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配套初中数学苏科版七年级上册
「第六章」平面图形的初步认识
6.5 多边形
在生活中，可以见到形状各异的物体，观察下列图形，说一说它们有哪些共同特征？
标志牌、风筝、礼盒，它们表面的轮廓可以看作由一些线段首尾顺次相接组成的平面图形.
在平面内，由不在同一条直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次相接组成的图形叫作多边形.这些线段叫作多边形的边，线段的公共端点叫作多边形的顶点.
多边形的概念
多边形的特征：
①各线段都不在同一直线上；
②线段的条数不少于3；
③各线段首尾顺次相连组成封闭的平面图形.
在平面内，由不在同一条直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次相接组成的图形叫作多边形.这些线段叫作多边形的边，线段的公共端点叫作多边形的顶点.
多边形的概念
如无特别说明，本书所说的多边形都是指凸多边形，即多边形总在任何一条边所在直线的同一侧.
多边形的分类及表示方法
根据边的数量，多边形可以分为三角形、四边形、五边形、n边形等，如图中的图形分别是三角形ABC、四边形ABCD、六边形ABCDEF．三角形ABC可以记作“△ABC”.
多边形的分类及表示方法
先写出多边形的名称，然后按顶点顺时针（或逆时针）的顺序写出表示它的各个顶点的大写字母.
△ABC
四边形ABCD
六边形ABCDEF
多边形的内角、外角
多边形相邻两边组成的角叫作多边形的内角，多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫作多边形的外角.
多边形的内角、外角
如图，∠A，∠B，∠BCD，∠D是四边形ABCD 的四个内角，
∠DCE 是四边形ABCD的一个外角，∠BCD +∠DCE=180°.
多边形的外角与相邻的内角互为补角.
多边形的对角线
连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线.
如图，AC，BD是四边形ABCD的两条对角线.
多边形的相关概念
小学里，我们已经认识了正方形，它的四条边相等，四个内角也相等. 和正方形类似，
各边相等、各内角也相等的多边形叫作正多边形.
“各边相等”、“各内角也相等”这两个条件缺一不可.
①如长方形，其各角相等，但各边不一定都相等，所以不一定是
正多边形；
②如菱形，各边相等，但各角不一定都相等，所以不一定是正多
边形.
各边相等、各内角也相等的多边形叫作正多边形.
等边三角形即正三角形，它的各边都相等，各角都是60°；
正方形是正四边形，它的各边都相等，各角都是90°；
正五边形的各边都相等，各角都是108°.
特别提醒：
各边相等、各内角也相等的多边形叫作正多边形.
如图，分别从四边形、五边形、六边形纸片的一个顶点出发，沿对角线将其剪成三角形纸片.
剪成的三角形个数＝多边形的边数－2
按照上述方法剪成的三角形个数与多边形的边数有什么关系
复杂图形
(多边形）
简单图形
(三角形)
转化
归纳：
从n边形一个顶点出发，可作 条对角线，
得到 个三角形.
(n－3)
(n－2)
如图，分别从四边形、五边形、六边形纸片的一个顶点出发，沿对角线将其剪成三角形纸片.
拓展归纳：
2.从n边形一边上的一点出发，将该点与各顶点连接，可将其分割成（n-2）个三角形.
3 从n边形内部任意一点出发，将该点与各顶点连接，可将其分割成n个三角形.
如何用一张长方形纸片折出一个正方形
示例：
任选长方形的一个直角对折，可获得以长方形的宽为腰的等腰直角三角形和以长方形的宽为长的小长方形，去掉小的长方形，展开就得正方形.如图折叠，就可以得到一个正方形：
你还有其它方法吗
一个七边形的纸片，小明将这个七边形纸片剪去一个角后，得
到的新多边形的纸片可能的边数为 .
分析：分三种情况画图讨论，即可求出剪去一个角后得到的多边
形纸片可能的边数.
一个七边形的纸片，小明将这个七边形纸片剪去一个角后，得
到的新多边形的纸片可能的边数为 .
解：如图①，七边形纸片剪去一个角后得到的多边形纸片是六边形；
如图②，七边形纸片剪去一个角后得到的多边形纸片是七边形；
如图③，七边形纸片剪去一个角后得到的多边形纸片是八边形.
6或7或8
1. 如图，AB//CD. 若∠1=65°，∠2=120°，则∠3的度数为( )
A. 45° B. 55° C. 60° D.65°
B
2. 已知一个多边形的对角线条数正好等于它的边数的2倍，则这个
多边形的边数是( ).
