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《整式的乘除》分课时教学设计
第9课时平方差公式教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 《平方差公式》是北师大版义务教育课程标准实验教科书《数学》七年级（下）第一章《整式的运算》第七节的内容。平方差公式是特殊的乘法公式，它既是前面知识“多项式乘多项式”的应用，也是后继知识如因式分解，分式等的基础，对整个教科书也起到了承上启下的作用，在初中阶段占有很重要的地位。 本节课主要研究的是平方差公式的推导和平方差公式在整式乘法中的应用。它是学生在已经掌握单项式乘法、多项式乘法基础上的拓展和再创造，一方面是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结；另一方面，通过乘法公式的学习可以简化某些整式的运算、培养学生的求简意识。
学习者分析 学生的知识技能基础：学生在前面的学习中，已经学习了整式的有关内容，并经历了用字母表示数量关系的过程，有了一定的符号感。学生已经具备了小组合作、交流的能力。学生刚学过多项式的乘法，已具备学习并运用平方差公式的知识结构，通过创造问题情境，让学生在探究相应问题，建立并运用公式从而拓展学生知识技能结构成为可能. 学生活动经验基础：通过实际问题的探究，学生已感受到多项式乘法运算的重要性，同时，有了对式的运算要求既快又准的积极心理，学生已具备学习公式的知识与技能结构，通过新课程教学的实施，学生已具有独立探索，合作交流的习惯。因而为学生独立探索，合作交流得出并运用平方差公式奠定了基础。由于学生初次学习公式，只有原始的的换元思想，同时，在运用公式时，认清结构不容易，而且本课节所学的公式运用仅是局部的，因此，教学时不可拨高要求追求一步到位，而应在今后的教学中采取滚动式，逐步达到灵活运用的目的，使之与学生的知识结构同步发展完善
教学目标 (1)知识与技能：经历探索平方差公式的过程，进一步发展符号感和推理能力；会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算。 (2)过程与方法：通过创设问题情境，让学生在数学活动中探索平方差公式的结构特征，发展学生的符号感和推理能力.通过设问，培养学生观察、归纳、概括等能力. (3)情感与态度：在计算的过程中发现规律，并能用符号表达，从而体会数学语言的简捷美.
教学重点 （1）弄清平方差公式的来源及其结构特点，能用自己的语言说明公式及其特点； （2）发展学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。
教学难点 准确理解和掌握公式的结构特征
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：回顾与思考教师活动1： 1.多项式与多项式是如何相乘的？ (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 2.计算下列多项式的积，看谁算的又对又快 观察上述计算结果有什么特征？ 是否每个式子的计算结果都有这种特征？学生活动1： 计算、观察、比较发现平方差公式。 活动意图说明： 通过复习引入，让学生在数学活动中建立平方差公式模型。环节二：探究平方差公式教师活动2： 1、平方差公式 平方差公式的结构特征： (1）等式左边是两个二项式相乘，并且这两上二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。 （2）等式右边是乘式中两项的平方差（即相同项的平方减去相反项的平方）。 （3）公式中的a,b可以表示一个单项式也可以表示一个多项式。 2、探究平方差公式的几何意义 （1）图1-7中阴影部分的面积是 （2）把图1-7剪拼成图1-8，与1-8 阴影部分的面积是：（a+b)(a-b） 学生活动2： 在探究学习中体会数学的现实意义，培养学习数学的信心. 分析平方差公式的结构特征。 2、利用求面积验证平方差公式的正确性。活动意图说明： 培养观察、发现、归纳、概括、猜想能力和有条理的表达能力;环节三：典例精析教师活动3： 例1：利用平方差公式计算 例2：利用平方差公式计算 例3：利用平方差公式计算 （1） 103×97 ； （2）118×122 例4：利用平方差公式计算 学生活动3： 自学例题，提出质疑。活动意图说明： 平方差公式的应用，发散学生的思维，为学有余力的学生提供学习提升的机会。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.利用平方差公式计算 2.下列各式中,能用平方差公式运算的是( ) A.(-a+b)(-a-b) B.(a-b)(b-a) C.(2a-3b)(3a+2b) D.