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/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
专项八：垂线与平行线（考点清单+易错易混点+专练）
知识点一．概念：
直线：一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的．一条直线可以用一个小写字母表示．
线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点．一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示．
射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线．这个点叫做射线的端点．一条射线可以用端点和射线上另一点来表示．
注意：
（1）线和射线无长度，线段有长度．
（2）直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点．
2．直线、射线、线段区别：
直线没有端点，两边可无限延长；
射线有一端有端点，另一端可无限延长；
线段，有两个端点，而两个端点间的距离就是这条线段的长度．
知识点二．两点间线段最短与两点间的距离
1．两点之间，线段最短：在两点之间连接出若干条折线、曲线和线段，其中线段的长度最小．
2．应用：当两点在直线两侧时，直接连接两点即可，而不必找对称点；当两点在直线同侧时，需要作出其中一个点关于直线的对称点．
知识点三．垂直与平行的特征及性质
1．垂线的定义：
两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”），读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）．
2．垂线的性质：
性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
性质2：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短．
3．垂直的判定：垂线的定义．
4．平行线的概念：
在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．平行用符号“∥，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”．
5．平行线的判定方法：
（1）平行于同一条直线的两直线平行．
（2）垂直于同一条直线的两直线平行．
（3）平行线的定义．
知识点四．过直线上或直线外一点作直线的垂线
1、以直线外一点为圆心，以大于这点到直线的距离为半径画弧交直线于A、B两点．
2、分别以A、B为圆心，以大于AB为半径画弧在直线的两侧相交于两点．
3、连结这一点和任意一个交点（或连结两个交点）的直线就是已知直线的垂线．
知识点五．角的度量
1．角的度量：角度的测量是最基本的测量，最常用的工具是量角器．
2．角的度量单位通常有两种，一种是角度制，另一种就是弧度制．
角度制，就是用角的大小来度量角的大小的方法．在角度制中，我们把周角的看作1度，那么，半周就是180度，一周就是360度．由于1度的大小不因为圆的大小而改变，所以角度大小是一个与圆的半径无关的量．
弧度制，顾名思义，就是用弧的长度来度量角的大小的方法．单位弧度定义为圆周上长度等于半径的圆弧与圆心构成的角．由于圆弧长短与圆半径之比，不因为圆的大小而改变，所以弧度数也是一个与圆的半径无关的量．角度以弧度给出时，通常不写弧度单位，有时记为rad或R．
3．度量方法：
量角要注意两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐．
量角器的0刻度线和角的一条边对齐．
做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度．
看刻度要分清内外圈．
知识点六．画指定度数的角
三角板能画出15、30、45、60、75、90、105、120、135、150、165、180度的角，是30°，45°，60°，90度的和差，因为通过三角尺只能作角的和差．其余的度数只能通过量角器画角．
易错点1:认为直线是可以度量的。
误区点拨:
(1)因为经常看到用直线的一部分代表这条直线，所以误认为直线就那么长，是可以度量的
(2)把线段的两端无限延长，就成了一条直线，直线是没有端点的，因而无法确定它的起点和终点，所以直线无限长，无法测量。
易错点 2:量角或画角时把内圈刻度和外圈刻度混淆，
误区点拨:
(1)量角或画角时很多时候都要用到量角器，量角器上有内、外两圈刻度，在读数时会选错