A. 6 B. 7 C. 8 D. 10
B
3. 如图，∠ACD是△ABC的一个外角，CE平分∠ACD，若∠A＝60°，
∠B＝40°，则∠DCE＝______°.
50
解：在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°，
所以∠A+∠B= 180°-∠ACB.
因为∠ACD=180°-∠ACB，
所以∠ACD= ∠A+∠B=60° +40° =100°
因为CE平分∠ACD，
所以∠DCE=1∠ACD =50°
4. 过多边形的一个顶点的所有对角线的条数与这些对角线分该
多边形所得三角形的个数的和为19，求这个多边形的边数.
解：设这个多边形为n边形．
根据题意，得(n－3)＋(n－2)＝19.
解得n＝12.
答：这个多边形的边数是12.
5. 已知正多边形的周长为56，从其一个顶点出发共有4条对角线，
求这个正多边形的边长.
解：因为从正多边形一个顶点出发共有4 条对角线，
这个正多边形边数为4＋3＝7.
因为正多边形的周长为56，
所以它的边长为56÷7＝8.
答：这个正多边形的边长为8.
多边形的概念
多边形的边、顶点、
内角、外角和对角线
多边形的表示
正多边形
多边形
本节课，你有哪些收获？第六章 平面图形的初步认识
6.5《多边形》
1.了解多边形的概念及多边形的顶点、边、内角、外角与对角线；
2.会用字母表示多边形及多边形的边和角；
3.通过观察、操作、归纳等活动，发现多边形可以分割成三角形，感悟“将复杂图形转化为简单图形”的平面几何一般研究思路．
1.了解多边形的定义及相关概念；
2.掌握多边形的外角与相邻的内角互为补角，并能进行相关的计算与说理；
3.通过猜想、推理等数学活动，感受数学活动充满着探索，提高学习热情.
了解多边形的相关概念，会用字母表示多边形及多边形的边和角．
尝试探索归纳多边形的定义．
一、情境导入
在生活中，可以见到形状各异的物体，观察下列图形，说一说它们有哪些共同特征？
答：它们表面的轮廓可以看作由一些线段首尾顺次相接组成的平面图形．
师生活动：师问生答．
设计意图：多边形是学生在小学里就已经熟悉的图形，课本从观察“交通标志牌”、“风筝”、“月饼盒”等含有多边形的图案、实物出发，使学生经历从现实世界中抽象出几何图形的过程．
新知探究
多边形的概念
在平面内，由不在同一条直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次相接组成的图形叫作多边形．这些线段叫作多边形的边，线段的公共端点叫作多边形的顶点．
多边形的特征：
①各线段都不在同一直线上；
②线段的条数不少于3；
③各线段首尾顺次相连组成封闭的平面图形．
多边形的分类及表示方法
根据边的数量，多边形可以分为三角形、四边形、五边形、n边形等，如图中的图形分别是三角形ABC、四边形ABCD、六边形ABCDEF．三角形ABC可以记作“△ABC”．
多边形的内角、外角
多边形相邻两边组成的角叫作多边形的内角，多边形的边
与它邻边的延长线组成的角叫作多边形的外角．
多边形的对角线
连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线．
如图，AC，BD是四边形ABCD的两条对角线．
正多边形
各边相等、各内角也相等的多边形叫作正多边形．
注意：“各边相等”、“各内角也相等”这两个条件缺一不可．
①如长方形，其各角相等，但各边不一定都相等，所以不一定是正多边形；
②如菱形，各边相等，但各角不一定都相等，所以不一定是正多边形．
特别提醒：等边三角形即正三角形，它的各边都相等，各角都是60°；
正方形是正四边形，它的各边都相等，各角都是90°；
正五边形的各边都相等，各角都是108°.
