资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
25.2 用列举法求概率
■重点01 列表法
当一次试验涉及两个因素并且可能出现的结果数较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法． 列表法一般用于解决涉及两步发生的概率问题．
【典例1】　（2024秋 南海区校级期中）小王、小李和小张3名都报名参加所在社区的志愿工作，但社区根据实际情况只需要他们中的2人．有人建议他们采用随机抽签的方式确定参加人，则小王和小李同时参加的概率为　　
A． B． C． D．
【典例2】　（2024秋 青岛期中）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，假设这三种可能性相同．如果有两辆汽车经过该路口，那么这两辆车都直行的概率是　　
A． B． C． D．
【典例3】　（2024 东明县一模）2024年央视春晚的主题为“龙行龘龘，欣欣家国”．“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌．将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“龘”的概率为　　
A． B． C． D．
【典例4】　（2024秋 沾益区月考）为弘扬中华优秀传统文化，学校举办“经典诵读”比赛，将比赛内容分为“唐诗、宋词、元曲”三类．现将正面写有、、的三张完全相同的卡片背面朝上洗匀，由选手抽取卡片确定比赛内容．选手小明从三张卡片中随机抽取一张，记下字母后放回洗匀，选手小亮再随机抽取一张，记下字母．
（1）小明抽取到唐诗的概率是　　；
（2）用列表或画树状图的方法求出小明和小亮恰好抽到同一类比赛内容的概率．
（1）“涉及两个因素”包括两种情况：①同时进行两种相同的操作；②先后进行两次相同的操作，即两步试验． （2）列表的方法：选一次操作（或一个条件）为横行，另一次操作（或另一个条件）为竖行． （3）如果第一个因素有a种可能的结果，第二个因素有b种可能的结果，那么这个试验所有可能的结果数有ab种． （4）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
■重点02 树状图法
（1）当一次试验涉及三个或更多因素时，列表法就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用画树状图法． （2）用树状图法求概率的一般步骤 ①把所有可能发生的实验结果用树状图表示出来； ②把所求事件所有可能出现的结果都找出来； ③运用公式P（A）=计算概率．
【典例1】　（2024 青山区模拟）中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》的概率为　　
A． B． C． D．
【典例2】　（2024秋 南山区校级期中）某公园有，，，四个入口，每个游客都是随机从一个入口进入公园，则甲、乙两位游客恰好从同一个入口进入公园的概率是　　
A． B． C． D．
【典例3】　（2024 二道区校级模拟）明明和家人去西安旅游购买了甲、乙、丙、丁四个系列摆件，如图，甲系列有3个摆件，乙系列有1个摆件，丙系列有2个摆件，丁系列有3个摆件，每个系列各带有一个礼品盒（摆件均装入对应的礼品盒内），这四个礼品盒的外观和重量都相同．明明先让妈妈从四个礼品盒中随机选择一个拿走，再让爸爸从剩下的三个中随机选择一个拿走．
（1）妈妈拿走的礼品盒里装有3个摆件的概率是 　　；
（2）请用画树状图或列表法，求妈妈和爸爸一共拿走4个摆件的概率．
【典例4】　（2023秋 柯桥区期末）为响应国家“双减”政策，大力推行课后服务，丰富学生课后生活，某校开设班剪纸、班戏曲、班武术、班围棋四门特色课程，甲、乙两位同学各需选择一门课程学习．
（1）求甲同学选择班剪纸课的概率．
（2）利用树状图或列表法，求甲、乙两人选择同一门课程的概率．
注意 （1）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图． （2）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n． （3）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
■重点03 游戏的公平性
游戏的公平性是听过计算概率来判断的，在条件相同的前提下，如果对于参加游戏的每个个体获胜的概率都相等，那么游戏公平，否则不公平．
【典例1】　（2024秋 鄠邑区期中）甲、乙两位同学相约打乒乓球，双方约定：两人各投挪一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，那么甲先发球，否则乙先发球，这个约定是否公平？请用列表或者树状图的方法说明理由．
【典例2】　（2024秋 雁塔区校级期中）如图是两个可以自由转动的转盘，，转盘中数字1所对扇形区域的圆心角为，转盘被分成面积相等的三个扇形，依次转动转盘，，当转盘停止后，若指针指向的两个区域的数字之和大于5，则甲获胜；否则乙获胜；如果落在分割线上，则需要重新转动转盘．
（1）转动转盘，指向的数字为3的概率是 　　；