(a-b+c)(b-a-c) 3.下列多项式相乘,不能用平方差公式计算的是( ) A.(x-2y)(2y+x) B.(-x+2y)(-x-2y) C.(-2y-x)(x+2y) D.(-2b-5)(2b-5) 4.下列各式中，运算结果是 的是 A. B. C. D. 5. 计算 结果正确的是 A. B. C. D. 6. 若 ，则括号内应填的代数式是 A. B. C. D. 选做题： 8.你能计算出 (2+1)(22+1)(24+1)(28+1) … (2128+1) 的结果吗 【综合拓展类作业】 9. （1）用简便方法计算：． （2）先化简，再求值：，其中 ，． （3）计算： 参考答案：（1） ． （2） ， 当 ， 时，值为 ． （3） ．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1. 下列各式中，运算结果是 的是 A. B. C. D. 2. 若 ，则括号内应填的代数式是 A. B. C. D. 3. 对于任意正整数 ，能整除式子 的整数是 A. B. C. D. 4. 的计算结果的个位数字是 A. B. C. D. 5. 一个正方形的边长增加了 ，面积相应增加了 ，则原来这个正方形的边长为 5 ． 6. 已知 ，，则 的值为 2020 选做题： 7.阅读材料后解决问题：小明遇到下面一个问题：计算 ．经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： （1） ． （2） ． （3）化简：． 参考答案：（1） （2） （3） 当 时， 当 时， 【综合拓展类作业】
教学反思
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共31张PPT)
（北师大2024版）七年级
下
1.3平方差公式
整式的乘除
第一章
“—”
教学目标
01
知识回顾
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
内容总览
教学目标
知识回顾
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n)
=am
+an
+bm
+bn
探究新知
1.计算下列多项式的积，看谁算的又对又快
(x+5a)(x-5a)
(1+3a)(1-3a)
(x+2)(x-2)
(2x+z)(2x-z)
(a+b)(a-b)
=a2-ab+ab-b2=
a2-b2
2.想一想：观察上述计算结果有什么特征？
是否每个式子的计算结果都有这种特征
平方差公式
(a+b) (a-b)= a2 - b2
两个数的和
这两个数的差
这两数的平方差
新知讲解
新知讲解
(a+b)(a-b)=a2-b2
特征:
两个二项式相乘
新知讲解
(a+b)(a-b)=a2-b2
特征:
相同项
新知讲解
(a+b)(a-b)=a2-b2
特征:
相反项
新知讲解
(a+b)(a-b)=a2-b2
特征:
平方差
新知讲解
平方差公式的结构特征：
(1）等式左边是两个二项式相乘，并且这两上二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。
（2）等式右边是乘式中两项的平方差（即相同项的平方减去相反项的平方）。
（3）公式中的a,b可以表示一个单项式也可以表示一个多项式。
(a+b)(a-b)=a2-b2
新知讲解
把图1-7剪拼成图1-8，与1-8
阴影部分的面积是：
图1-7中阴影部分的面积是
探究平方差公式的几何意义
（a+b)(a-b）
典例精析
例1：利用平方差公式计算
典例精析
例2：利用平方差公式计算
典例精析
例3：利用平方差公式计算
（1） 103×97 ； （2）118×122
典例精析
例4：利用平方差公式计算
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1.利用平方差公式计算
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
2.下列各式中,能用平方差公式运算的是( )
A.(-a+b)(-a-b) B.(a-b)(b-a)
C.(2a-3b)(3a+2b) D.(a-b+c)(b-a-c)
3.下列多项式相乘,不能用平方差公式计算的是( )
A.(x-2y)(2y+x) B.(-x+2y)(-x-2y)
C.(-2y-x)(x+2y) D.(-2b-5)(2b-5)
A
C
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
C
A
C
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
7.计算:(增因式变化)
(1) (x+1)(x-1)(x2+1); (2) .
