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第26章 二次函数
26.3 实践与探索
第2课时 二次函数与利润问题
一、教学目标
1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.
2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.
二、教学重难点
重点：应用二次函数解决实际问题中的最值问题.
难点：能正确分析和把握实际问题的数量关系，确定自变量的取值范围，得到函数关系，再求最值.
三、教学过程
【新课导入】
[情景导入]在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商品买卖过程中，作为商家，利润最大化是永恒的追求.如果商品售价太高，卖出的数量可能减少；如果商品售价太低，又不能保证有足够的利润，只有定价合理才能使利润最大化.当然，不同的活动、折扣也都会影响利润的多少，如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？
[课件展示]
[过渡]接下来我们通过实例来具体学习二次函数中的利润问题.
【新知探究】
1.利润问题中的数量关系
[提出问题]如题，某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是多少元？销售利润是多少元？
[师生活动]学生思考问题，找出题目中的数量关系，积极做出回答：
每星期销售额是18000元，销售利润是6000元.
教师引导，师生共同总结销售问题中常用的数量关系：
（1）销售额=售价×销售量;
（2）总利润=销售额-总成本=单件利润×销售量;
（3）单件利润=售价-进价.
[过渡]了解了利润问题中基本的数量关系后，接下来我们就通过具体的例题来学习.
2.如何定价利润最大
[提出问题]如题，服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元，根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示每件降价0.1元，愿意多经销500件.请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？
[课件展示]
[师生活动]教师提示:遇到有关销售利润的问题，常用相等关系是：
销售利润=单件利润×销售量.
学生分析问题中利润和价格之间的函数关系式，动手写出分析和解答过程：
方法一：
若设批发单价为x元，则：单件利润为(x 10)元，
降价后的销售量为(5000+×500)件，
销售利润用y元表示，则y=(x 10)(5000+×500).
解：设厂家批发单价是x元时可以获利最多，最大利润是y元，则y=(x 10)(5000+×500).
∵y=(x 10)(5000+×500)
=-5000x2+120000x-700000
=-5000(x 12)2+20000, -5000＜0,
∴抛物线有最高点，函数有最大值.
∵10答：厂家批发单价是12元时可以获利最多.
方法二：
若设每件T恤衫降a元，则：单件利润为(13 a 10)元，
降价后的销售量为(5000+×500)件，
销售利润用y元表示，则y=(13 a 10)(5000+×500).
解：设每件T恤衫降a元时可以获利最多,最大利润是y元.
则 y=(13 a 10)(5000+×500).
∵y=(x 10)(5000+13 ×500)
=-5000a2+10000a+15000
=-5000(a 1)2+20000, -5000＜0,
∴抛物线有最高点，函数有最大值.∵13-a-10>0 , ∴0≤a<3.
∴当a＝1元时，y最大= 20000元.∴ 13-1=12(元).
答：厂家批发单价是12元时可以获利最多.
[提出问题]通过刚才的学习，我们已经了解了如何解决二次函数的利润问题，趁热打铁，下面这道练习题大家先自己尝试做一下.
[课件展示]
[交流讨论]学生思考问题，小组之间交流讨论，动手写出分析和解答过程：
分析：相等关系是客房日租金的总收入=每间客房日租金×每天客房出租数.
若设每间客房的日租金提高x个10元（即10x元），则：每天客房出租数会减少6x间，
客房日租金的总收入为y元，则：y=(160+10x)(120 6x).
解：设每间客房的日租金提高10x元，则每天客房出租数会减少6x间,设客房日租金总收入为 y元，则 y = (160+10x) (120-6x) = -60 (x-2)2+ 19440.
∵x≥0，且120－6x＞0，∴0≤x＜20.
当x=2时，y有最大值，且y最大=19440.
这时每间客房的日租金为160+10×2=180(元).
答：每间客房的日租金提高到180元时，客房日租金的总收入最高，最大收入为19440.
[提出问题]通过刚才的学习大家应该能够掌握二次函数的利润问题，那哪位同学能简单总结下用二次函数解决利润最值问题的一般步骤？（老师提问学生，学生尝试自己总结）
[解答]同学总结得不错，二次函数解决利润最值问题的一般步骤为：
(1)建立利润与价格之间的函数关系式：
运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”，
(2)结合实际意义，确定自变量的取值范围，
(3)在自变量的取值范围内确定最大利润：运用公式法或通过配方法求出二次函数的最大值或最小值.
[过渡]刚才我们已经总结了解题步骤，大家也应该掌握了这部分知识点，接下来的练习2请同学们独立完成.
[课件展示]
分析:果园共有(100+x)棵树，平均每棵树结(600-5x)个橙子.
解：（1）依题意可得：y=(100+x)(600-5x)= -5x2+100x+60000.
当x＜10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而增加；当x=10时，橙子的总产量最大；当x大于10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而减少.
（2）∵600-5x>0，∴0≤x<120，且x为整数.
由（1）中表格和图象观察可知：当6≤x≤14 时，可以使橙子总产量超过60400个.
师生总结：通过绘制函数图象可以直观看出，果园的树木棵数并不是越多越好，产量的多少取决于科学的计算果树的棵数．
[归纳总结]本节课相信大家已经掌握了二次函数最值问题中的利润问题的解法.在解决一些二次函数的实际问题时，绘制出图形对于问题的解决至关重要.所以，大家在利用二次函数的知识解决实际问题时，要注意“数形结合”思想的运用.
【课堂小结】
【课堂训练】学生完成本课时PPT练习题，教师讲评.
【布置作业】
【板书设计】
第26章 二次函数
26.3 实践与探索
第2课时 二次函数与利润问题
1.销售问题中常用的数量关系：
（1）销售额=售价×销售量；
（2）总利润=销售额-总成本=单件利润×销售量；
（3）单件利润=售价-进价.
2.用二次函数解决最值问题的一般步骤：
（1）建立利润与价格之间的函数关系式；
（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；
（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：运用公式法或配方法
【教学反思】
本课时的内容是二次函数的应用问题，应用二次函数的最大值解决销售问题的最大利润问题．重在通过创设问题情境，有计划、有步骤地安排好思维序列，使学生的思维活动在“探索——发现”的过程中充分展开，力求使学生经历运用逻辑思维和非逻辑思维再创造的过程，过程中突出知识的形成与发展，让学生既获得了知识又发展了智力，同时还提升了能力.

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