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25.1 随机事件与概率
■重点01 事件的分类
1．确定性事件 （1）必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件． 例如：太阳东升西落． （2）不可能事件：在一定条件下，必然不会发生的事件． 例如：任意画一个三角形，其内角和是360° 2．随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． 随机事件发生与否，事先是不能确定的． 例如：抛掷一枚硬币，正面向上．
【典例1】　（2024秋 婺城区期中）“足球运动员射门一次，球进了”这一事件是　　
A．不可能事件 B．必然事件 C．随机事件 D．确定事件
【典例2】　（2023秋 上城区期末）下列事件是必然事件的是　　
A．圆内接四边形对角和是
B．九年级开展篮球赛，901班获得冠军
C．抛掷一枚硬币，正面朝上
D．打开电视，正好播放神舟十七号载人飞船发射实况
【典例3】　（2024秋 瓯海区校级期中）在一个全部装有白色围棋的盒子中摸出一颗棋子，摸到一颗白棋是　　
A．必然事件 B．不确定事件 C．不可能事件 D．随机事件
【典例4】　（2024秋 镇江期中）下列事件是随机事件的是　　
A．三角形有且只有一个外接圆
B．方程是一元二次方程
C．直径是圆中最长的弦
D．同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
■重点02 简单随机事件概率的计算
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果（n≠0），并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=．
【典例1】　（2024秋 江都区期中）抽屉里有三副手套，任取一只恰好是右手的概率为　　
A． B． C． D．
【典例2】　（2024秋 龙华区期中）一组数据为，2，3，4，6，6，从这组数据中抽取一个数，抽到的数为6的概率是　　
A． B． C． D．
【典例3】　（2024 瑞安市校级模拟）有11个杯子，其中有一等品5个，二等品4个，次品2个，任取1个杯子是次品的概率是　　
A． B． C． D．
【典例4】　（2024秋 东台市期中）在六张卡片上分别写有6，，3.1415，，0，六个数，从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是　　
A． B． C． D．
　
注意试验特点：①有限个结果；②结果等可能性．
■重点03 几何概型
几何概型：如果区域I上有一个区域A，假设每次试验结果都能够落在区域I上，并且落在区域I上任意一点的可能性总是相同的．记区域I的面积为S总，区域A的面积为SA，那么一次试验结果落在区域A上的概率为P（A）=． 特别地，如果区域A被划分成m等份，用其中的一等份作为基本面积单位来划分区域I，区域I被分成n等份（其中n>m），那么一次试验结果落在区域A上的概率为P（A）=．
【典例1】　（2024秋 南宁校级期中）一个小球在如图所示的地面上自由滚动，小球停在阴影区域的概率为　　
A． B． C． D．
【典例2】　（2023秋 西和县期末）如图，将一个飞镖随机投掷到的方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为　　
A． B． C． D．
【典例3】　（2024 徐州）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞镖落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为　　
A． B． C． D．
【典例4】　（2024春 岱岳区期末）某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘，当指针指向阴影部分时，该顾客可获奖品一份，那么该顾客获奖的概率为　　
A． B． C． D．
求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等． 面积类型：如果随机试验时向S区域内掷一小球，那么掷在A（A在S内）的概率P=．
■难点 根据概率的结果还原事件
与求概率的思路一致，根据P（A）=求解．
【典例1】　（2024秋 龙华区校级期中）一个不透明的袋中装有只有颜色不同的6个红球、2个黄球和若干个白球．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为，则白球的个数为 　　．
【典例2】　（2024 成都）盒中有枚黑棋和枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为 　　．
【典例3】　（2023秋 富锦市校级期末）一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为．则布袋里红球有 　　个．
【典例4】　（2024秋 西湖区校级期中）在一个不透明的袋子中装有6个白球，个黑球，这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到白球的概率为，则的值为 　　．
　
方程的思想．根据随机事件的概率公式列方程求解．
■易错点 事件发生的可能性
要知道事件发生的可能性大小，首先要确定这个事件是什么事件．必然事件一定会发生；不可能事件一定不会发生；随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性大小有可能相同．
【典例1】　（2024秋 青岛期中）小颖从一定高度随机掷一枚质地均匀的硬币，她已经掷了三次硬币，结果都是“反面朝上”．那么，小颖第四次掷硬币时，“正面朝上”与“反面朝上”的可能性的大小为　　
A．“正面朝上”的可能性大 B．“反面朝上”的可能性大
C．两者的可能性相同 D．无法确定