解: (1) 原式=（x2-1）(x2+1)
= x4-1
(2) 原式=
=
=
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
8.你能计算出 (2+1)(22+1)(24+1)(28+1) … (2128+1) 的结果吗
解：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1) … (2128+1)
= (24-1)(24+1)(28+1) … (2128+1)
=(2128-1)(2128+1)
=2256-1
【综合拓展类作业】
课堂练习
课堂总结
试用语言表述平方差公式 (a+b)(a b)= a 2 b2。
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。
应用平方差公式 时要注意一些什么？
运用平方差公式时，要紧扣公式的特征，
找出相等的“项”和符号相反的“项”，然后应用公式
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
C
C
D
作业布置
D
5
2020
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
【综合拓展类作业】
作业布置
8.计算：(2+1)(22+1)(24＋1)(28+1)(216+1)(232+1)+1
解：原式＝(2-1)(2+1)(22+1)(24＋1)(28+1)(216+1)(232+1)+1
＝(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)+1
＝(24-1)(24＋1)(28+1)(216+1)(232+1)+1

＝(232-1)(232+1)+1
＝264-1+1
＝264
平方差公式
(a+b) (a-b)= a2 - b2
两个数的和
这两个数的差
这两数的平方差
板书设计
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2
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学 科 数学 年 级 七 设计者 尹坚
教材版本 北师大版(2024) 册、章 下册、第一章
课标要求 1.了解整数指数幂的意义和基本性质，会用科学计数法表示数；2.理解整式的概念，掌握合并同类项、去括号的法则，能进行简单的整式加减计算，能进行简单的乘法运算（多项式相乘仅指一次式之间及一次式与二次式之间相乘）3.能推导出平方差公式和完全平方公式，了解公式的几何意义，并能运用公式进行简单的计算。
内容分析 本单元首先安排了同底数幂的的乘法、幂的乘方、积的乘方等知识，然后通过实例引入整式的乘法，使学生通过对乘法分配律等法则的运用探索整式乘法的运算法则以及一些重要的公式，所以，本章知识既是对前面学过的知识综合运用，也为今后学习乘法公式、整式除法以及八年级的因式分解打好基础。主要内容有：1.同底数幂的乘法2.幕的乘方3.积的乘方4.同底数幕的除法5、科学记数法6.整式的乘法(单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式）7.平方差公式8.完全平方公式9.整式的除法10、回顾与思考
学情分析 学生已经学习了整式的意义及加减，求值，初步体会代数式在解决“具有一般性”问题中的作用。学习本章知识将进一步体会整式运算的意义。本章知识的学习为后续学习《因式分解》，《分式及其运算》及《函数》提供学习基础。
单元目标 （一）教学目标1.经历探索整式乘法运算法则的过程，理解整式乘除法的算理。，积累数学活动经验。2.了解整数指数幂的意义和整数指数幂的运算性质，会进行简单的整式乘除的运算，（整式除法只要求到整式除以单项式且结果为整式）。3.进一步用科学计数法表示小于1的正数（包括在计算器中表示），能用生活中的实例体会这些数的意义，发展数感。4.能推导出平方差公式和完全平方公式，了解公式的几何意义，发展几何直观。5.进一步学习用类比、归纳、转化的方法进行运算和思考，发展运算能力，进一步体会字母表示数的意义，发展符号意识。6.在整式乘除的学习过程中，发展勇于探索、质疑和合作交流的精神。（二）教学重点、难点重点：整式的乘除运算，有条理的思考和表达。难点：乘法法则的形成与运用，公式的区别于辩论，运算符号、结果的处理。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1同底数幂的乘法12幂的乘方13积的乘方14同底数幂的除法15科学记数法16单项式乘单项式17单项式乘多项式18多项式乘多项式19平方差公式110完全平方公式111整式除法112回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务同底数幂的乘法1.