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人教版八年级数学上名师点拨与训练
第15章 分式
15.1.1 从分数到分式
学习目标
1.了解分式的概念.
2.理解分式有意义的条件及分式值为零、为正、为负的条件．
3.能熟练地求出分式有意义的条件及分式值为零、为正、为负的条件．
重点：了解分式的概念，确定分式有意义的条件.
难点：确定分式有意义的条件，分式的值为零的条件.
老师告诉你
1.分式值为0的条件：
分式的分子为0，并且分母不为0
分式值为0的解题步骤：
求出使分式的分子等于0的字母的值；
代入分母检验其是否等于0.
知识点拨
知识点1 、 分式的概念
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.
分式与分数的类比理解：
1、分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个
整式相除的商.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母.
2、分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数
更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况.
3、分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如是分式，与有区别，是整式，即只看形式，
【新知导学】
例1-1．下列代数式中,是分式的是( )
A. B. C. D.
例1-2．下列各式中,是分式的是( )
A. B. C. D.
【对应导练】
1．在、、、、、中，分式的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
2．下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
，，，，，，，，.
知识点2、 分式有意义，无意义的条件
1.分式有意义的条件：分母不等于零.
2.分式无意义的条件：分母等于零.
特别指出
分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.
本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.
必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.
【新知导学】
例2-1 .分式有意义的条件是( )
A. B. C. D.
例2-2．要使分式无意义,则x的取值范围是( )
A. B. C. D.
【对应导练】
1. .x满足什么条件时下列分式有意义？
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
2．当______时，分式无意义.
3 .当　 　时，分式无意义．
4 .若分式有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
.
知识点3、 分式值为0的条件
1 .分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.
2.分式值为0的解题步骤：
求出使分式的分子等于0的字母的值；
代入分母检验其是否等于0.
【新知导学】
例3-1．若分式 的值为0，则x的值是　 　.
例3-2．分式，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【对应导练】
1．已知分式，则　 　．
2．当x　 　时，分式 的值为零.
二、题型训练
1.利用分式定义识别分式
1．在式子 ， ， ， ， 中，分式的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．下列代数式中，是分式的是（　　）
A． B． C． D．
2.利用分式值为0的条件求字母的值
3．当　 　时，分式．
4．若分式的值为，则的值是　 　．
5．已知分式（a，b为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（　　）
x的取值 2 m
分式的值 0 3 无解
A．； B．； C．； D．.
6．已知分式，当取时，该分式的值为0；当取时，分式无意义，则的值等于　 　．
3.利用分式的特殊值求字母的值
7．当x为何值时，分式的值为1？当x为何值时，分式的值为-1？
8．已知当时,分式无意义；当时,此分式的值为0.
(1)求a,b的值.
(2)当分式的值为正整数时,求整数x的值.
三、课堂达标
一、选择题（每小题4分，共32分）
1． 下列代数式 其中属于分式的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．用整式，，组成的代数式有，，，，，（所有式子中的），其中属于分式的有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
4．若分式的值为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．若分式 的值为负数，则x的取值范围是（　　）
A．x为任意数 B． C． D．
6．若分式的值为0，则x的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．0
7．如图，若x为正整数，则表示分式的值落在（　　）
A．线①处 B．线②处 C．线③处 D．线④处
8．下列结论：①无论a为何实数，都有意义；②当时， 分式的值为0；③若的值为负， 则x的取值范围是； ④若有意义，则x的取值范围是且.其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．分式有意义，则字母m满足的条件是　 　．
10．若分式的值为正，则x的取值范围是　 　．
11．如果分式有意义，那么的取值范围是　 　，如果分式的值为零，那么　 　，如果有意义，那么　 　．
12．当x　 　时，分式无意义.
13．当=　 　时，分式的值是零．
三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分）
14． 当x为何值时，分式的值为零？
15．已知x＝﹣4时，分式 无意义，x＝2时，此分式的值为零，求分式 的值．
16．已知：代数式
（1）当m为何值时，该式无意义？
（2）若该式的值为正数，求m的取值范围；
17．若a，b为实数，且 ，求3a﹣b的值.
18．是否存在x，使得当y＝5时，分式 的值为0 若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
19．已知分式，回答下列问题．
（1）若分式无意义，求x的取值范围；
（2）若分式的值是零，求x的值；
（3）若分式的值是正数，求x的取值范围．
人教版八年级数学上名师点拨与训练
第15章 分式
15.1.1 从分数到分式
学习目标
1.了解分式的概念.
