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第五章 一元函数的导数及其应用
5.3.1函数的单调性
第1课时 导数与函数的单调性
1.通过具体函数的图象，发现并抽象出函数的单调性与导数的正负之间的关系，体会数形结合思想，培养数学抽象与直观想象等核心素养；
2.能根据导函数的正负判断函数的单调性，体会算法思想，发展数学运算的核心素养；
3.通过学习，体会导数在研究函数性质中的工具性和优越性，掌握极值是函数的局部性质，增强数形结合的意识.
重点：函数的单调性与导函数的正负之间的关系
难点：运用导数判断函数的单调性
（一）创设情境
问题导入：在必修第一册中，通过图象直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大(小)值等性质.在本章前两节中，学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化.能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢？
思考1：回顾函数单调性的有关知识，你能从数、形、定义等不同角度描述函数在区间上的单调性吗？
师生活动：教师提出问题，请学生回答并一起归纳.
答：以单调增函数为例：
(1)如果在区间上，自变量增大函数值也增大，那么在区间上是单调递增的；
(2)如果函数的图象在区间上从左到右是上升的，那么在区间上单调递增的；
(3)如果，且，都有，那么在区间上是单调递增的.
思考2：导数的几何意义是什么？
答：函数在处的导数就是曲线在该点处的切线的斜率，即.
设计意图：复习函数单调性的定义及导数的几何意义，为后面利用导数来研究函数的单调性做铺垫.
（二）探究新知
任务一：函数的单调性与导函数正负之间的关系
探究：图1中是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数的图象，图2中是跳水运动员的速度随时间变化的函数的图象．这里，，是函数的零点．
思考1：运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？
师生活动：教师引导学生观察图象并思考，然后得出结论.
答：从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度随时间的增加而增加，即单调递增，相应地，.
从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度随时间的增加而减小，即单调递减，相应地，.
从而得出，函数的单调性与导数的正负存在内在联系.
思考2：能否由的正负来判断函数的单调性呢？
答：当时，，函数的图象是“上升”的，函数在内单调递增；
当时，，函数的图象是“下降”的，函数在内单调递减．
如下图所示：
设计意图：通过观察高台跳水问题中高度函数及其导函数的图象，使学生发现当函数在区间上可导时，函数在区间上的单调性与函数在上的导数的正负有关系.在这一过程中，提升学生的直观想象素养.
思考3：上述情况是否具有一般性呢？观察下面一些函数的图像，探讨函数的单调性与导数的正负的关系.
师生活动：教师带领学生逐个观察函数图像，分析函数的单调性与导函数的正负.
答：函数的单调性与导数正负的关系如下表所示：
思考4：你能用导数的几何意义对函数的单调性与导数的正负之间的关系进行说明吗？
答：导数表示函数的图象在点处切线的斜率，如下图所示：
可以发现：
在处，，切线是“左下右上”的上升式，函数的图象也是上升的，函数在附近单调递增；
在处，，切线是“左上右下”的下降式，函数的图象也是下降的，函数在附近单调递减.
总结：一般地，函数的单调性与导函数的正负之间具有如下的关系：
在某个区间内，如果，那么函数在区间内单调递增；
在某个区间内，如果，那么函数在区间内单调递减．
思考5：如果在某个区间上恒有，那么函数有什么特性？
师生活动：教师启发学生思考的几何意义并利用几何意义得出结论.
答：如果在某个区间上恒有，那么在这个区间上恒有（为常数）．
设计意图：通过对常见函数的单调性与函数导数正负之间关系的探究，得出用导数的正负性判断函数单调性的一般性结论，并由此让学生体会从特殊到一般的思想、数形结合的思想，发展学生的直观想象素养.
思考6：在某个区间内，恒成立能推出函数在这个区间内单调递增吗？恒成立能推出函数在这个区间内单调递减吗？
师生活动：学生思考、讨论得出结论，教师点评.
