资源简介

教案标题：弧度制
【教学目标】
1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.
2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.
3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.
【教学重点】 弧度与角度之间的换算
【教学难点】 弧长公式、扇形面积公式的应用
【教学方法】 教师启发讲授，学生探究学习
【教学手段】 计算机、投影仪．
【核心素养】 数学抽象、数学运算．
【教学过程】
一、创设情境，引入课题
思考1　在初中学过的角度制中，把圆周角等分成360份，其中的一份是多少度？
答　 1度.
思考2　长度等于半径长的弧所对的圆心角有多大？是否有其他单位制来度量该角？
答　若长度等于半径长的弧所对的圆心角为60°，用弧度制度量该角为1弧度.
二、归纳探索，形成概念
1.角度制和弧度制
角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的
弧度制 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度.以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制
2.角的弧度数的计算
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的
绝对值是|α|＝.
思考　角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？
答　 利用1°＝rad和1 rad＝()°进行弧度与角度的换算.
3.角度与弧度的互化
角度化弧度 弧度化角度
360°＝2π rad 2π rad＝360°
180°＝π rad π rad＝180°
1°＝rad≈0.017_45 rad 1 rad＝°≈57.30°
4.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系.
度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 0 π 2π
扇形的弧长及面积公式
思考　扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？
设扇形的半径为R，弧长为l，α为其圆心角，则
α为度数 α为弧度数
扇形的弧长 l＝ l＝αR
扇形的面积 S＝ S＝lR＝αR2
三、掌握知识，适当延展
类型一　角度与弧度的互化
例1　将下列角度与弧度进行互化.
(1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－.
解 (1)20°＝＝.
(2)－15°＝－＝－.
(3)＝×180°＝105°.
(4)－＝－×180°＝－396°.
反思与感悟　(1)进行角度与弧度换算时，要抓住关系：π rad＝180°.(2)熟记特殊角的度数与弧度数的对应值.
跟踪训练1　(1)把112°30′化成弧度；
(2)把－化成度.
解　(1)112°30′＝°＝×＝.
(2)－＝－°＝－75°.
类型二　利用弧度制表示终边相同的角
例2　把下列各角化成2kπ＋α (0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角：
(1)－1 500°；　(2)；　(3)－4.
解　(1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°.
∴－1 500°可化成－10π＋，是第四象限角.
(2)∵＝2π＋，
∴与终边相同，是第四象限角.
(3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，＜2π－4＜π.
∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角.
反思与感悟　用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用.
跟踪训练2　设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝，β2＝－.
(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；
(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在[－720°，0°)范围内找出与它们终边相同的所有角.
解　(1)∵180°＝π rad，
∴α1＝－570°＝－＝－＝－2×2π＋，
α2＝750°＝＝＝2×2π＋.
∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第一象限.
(2)β1＝π＝×180°＝108°，
设θ＝108°＋k·360°(k∈Z)，
则由－720°≤θ<0°，即－720°≤108°＋k·360°<0°，
得k＝－2，或k＝－1.
故在[－720°，0°)范围内，与β1终边相同的角是－612°和－252°.
β2＝－＝－60°，
设θ＝－60°＋k·360°(k∈Z)，
则由－720°≤θ＜0°，即－720°≤－60°＋k·360°<0°，
得k＝－1或k＝0.
故在[－720°，0°)范围内，与β2终边相同的角是－420°和－60°.
类型三　扇形的弧长及面积公式的应用
例3　已知一个扇形的周长为a，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值.
解　设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为α，面积为S.由已知，2r＋l＝a，即l＝a－2r.
∴S＝l·r＝(a－2r)·r＝－r2＋r
＝－2＋.
∵r>0，l＝a－2r>0，∴0∴当r＝时，Smax＝.
此时，l＝a－2·＝，
∴α＝＝2.
故当扇形的圆心角为2 rad时，扇形的面积最大，最大值为.
反思与感悟　(1)联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是S＝lr＝|α|r2，二是l＝|α|r，如果已知其中两个，就可以求出另一个.
(2)当扇形周长一定时，其面积有最大值，最大值的求法是把面积S转化为r的函数.
跟踪训练3　一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数.
解　设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4，
∴l＝4－2R，根据扇形面积公式S＝lR，
得1＝(4－2R)·R，
∴R＝1，∴l＝2，∴α＝＝＝2，
即扇形的圆心角为2 rad.
四、归纳小结，提高认识
1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．
2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用
“180°＝π rad”这一关系式．
易知：度数× rad＝弧度数，弧度数×°＝度数．
3.在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.

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