2.理解分式有意义的条件及分式值为零、为正、为负的条件．
3.能熟练地求出分式有意义的条件及分式值为零、为正、为负的条件．
重点：了解分式的概念，确定分式有意义的条件.
难点：确定分式有意义的条件，分式的值为零的条件.
老师告诉你
1.分式值为0的条件：
分式的分子为0，并且分母不为0
分式值为0的解题步骤：
求出使分式的分子等于0的字母的值；
代入分母检验其是否等于0.
知识点拨
知识点1 、 分式的概念
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.
分式与分数的类比理解：
1、分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个
整式相除的商.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母.
2、分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数
更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况.
3、分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如是分式，与有区别，是整式，即只看形式，
【新知导学】
例1-1．下列代数式中,是分式的是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：A、是单项式,属于整式,故选项不符合题意；
B、是多项式,属于整式,故选项不符合题意；
C、是分式,故选项符合题意；
D、是多项式,属于整式,故选项不符合题意.
故选：C.
【知识点】分式的概念
例1-2．下列各式中,是分式的是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：A.是整式,故选项不符合题意；
B.是整式,故选项不符合题意；
C.是整式,故选项不符合题意；
D.是分式,故选项符合题意；
故选：D.
【知识点】分式的概念
【对应导练】
1．在、、、、、中，分式的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案：A
解析：、、、的分母中均不含有字母，因此它们是整式，不是分式，
、的分母中含有字母，因此是分式，
故分式的个数是2，
故选：A.
【知识点】分式的概念
2．下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
，，，，，，，，.
答案：见解析
解析：整式：，，，.
分式：，，，，.
【知识点】分式的概念
知识点2、 分式有意义，无意义的条件
1.分式有意义的条件：分母不等于零.
2.分式无意义的条件：分母等于零.
特别指出
分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.
本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.
必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.
【新知导学】
例2-1 .分式有意义的条件是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：∵分式有意义,
∴,
∴.
故选D.
【知识点】分式有无意义的条件
例2-2．要使分式无意义,则x的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：根据题意得：,
.
故选：A.
【知识点】分式有无意义的条件
【对应导练】
1. .x满足什么条件时下列分式有意义？
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
答案：（1）
（2）
（3）
（4）
解析：（1）当，即时，有意义；
（2）当，即时，有意义；
（3）当，即时，有意义；
（4）当，即时，有意义.
2．当______时，分式无意义.
答案：
解析：分式无意义，
，解得.
故答案为：.
【知识点】分式有无意义的条件
3 .当　 　时，分式无意义．
【答案】-2
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】∵分式无意义，
∴a+2=0，
解得：a=-2，
故答案为：-2.
【分析】利用分式无意义的条件可得a+2=0，再求出a的值即可.
4 .若分式有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：．
解得：．
故答案为：A．
【分析】先利用分式有意义的条件可得，再求出x的取值范围即可.
知识点3、 分式值为0的条件
1 .分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.
2.分式值为0的解题步骤：
求出使分式的分子等于0的字母的值；
代入分母检验其是否等于0.
【新知导学】
例3-1．若分式 的值为0，则x的值是　 　.
【答案】0
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式 的值为0，
∴x＝0.
将x＝0代入x+1＝1≠0.
当x＝0时，分式分式 的值为0.
故答案为：0.
【分析】分式值为0的条件：分子为0且分母不为0，据此解答即可.
例3-2．分式，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：分式 ，
且，
解得：x=1.
故答案为：A.
【分析】根据分式的值为零，则分子为零，且分母不为零即可解答.
【对应导练】
1．已知分式，则　 　．
【答案】
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得：x=-2，
故答案为：-2.
【分析】利用分式的值为0的条件：①分子为0，②分母不为0，列出方程和不等式求解即可.
2．当x　 　时，分式 的值为零.
【答案】= -3
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：根据题意，
∵分式 的值为零，
∴ ，
∴ ；
故答案为： .
【分析】根据分式值为0的条件：分子等于0且分母不为0，可得关于x的方程与不等式，求解就可得到x的值.