（2）试用列表或画树状图的方法说明游戏是否公平．若公平，请说明理由；若不公平，谁获胜的可能性更大？
【典例3】　（2024秋 五华区校级期中）在一个不透明的袋子中装有1个红球、2个白球、1个黑球，这些小球除颜色外完全相同，将球摇匀．
（1）从中任意摸出一个小球，恰好摸到红球的概率是 　　；
（2）甲乙两人做游戏：从袋子中一次摸出两个球，若摸出的两个球是一红一黑，则甲获胜；若摸出的两个小球都是白球，则乙获胜，请用列表或画树状图的方法分析游戏规则是否公平？
【典例4】　（2024秋 银川期中）家住某一小区一单元的甲、乙二人同时从地下车库进入电梯回家，已知两人1至4层任意一层出电梯．
（1）用画树状图或列表法表示所有可能结果．并求甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率．
（2）小亮和小芳打赌，若甲、乙住在同楼层或相邻楼层，则小亮胜，否则小方胜，请判断上述游戏是否公平，并说明理由．
判断游戏公平性本质上还是计算概率的问题．使用列举法时主要要不重不漏．
■难点 放回与不放回
有放回抽取和无放回抽取是两种完全不同的抽取方式．一般来说，有放回抽取允许有重复的事件结果，无放回抽取则不能有重复的事件结果．在列举时，要注意这两种抽取方式的不同造成的结果的差异．
【典例1】　（2024秋 郑州期中）将标有“最”“美”“河”“南”的四个小球装在一个不透明的口袋中（每个小球上仅标一个汉字），这些小球除所标汉字不同外，其余均相同．从中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球，则摸到的球上的汉字可以组成“河南”的概率是　　
A． B． C． D．
【典例2】　（2024秋 城阳区期中）在一个不透明的袋子里装有一个红球和一个黄球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一球，记下颜色后放回袋中，充分摇匀后，再随机摸出一球，两次都摸到黄球的概率是　　
A． B． C． D．
【典例3】　（2024秋 昆山市期中）在一个不透明的袋子里装有除数字外完全相同的3个小球，上面分别标有数字2，3，4．先从袋中随机摸出一个小球，再从袋中剩下的2个小球中随机摸出一个小球．则摸出2个球上的数字之和为偶数的概率是　　
A． B． C． D．
【典例4】　（2024秋 宁波期中）在一个不透明的口袋里有3个完全相同的小球，把它们分别标号1、2、3．求下列事件的概率．
（1）随机地摸出一个小球是奇数；
（2）随机地摸出一个小球后放回，再随机地摸出一个小球，两次摸出的小球标号的和为4．
放回是从某个容器中取出来，做好相应的数据后，再将取出来的物品放回容器中，然后再进行下一个实验． 不放回是从容器中取出来之后就不再放回容器里，下一个实验的结果与之前的取出来的数据无关，只与容器中的有关．
■易错点 概率与其他学科综合
应对跨学科试题,需要具备综合运用各个学科知识的能力．
【典例1】　（2024秋 顺德区期中）如图，电路图上有1个小灯泡以及4个断开状态的开关，，，，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为　　
A． B． C． D．
【典例2】　（2024秋 莲湖区期中）如图，电路图上有3个开关，，和1个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为　　
A． B． C． D．
【典例3】　（2024 绵阳）如图，电路上有，，，四个断开的开关和一个正常的小灯泡，将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为　　
A． B． C． D．
【典例4】　（2024 河北一模）【背景材料】人的眼皮有单眼皮与双眼皮，这是由对应的基因决定的．研究表明：决定眼皮单双的基因有两种，一种是显性基因（记为，另一种是隐性基因（记为；一个人的基因总是成对出现（如，，，，在成对的基因中，一个来自父亲，另一个来自母亲，父母亲提供基因时均为随机的．只要出现了显性基因，那么这个人就一定是双眼皮．即基因，，均为双眼皮．
【知识应用】现有一对夫妻，两人成对的基因都是，若不考虑其他因素，则他们的孩子是单眼皮的概率是　　
A． B． C． D．
考查概率问题，常与物理、生物等学科进行综合考查．中小学教育资源及组卷应用平台
25.2 用列举法求概率
■重点01 列表法
当一次试验涉及两个因素并且可能出现的结果数较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法． 列表法一般用于解决涉及两步发生的概率问题．
【典例1】　（2024秋 南海区校级期中）小王、小李和小张3名都报名参加所在社区的志愿工作，但社区根据实际情况只需要他们中的2人．有人建议他们采用随机抽签的方式确定参加人，则小王和小李同时参加的概率为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：列表如下：
小王 小李 小张
小王 小李，小王 小张，小王
小李 小王，小李 小张，小李
小张 小王，小张 小李，小张
所有等可能的情况有6种，其中小王和小李同时参加的情况数有2种，
小王和小李同时参加的概率为，
故选：．