(2)在用量角器量角或画角时都要做到“三个重合”，即量角器的中心和角的顶点重合，量角器的 0°刻度线与角的一条边重合，量角器的刻度与另一条边重合。如果这时量角器上 0°刻度线的“0”在右边，就应该读内圈的数，“0”在左边，就读外圈的数。
易错点 3:对于垂直概念的理解。
误区点拨:
(1)垂直概念中会把“相交成 90°”与“竖直”混淆。如:过点P画已知直线的重线。
(2)垂直指的是两条直线相交成直角时，这两条直线的位置关系。而不能看其中一条直线是不是竖直的状态。
易错点 4:对于平行概念的理解。
误区点拨:
(1)平行概念中常把“同一平面"和“直线"等关键词语忽略，造成错误的判断。
(2)判断平行时，一定要注意两条直线必须在“同一平面”内。如果不在同一平面，就有既不相交也不平行的情况存在
易错点 5:对于过一点画已知直线的平行线或垂线的错误画法
误区点拨:
(1)在过一点画已知直线的平行线或垂线过程中，会出现“不过这个点”或者所画直线与已知直线不平行或不垂直”等错误画法。
(2)过一点画已知直线的平行线或垂线，有两个要点:一是所画直线必须过这一点;二是所画直线必须是符合要求的已知直线的平行线或垂线。
一、选择题
1．放风筝比赛中，规定每只风筝要用30米长的线。当风筝线和地面成（ ）的角时，风筝飞得更高。
A．25° B．60° C．45° D．30°
2．经过不在一条直线上的4个点中的每两个点最多可以画（ ）条直线。
A．4 B．5 C．6 D．8
3．下面不能用一副三角板画出的是（ ）。
A．70° B．120° C．135°
4．下面哪句话正确的？（ ）
A．如图这样测量跳远成绩，是因为点到直线的距离最短。
B．观察一个长方体纸箱，一次最多能看到4个面。
C．把一条长8厘米的线段向一边延长100厘米后，就成了一条射线。
5．在钟面上，下列整时中，（ ）时整分针与时针成直角。
A．3 B．6 C．8 D．12
二、填空题
6．如图，把一个正方形对折，再对折，打开后剪成一个五边形，这个五边形中有( )个钝角，每个钝角都是( )度。
7．比一比。
升毫升( )毫升 升( )升
分( )秒 个平角度数之和( )一个周角的度数
8．凌晨4时，时针和分针组成的较小夹角是( )°，下午3时30分，时针和分针组成的较小夹角是( )角（填“锐”“直”“钝”）。21·世纪*教育网
9．量出下面每个角的度数。

∠1＝( )°。
∠2＝( )°，∠3＝( )°。
10．分针从12起旋转一周，形成的角是( )°，这时时针转动了( )°。
11．小明将一张圆形纸片连续对折两次，折痕互相( )（填“平行”或“垂直”），再继续对折一次，这时折成的角是( )角。
12．下图中，如果∠1＝∠2，那么∠1＝( )；如果∠3＝∠4＝∠5，那么∠2＋∠3＋∠4＝( )。
13．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。
8060毫升( )8升 300÷25( )600÷50
35＋45×12( )（35＋45）×12 钟面3时整，时针和分针所形成的角( )锐角
14．
图中一共有( )个角,其中锐角有( )个,直角有( )个,钝角有( )个,平角有( )个．
15．分针从12起走到3，形成的角是( )角；6时整,时针和分针组成的夹角是( )°。
三、判断题
16．同一平面内，一组直线要么相交，要么平行。( )
17．射线向一端延长，直线向两端延长，所以直线比射线长。( )
18．两条互相平行的直线之间，只能画一条垂线。( )
19．从3：00到6：00，钟面上的时针顺时针旋转了90°。( )
20．从2：00到2：15，时针旋转了90度。( )
四、计算题
21．已知，分别求出、、的度数。
五、作图题
22．画出一个80°和一个100°的角。
六、解答题
23．画一画．
（1）借助直尺或三角板等工具画一个长为3厘米，宽为2厘米的长方形．
（2）过直线外一点A分别画出直线的垂线和平行线．
24．实际操作与计算．
下图表示一条主水管．
（1）如果从A点接一条水管与主水管连通，要使水管最短,应怎样连接？请在图上画出来．
（2）如果图的比例尺是1 : 10000,请计算出从A点到主水管的最短的实际距离．
25．下面是一张长方形纸折起来以后形成的图形。已知∠1＝50°，∠2是多少度？
26．把一张正方形纸对折三次,打开后如下图⑤,你能在图⑤中标出哪个角是45°、90°、135°吗 请你直接标出来．21教育网
27．如图。

（1）画出从A到B的最短的路线，量得它长（ ）。
（2）画出从点B到直线MN最短的距离。
28．一天内（0～24时）时针与分针互相垂直的情况有很多，请画出其中的两种情况（只画出整时），并写出对应的时间。21cnjy.com
29．
（1）如图1，已知：∠1=45°，求：∠2.
