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角
【知识梳理】
1．角的概念及其表示
（1）角的定义：从一点引出的两条射线所形成的图形叫做角，这个点叫做角的顶点，这两条射线是角的边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
(2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图：
知识要点
①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义.
②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示.
2.角的分类
∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角
范围 0＜∠β＜90° ∠β＝90° 90°<∠β<180° ∠β＝180° ∠β＝360°
3.角的度量
1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″.
知识要点
①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同.
②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行.
③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一成60.
4.角的比较与运算
（1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法；③估算法.
（2）角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2. 类似地，还有角的三等分线等.
5.余角、补角
（1）定义：
若∠1+∠2＝90°， 则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.
若∠1+∠2＝180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角.
（2）性质：同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等.
知识要点
①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角(或补角).
②一个角的余角(或补角)可以不止一个，但是它们的度数是相同的.
③只考虑数量关系，与位置无关．
④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角”．
6.方位角
以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角.
知识要点
（1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小.
（2）北偏东45 °通常叫做东北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏东45 °通常叫做东南方向，南偏西45 °通常叫做西南方向.
（3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛.
【课堂练习】
选择题
1.下面四个图形中，能用，，三种方法表示同一个角的图形是( )
A. B. C. D.
2.下列换算中，错误的是( )
A. B.
C. D.
3.如图，在的方格表中，记，，，则( )
A. B. C. D.
4.用一副三角尺，不能画出的角是．
A. B. C. D.
5.如图所示，，，则图中互为余角的共有( )
A. 对 B. 对 C. 对 D. 对
6.如图，为直线上一点，，平分，平分，平分，下列结论：；；；其中正确的个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7.钟表上时分时，时针与分针所成的角是( )
A. B. C. D. 以上答案都不对
8.一副三角板、，如图放置、，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，如图所示，且，则下列结论中正确的是( )
的角度恒为；
在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值；
在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为次；
在图的情况下，作，则平分．
A. B. C. D.
二、填空题
9.计算： ______．
10.把一个周角等分，每一份是______的角精确到秒．
11.在中，如果，那么 度
