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方程的根与函数的零点（教案）
【教学目标】
1. 掌握零点存在定理，并会运用该定理解决问题；
2. 理解函数与方程的关系，会利用图象或函数解决方程根的相关问题，渗透函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想等数学思想方法；
3. 让学生在探究中逐步提升观察能力和数学的抽象与概括能力。
【教学重点】 零点存在定理
【教学难点】 方程的根与函数的零点间关系
【教学方法】 启发式教学，引导学生探索发现．
【教学手段】 计算机、投影仪．
【核心素养】 直观想象，逻辑推理，数学抽象．
【教学过程】
一、问题引入、直观感知
1. 从学生熟知的一元二次方程和二次函数引入，提出问题：一元二次方程的根与二次函数的图象之间存在怎样的联系？
2. 求下列一元二次方程的根，并画出对应二次函数的图象.
（1）与
（2）与
（3）与
〖设计意图〗教师引导学生探索一元二次方程的根和对应二次函数图象与轴交点横坐标（二次函数零点）间的关系，并将其准确概括表达。
3．是否对于所有的一元二次方程来说，其根均与相应二次函数零点相同？对于其他类型的方程，是否还是如此呢？
〖设计意图〗过渡到讨论一般方程与其对应的函数零点间的关系。
二、交流互动、领悟新知
我们一起来看一看方程解法的历史，花拉子米(约780～约850)给出了一次方程和二次方程的一般解法。阿贝尔(1802～1829)证明了五次以上一般方程没有求根公式。也即并非所有的方程根均可像一元二次方程一样有公式可寻，那么对于一般的、可能并不容易求解的方程，它的根能否进行一定的转化呢？
〖设计意图〗从数学史角度出发，并回顾上述讨论过程，可以将方程的根的问题转化为其所对应的的函数图象的零点问题，再利用函数的图象等知识进一步解决，体现数形结合思想。
一般地，求方程的实数根，就是确定函数的零点，而对于不能用公式法求根的方程，可将其与所对应的函数联系起来，通过函数的性质，进而对方程的根进行求解和估计。
那么现在关键的问题是函数的零点如何确定呢？先体会下面的例子。
1. 观察函数的图象，回答问题：
（1）函数在上 （“有”或“无”）零点；
， ；
（“＞”，“＜”或“＝”）
（2）函数在上 （“有”或“无”）零点；
， ；
（“＞”，“＜”或“＝”）
2. 观察函数的图象
（1）函数在上 （“有”或“无”）零点； （“＞”，“＜”或“＝”）；
（2）函数在上 （“有”或“无”）零点； （“＞”，“＜”或“＝”）；
（3）函数在上 （“有”或“无”）零点； （“＞”，“＜”或“＝”）；
问题1.对于上面两个问题的探索，在怎样的条件下可以判断在给定区间上是否存在函数的零点？引导学生概括出零点存在定理。
若学生只回答异号，则给出如下反例，旨在强化函数图象连续不断的条件.
函数在上端点对应函数值异号，但不存在零点.
进而，概括出零点存在定理：设函数在上的图象是一段连续不断的曲线，且，则存在，使.
问题2.存在零点意味着存在几个零点呢？什么时候存在唯一零点？
结合波动图像，说明若函数在上单调，则函数在上存在唯一零点。
问题3 函数在上的图象是一段连续不断的曲线，且，则不存在零点，能否举出反例？
三、实践运用、掌握方法
例1. 讨论函数在区间内零点的个数.
【分析】，，，由零点存在定理知函数在存在零点，又由于函数在上单调递增，故零点个数为.
〖设计意图〗零点存在性定理的直接运用
例2. 判断方程的解的个数与分布情况
【分析】此方程无法直接求解，因此转化为函数的问题，此时问题是如何转化为函数？有几种途径？
思路（1）直接转化.将该方程左右两边分别看作一个函数，即和
再研究其图象交点，作出两函数图象知二者有唯一交点，且横坐标在内，因此原方程有唯一解，且在内.
思路（2）移项转化.设函数，将方程的根转化为函数的零点，再利用零点存在定理判断. ，，则有，由零点存在定理知函数在存在零点，又由于函数在上单调递增，故零点个数为.
例3. 判断方程的解的个数与分布情况.
【分析】此方程也属于无法直接求解的方程，需要借助函数来分析，那么利用什么函数呢？如何将该方程进行变形？
思路（1）：如例2的思路（2），移项转化为函数的零点问题，
经计算，可知内至少存在一个零点，但是由于目前尚未清楚这类函数单调性的求法，因此对于零点的具体个数还无法得知.经过软件作图，观察得知在内存在唯一零点，但该函数在并非单调.
思路（2）变形转化：即为，因此可将原方程的根看作函数和图象的交点横坐标，通过作图可知二者存在唯一公共点，且在之间.
例4. 判断方程的解的个数与分布情况.
【分析】将方程进行变形得：，因此原方程的解即为函数与函数图象的交点，又注意到函数均为偶函数，又由于二者交点不在轴上，因此只需判断的部分.作图知二者在内存在唯一交点，因此在上也存在一个交点，故原方程在和内各有一个实根，共两个实根.
四、归纳总结、内化于心
1. 小结
（1）一个图象连续不断的函数，若在某个区间端点上函数值异号，则其上至少存在一个零点；
（2）方程的根和函数的零点间存在联系，常常通过相互转化解决问题；
（3） 在将方程转化为函数之前需要进行具体分析，何种函数最有利于解决问题，将“数”和“形”结合起来，根据具体问题具体分析.
2. 作业
（1）判断下列函数零点个数
①
②
③
（2）判断下列方程根的个数与分布情况
①
②
③

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