答：不能，因为当在某个区间上恒成立时，是常数函数(图象呈水平状态)，不具有单调性．
思考7：函数的图象如图所示，你能根据函数的图象画出导函数的大致图象吗？
师生活动：教师启发学生：根据函数的单调性判断导函数的正负，如果是常数函数，则然后让学生在原图中画出导函数的大致图象.
答：大致图象如下：
思考8：函数的图象如图所示，试画出函数的图象的大致形状.
师生活动：学生动手尝试画图，画好后在小组内交流.
答：大致图象为：
设计意图：通过让学生动手根据原函数图象画出导函数图象，再根据导函数图象画出原函数图象，使其认识函数的图象与的图象的联系，让学生体会数形结合思想，发展学生的直观想象核心素养.
任务二：利用导数判断函数的单调性
探究：利用导数判断下列函数的单调性：
（1）；（2）；（3）．
师生活动：教师示范第(1)小题的解答，然后让学生尝试完成第(2)(3)小题的解答，教师请两名同学板演，根据学生的完成情况进行点评与指导.
解：（1）因为，所以．
所以，函数在上单调递增，如图所示．
（2）因为，所以．
所以，函数在上单调递减，如图所示．
（3）因为，所以．
所以，函数在区间和上单调递增，如图所示．
总结：利用导数判断函数单调性的一般步骤：
(1)求导数；
(2)确定导数在定义域内的正负；
(3)根据导数的正负判断函数的单调性.
在某区间上，若，则函数在该区间内单调递增；
在某区间上，若，则函数在该区间内单调递减.
设计意图：通过具体函数，体会研究导数判断函数单调性的基本原理，发展学生直观想象、数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养．
任务三：利用导数求函数的单调区间
探究： 利用导数求函数的单调区间.
师生活动：教师提示学生先通过二次函数的图象和性质对函数的单调性作出分析，再从上述利用导数判断函数单调性的步骤尝试解答，验证所得结果并比较本探究问题有什么不同之处.
思考1：在定义域R内，的正负是确定的吗？这说明的什么？
答：函数的定义域为R，，
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
如下图所示：
所以的正负不确定，这说明函数在R上不是单调函数.
思考2：怎样利用导数求该函数的单调区间？
师生活动：教师请同学回答，然后在此基础上引导学生归纳总结利用导数求函数单调区间的一般步骤.
答：方法一：用解不等式的方法求函数的单调区间.
由，得，所以的单调增区间为；
由，得，所以的单调减区间为.
总结：用解不等式法求单调区间的步骤：
(1)确定函数的定义域；
(2)求导函数；
(3)解不等式或，并写出解集；
(4)根据(3)的结果确定函数的单调区间．
方法二：用列表法求函数的单调区间
令，得.
把函数定义域划分成两个区间，在各区间上的正负及的单调性如下表所示：
单调递减 单调递增
由上表可知，在上单调递减；在上单调递增.
总结：用列表法求函数的单调区间的一般步骤：
(1)确定函数的定义域；
(2)求出导数的零点；
(3)用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性．
设计意图：通过问题探究，向学生示范如何用导数求函数的单调区间并判断函数的单调性，再次让学生熟悉用导数判断函数单调性的步骤，体会算法思想，发展数学运算素养．
（三）应用举例
例1：利用导数讨论二次函数的单调区间．
师生活动：教师出示例题，学生独立完成求解过程，教师对学生的完成情况进行点评.
解：，
当时，令，解得；令，解得．
所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减．
当时，令，解得；令，解得．
所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增．
例2：已知导函数的下列信息，试画出函数的图象的大致形状．
当 时，；
当，或 时，；
当 ，或时，．
师生活动：教师启发学生根据导函数的正负思考函数在相应区间上的单调性，进而画出的大致图象，最后教师进行画图示范．
解：当1 < x < 4 时，0可知在此区间内单调递增；
当 x > 4，或 x < 1时，0可知在此区间内单调递减；
当 x = 4，或 x = 1时，0．这两点比较特殊，称为“临界点”．
综上，函数图象的大致形状如下图所示．
设计意图：通过典型例题的分析和解决，帮助学生熟练掌握运用导数判断函数单调性的步骤和方法，发展学生数学运算，直观想象和数学抽象的核心素养．
（四）课堂练习
1.如果函数的图象如图，那么导函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
解：先由原函数是偶函数，可知导函数是奇函数，故排除，
再由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况从左到右依次是正负正负，
故选：．
2.已知函数的图象如图所示，下面四个图象中的图象大致是( )