12.如图，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，那么的度数为__________．
13.如图，为直线上一点，过点作射线，使，将一个直角三角尺按图所示的方式摆放，直角顶点在点处，一条直角边在射线上．将图中的三角尺绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转图，在旋转一周的过程中，第时，所在直线恰好平分，则的值为 ．
三、解答题
14.如图，过点的三条射线，，形成了三个小于平角的角．
若，求的度数；
在的内部画判断，与的大小关系，并说明理由．
15.如图，在圆形钟面上，点为钟面的圆心，以点为顶点按要求画出符合下列要求的角角的两边不经过钟面上的数字：

在图中画一个锐角，使锐角的内部含有个数字，且数字之差的绝对值最大；
在图中画一个直角，使直角的内部含有个数字，且所含个数字之积等于这个数字之和；
在图中画一个钝角，使钝角的内部含有个数字，且数字之和最小；
在图中画一个平角，使平角的内部与外部的数字之和相等；
在图中画两个直角，使这两个直角的内部含有的个数字之和相等．画出一种即可
16.如图，已知直线和相交于点，的度数为，，平分．
当时，求与的度数
当时，射线，分别以，的速度同时绕点顺时针转动，求当射线与射线重合时至少需要多少时间
当时，射线以的速度绕点顺时针转动，同时射线也以的速度绕点逆时针转动，当射线转动一周时射线也停止转动射线在转动一周的过程中当时，求射线转动的时间．
【课后巩固】
1.的补角与的余角相等，则与的关系是 ．
A. 互余 B. 互补 C. 比大 D. 比大
2.如图，在已知一个角内部画射线，画条射线，图中共有个角；画条射线，图中共有个角；画条射线，图中共有个角；求画条射线得的角的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3.如图，已知，，平分，平分，则的度数是 ．
4.如图，直线，交于点，，，平分，给出下列结论：当时，；为的角平分线；与相等的角有三个；，其中正确的结论有 把所有正确结论的序号都填在横线上
5.【定义概念】
如图，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为，，若这三个角中有一个角是另外一个角的倍，则称射线为的“幸运线”例如：图中，则射线为的一条”幸运线”本题中所研究的角都是大于且小于的角
【阅读理解】
一个角的平分线______这个角的“幸运线”；填“是”或“不是”
【初步应用】
若，射线为的“幸运线”，求的度数；
【解决问题】
如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒若，，三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，直接写出所有的值．
6.游乐园的摩天轮深受学生们的喜爱，如图是某游乐园的摩天轮的平面示意图，个座舱均匀分布在圆形转轮边缘，摩天轮以固定的速度绕中心逆时针方向转动，转一周需要分钟．座舱与圆形转轮边缘的连接点按顺时针依次标注为，表示的是摩天轮的支架，且．
摩天轮每分钟转动 ，
如图，在某一时刻，连接，点转动到的内部，此时，以此时刻为初始时刻．
求此时的的度数；
求当第一次平分时，摩天轮的转动时间以及此时的度数；
设摩天轮转动的时间为分钟，在连接点第一次到达最高处前，是否存在的时刻？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
参考答案
【课堂练习】
1.【答案】
【解析】解：项两线交叉有四个角不可以表示同一个角，项可以表示同一个角，
项中表示的角和是一个角，项表示的不是一个角．
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
【解析】解：不能够被整除，所以不能画出的角．
一副三角板能够画出为的整数倍数的角．
5.【答案】
【解析】本题考查了余角和平角的应用，解此题的关键是能理解互余的定义，注意：如果，那么和互余．
由题目条件得，再根据互余的定义判断即可．
解：，
，
，
，
图中互为余角的角有和，和，和，和，共对
6.【答案】
【解析】根据角平分线的定义可设，，利用平角等于得出，再得出，则，，然后分别判断即可．
解：平分，平分，
可设，，
为直线上一点，，
，，即．
，，
．
平分，．
，，
，故本选项结论正确；
，，
，故本选项结论正确；
，，
，故本选项结论正确；
，
当时，，
但是题目没有的条件，故本选项结论错误．
综上所述，正确的有：共个．
7.【答案】
【解析】解：我们把时针指向，分针指向作为起始位置，
当分针指向时，它转了，
此时时针转动了，
则时针和之间还有，
故时针和分针之间夹角为．
画出图形，利用钟表表盘的特征解答．
8.【答案】
