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线段
【知识梳理】
1.直线，射线与线段的区别与联系
2. 基本事实
(1)直线:两点确定一条直线． (2)线段:两点之间线段最短．
知识要点 连接两点间的线段的长度，叫做两点的距离.
3.画一条线段等于已知线段
（1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段.
（2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB＝ａ，如下图：
4．线段的比较与运算
（1）线段的比较：①度量法；②叠合法；③估算法.
（2）线段的和与差：如下图，有AB+BC＝AC，或AC＝a+b；AD＝AB-BD.
（3）线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：.
知识要点
①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点.
②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.
如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点，则有.
【课堂练习】
选择题
1.如图，经过刨平的木板上的，两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是( )
A. 两点之间，线段最短
B. 两点确定一条直线
C. 垂线段最短
D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
2.下列几何图形与相应语言描述相符的是( )
A. 如图，延长线段到点
B. 如图，点在射线上
C. 如图，直线的延长线与直线的延长线相交于点
D. 如图，射线和线段没有交点
3.下图中射线、线段、直线的条数分别为( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
4.如果线段，是平面内一点，且，那么下列说法中正确的是 ( )
A. 点一定在线段上 B. 点一定不在线段上
C. 点有可能在线段上 D. 点一定在直线上
5.已知是线段的中点，是线段的三等分点．若线段，则线段的长为．
A. B. C. 或 D. 或
6.如图棋盘上有黑、白两色棋子若干，找出所有三颗颜色相同的棋并且在同一直线上的直线，这样直线共有多少条( )
A. 条
B. 条
C. 条
D. 条
7.如图所示，从到有三条路可以走，每条路长分别为，，，则，，的大小关系是．
A. B. C. D.
8.已知数轴上的三点，，所对应的数分别为，，，为原点若，，，下面结论正确的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题
9.火车往返于两个城市，中途经过各站点共个站点，不同的车站来往需要不同的车票，共有不同的车票______种．
10.如图，是的中点，：：且，则的长为 ．
11.如图，数轴上点和点表示的有理数分别是和，点是数轴上一个点，若为大于的整数，若点是线段的中点，则点表示的数是________用含的代数式表示．
12.如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有，，，四点，且，点沿直线从右向左移动，当出现点与，，，四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线上会发出警报的点有________个．
13.如图：两直线相交，最多个交点；三条直线相交最多有个交点；四条直线相交最多有个交点；那么十条直线相交交点个数最多有 ．
三、解答题
14.如图，平面上有四个点、、、，根据下列语句画图：
画直线；
画射线；
连接，并反向延长到，使得；
找一个点，使得点到、、、四个点的距离之和最短．
15.点，分别对应数轴上的数，，且，满足，点是线段上一点，．
直接写出_____，_____，点对应的数为_____；
点从点出发以每秒个单位长度的速度向左运动，点从点出发以每秒个单位长度的速度向左运动，设运动时间为秒．
在运动过程中，的值是否发生变化？若不变求出其值，若变化，写出变化范围；
若，求的值；
16.如图所示，，两地在一条河的两岸，现要在河岸上造一座桥，桥造在何处才能使从地到地的路径最短？假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直
思考如图，如果，两地之间有两条平行的河流，要建的桥都是与河岸垂直的，我们应该如何找到这个最短的路径呢？
思考如图，如果，两地之间有三条平行的河流呢？
拓展如图，如果在上述其他条件不变的情况下，两条河并不是平行的，又该如何建桥呢？
请将你的思考在下面准备好的图形中表示出来，保留作图痕迹，将路线用实线画出来．
【课后巩固】
1.如图，点、是线段上任意两点，点是的中点，点是的中点，若，，则线段的长是( )