【典例2】　（2024秋 青岛期中）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，假设这三种可能性相同．如果有两辆汽车经过该路口，那么这两辆车都直行的概率是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：列表如下：
直行 向左转 向右转
直行 （直行，直行） （直行，向左转） （直行，向右转）
向左转 （向左转，直行） （向左转，向左转） （向左转，向右转）
向右转 （向右转，直行） （向右转，向左转） （向右转，向右转）
共有9种等可能的结果，其中这两辆车都直行的只有1种结果，
所以这两辆车都直行的概率为，
故选：．
【典例3】　（2024 东明县一模）2024年央视春晚的主题为“龙行龘龘，欣欣家国”．“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌．将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“龘”的概率为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：列表如下：
龙 行 龘 龘
龙 （龙，行） （龙，龘） （龙，龘）
行 （行，龙） （行，龘） （行，龘）
龘 （龘，龙） （龘，行） （龘，龘）
龘 （龘，龙） （龘，行） （龘，龘）
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“龘”的结果有8种，
抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“龘”的概率为．
故选：．
【典例4】　（2024秋 沾益区月考）为弘扬中华优秀传统文化，学校举办“经典诵读”比赛，将比赛内容分为“唐诗、宋词、元曲”三类．现将正面写有、、的三张完全相同的卡片背面朝上洗匀，由选手抽取卡片确定比赛内容．选手小明从三张卡片中随机抽取一张，记下字母后放回洗匀，选手小亮再随机抽取一张，记下字母．
（1）小明抽取到唐诗的概率是　　；
（2）用列表或画树状图的方法求出小明和小亮恰好抽到同一类比赛内容的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）将比赛内容分为“唐诗、宋词、元曲”三类．选手小明从三张卡片中随机抽取一张，
则小明抽取到唐诗的概率是．
故答案为：；
（2）所有可能出现的结果列表如下：
由表可知共有9种等可能出现的结果，其中相同的有3种，
．　
（1）“涉及两个因素”包括两种情况：①同时进行两种相同的操作；②先后进行两次相同的操作，即两步试验． （2）列表的方法：选一次操作（或一个条件）为横行，另一次操作（或另一个条件）为竖行． （3）如果第一个因素有a种可能的结果，第二个因素有b种可能的结果，那么这个试验所有可能的结果数有ab种． （4）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
■重点02 树状图法
（1）当一次试验涉及三个或更多因素时，列表法就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用画树状图法． （2）用树状图法求概率的一般步骤 ①把所有可能发生的实验结果用树状图表示出来； ②把所求事件所有可能出现的结果都找出来； ③运用公式P（A）=计算概率．
【典例1】　（2024 青山区模拟）中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》的概率为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：将四部名著《周髀算经》，《算学启蒙》，《测圆海镜》，《四元玉鉴》分别记为，，，，
根据题意可以画出如下的树状图：
由树状图可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等，
其中恰好选中《周髀算经》的情况有6种，
恰好选中《周髀算经》的概率是，
故选：．
【典例2】　（2024秋 南山区校级期中）某公园有，，，四个入口，每个游客都是随机从一个入口进入公园，则甲、乙两位游客恰好从同一个入口进入公园的概率是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：作树状图如下：
由树状图知共有16种等可能结果，其中甲、乙两位游客恰好从同一个入口进入公园的结果有4种，
所以甲、乙两位游客恰好从同一个入口进入公园的概率为，
故选：．
【典例3】　（2024 二道区校级模拟）明明和家人去西安旅游购买了甲、乙、丙、丁四个系列摆件，如图，甲系列有3个摆件，乙系列有1个摆件，丙系列有2个摆件，丁系列有3个摆件，每个系列各带有一个礼品盒（摆件均装入对应的礼品盒内），这四个礼品盒的外观和重量都相同．明明先让妈妈从四个礼品盒中随机选择一个拿走，再让爸爸从剩下的三个中随机选择一个拿走．
（1）妈妈拿走的礼品盒里装有3个摆件的概率是 　　；
（2）请用画树状图或列表法，求妈妈和爸爸一共拿走4个摆件的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）根据题意有4个四个礼品盒，其中有3个摆件的礼品盒有2个，
妈妈拿走的礼品盒里装有3个摆件的概率是：，
故答案为：．
（2）画树状图如下：