【典例2】　（2023秋 龙湾区月考）一个布袋里装有6个球，分别是1个红球，2个白球，3个黑球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则下列事件中，发生可能性最大的是　　
A．摸出的是红球 B．摸出的是白球 C．摸出的是黑球 D．摸出的是绿球
【典例3】　（2024秋 蓬江区校级月考）下列事件中发生的可能性为0的是　　
A．抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上
B．今天黄冈市最高气温为
C．路边抛掷一石头，石头终将落地（空中无任何遮拦）
D．不透明袋子中放了大小相同的乒乓球和金属球，从中去摸取出乒乓球
【典例4】　（2024春 涟水县期末）如图是某天气预报软件的显示屏，下列对降水信息的说法中正确的是　　
淮安市涟水县天气 日出453日落 体感温度 降水概率 降水量 空气质量 优
A．涟水县明天将有的时间下雨
B．涟水县明天将有的地区下雨
C．涟水县明天下雨的可能性较大
D．涟水县明天下雨的可能性较小
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25.1 随机事件与概率
■重点01 事件的分类
1．确定性事件 （1）必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件． 例如：太阳东升西落． （2）不可能事件：在一定条件下，必然不会发生的事件． 例如：任意画一个三角形，其内角和是360° 2．随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． 随机事件发生与否，事先是不能确定的． 例如：抛掷一枚硬币，正面向上．
【典例1】　（2024秋 婺城区期中）“足球运动员射门一次，球进了”这一事件是　　
A．不可能事件 B．必然事件 C．随机事件 D．确定事件
【答案】
【解答】解：“某足球运动员射门一次，踢进球门”这一事件是随机事件，
故选：．
【典例2】　（2023秋 上城区期末）下列事件是必然事件的是　　
A．圆内接四边形对角和是
B．九年级开展篮球赛，901班获得冠军
C．抛掷一枚硬币，正面朝上
D．打开电视，正好播放神舟十七号载人飞船发射实况
【答案】
【解答】解：、圆内接四边形对角和是是必然事件，符合题意；
、九年级开展篮球赛，901班获得冠军是随机事件，不符合题意；
、抛掷一枚硬币，正面朝上是随机事件，不符合题意；
、打开电视，正好播放神舟十七号载人飞船发射实况是随机事件，不符合题意；
故选：．
【典例3】　（2024秋 瓯海区校级期中）在一个全部装有白色围棋的盒子中摸出一颗棋子，摸到一颗白棋是　　
A．必然事件 B．不确定事件 C．不可能事件 D．随机事件
【答案】
【解答】解：在一个全部装有白色围棋的盒子中摸出一颗棋子，摸到一颗白棋是必然事件．
故选：．
【典例4】　（2024秋 镇江期中）下列事件是随机事件的是　　
A．三角形有且只有一个外接圆
B．方程是一元二次方程
C．直径是圆中最长的弦
D．同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
【答案】
【解答】解：．三角形有且只有一个外接圆，是必然事件，不是随机事件，故该选项不符合题意；
．方程是一元二次方程，当时，方程不是一元二次方程，故原说法是随机事件，故该选项符合题意；
．直径是圆中最长的弦是必然事件，不是随机事件，故该选项不符合题意；
．同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等是必然事件，不是随机事件，故该选项不符合题意．
故选：．
■重点02 简单随机事件概率的计算
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果（n≠0），并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=．
【典例1】　（2024秋 江都区期中）抽屉里有三副手套，任取一只恰好是右手的概率为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：抽屉里有三副手套，任取一只共有6种等可能结果，其中恰好是右手的有3种结果，
所以任取一只恰好是右手的概率为，
故选：．
【典例2】　（2024秋 龙华区期中）一组数据为，2，3，4，6，6，从这组数据中抽取一个数，抽到的数为6的概率是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：在数据，2，3，4，6，6中，随机抽取一个数据共有6种等可能结果，抽到的数为6的有2种可能结果，
所以抽到众数的概率为，
故选：．
【典例3】　（2024 瑞安市校级模拟）有11个杯子，其中有一等品5个，二等品4个，次品2个，任取1个杯子是次品的概率是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：有11个杯子，其中有一等品5个，二等品4个，次品2个，任取1个杯子可能出现11种结果，是次品的有2种可能，
次品的概率是，
故选：．
【典例4】　（2024秋 东台市期中）在六张卡片上分别写有6，，3.1415，，0，六个数，从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：六个数中有，，一共2个无理数，
从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是．
故选：．
　
注意试验特点：①有限个结果；②结果等可能性．
■重点03 几何概型
几何概型：如果区域I上有一个区域A，假设每次试验结果都能够落在区域I上，并且落在区域I上任意一点的可能性总是相同的．记区域I的面积为S总，区域A的面积为SA，那么一次试验结果落在区域A上的概率为P（A）=． 特别地，如果区域A被划分成m等份，用其中的一等份作为基本面积单位来划分区域I，区域I被分成n等份（其中n>m），那么一次试验结果落在区域A上的概率为P（A）=．