师生活动：师问生答．
设计意图：通过小学的学习，学生已经知道如何画各种多边形，知道什么是多边形的顶点、多边形的边和内角，但一般不了解多边形的外角和对角线的概念，也不熟悉用宇母表示多边形及多边形的边和角（内角和外角）．用符号语言表示多边形、表示多边形的边和角（内角和外角）是本节教学的主要内容之一．教学中，尽可能采用三角形、四边形这样边数比较少且学生熟悉的图形理解基本概念．
三、应用举例：
例1 如图，分别从四边形、五边形、六边形纸片的一个顶点出发，沿对角线将其剪成三角形纸片．
按照上述方法剪成的三角形个数与多边形的边数有什么关系
答：剪成的三角形个数＝多边形的边数－2．
从n边形一个顶点出发，可作（n－3）条对角线，得到（n－2）个三角形．
拓展归纳：
1. n(n≥3)边形共有条对角线．
2. 从n边形一边上的一点出发，将该点与各顶点连接，可将其分割成(n－2个三角形．
3. 从n边形内部任意一点出发，将该点与各顶点连接，可将其分割成n个三角形．
师生活动：师生互动交流，在操作中得出一般规律．
设计意图：本例题引导学生研究多边形与三角形的关系，体现了平面几何学习中“将复杂图形转化为简单图形”这种一般研究方法，教学时，引导学生通过实际操作，探索剪成的三角形个数与多边形的边数的关系，为后续多边形的内角和的推导做铺垫.
例2 如何用一张长方形纸片折出一个正方形
你还有其它方法吗
答：示例： 任选长方形的一个直角对折，可获得以长方形的宽为腰的等腰直角三角形和以长方形的宽为长的小长方形，去掉小的长方形，展开就得正方形．如图折叠，就可以得到一个正方形：
师生活动：学生代表操作演示，教师辅助指导．
设计意图：这是一个开放性问题，教学时引导学生用不同的方法折出正方形强化正多边形的概念，培养几何想象力．
变式 一个七边形的纸片，小明将这个七边形纸片剪去一个角后，得到的新多边形的纸片可能的边数为 ．
答：分三种情况画图讨论，即可求出剪去一个角后得到的多边形纸片可能的边数．
如图①，七边形纸片剪去一个角后得到的多边形纸片是六边形；
如图②，七边形纸片剪去一个角后得到的多边形纸片是七边形；
如图③，七边形纸片剪去一个角后得到的多边形纸片是八边形．
所以，得到的新多边形的纸片可能的边数为6或7或8．
师生活动：学生小组讨论，教师巡视指导．
设计意图：本变式是对例2的拓展和补充，引导学生感受分类讨论的数学思想.
四、课堂练习
1.如图，AB//CD．若∠1=65°，∠2=120°，则∠3的度数为( )
A. 45° B. 55° C. 60° D.65°
2. 已知一个多边形的对角线条数正好等于它的边数的2倍，则这个多边形的边数是( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 10
3. 如图，∠ACD是△ABC的一个外角，CE平分∠ACD，若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠DCE＝______°．
4. 过多边形的一个顶点的所有对角线的条数与这些对角线分该多边形所得三角形的个数的和为19，求这个多边形的边数．
5. 已知正多边形的周长为56，从其一个顶点出发共有4条对角线， 求这个正多边形的边长．
答：1.B
2.B 解：设这个多边形为n边形．根据题意，得＝2n．解得n＝7．故选B.
3.50° 解：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，所以∠A＋∠B ＝ 180°－∠ACB．
因为∠ACD＝180°－∠ACB，所以∠ACD ＝∠A＋∠B＝60°＋40°＝100°．因为CE平分∠ACD，所以∠DCE＝∠ACD ＝50°．
4.设这个多边形为n边形，根据题意，得(n－3)＋(n－2)＝19．解得n＝12．答：这个多边形的边数是12．
5.因为从正多边形一个顶点出发共有4 条对角线，这个正多边形边数为4＋3＝7．因为正多边形的周长为56，所以它的边长为56÷7＝8．答：这个正多边形的边长为8．
师生活动：学生独立完成，教师批阅．
设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用．
五、课堂小结
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
六、课后作业
完成课本上的相关练习题．
1.情境创设：本课的教学设计意图通过呈现生活中的不同实物图，引导学生抽象出各种形状的多边形，并尝试归纳多边形的定义．
2.新知探究：了解多边形的概念和基本要素．本部分的教学分为三个层次．第1层次：能从实物图抽象并画出相应的多边形．第2层次：根据边的数量，对多边形进行分类，并能用符号表示这些多边形，体会用符号表示多边形的必要性．第3层次：通过实例，了解多边形内角、外角和对角线的概念，探索多边形的外角和相邻内角满足的等量关系．
3.例题教学：例1，分别从四边形、五边形和六边形纸片的一个顶点出发，沿对角线剪成三角形纸片，猜想、归纳剪成的三角形个数与多边形的边数之间的关系．将多边形剪成三角形，实际上是将复杂图形转化为简单图形进行研究的过程，引导学生感受转化的数学思想．

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