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第27章 圆
27.1 圆的认识
3.圆周角
第1课时 圆周角定理
一、教学目标
1.理解圆周角的概念，能够辨别圆周角.
2.经历探索圆周角的性质以及圆心角和圆周角之间关系的过程，掌握圆周角定理.
二、教学重难点
重点：理解同弧所对的圆心角与圆周角之间的关系并能运用圆周角定理解决简单的证明或计算.
难点：能运用圆周角定理进行简单的证明或计算．
三、教学过程
【新课导入】
[复习引入]
问题1：什么叫圆心角？指出图中的圆心角？
顶点在圆心，角的两边与圆相交的角叫圆心角，如∠BOC.
问题2：如图，∠BAC的顶点和边有哪些特点
∠BAC的顶点在☉O上，角的两边分别交☉O于B、C两点.
[情境导入]
如图，过球门A，E两点画圆，球员射中球门的难易程度与他所处的位置B，C，D有关(张开的角度大小)．仅从数学的角度考虑，球员应选择从哪一点的位置射门更有利？
【新知探究】
（一）圆周角的定义
[提出问题]图中的∠ABE，∠ACE,∠ADE有什么共同特点？
图中的三个角∠ABE，∠ACE,∠ADE的顶点都在圆上，并且两边分别与圆还有另一个交点.
圆周角的定义：顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角.
圆周角必须同时满足两个条件：①顶点在圆上；②两边与圆相交.
【例1】下列各图中的∠BAC是否为圆周角？简述理由.
是 顶点A不在圆上 边AC没有和圆相交
顶点A不在圆上 是 是
（二）圆周角和直径的关系
[提出问题]如图，线段AB是☉O的直径，点C是☉O上的任意一点（除点A,B外），那么∠ACB就是直径AB所对的圆周角.想想看，∠ACB会是怎样的角？
解：∵OA=OB=OC，∴△AOC、△BOC都是等腰三角形.
∴∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB.
又∵∠OAC +∠OBC +∠ACB = 180°，
∴ ∠ACB = ∠OCA +∠OCB = 180°÷2 = 90°.
因此，不管点C在☉O上何处 (除点 A、B 外)，∠ACB 总等于 90°.
[归纳总结]
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）.
【例2】如图，AB是☉O的直径，∠A=80°.求∠ABC的大小.
解：∵AB是☉O的直径，
∴∠ACB=90°.
∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB=180°-90°-80°=10°.
（三）圆周角定理
[提出问题]对于一般的弧所对的圆周角，又有什么规律呢？
问题1：分别量出弧BC所对的圆周角和圆心角的度数，你有什么发现？
∠BAC=∠BDC=∠BOC.
问题2：变动点D的位置，弧BC所对的圆周角有没有变化？
变动点D的位置，圆周角的度数没有变化，并且圆周角的度数恰好为同弧所对的圆心角的度数的一半.
[猜想]
同一个圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半.
[证明猜想]
已知：在☉O中，弧AB所对的圆周角是∠ACB，所对的圆心角是∠AOB.
求证：∠ACB=∠AOB.
分三种情况证明：
（1）圆心在∠BAC的边AB上.
（2）圆心在∠BAC的内部.
作直径AD，利用（1）的结论，有
（3）圆心在∠BAC的外部.
作直径AD，利用（1）的结论，有
[归纳总结]
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等.
【例3】如图，点A、B、C、D在☉O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，∠BAC=35 .
(1)∠BOC= 70 ，理由是 一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半 ;
(2)∠BDC= 35 ，理由是 同弧所对的圆周角相等 .
【例4】如图所示,已知四边形ABCD的四个顶点均在☉O上,AB=BC,BD交AC于点E.
求证:DB平分∠ADC.
证明:∵AB=BC,∴弧AB=弧BC,
∴∠ADB=∠BDC,即DB平分∠ADC.
【课堂小结】
一、圆周角的定义
顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角.
二、圆周角和直径的关系
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）.
三、圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等.
【课堂训练】
1.（2023 河南）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C=55°，则∠AOB的度数为（　D　）
A．95° B．100° C．105° D．110°
2.（2023 营口）如图所示，AD是⊙O的直径，弦BC交AD于点E，连接AB，AC，若∠BAD=30°，则∠ACB的度数是（　D　）
A．50° B．40° C．70° D．60°
3.（2023青海）如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O上一点，OC⊥AB，垂足为D．若∠A=20°，则∠ABC=（　C　）
A．20° B．30° C．35° D．55°
4.（2023杭州）如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC=19°，则∠BAC=（　D　）
A．23° B．24° C．25° D．26°
5.△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是 80°或100° .
6.如图所示，⊙O的直径AB为6cm,∠ACB的平分线交⊙O于点D．
（1）判断△ADB的形状，并证明；
（2）求BD的长．
解：（1）△ADB是等腰直角三角形.证明如下：
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴，
∴AD=BD.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴△ADB是等腰直角三角形.
（2）由（1），得∠ADB=90°，AD=BD，
∵AB=6cm,∴BD=3cm.
【布置作业】
【板书设计】
3.圆周角
第1课时 圆周角定理
1.圆周角定义
2.圆周角和直径的关系
3.圆周角定理
【教学反思】
在教学过程中，应从实际生活入手，创设问题情境，激发学生的求知欲和学习兴趣，强调圆周角定理得出的理论依据，使学生熟练掌握并会学以致用．同时，在利用圆周角定理求角度时，应注意添加辅助线，并且不能忽视分类讨论的情况.

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