A. B. C. D.
【答案】C
解：由函数的图象可知：
当时，，，此时单调递增，
当时，，，此时单调递减，
当时，，，此时单调递减，
当时，，，此时单调递增，
只有选项的图象满足条件．
故选：．
3.已知函数，则函数的单调递减区间为( )
A. B. C. D.
【答案】C
解：由题意知，定义域为，
得，令，即，或，
结合函数定义域可得，
故函数的单调递减区间为：．
故选：．
4.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A
解：因为，所以，
因为在区间上单调递减，
所以，即，则在上恒成立，
因为在上单调递减，所以，故．
故选：．
设计意图：通过课堂练习，检验学生对本节所学内容的掌握情况.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.第五章 一元函数的导数及其应用
5.3.1函数的单调性
第2课时 利用导数求函数的单调性
1.理解可导函数的单调性与其导数的关系；
2.能够利用导数确定函数的单调性以及函数的单调区间；
3.理解三次函数单调性的性质，会判断简单的含参数函数的单调性；
4.理解导数与函数变化快慢之间的关系，能够利用函数的单调性解决有关问题.
重点：利用导数确定函数的单调性以及函数的单调区间
难点：含参函数的单调性以及逆向求参问题
（一）复习导入
师生活动：教师提出问题，学生思考回答，教师评价.
思考1：函数的单调性与导函数正负的关系如何？
答：定义在区间内的函数：
的正负 的单调性
单调递增
单调递减
思考2：判断函数的单调性的步骤是什么？
答：确定函数的定义域；
求出导数的零点；
用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性．
思考3：求函数的单调区间有哪些方法？
答：解不等式法或列表法.
设计意图：复习前一节课的知识，便于学生更好地学习和理解本节课的知识．发展学生数学抽象、直观想象、数学建模的核心素养．
（二）探究新知
任务一：三次函数的单调性
二次函数是一类重要的函数，而三次函数的导函数是二次函数，所以三次函数也是一类特殊的重要函数，三次函数的单调性如何呢？这里先不妨以一具体的三次函数为例进行研究.
探究1：求函数的单调区间.
师生活动：教师引导学生根据导数求函数单调区间的步骤独立完成解答，教师评价并给出完整规范的解答.
分析:先求函数的导函数，然后求出及时的范围，或用列表法.
解：(方法一：解不等式法)
函数的定义域为对求导数，得．
令，得，解得或；
令，得，解得.
所以，在和上单调递增，在上单调递减．
(方法二：列表法)函数的定义域为对求导数，得．
令，解得，或．
和把函数定义域划分成三个区间，
在各区间上的正负，以及的单调性如下表所示．
单调递增 单调递减 单调递增
所以，在和上单调递增，在上单调递减．
函数图象如下图所示：
探究2：试利用导数分析三次函数的单调性
师生活动：学生尝试解答，教师根据学生的作答情况进行评价，引导学生逐步深入研究.
思考1：要想利用导数判断出在上的单调性，需要弄清楚什么问题？
答：的导函数的正负情况.
思考2：函数的导数是什么？它是什么类型的函数？
答：，是二次函数.
思考3：你能根据所学知识讨论出的正负情况吗？
师生活动：学生尝试解答，教师提醒学生类比解含参数的二次不等式的方法进行探究，并根据学生的作答情况进行完善.
答：因为，其导函数是二次函数，.
当时，有两个不相等的实数根，，.
按和，分两种情形讨论：
当时，二次函数（导函数）开口向上，根据判别式进行讨论：
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，的大致图象如下图所示：
当变化时，，的变化情况如下表所示.
↗ ↘ ↗
所以，在与上单调递增；在上单调递减.