体会幂运算的意义，增强推理能力和表达能力。2.了解同底数幂乘法的运算性质并能解决一些实际问题。3.能够逆用同底数幂的乘法运算性质进行有关计算。1、学生自由讨论回答问题。2、学生完成课本第2页尝试与思考。3、猜想验证记忆同底幂乘法的计算法则。4、学生积极参与学习活动，为学生动脑思考提供机会，发挥学生的想象力和创造性。环节一：知识回顾导入新课。环节二：探究同底数幂的乘法。环节三：典例分析。幂的乘方1．理解幂的乘方的运算性质，进一步体会和巩固幂的意义；通过推理得出幂的乘方的运算性质，并且掌握这个性质。 2．经历一系列探索过程，发展学生的合情推理能力和有条理的表达能力，通过情境教学，培养学生应用能力。 3．培养学生合作交流意识和探索精神，让学生体会数学的应用价值。1、回顾幂的意义及同底数幂的计算。2、根据已有的知识计算（10）3、尝试·思考：课本第4页第1题。4、猜想并验证5、利用进行计算。6、组织学生讨论同底数幂的乘法和幂的乘方的相同点和不同点。环节一：知识回顾导入新课。环节二：探究幂的乘方。环节三：典例分析。积的乘方1.经历探索积的乘方运算性质的过程，进一步体会积的运算法则.2.会运用积的乘方的运算性质进行运算1、回顾旧知。2、猜测、验证积的乘方=乘方的积。3、完成课本第5页尝试与思考。4、两个因数积的乘方拓展到多个因数记得乘方的计算。积的乘方的计算法则的反向使用。5、学生通过例题的学习，巩固刚刚学习的新知识，在此基础上，加深知识的应用。环节一：知识回顾导入新课。环节二：探究积的乘方。环节三：典例分析。同底数幂的除法 知识与技能:了解同底数幂除法的运算性质,并解决一些实际问题。理解零指数幂和负指数幂的意义。过程与方法:在进一步体会幂的意义的过程中,发展学生的推理能力和有条理的表达能力;提高学生等能力。情感、态度与价值观:在解决问题的过程中了解数学的价值,发展“用数学”的信心,提高数学素养。1、回顾同底数幂的三种不同情况的计算法则，2、情境导入、利用学过的知识解决问题。3、经历猜测验证过程理解同底数幂的除法运算法则。4、从特殊代一般，总结归纳一个数的零次幂和负次幂的计算法则。5、自学例题1、2，并说出每一步计算的根据。环节一：知识回顾导入新课。环节二：探究同底数幂的除法。环节三：探究零次幂和负次幂。环节四：典例分析。科学记数法1、会利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数。2、通过鼓励学生积极参与与实践活动，结合具体情境，理解数据所代表的的实际意义，发展学生的数感。3、在活动中积极与同伴交流，发扬协作精神，培养数学表达能力。1、回忆科学记数法并用科学记数法表示较大的数。2、合作交流，掌握小数用科学记数法表示。3、从逆向思维的角度思考数的两种表示之间的关系,从而进一步体会科学记数法的优越性。环节一：知识回顾。环节二：探究科学记数法。环节三：典例分析。单项式乘单项式1. 在具体情境中了解单项式乘法的意义，理解单项式乘法法则，会利用法则进行单项式的乘法运算.2. 经历探索单项式乘法法则的过程，理解单项式乘法运算的算理，发展学生有条理的思考能力和语言表达能力.3. 体验探求数学问题的过程，体验转化的思想方法，获得成功的体验.回顾知识丙完成抢答题。让学生利用学过的长方形的面积问题探究引入课题。3、完成课本第12页的操作与交流。4、学生讨论4个问题5、口述单项式乘以单项式的计算法则6、学习例题对照计算法则逐步计算。7、学习补充例题，明晰单项式乘单项式的法则对于三个或三个以上的单项式相乘同样适用。环节一：知识回顾。环节二：探究单项式乘单项式。环节三：典例分析。单项式乘多单项式1 .在具体情景中，了解单项式乘多项式的意义， 会进行单项式与多项式的乘法运算.2. 理解整式乘法运算的算理，体会乘法分配律的作用和转化的思想，发展有条理的思考和语言表达能力.回顾旧知，形成知识架构。完成两个计算题。用两种方法求出长方形的面积导入新课。4、学生通过图片问题，激起学习欲望和兴趣。通过对长方形的面积探究问题。用两种不同的式子表示面积。5、讨论单项式乘单项式的计算法则和算理。6、小组合作完成补充例题。7、自学课本例题。环节一：知识回顾。环节二：探究单项式乘多项式。环节三：典例分析多项式乘多项式1、 知识目标：（1）理解和掌握多项式乘多项式法则及其推导过程;
