资源简介

4.4.2 计算函数零点的二分法
一、教学目标：
知识与技能：
（1）通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法。
（2）能借助计算器用二分法求方程的近似解；
过程与方法：
（1）借助计算器用二分法求方程的近似解，让学生充分体验近似的思想、逼近的思想和程序化地处理问题的思想及其重要作用，并为下一步学习算法做知识准备．　
情感态度与价值观：
（1）从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用；
（2）体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．
二、重点难点
重点：二分法原理及其探究过程，用二分法求方程的近似解。
难点：对二分法原理的探究，对精确度、近似值的理解。
三、教学方法
通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现二分法的思想.
四、教学过程
（一） 设置情景，提出问题
问题： 中央电视台有一档娱乐节目“幸运52”，主持人会给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会，如果猜中，就把物品奖励给选手，同时获得一枚商标．某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1000元之间。选手开始报价：1000元，主持人回答：高了；紧接着报价900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，你猜中了。
表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际中，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出更优的猜价方案来帮助选手猜价吗？
（二） 互动探究，获得新知
1、函数在区间（2，3）内有零点，如何找出这个零点的近似值呢？
策略一：用几何画板画出函数的图象，求出其与x轴交点的横坐标，也可以求函数与函数y = 6 – 2x的图象交点的横坐标。
合作探究：利用我们猜价格的方法，你能否求解方程ln x + 2x – 6 = 0？如果能求解的话，怎么去解？你能用函数的零点的性质吗？
策略二：“取中点”逐步缩小零点所在的范围——二分法
工具：（1）计算器或Excel表格；
（2）零点存在定理。
2、解决问题：
请看下面的表格：
区间 端点的符号 中点的值 中点函数值的符号
（2，3） f (2) < 0，f (3) > 0 2.5 f (2.5) < 0
（2.5，3） f (2.5) < 0，f (3) > 0 2.75 f (2.75) > 0
（2.5，2.75） f (2.5) < 0，f (2.75) > 0 2.625 f (2.625) > 0
（2.5，2.625） f (2.5) < 0，f (2.625) > 0 2.5625 f (2.5625) > 0
（2.5，2.5625） f (2.5) < 0，f (2.5625) > 0 2.53125 f (2.53125) < 0
（2.53125，2.5625） f (2.53125) < 0，f (2.5625) > 0 2.546875 f (2.546875) > 0
（2.53125，2.546875） f (2.53125) < 0， f (2.546875) > 0 2.5390625 f (2.5390625) > 0
（2.53125，2.5390625） f (2.53125) < 0， f (2.5390625) > 0 2.53515625 f (2.53515625) > 0
在一定精确度下，我们可以在有限次重复相同步骤后，将所得的零点所在区间内的任意一点作为函数零点的近似值，特别地，可以将区间中点作为零点的近似值。例如，当精确度为0.01时，由于| 2.5390625 – 2.53125 | = 0.0078125 < 0.01，所以，我们可以将x = 2.53125作为函数零点的近似值。
3、二分法的定义：对于在区间，上连续不断且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
4、用二分法求零点近似值的步骤 ：
给定精确度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：
（1）、确定区间，，验证·，给定精确度；
（2）、求区间，的中点；
（3）、计算：
①若=， 则就是函数的零点；
②若 <， 则令=（此时零点）；
③若 <， 则令=（此时零点）；
（4）、判断是否达到精确度：
即若，则得到零点零点值（或）；否则重复步骤2～4．
（三） 例题剖析，巩固新知
例、借助计算器或计算机用二分法求方程2 x + 3x = 7的近似解（精确度为0.1）。
解：原方程即，令，用计算机作出函数的对应值表与图象：
x 0 1 2 3 4 5] 6 7 8
– 6 – 2 3 10 21 40 75 142 273
因为f (1) · f (2) < 0
所以在（1，2）内有零点x0，
取（1，2）的中点x1 = 1.5，f (1.5) = 0.33，
因为f (1) · f (1.5) < 0所以x0∈（1，1.5）；
取（1，1.5）的中点x2 = 1.25，f (1.25) = – 0.87，
因为f (1.25) · f (1.5) < 0，所以x0∈（1.25，1.5）；
同理可得，x0∈（1.375，1.5），x0∈（1.375，1.4375），
由于| 1.375 – 1.4375 | = 0.0625 < 0.1，所以，原方程的近似解可取为1.4375。
（四） 当堂检测
1、方程在实数范围内的解有 个。
2、 用二分法求2x＋ x＝4在[1,2]内的近似解(精确度为0.2)
五、课堂小结
本节课你学到了哪些知识？有哪些收获？
六、课后作业
七、教学反思

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