【解析】本题是一道较难的综合题，考查了直角三角形两锐角互余、角平分线的定义、角的和差等知识点，依据正确分两种情况讨论是解题关键．需注意的是，不能受两个示意图的影响，而少讨论一种情况．根据直角三角形两锐角互余、角平分线的定义、角的和差逐个判断即可得．
解：，，，
，，
如图，当时，
，
如图，当时，
，
因此，的角度不恒为，则错误；
如图，当时，
由角平分线的定义得
，
如图，当时，
由角平分线的定义得
，
因此，的角度恒为定值，则正确；
，
边与三角板的三边所在直线夹角不可能成，
如图，当时，设与的交点为，
，
，即，
，
，
，
，
只与三角板的边所在直线夹角成，次数为次；只与三角板的边所在直线夹角成，次数为次；
如图，当时，延长交于点，
，
，即，
，
，
，
，
只有与三角板的边所在直线夹角成，次数为次，
因此，在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为次，则错误；
如图，作，
，即平分，
如图，作，
显然不平分，则错误，
综上，正确的个数只有这个．
故选B．
9.【答案】
【解析】解：
10.【答案】
【解析】解：．
周角是度，用这个数除以，就可以得到．注意精确到秒．
本题考查了度分秒的换算，注意精确到某一位，即是对下一位进行四舍五入．
11.【答案】
【解析】本题考查三角形内角和，根据三角形内角和为度，结合已知条件可求结论．
解：因为，，
所以，
所以，
所以．
12.【答案】
【解析】在图上标出和，根据同角的余角相等求出的度数后用减去角，再减去的度数，求出的差就是的度数．
解：如图：
，，
，
又，
．
13.【答案】或
【解析】提示：记的平分线为，则．
根据题意，得或，解得或所以满足题意的的值为或．
14.【答案】解：设，
，
，
，
，解得．．
补全图形如图所示，．
证明略．
15.【答案】【小题】解：如图， 【小题】解：
【小题】解：【小题】解：【小题】解：
【解析】本题考查了角的概念，正确的作出图形是解题的关键．根据题意画出图形即可．
16.【答案】解：因为，所以．
因为，
所以，
．
因为平分，
所以．
当时，．
设当射线与射线重合时至少需要．
则，解得，
故当射线与射线重合时至少需要．
设射线转动的时间为．
当不经过时，此时有，解得
当经过，但在的下方时，此时有，解得
当在的上方时，此时有，解得．
故射线转动的时间为或或
【解析】本题主要考查了对顶角相等，邻补角互补的定义，角平分线的定义，角的计算，第三问有难度，熟记性质是解题的关键，难点在于要分情况讨论．
利用互余和互补的定义可得：与的度数．
先根据，求，则射线、第一次重合时，其运动的度数运动的度数，列式解出即可；
分三种情况：不经过时，经过，但在的下方时；在的上方时；根据其夹角列方程可得时间．

【课后巩固】
1.【答案】
2.【答案】
【解析】解：因为在已知角内画射线，画条射线，图中共有个角，；
画条射线，图中共有个角，；
画条射线，图中共有个角，；，
所以画条射线，图中共有个角，
所以画条射线所得的角的个数是个，
本题考查了对角的概念和规律探索，解题的关键是能够根据求出的结果探索出规律．
3.【答案】
【解析】解：因为，，所以，
因为是的平分线，是的平分线，
所以，，
所以
求出，根据角平分线定义求出和，相减即可求出答案．
4.【答案】
【解析】本题考查了垂直，余角、对顶角以及角平分线的定义，注意结合图形，发现角与角之间的关系是解题的关键．
根据同角的余角相等可得，即可判断；根据角平分线的定义，无法证明为的角平分线，即可判断；根据角平分线的定义，可得，由对顶角相等得出，利用同角的余角相等可得，即可判断；根据平角的定义以及，即可判断．
解：， ，
， ，
，
当时，，故正确；
不能证明，
无法证明为的角平分线，故错误；
平分，．
直线，交于点，．
，，
与相等的角有三个，故正确；
，
由得，
，故正确；
综上，正确的结论有．
5.【答案】不是
【解析】解：一个角的平分线不是这个角的“幸运线”；
故答案为：不是；
设，则，
，，
设，则，
，，
设，则，
，，
故的度数为：或或；
当时，，，
若射线是的幸运线，则，即，；
，即，；
，即，；
当时，，，
若射线是的幸运线，则即，舍；
，即，；
，即，不符合题意，舍去；
故的值是或或或．
根据幸运线定义即可求解；
分种情况，根据幸运线定义得到方程求解即可；
分种情况，根据幸运线定义得到方程求解即可．
本题考查了旋转的性质，幸运线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解“幸运线”的定义是解题的关键．
6.【答案】【小题】摩天轮每分钟转动的角度是，．
【小题】
因为，，所以又因为，所以．
作的平分线交于，则，第一次平分时，转动了，所以转动时间为，转动的角度也是，所以此时．
存在，的值为或，理由如下：
因为是的平分线，所以初始时刻，，当点第一次到达最高处时，时间为，所以设摩天轮转动的时间为，根据题意得，，因为，即，解得或，所以存在，的值为或．
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