由图可得，共有12种等可能的结果，其中妈妈和爸爸一共拿走4个摆件的情况有4种，
妈妈和爸爸一共拿走4个摆件的概率．
【典例4】　（2023秋 柯桥区期末）为响应国家“双减”政策，大力推行课后服务，丰富学生课后生活，某校开设班剪纸、班戏曲、班武术、班围棋四门特色课程，甲、乙两位同学各需选择一门课程学习．
（1）求甲同学选择班剪纸课的概率．
（2）利用树状图或列表法，求甲、乙两人选择同一门课程的概率．
【答案】（1）．
（2）．
【解答】解：（1）由题意得，甲同学选择班剪纸课的概率为．
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人选择同一门课程的结果有4种，
甲、乙两人选择同一门课程的概率为．　
注意 （1）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图． （2）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n． （3）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
■重点03 游戏的公平性
游戏的公平性是听过计算概率来判断的，在条件相同的前提下，如果对于参加游戏的每个个体获胜的概率都相等，那么游戏公平，否则不公平．
【典例1】　（2024秋 鄠邑区期中）甲、乙两位同学相约打乒乓球，双方约定：两人各投挪一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，那么甲先发球，否则乙先发球，这个约定是否公平？请用列表或者树状图的方法说明理由．
【解答】解：这个约定公平；理由如下：
依据甲、乙两位同学相约打乒乓球的双方约定，画树状图如下：
由树状图可知：一共有4种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上的结果有2种，
（甲先发球），（乙先发球），
（甲先发球）（乙先发球），
这个约定公平．
【典例2】　（2024秋 雁塔区校级期中）如图是两个可以自由转动的转盘，，转盘中数字1所对扇形区域的圆心角为，转盘被分成面积相等的三个扇形，依次转动转盘，，当转盘停止后，若指针指向的两个区域的数字之和大于5，则甲获胜；否则乙获胜；如果落在分割线上，则需要重新转动转盘．
（1）转动转盘，指向的数字为3的概率是 　　；
（2）试用列表或画树状图的方法说明游戏是否公平．若公平，请说明理由；若不公平，谁获胜的可能性更大？
【答案】（1）；
（2）这个游戏不公平，甲获胜的可能性较大．
【解答】解：（1）转动转盘，指向的数字为3的概率是．
故答案为：；
（2）如图，将盘4等分，使得指向每个区域的可能性均等，用列表法表示所有等可能出现的结果如下：
共有12种等可能出现的结果，其中指针指向的两个区域的数字之和大于5，即甲获胜的有7种，
所以甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，
所以这个游戏不公平，甲获胜的可能性较大．
【典例3】　（2024秋 五华区校级期中）在一个不透明的袋子中装有1个红球、2个白球、1个黑球，这些小球除颜色外完全相同，将球摇匀．
（1）从中任意摸出一个小球，恰好摸到红球的概率是 　　；
（2）甲乙两人做游戏：从袋子中一次摸出两个球，若摸出的两个球是一红一黑，则甲获胜；若摸出的两个小球都是白球，则乙获胜，请用列表或画树状图的方法分析游戏规则是否公平？
【答案】（1）；
（2）这个游戏公平．理由见解答．
【解答】解：（1）一个不透明的袋子中装有1个红球、2个白球、1个黑球，
一共有4个球．
从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为．
故答案为：；
（2）所有可能出现的结果列表如下：
红 白1 白2 黑
红 （红，白1） （红，白2） （红，黑）
白1 （白1，红） （白1，白2） （白1，黑）
白2 （白2，红） （白2，白1） （白2，黑）
黑 （红，黑） （黑，白1） （黑，白2）
由表可知，共有12种可能出现的结果，其中摸出的两个小球一红一黑的有2种，两个小球都是白球的有2种，
，
这个游戏公平．
【典例4】　（2024秋 银川期中）家住某一小区一单元的甲、乙二人同时从地下车库进入电梯回家，已知两人1至4层任意一层出电梯．
（1）用画树状图或列表法表示所有可能结果．并求甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率．
（2）小亮和小芳打赌，若甲、乙住在同楼层或相邻楼层，则小亮胜，否则小方胜，请判断上述游戏是否公平，并说明理由．
【答案】（1）；
（2）不公平，理由见解析．
【解答】解：（1）列表如下：
甲 乙 1 2 3 4
1
2
3
4
一共出现16种结果，每种结果都为等可能事件，其中出现在同一层楼梯的有4种结果，
（甲、乙在同一层楼梯或相邻楼层），
（2）不公平，理由如下：
由（1）列知：甲、乙住在同层或相邻楼层的有10种结果，
故（小亮胜）（同层），（小芳胜），
则不公平．　
判断游戏公平性本质上还是计算概率的问题．使用列举法时主要要不重不漏．
■难点 放回与不放回
有放回抽取和无放回抽取是两种完全不同的抽取方式．一般来说，有放回抽取允许有重复的事件结果，无放回抽取则不能有重复的事件结果．在列举时，要注意这两种抽取方式的不同造成的结果的差异．