此时，三次函数的大致图象为：
当时，二次函数（导函数）开口向下，根据判别式进行讨论：
当时，恒成立，所以在上单调递减；
当时，的大致图象如下图所示：
当变化时，，的变化情况如下表所示.
↘ ↗ ↘
所以，在与上单调递减；在上单调递增.
此时，三次函数的大致图象为：
师生活动：师生共同归纳有关三次函数单调性的性质.
总结：三次函数的导函数是二次函数，.当时，有两个不相等的实数根，，.根据与的不同取值，单调性情况如下：
的取值范围
的取值范围
的大致图象
的大致图象
递增区间 与 无
递减区间 无 与
设计意图：将经常作为出题背景的三次函数作为研究对象，让学生进一步巩固利用导数判断函数单调性的方法，深入理解三次函数的特征，培养学生的数学结合、分类讨论、数学建模等核心素养.
任务二：利用导数求含参数的函数的单调区间
探究：已知函数，求其单调区间．
思考1：根据上面对三次函数单调性的研究，你能初步判断这个函数的单调性吗？
师生活动：教师提出问题，指出这是一个含参数的三次函数，并且三次项系数为正数，引导学生思考、讨论.
答：函数的定义域为，
导数，
因为三次项系数为正数，所以，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上先增后减再增.
思考2：怎样具体求出这个函数的单调区间？
答：求出的根，判断在各划分区间上的正负，从而确定函数的单调性.
具体过程如下：
解：函数的导数，
令，解得，或，
①当，即时，在上，为增函数.
②当，即时，在，上，为增函数；在上，为减函数.
③当，即时，在，上，为增函数；在上，为减函数.
综上所述，时，增区间，
时，增区间和，减区间，
时，增区间，，减区间．
总结：利用导数研究含参函数f (x)的单调区间的一般步骤：
(1)确定函数f (x)的定义域；
(2)求出导数f ′(x)的零点；
(3)分析参数对区间端点、最高次项的系数的影响，以及不等式解集的端点与定义域的关系，恰当确定参数的不同范围，并进行分类讨论；
(4)在不同的参数范围内，解不等式f ′(x)＞0和f ′(x)＜0，确定函数f (x)的单调区间．
设计意图：通过对含有参数的三次函数的单调性的研究，加深对三次函数的理解与认识，巩固研究三次函数所得的结论.
任务三：导数与函数变化快慢的关系
探究： 对数函数与幂函数在区间(0，+∞)上增长快慢的情况．
师生活动：教师指出在必修一的第四章《不同函数的增长差异》一节中已经对指数函数、对数函数及幂函数的增长情况做了初步的探究，师生共同回顾相关内容并引导学生尝试用导数研究这两个函数的增长快慢情况.
思考1：对数函数在区间(0，+∞)上增长的快慢与其导数有什么关系？
答：对数函数的导函数，，所以在区间上单调递增．任作曲线上的两条切线，如下图所示：
由图可知，当越来越大时，函数递增的越来越慢，图像上升得越来越“平缓”，切线的斜率逐渐变小，根据导数的几何意义可知，导数值也越来越小，与在上随增大而减小一致.
反之，在上当越来越大时，越来越小，切线的斜率也逐渐减小，从而函数的图像上升得越来越“平缓”，函数递增的越来越慢.
思考2：幂函数在区间(0，+∞)上增长的快慢与其导数有什么关系？
师生活动：教师提出问题，引导学生类比上述方式自主研究，然后教师点评.
答：幂函数的导函数，所以在区间上单调递增.任作曲线上的两条切线，如下图所示：
由图可知，当越来越大时，函数递增的越来越快，图像上升得越来越“陡峭”，切线的斜率逐渐变大，根据导数的几何意义可知，导数值也越来越大，与在上随增大而增大一致.
反之，在上当越来越大时，越来越大，切线的斜率也逐渐增大，从而函数的图像上升得越来越“陡峭”，函数递增的越来越快.