【典例1】　（2024秋 南宁校级期中）一个小球在如图所示的地面上自由滚动，小球停在阴影区域的概率为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：整个图形面积，
阴影部分面积，
小球停在阴影区域的概率，
故选：．
【典例2】　（2023秋 西和县期末）如图，将一个飞镖随机投掷到的方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：的方格纸的面积为，阴影部分面积为4，
飞镖落在阴影区域的概率是．
故选：．
【典例3】　（2024 徐州）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞镖落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：如图：设，则圆的直径为，
则小正方形的边长为：，
则飞镖落在阴影区域的概率为：．
故选：．
【典例4】　（2024春 岱岳区期末）某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘，当指针指向阴影部分时，该顾客可获奖品一份，那么该顾客获奖的概率为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：阴影部分占，
阴影部分占整个圆面积的：，
该顾客获奖的概率为：，
故选：．
　
求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等． 面积类型：如果随机试验时向S区域内掷一小球，那么掷在A（A在S内）的概率P=．
■难点 根据概率的结果还原事件
与求概率的思路一致，根据P（A）=求解．
【典例1】　（2024秋 龙华区校级期中）一个不透明的袋中装有只有颜色不同的6个红球、2个黄球和若干个白球．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为，则白球的个数为 　　．
【答案】4．
【解答】解：由题意可得，
（个，
即白球的个数为4，
故答案为：4．
【典例2】　（2024 成都）盒中有枚黑棋和枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为 　　．
【解答】解：盒中有枚黑棋和枚白棋，共有个棋，
从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，
可得关系式，
，
即，
．
故答案为：．
【典例3】　（2023秋 富锦市校级期末）一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为．则布袋里红球有 　　个．
【解答】解：设布袋里红球有个，
由题意得：，
解得：，
经检验是原方程的解．
布袋里红球有1个，
故答案为：1．
【典例4】　（2024秋 西湖区校级期中）在一个不透明的袋子中装有6个白球，个黑球，这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到白球的概率为，则的值为 　　．
【答案】12．
【解答】解：若从袋子中随机摸出1个球，摸到白球的概率为，
，
解得，
经检验：是分式方程的解，
故答案为：12．
　
方程的思想．根据随机事件的概率公式列方程求解．
■易错点 事件发生的可能性
要知道事件发生的可能性大小，首先要确定这个事件是什么事件．必然事件一定会发生；不可能事件一定不会发生；随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性大小有可能相同．
【典例1】　（2024秋 青岛期中）小颖从一定高度随机掷一枚质地均匀的硬币，她已经掷了三次硬币，结果都是“反面朝上”．那么，小颖第四次掷硬币时，“正面朝上”与“反面朝上”的可能性的大小为　　
A．“正面朝上”的可能性大 B．“反面朝上”的可能性大
C．两者的可能性相同 D．无法确定
【答案】
【解答】解：小颖第四次掷硬币时，“正面朝上”与“反面朝上”的可能性的大小均为，
故选：．
【典例2】　（2023秋 龙湾区月考）一个布袋里装有6个球，分别是1个红球，2个白球，3个黑球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则下列事件中，发生可能性最大的是　　
A．摸出的是红球 B．摸出的是白球 C．摸出的是黑球 D．摸出的是绿球
【答案】
【解答】解：因为黑球最多，
所以被摸到的可能性最大．
故选：．
【典例3】　（2024秋 蓬江区校级月考）下列事件中发生的可能性为0的是　　
A．抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上
B．今天黄冈市最高气温为
C．路边抛掷一石头，石头终将落地（空中无任何遮拦）
D．不透明袋子中放了大小相同的乒乓球和金属球，从中去摸取出乒乓球
【答案】
【解答】解：、抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上，是随机事件；
、今天黄冈市最高气温为是不可能事件，可能性为0；
、路边抛掷一石头，石头终将落地（空中无任何遮拦）是必然事件，可能性为1；
、不透明袋子中放了大小相同的乒乓球和金属球，从中去摸取出乒乓球是随机事件；
故选：．
【典例4】　（2024春 涟水县期末）如图是某天气预报软件的显示屏，下列对降水信息的说法中正确的是　　
淮安市涟水县天气 日出453日落 体感温度 降水概率 降水量 空气质量 优
A．涟水县明天将有的时间下雨
B．涟水县明天将有的地区下雨
C．涟水县明天下雨的可能性较大
D．涟水县明天下雨的可能性较小
【答案】
【解答】解：淮安市涟水县降水的概率为”，表示涟水县明天下雨的可能性较大，并不代表的地区下雨或的时间下雨．
故选：．
　

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