【典例1】　（2024秋 郑州期中）将标有“最”“美”“河”“南”的四个小球装在一个不透明的口袋中（每个小球上仅标一个汉字），这些小球除所标汉字不同外，其余均相同．从中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球，则摸到的球上的汉字可以组成“河南”的概率是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字可以组成“河南”的结果有2种，
摸到的球上的汉字可以组成“河南”的概率是．
故选：．
【典例2】　（2024秋 城阳区期中）在一个不透明的袋子里装有一个红球和一个黄球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一球，记下颜色后放回袋中，充分摇匀后，再随机摸出一球，两次都摸到黄球的概率是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：画树状图得：
共有4种等可能的结果，两次都摸到黑球的只有1种情况，
两次都摸到黑球的概率是．
故选：．
【典例3】　（2024秋 昆山市期中）在一个不透明的袋子里装有除数字外完全相同的3个小球，上面分别标有数字2，3，4．先从袋中随机摸出一个小球，再从袋中剩下的2个小球中随机摸出一个小球．则摸出2个球上的数字之和为偶数的概率是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中摸出的两个小球上的数字和为偶数的结果有2种，
摸出2个球上的数字之和为偶数的概率为，
故选：．
【典例4】　（2024秋 宁波期中）在一个不透明的口袋里有3个完全相同的小球，把它们分别标号1、2、3．求下列事件的概率．
（1）随机地摸出一个小球是奇数；
（2）随机地摸出一个小球后放回，再随机地摸出一个小球，两次摸出的小球标号的和为4．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）依题意，标号1、2、3这三个小球，其中是奇数的小球有两个，
，
随机地摸出一个小球是奇数的概率是；
（2）摸出一个小球后放回，再随机地摸出一个小球，两次摸出的小球标号的和的情况作树状图如下：
共有9种等可能的情况，两次摸出的小球标号的和为4的情况有3种，
，
两次摸出的小球标号的和为4的概率是．　
放回是从某个容器中取出来，做好相应的数据后，再将取出来的物品放回容器中，然后再进行下一个实验． 不放回是从容器中取出来之后就不再放回容器里，下一个实验的结果与之前的取出来的数据无关，只与容器中的有关．
■易错点 概率与其他学科综合
应对跨学科试题,需要具备综合运用各个学科知识的能力．
【典例1】　（2024秋 顺德区期中）如图，电路图上有1个小灯泡以及4个断开状态的开关，，，，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：电路图上有1个小灯泡以及4个断开状态的开关，，，，现随机闭合两个开关，画树状图得：
共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有4种情况，
小灯泡发光的概率为，
故选：．
【典例2】　（2024秋 莲湖区期中）如图，电路图上有3个开关，，和1个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：画出树状图如图所示：
由图可得，共有6种等可能出现的结果，其中能让灯泡发光的情况有4种，
能让灯泡发光的概率是，
故选：．
【典例3】　（2024 绵阳）如图，电路上有，，，四个断开的开关和一个正常的小灯泡，将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：将这些开关随机闭合至少两个，所有等可能的结果有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共11种，
其中能让灯泡发光的结果有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共9种，
将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为．
故选：．
【典例4】　（2024 河北一模）【背景材料】人的眼皮有单眼皮与双眼皮，这是由对应的基因决定的．研究表明：决定眼皮单双的基因有两种，一种是显性基因（记为，另一种是隐性基因（记为；一个人的基因总是成对出现（如，，，，在成对的基因中，一个来自父亲，另一个来自母亲，父母亲提供基因时均为随机的．只要出现了显性基因，那么这个人就一定是双眼皮．即基因，，均为双眼皮．
【知识应用】现有一对夫妻，两人成对的基因都是，若不考虑其他因素，则他们的孩子是单眼皮的概率是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：画树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中他们的孩子是单眼皮的结果有1种，即，
他们的孩子是单眼皮的概率是，
故选：．　
考查概率问题，常与物理、生物等学科进行综合考查．

展开更多......

收起↑