（2）如图2，已知：∠1=90°，∠2=30°求：∠3等于多少度？
（3）如图3，已知：∠1=135°求：∠2、∠3、∠4各等于多少度？
30．下图中两条平行线之间的距离是2厘米。
（1）以点A和点B为顶点，画出两个不同的三角形，要求画出的第三个顶点都在l1。
（2）量一量：画出的三角形的高都是（ ）厘米。
（3）能在平行线之间画出高是3厘米的三角形吗？在□里打√。
能□ 不能□
参考答案：
1．B
【分析】
如图所示，因为线的长度是固定的都是30米，所以谁与地面的夹角接近90°，谁的高度就高，由此判断。
【详解】60°＞45°＞30°＞25°
当风筝与地面成60°时，风筝飞得最高。
故答案为：B
2．C
【分析】经过两点可以画1条直线；经过不在一条直线上的3个点中的每两个点最多可以画1＋2＝3条直线；经过不在一条直线上的4个点中的每两个点最多可以画1＋2＋3＝6条直线，经过不在一条直线上的5个点中的每两个点最多可以画1＋2＋3＋4＝10条直线，据此即可解答。21·cn·jy·com
【详解】根据分析可知，经过不在一条直线上的4个点中的每两个点最多可以画6条直线。
故答案为：C。
【点睛】找出点数与直线条数的关系是解答本题的关键。
3．A
【分析】一副三角板有两个三角尺，一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、45°、45°，另一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、30°、60°；只要其中的两个角相加或者相减后能得出的角都可以用一副三角尺拼出，据此解答。21世纪教育网版权所有
【详解】A．不能拼成70°的角；
B．90°＋30°＝120°，能拼成120°的角；
C．90°＋45°＝135°，能拼成135°的角。
故答案为：A
【点睛】本题考查了学生用一副三角尺拼成角度情况的掌握，能用一副三角尺画出的角都是15°的整数倍。
4．A
【分析】（1）为数学知识的应用，由实际出发，测量跳远成绩的依据是垂线段最短，即测量后脚印与起跳线间的垂直距离即为跳远成绩；【来源：21·世纪·教育·网】
（2）观察一个长方体时，当眼睛在长方体的一个顶点时，能看到的面最多，最多只有3个面；
（3）线段有2个端点，不能向两端无限延伸，能测量长度；直线没有端点，可以向两端无限延伸，不能测量长度；射线有1个端点，可以向一端无限延伸，不能测量长度。
【详解】A．如上图这样测量跳远成绩，是因为点到直线的距离最短，原题说法正确；
B．观察一个长方体纸箱，一次最多能看到3个面，原题说法错误；
C．把一条长8厘米的线段向一边延长100厘米后，还是一条线段，原题说法错误。
故答案为：A
【点睛】此题涉及的知识点较多，但都比较简单，属于基础题，只要认真，容易完成，注意平时基础知识的积累。www-2-1-cnjy-com
5．A
【分析】时钟上12个数字把钟面平均分成12个大格，每个大格的度数是30度，整时，分针指向12，当时针指向3或9时，夹角是90度，据此解答。【版权所有：21教育】
【详解】A．3时整，分针指向12，时针指向3，3×30°＝90°，是直角；
B．6时整，分针指向12，时针指向6，6×30°＝180°，是平角；
C．8时整，分针指向12，时针指向8，4×30°＝120°，是钝角；
D．12时整，分针和时针均指向12，不是直角。
故答案为：A
【点睛】此题主要考查钟面整点时的指针特点和角的分类。
6． 2 135
【分析】观察上图可知，剪掉部分是一个直角三角形，两个锐角都是45°，所以剩下的五边形有3个直角，2个钝角，钝角的度数为180°－45°＝135°，据此即可解答。
【详解】根据分析可知，把一个正方形对折，再对折，打开后剪成一个五边形，这个五边形中有2个钝角，每个钝角都是135度。21教育名师原创作品
【点睛】本题主要考查学生对角的度量和角的分类知识的掌握。
7． ＜ ＞ ＜ ＝
【分析】（1）（3）把高级单位化成低级单位，乘单位间的进率即可。
（2）单位相同时，直接比较数值的大小即可。
（4）根据“平角＝180°，周角＝360°”解答即可。
【详解】（1）升毫升＝3050毫升
3050＜3500
（2）1400＞4
（3）6分＝360秒
360＜600
（4）180°＋180°＝360°
360°＝360°
【点睛】此题考查了容积单位和时间单位换算以及角的度数问题，关键是明确：1升＝1000毫升；1分＝60秒；平角＝180°，周角＝360°。【出处：21教育名师】
8． 120 锐
【分析】因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，4时整时，时针指向4，分针指向12，时针和分针之间相差的4个大格数，用大格数4乘30°即可；