A. B. C. D.
2.如图，某乡镇的五户居民依次居住在同一条笔直的小道边的处，处，处，处，处，且这五户居民的人数依次有人，人，人，人，人．乡村扶贫改造期间，该乡镇打算在这条小道上新建一个便民服务点，使得所有居民到便民服务点的距离之和每户所有居民均需要计算最小，则便民服务点应建在( )
A. 处 B. 处 C. 处 D. 处
3.如图所示，，是线段上两点，已知图中所有线段的长度都是正整数，且总和为，则线段的长度是．
A. B. C. 或 D. 无法确定
4.如图，把一根绳子以中点对折，点和点重合，折成一条线段，在线段取一点，使：：，从处把绳子剪断，得到三段绳子．若剪断后的三段绳子中最短的一段为，则绳子的原长为 ．
5.如图，点是线段上一点，，点是线段上一点，；点是线段上一点，，，请借助所给的图形，计算的结果为 为正整数，用含的代数式表示
6.如图，一款暗插销由外壳，开关，锁芯三部分组成，其工作原理如图，开关绕固定点转动，由连接点带动锁芯移动图为插销开启状态，此时连接点在线段上，如位置开关绕点顺时针旋转后得到，锁芯弹回至位置点与点重合，此时插销闭合如图已知，，则 ．
7.如图，为线段上一点，在线段上，且，为的中点．
若，，求线段、的长
试说明：．
8.线段和在数轴上运动，点开始时与原点重合，且．
若，且点为线段的中点，求线段的长．
在的条件下，线段和同时开始向右运动，线段的速度为个单位秒，线段的速度为个单位秒，经过秒恰好有，求的值．
在的条件下，线段和同时开始向左运动，线段的速度为个单位秒，线段的速度为个单位秒，设为线段中点，为线段中点，此时线段的长为定值吗？若是，请直接写出线段的长；若不是，请说明理由．
9.早晨，小明帮妈妈将鸡蛋饼切成块，分给弟弟和妹妹吃爱动脑的小明思考：如果每次都沿直线切割，而且切块大小不要求相同，那么切刀最多可以将鸡蛋饼分成多少块呢切刀呢
鸡蛋饼表面可以看作是一个圆面，分割的每一刀都可以抽象为一条直线，鸡蛋饼的分割问题实际上是直线分平面区域的问题，
如下图，一条直线上的若干个点可以将这条直线分成多少段
，
平面上的三条直线有哪几种不同的位置关系分别画出相应的图形．
如下图，一个平面上的若干条直线最多可以将这个平面分成多少个区域
切刀最多可以将鸡蛋饼分成多少块
参考答案
【课堂练习】
1.【答案】
【解析】解：因为经过两点有且只有一条直线，
所以经过木板上的、两个点，只能弹出一条笔直的墨线．
2.【答案】
【解析】解：如图，延长线段到点，故A错误，不符合题意；
B.如图，点在射线上，故B错误，不符合题意；
C.如图，直线与直线相交于点，故C错误，不符合题意；
D.如图，射线和线段没有交点，故D正确，符合题意．
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
【解析】根据线段中点的定义和线段三等分点的定义分类讨论即可得到结论．
解：因为点是线段的中点，，
所以，
点是线段的三等分点，
当时，如图，
；
当时，如图，
．
综上所述，线段的长为或，
6.【答案】
【解析】解：如图，共有条．
根据棋盘的边和对角线查找．
7.【答案】
【解析】解：观察图形，可知：相等，最短，
的大小关系是：．
8.【答案】
【解析】本题主要考查了数轴，线段的和差以及有理数的乘法法则，解答本题的关键是根据已知条件确定，，的符号．
解：，、、中有一个负数或三个负数，
，、、中只有一个负数，
，，，如图：
，，故选项A、、中的结论错误，
由图可知，，
又，，故选项D中的结论正确．
9.【答案】
【解析】解：如图：
，
车票：、、、、、、、、、、、、、、，、、、、、、、、、、、、、、．
火车往返于、两个城市，中途经过个站点共个站点，不同的车站来往需要不同的车票，共有种不同的车票．
根据每条线段就有两种车票，每两点就是一条线段，可得答案．
10.【答案】
【解析】根据是的中点可推出与的关系，再根据：：可推出与的关系，最后根据求解即可．
解：是的中点，，
：：，：：，，
，
，
11.【答案】或
【解析】解：为大于的整数，
点在点右边或在，之间，
当在点右边时，
，，
点表示的数为，
为中点，
点表示的数为：；
当在，之间时，
，，
点表示的数为，
为中点，
点表示的数为：，
故答案为：或．
本题主要考查了数轴，两点间的距离，线段中点，分类讨论得到点的位置是关键首先确定点在点右边或在，之间，再结合题意求出点表示的数，则可得点表示的数．
12.【答案】
【解析】 本题考查的是直线与线段的相关内容，利用整体思想去思考线段的总条数是解决问题最巧妙的办法，可以减去不必要的讨论与分类．
点与，，，四点中的至少两个点距离相等时，也就是点恰好是其中一条线段中点，根据题意可知点在线段、、、、的中点时候会发出警报，即可解答．