总结：一般地，若函数的导数，则函数在某一范围内导数值较大，那么函数在这个范围内增长的较快，这时函数的图像就比较“陡峭”（向上）；反之，函数在这个范围内增长的较慢，函数的图像就比较“平缓”．
思考3：若，导数值的大小与函数变化快慢有什么关系？
师生活动：学生类比上述方式自主研究，得出结论后教师点评.
答：一般地，若函数的导数，则函数在某一范围内导数值较小，那么函数在这个范围内减小的较快，这时函数的图像就比较“陡峭”（向下）；反之，函数在这个范围内减小得较慢，函数的图像就比较“平缓”．
总结：一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图像就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图像就比较“平缓”．
设计意图：通过研究，让学生深刻体会导数与函数的密切联系，体会函数增长快慢与导数之间的关系，由此感悟只求导不能较为准确地画一个函数的图像．发展学生直观想象、数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养．
（三）应用举例
例1：设，，两个函数的图象如图所示．判断，的图象与之间的对应关系．
师生活动：教师出示例题，学生独立完成求解过程，教师对学生的完成情况进行点评.
解：因为，，
所以，．
当时，；
当时，；
当时，，所以，在上都是增函数．
在区间上，的图象比的图象要“陡峭”；
在区间上，的图象比的图象要“平缓”．
所以，，的图象依次是图中的，．
例2：已知函数．
若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
讨论函数的单调性．
分析：将问题转化为 在 上恒成立，采用分离变量的方式，通过求解 在 的最大值得到 的范围；
求导后，分别在 、 、 和 的情况下，根据 的正负确定 的单调性．
师生活动：学生尝试解答，教师根据学生的完成情况进行点评，并给出具体解答过程.
解：(1)因为 在 上单调递增，
所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
当 时， ，
所以 ， 所以 ，
即实数 的取值范围为 ．
(2)由题意得： ，则 ；
令 ，
当 时， ， 所以 在 上单调递增；
当 时， ，
若 ，即 时， 恒成立， 所以 恒成立，
所以 在 上单调递增；
若 ，即 且 时，令 ，
解得： ， ，
若 ，则 ，则 在 上恒成立，
所以 恒成立， 所以 在 上单调递增；
若 ，则 ，
所以，当 时， ；当 时， ，
所以，当 时， ；当 时， ，
所以， 在 上单调递增，在 上单调递减．
综上所述：当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减．
设计意图：通过典型例题的分析和解决，帮助学生体会含参函数的求导问题，发展学生数学运算，直观想象和数学抽象的核心素养．
（四）课堂练习
1.函数在上的单调性是 ．
A. 单调递增
B. 单调递减
C. 在上单调递减，在上单调递增
D. 在上单调递增，在上单调递减
【答案】C
解：，令，得，又，故，
令，得，
函数在上单调递减，在上单调递增．
故选：．
2.已知函数，则“”是“在上单调递增”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
解：法一：因为，
所以，当时，，
此时在上单调递增，
当时，，
令得，解得，
令得，解得，
故在上单调递减，在上单调递增，
要想在上单调递增，则，解得，
故，
综上，，
由于是的真子集，
则“”是“在上单调递增”的充分不必要条件；
法二：由题可得在上恒成立，
即恒成立，又，
所以，下面同解法一．
故选：．
3.已知函数，为实数，的导函数为，在同一直角坐标系中，与的大致图象不可能是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
解：由可得，
对于，当时，在第一象限内递减，对应图象在第四象限且递增，故 A项符合；
对于在第一象限内与的图象在上都单调递增，故且，则．
由可得，即与的图象交点横坐标应大于，显然项不符合，，项均符合．
故选：．
4.已知函数．
若函数的图象在点处的切线过坐标原点，求实数的值；
讨论函数的单调性．
【答案】解：由，有，，
可得曲线在点处的切线方程为，
整理为，
代入原点，有，可得，
故实数的值为；
由，，
当时，在上恒成立，
可得函数的增区间为，没有减区间；
当时，令，可得，
故函数的减区间为，增区间为．
综上可知，当时，在单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
设计意图：通过课堂练习，检验学生对本节所学内容的掌握情况.

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