下午3时30分时，时针指向3和4的中间，分针指向6，中间有2个半大格，所以时针与分针之间的夹角为：30°÷2＋30°×2，进行计算后再根据角的分类：大于0°小于90°的角，叫做锐角，等于90°的角叫做直角，大于90°小于180°的角，叫做钝角；进行判断即可。
【详解】4×30°＝120°
30°÷2＋30°×2
＝15°＋60°
＝75°
凌晨4时，时针和分针组成的较小夹角是120°，下午3时30分，时针和分针组成的较小夹角是锐角。
9． 30 115 25
【分析】量角时先把量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的一条边重合。再看角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。www.21-cn-jy.com
【详解】

10． 360 30
【分析】根据题意可知分针从12起旋转一周，形成的周角。分针转一圈时针转一大格。
【详解】分针从12起旋转一周，形成的角是360°，这时时针转动了30°。
【点睛】此题考查学生对分针时针旋转关系的认识，对角分类的认识。
11． 垂直 锐
【分析】把一张圆形纸片对折两次后展开，两条折痕相交成90度，所以这两条折痕互相垂直，再继续对折一次，这时折成的角是45°，是锐角。2·1·c·n·j·y
【详解】根据分析可知，小明将一张圆形纸片连续对折两次，折痕互相垂直（填“平行”或“垂直”），再继续对折一次，这时折成的角是锐角。21*cnjy*com
【点睛】本题主要考查学生对垂直的定义和角的分类知识的掌握。
12． 45° 165°
【分析】一个平角是180度，一个直角是90度；从图中可知，∠1＋∠2＝90°，当∠1＝∠2时，用90°÷2即可求出∠1、∠2的度数；因为∠3＝∠4＝∠5，用180°÷3即可求出∠3、∠4、∠5的度数，据此解答。
【详解】90°÷2＝45°，∠1＝∠2＝45°；
180°÷3＝60°，∠5＝∠4＝∠3＝60°，45°＋60°＋60°＝165°，所以∠2＋∠3＋∠4＝165°；
【点睛】熟练掌握平角、直角的定义是解答此题的关键。
13． ＞ ＝ ＜ ＞
【分析】1000毫升＝1升，高级单位换算成低级单位，乘进率即可。钟面3时整，时针和分针所形成的角是直角，直角大于锐角。再根据整数四则混合运算法则计算出算式的结果即可比较大小。
【详解】8升＝8000毫升，8060毫升＞8升；
300÷25＝12，600÷50＝12，300÷25＝600÷50；
35＋45×12
＝35＋540
＝575
（35＋45）×12
＝80×12
＝960
35＋45×12＜（35＋45）×12
钟面3时整，时针和分针所形成的角是直角，直角＞锐角。
【点睛】本题考查了学生对容积的大小比较、角的大小比较和整数的大小比较的掌握与理解。
14． 10 4 3 2 1
【详解】略
15． 直 180
【解析】略
16．√
【详解】根据同一平面内，两条直线的位置关系可知：同一平面内，两条直线要么相交，要么平行；
故答案为：√
17．×
【分析】根据直线、射线、线段的含义：直线无端点，可以向两端无限延伸，不能测量；射线有一个端点，只能向一端无限延伸，不能测量；线段有两个端点，不能向两端延伸，可以测量；由此判断即可。2-1-c-n-j-y
【详解】根据直线和射线的含义可知：直线和射线都无限长，不能测量，无法比较长短，所以原题的说法错误。
故答案为：×
18．×
【分析】因为两条互相平行的直线可以无限延长，所以两条相互平行的直线之间可以画无数条垂线。
【详解】
如图：，所以两条互相平行的直线之间，能画无数条垂线。原题表述错误。
故答案为：×
19．√
【分析】3：00时，时针指着3，分针指着12，如下图：
6：00时，时针指着6，分针指着12，如下图：
时针从3走到了6，走了3个大格。一个大格对应着30°，那么3个大格对应着90°，所以时针旋转了90°。
【详解】由分析可知：从3：00到6：00，钟面上的时针顺时针旋转了90°。
故答案为：√
20．×
【分析】钟面上有12大格，一大格对应的夹角是30度，时针走一大格是1小时，从2：00到2：15，只有15分钟，不到1小时，也就是时针没走到一大格，时针旋转的度数小于30度，据此即可解答。
【详解】根据分析可知，从2：00到2：15，时针旋转的度数小于30度，原说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题主要考查学生对角的度量的掌握和灵活运用。
21．∠2＝130°；∠3＝50°；∠4＝40°