（2）能熟练运用多项式乘多项式法则进行运算。2、能力目标：（1）培养学生“数形结合”的思想;（2）通过练习，培养学生计算能力和综合运用知识的能力。3、情感目标： 通过小组合作探究，培养学生合作意识、合作能力回顾知识并完成课本15页随堂练习第1题。2、完成情境题1的用字母表示面积。3、完成情境题2的用两个方法表示面积。4、小组讨论归纳多项式乘多项式的计算法则。5、自学课本例题1和补充例题。6、完成知识拓展填空并小组交流发现的规律，利用规律解决问题。环节一：知识回顾。环节二：探究多项式乘多项式。环节三：典例分析、知识拓展平方差公式(1)知识与技能：经历探索平方差公式的过程，进一步发展符号感和推理能力；会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算。(2)过程与方法：通过创设问题情境，让学生在数学活动中探索平方差公式的结构特征，发展学生的符号感和推理能力.通过设问，培养学生观察、归纳、概括等能力. (3)情感与态度：在计算的过程中发现规律，并能用符号表达，从而体会数学语言的简捷美.1、计算、观察、比较发现平方差公式。2、在探究学习中体会数学的现实意义，培养学习数学的信心. 3、分析平方差公式的结构特征。4、利用求面积验证平方差公式的正确性。5、自学例题，提出质疑环节一：知识回顾、导入新课。环节二：探究平方差公式。环节三：典例分析。完全平方公式1．熟记完全平方公式，能够运用完全平方公式进行一些数的简便运算，会在多项式、单项式的混合运算中，正确运用完全平方公式进行计算. 2．能够运用完全平方公式解决简单的实际问题，并在活动当中培养用数学解决实际问题的能力，提高灵活应用乘法公式的能力，体会符号运算对解决问题的作用，进一步发展学生的符号感. 3．在学习中使学生体会学习数学的乐趣，培养学习数学的信心，感爱数学的内在美.1、回顾知识，完成习题。2、完成情景问题，猜测3、用多项式的乘法法则来说明完全平方公式。4、理解完全平方公式的几何意义。5、组内充分讨论，发表自己的看法，分析每一步计算的根据是什么，完成例题的学习。环节一：知识回顾、导入新课。环节二：探究完全平方公式。环节三：典例分析。整式除法1． 知识与技能目标：掌握单项式除以单项式运算法则，多项式除以单项式计算，通过法则的应用，训练学生的综合解题能力和计算能力。 2． 数学思考目标：理解多项式除以单项式在单项式除以单项式、同底数幂的除法基础上进行的。 3． 问题解决目标：能熟练进行整式除法的运算。 4． 情感态度目标：培养学生抽象概括能力、运算能力，发展有条理的思考及表达能力。1、回顾知识，用字母表示幂的运算性质。并计算同底幂相除。2、利用两种方法完成课本26页引例。3、小组合作探究单项式除以单项式的计算法则的探究。4、学以致用完成2个习题。5、利用乘法的分配律完成课本26页引例。6、完成针对练习.7、自学课本例题，其中的常见错误教师应在点评中给学生指出，避免学生在计算时出现类似错误。环节一：知识回顾、导入新课。环节二：探究单项式除以单项式。环节三：探究多项式除以单项式。环节四：典例分析。回顾与思考1．灵活运用整式乘法公式进行运算，综合运用整式运算的知识解决问题.2．在解决综合题目的过程中，让学生经历观察、操作、推理、想象等探索过程，发展学生的符号感和应用意识，提高应用代数意识及方法解决问题的能力， 进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理的思考及语言表达能力。3．在数学活动中发展学生合作交流的能力和数学表达能力，感受数学与现实生活的密切联系，增强学生的数学应用意识.1、课前预习画思维导图。2、展示思维导图并小组合作完善思维导图。3、梳理知识点，并进行相应的练习。4、对每个考点精讲后小组合作进行方法总结并进行针对性练习。环节一：构建知识框架。环节二：知识梳理。环节三：考点讲练。
《整式的乘除》》单元教学设计
活动一：回顾旧知，问题导入
活动二：探究同底数幂的乘法
任务一：同底数幂的乘法
活动三：典例精析
活动一：回顾旧知，问题导入
活动二：探究幂的乘方
任务二：幂的乘方
活动三：典例精析
活动一：回顾旧知，情景导入
任务三：积的乘方
整
式
的
乘
除
活动二：探究积的乘方
活动三：典例精析
活动一：回顾旧知，情景导入
活动二：探究同底数幂的除法
活动三：探究0次幂和负次幂
任务四：同底数幂的除法
活动四：典例精析
活动一：回顾旧知
任务五：科学记数法
活动二：探究科学记数法
活动三：典例精析
活动一：回顾旧知
任务六：整式的乘法
(单项式乘单项式）
活动二：探究单项式乘单项式
活动三：典例分析
活动一：回顾旧知
活动二：探究单项式乘多项式
任务七：整式的乘法
(单项式乘多项式）
活动三：典例分析
活动一：回顾旧知
活动二：探究多项式乘多项式
任务八：整式的乘法
(多项式乘多项式）
活动三：典例分析
活动一：回顾旧知，导入新知
整
式
的
乘
除
活动二：探究平方差公式
任务九：平方差公式
活动三：典例分析
活动一：回顾旧知，导入新知
活动二：探究完全平方公式
任务十：完全平方公式
活动三：典例分析
活动一：回顾旧知，导入新知
活动二：探究单项式除以单项式
任务十一：整式的除法
活动三：探究多项式除以单项式
活动三：典例分析
活动一：构建知识框架
任务十二：回顾与思考
活动二：知识梳理
活动三：考点讲练
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