解：由题意知，点在线段、、、、的中点时候会发出警报．
直线上会发出警报的点有个．
13.【答案】
【解析】解：条直线相交最多有个交点，
条直线相交最多有个交点，
条直线相交最多有个交点，
条直线相交，最多有个交点，
十条直线相交最多有个交点．
故答案为：．
14.【答案】解：如图所示；
如图所示；
如图所示；
如图所示，连接，，与的交点即为点．

【解析】连接并向两方无限延长，即可得到直线；
以为端点向方向延长，即可得到射线；
连接，并将其反向延长至，使；
连接，，根据关于线段的公理：两点之间线段最短可知其交点即为点．
15.【答案】解：因为，
所以，．
解得，．
因为点是线段上一点，，
所以点对应的数为．
当时，，，
当时，，，
．
故在运动过程中，的值不发生变化，其值为
当时，，解得
当时，，解得．
故的值为秒或秒
【解析】根据非负数的性质，可得出、的值，再根据可得出点对应的数；
先根据题意用表示出点、点对应的数，再根据两点间的距离分别得出和的长，从而确定的值；
根据列出关于的方程，求出的值即可．
16.【答案】【小题】解：如图所示，即为所求．
【小题】如图所示，折线即为所求．
【小题】如图所示，折线即为所求．
【小题】如图所示，折线即为所求．

【课后巩固】
1.【答案】
【解析】解：，，，
，
点是的中点，点是的中点，，，
．
．
先由，得，再根据中点的性质得，最后由即可求出结果．
2.【答案】
【解析】本题考查线段的和与差，利用分类讨论的思想是解题关键．分类讨论当便民服务点分别在、、、、时，根据线段的和与差计算即可．
解：当便民服务点在或时，由、为两端点，可知此时五个村庄到便民服务点的距离之和最长；
处，处，处，处，处，且这五户居民的人数依次有人，人，人，人，人．
当便民服务点在时，五个村庄到便民服务点的距离之和为；
当便民服务点在时，五个村庄到便民服务点的距离之和为；
当便民服务点在时，五个村庄到便民服务点的距离之和为．
观察线段可得，，
当便民服务点在时，五个村庄到便民服务点的距离之和最小．
综上可知当便民服务点在时，五个村庄到便民服务点的距离之和最小．
3.【答案】
【解析】本题考查了线段的和差问题，将所有线段加起来可得，从而根据所有线段的长度都是正整数可判断出．
解：根据题意可得：，
即，
，
图中所有线段的长度都是正整数，
当时，不是整数，
当时，，
当时，不是整数，
当时，不是整数，
当时，，
当时，，
又，
只有为或．
4.【答案】
【解析】解：，：：，
，则，
剪断后的三段绳子中最短的一段为，
，
，
绳子的原长为
5.【答案】
【解析】本题考查了两点间的距离、规律型图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．根据题意寻找规律即可求解．
解：，；
；
；，
发现规律，
若，
．
6.【答案】
【解析】解：由图得，当点在的右侧时，即位置时，与点的距离为，
由图得，当点在的左侧时，即位置时，与点重合，即位置，
，
，
，
，
，
，
，
，
结合图形得出当点在的右侧时，即位置时，与点的距离为，当点在的左侧时，即位置时，与点重合，即位置，得出，再由图形中线段间的关系得出，即可求解．
7.【答案】【小题】
因为为的中点，，
所以，．
因为，所以．
因为，，所以，
所以，所以．
【小题】因为，，所以因为，为的中点，所以，，所以
．
8.【答案】解：为线段的中点，
或，
，
；
由题得：点表示的数为：，点表示的数为：，
若在的左侧，则，解得：；
若在的右侧，则，解得：；
综上：的值为或
设运动时间为，
由题意得：点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：，
则：点表示的数为：，
点表示的数为：，
，
即的长为定值，定值是．
【解析】根据线段的和差求解；
根据题意分若在的左侧，若在的右侧，两种情况分别列出方程求解即可；
设运动时间为，再用表示，表示的数，再利用中点公式求解．
9.【答案】解：从图中可以看出直线上有个点，将这条直线分成段，如果是个点可以分成段．
在同一平面内，三条直线有四种不同的位置关系：三条平行，每两条都没有交点；每两条都相交，有三个公共交点；每两条直线都相交，只有一个公共点；只有两条不相交，而第三条直线与这两条直线都相交，有两个公共交点．
一条直线最多可以分成个区域，二条直线最多可以分成个区域，条直线最多可以分成区域．
【解析】此题主要考查了规律的寻找，连续个正整数的和的公式，解本题的关键是审清题意，找出变化规律．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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