【分析】∠2与∠1的和是180°，180°减∠1的度数即可求出∠2的度数；∠3与∠2的和是180°，180°减∠2即可求出∠3的度数。∠3与90°及∠4的度数和是180°，180°减∠3的度数，再减90°即可求得∠4的度数。
【详解】∠2＝180°－∠1＝180°－50°＝130°；
∠3＝180°－∠2＝180°－130°＝50°；
∠4＝180°－∠3－90°＝180°－50°－90°＝130°－90°＝40°。
22．见详解
【分析】画角的步骤：先画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0刻度线和射线重合；在量角器上找到所画角的度数的地方点一个点；以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，据此画角。
【详解】
【点睛】此题考查用量角器画角，使用量角器时要注意量角器的中心点与射线端点重合，0刻度和射线重合。确定量角器的内圈和外圈的刻度是关键。
23．（1）
（2）
【详解】试题分析：（1）画一个直角，在两条直角边上分别取3cm，2cm，然后分别过这两点作这两条边的平行线，据此可画图；
（2）把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可．
把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边画直线即可．
解：（1）据分析画图如下：
（2）
【点评】本题考查了学生平行线和垂线的作法，培养学生的作图能力；用的知识点：长方形的特征及画长方形的方法．
24．（1）
（2）100米
【详解】（1）思路分析：本题考查的是点到线的距离，从直线外一点到这条直线所有连线中，垂线段最短．
名师解析：从A点画出这条水管的垂线段，注意标垂直符号．
易错提示：实际问题，水管只要接到第一条线上即可，不用画到第二条线，画完不标垂直符号不正确．
（2）思路分析：先量出所画垂线段的长度，再按比例尺求出实际距离．
名师解析：垂线段长为1厘米，则实际距离为10000厘米=100米
易错提示：测量不准导致计算错误，不会利用比例尺求实际距离．
25．65°
【分析】
由题意得，将长方形纸折起来后，∠3和∠2同样大，这两个角和∠1合起来组成了一个平角。∠1＝50°，直接用180°减去∠1的度数即可算出∠3和∠2的度数之和，再除以2即可算出∠2的度数。【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】180°－50°＝130°
∠2＝130°÷2＝65°
答：∠2是65°。
26．(答案不唯一)
【详解】略
27．（1）图见详解；18毫米
（2）图见详解
【分析】（1）两点之间线段最短，把A、B两点用线段连接起来，然后用直尺量出线段的长度。
（2）直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短，从B点作直线MN的垂线段即可。
【详解】（1）如下图，线段AB长18毫米。

（2）图见（1）
【点睛】本题主要考查了线段和垂线的特征，要熟练掌握。
28．见详解
【分析】在同一平面内，如果两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线。钟面有12个大格，每一大格是30°，30°×3＝90°，当时针与分针之间夹角是3个大格时，时针与分针互相垂直。21*cnjy*com
【详解】
29．135°；60°；135°，45°，45°
【详解】试题分析：（1）∠1和∠2组成的是平角，
（2）∠1、∠2和∠3组成的是平角，
（3）∠1和∠3组成平角，∠1和∠4组成的是平角，∠2和∠3组成的是平角．
解：（1）∠2=180°﹣∠1=180°﹣45°=135°
（2）∠3=180°﹣∠1﹣∠2=180﹣90°﹣30°=60°
（3）∠3=180°﹣∠1=180°﹣135°=45°
∠4=180°﹣∠1=180°﹣135°=45°
∠2=180°﹣∠3=180°﹣45°=135°
30．（1）见详解
（2）2
（3）不能
【分析】（1）在l1上任取一点，分别连接这一点和A、B两点，即可画出三角形。
（2）平行线间的距离处处相等，画出的三角形的高都是这两条平行线之间的距离。
（3）这两条平行线之间的距离是2厘米，且AB的长度也不是3厘米，所以不能画出高是3厘米的三角形。
【详解】（1）
（2）量一量：画出的三角形的高都是（2）厘米。
（3）能在平行线之间画出高是3厘米的三角形吗？在□里打√。
不能
【点睛】此题考查的是三角形的画法，理解平行线间的距离处处相等是解题关键。
考点清单
易错易混点
专项练习
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