8米，宽是2米，抛物线可以用y=x2+4表示.
[课件展示]
(1)一辆货运卡车高4米，宽2米，它能通过该隧道吗？
(2)如果该隧道内设双向车道，那么这辆货运卡车是否可以通过？
[交流讨论]学生思考问题，小组之间交流讨论，动手写出解答过程：
解 ：(1)把y=4-2=2代入y=-x2+4，得2=-x2+4.
解得x=±2√2，则此时可通过货运卡车的宽度为4√2米.
∴高4米，宽2米的卡车能通过该隧道.
(2)由(1)，得当y=2时,x=±2√2,
∵2√2＞2，∴这两货运卡车能通过.
[提出问题]如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.水面下降1m，水面宽度增加多少？
[课件展示]
[师生活动]教师提示:将实际问题转化为数学问题，先建立适当的坐标系求出这条抛物线表示的二次函数，再根据二次函数的图象进行解题.
学生思考问题，动手写出解答过程：
解: 建立如图所示的平面直角坐标系，设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2.
[课件展示]
由抛物线经过点（2，-2），可得-2=a×22.解得a=-.
∴这条抛物线表示的二次函数为y=-x2.
当水面下降1m时，水面的纵坐标为y=-3，
这时有-3=-x2，解得x=±√6 .
∴这时水面宽度为2√6m.
答：当水面下降1m时，水面宽度增加2√6-4m.
[归纳总结]抛物线型问题的一般解题步骤：
①建立适当的平面直角系，并将已知条件转化为点的坐标；
②合理地设出所求的函数的表达式，并代入已知条件或点的坐标，求出关系式；
③利用关系式求解实际问题.
【课堂小结】
实际问题与数学模型之间的相互转化
1.几何面积最值问题
解题关键：依据常见几何图形的面积公式，建立函数关系式;
2.抛物线型问题
转化关键：建立恰当的直角坐标系,能够将实际距离准确的转化为点的坐标；选择运算简便的方法.
【课堂训练】学生完成本课时PPT练习题，教师讲评.
【布置作业】
【板书设计】
第26章 二次函数
26.3 实践与探索
第1课时 二次函数的实际应用
1.几何面积最值问题
2.抛物线型问题
【教学反思】
本课时的内容是二次函数的应用问题，开头以生活中常见的事物举例，使抽象出的数学模型更直观，也增加课堂的多样性，增加学生的兴趣.之后又以复习导入，温故知新，有利于学生对知识的融会贯通，灵活运用.通过例题学习总结，练习巩固强化的方法继续探究，故而本节课以启发探究式、讨论式结合的教学方法开展教学活动，以学生探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习的积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的.

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