二、题型训练
1.利用分式定义识别分式
1．在式子 ， ， ， ， 中，分式的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解： ， ， 这3个式子分母中含有字母，因此是分式．
其它式子分母中均不含有字母，是整式，
故答案为：B．
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
2．下列代数式中，是分式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】A、不为分式，本项不符合题意；
B、不为分式，本项不符合题意；
C、为分式，本项符合题意；
D、为分式，则本项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据分式的定义：一般地，如果A、B表示两个整式，且B中含有字母，那么式子 就叫做分式，其中A称为分子，B称为分母，据此逐项分析即可.
2.利用分式值为0的条件求字母的值
3．当　 　时，分式．
【答案】-3
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】∵，
∴，
解得：x=-3，
故答案为：-3.
【分析】利用分式的值为0的条件可得，再求出x的值即可.
4．若分式的值为，则的值是　 　．
【答案】1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵的值为，
∴x2-1=0，且（x-2）(x+1)0，
∴x=且x2或-1，
∴x=1；
故答案为：1
【分析】考查分式值为0的条件，分子等于0且分母不等于0，列式求解即可.
5．已知分式（a，b为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（　　）
x的取值 2 m
分式的值 0 3 无解
A．； B．； C．； D．.
【答案】B
【知识点】分式的值为零的条件；分式的值
【解析】【解答】解：当x=2时，代入分式得：，
∴4+b=0，
解得：b=-4；A不符合题意；
当x=-2时，分式无解，即无解，
∴-2-a=0，
解得：a=-2；B符合题意；D不符合题意；
将a=-2、b=-4代入分式得：，
当x=m时，代入分式得：，
解得：m=-10，C不符合题意；
故答案为：B.
【分析】将表中的三组数据分别代入分式，分别求出a、b、m的值，即可得出答案.
6．已知分式，当取时，该分式的值为0；当取时，分式无意义，则的值等于　 　．
【答案】1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】当分式的值是零时，根据题意得，x+1=0 且2-x≠0 解得：x=-1 即a=-1
分式无意义时，根据题意得 2-x=0 解得：x=2 即b=2 则：a+b=1 . 故答案为： 1 .
【分析】首先根据分式值是零的条件以及无意义的条件求出a ，b的值，然后代入代数式求值即可。
3.利用分式的特殊值求字母的值
7．当x为何值时，分式的值为1？当x为何值时，分式的值为-1？
答案：因为分式的值为1，
所以，解得.
当时，，故.
因为分式的值为-1，
所以这个分式的分子、分母互为相反数，
即，解得.
当时，，故.
解析：
8．已知当时,分式无意义；当时,此分式的值为0.
(1)求a,b的值.
(2)当分式的值为正整数时,求整数x的值.
答案：(1),
(2)整数x的值为0,1,3
解析：(1)当时,分式无意义,
,
解得,
当时,此分式的值为0,
,
解得,
(2),,
,
当,,
,,
,,
综上,整数x的值为0,1,3.
三、课堂达标
一、选择题（每小题4分，共32分）
1． 下列代数式 其中属于分式的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：根据题意可得：属于分式，共3个，
故答案为：B.
【分析】利用分式的定义（一般地，如果A、B（B不等于0）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子A/B就叫作分式）分析求解即可.
2．若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式在实数范围内有意义，
∴x-1≠0，
解得：x≠1，
故答案为：A.
【分析】利用分式有意义的条件（分母不为0）列出不等式求解即可.
3．用整式，，组成的代数式有，，，，，（所有式子中的），其中属于分式的有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：根据分式定义可得：
符合分式定义，是分式；
不符合分式定义，不是分式；
符合分式定义，是分式；
不符合分式定义，不是分式；
不符合分式定义，不是分式；
不符合分式定义，不是分式．
属于分式的有个．
故选：A．
【分析】根据分式定义（如果、表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式）对代数式进行逐一判断
4．若分式的值为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意得，
解得x=3
故答案为：D.
【分析】根据分式值为零的条件“分子等于零且分母不为零”建立混合组，求解即可.
5．若分式 的值为负数，则x的取值范围是（　　）
A．x为任意数 B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的值；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：∵分式 的值为负数，而分母x2+4>0，
∴2x-5<0，
解得 .
故答案为：B.
【分析】根据分式的值为负数可得分子、分母异号，由分母为正数可得分子为负数，从而列出不等式求解可得x的范围.
6．若分式的值为0，则x的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．0
【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意得，
∴x=3，
故答案为：A
【分析】根据分式值为零和分式有意义的条件结合题意即可得到，进而即可求解。
7．如图，若x为正整数，则表示分式的值落在（　　）
A．线①处 B．线②处 C．线③处 D．线④处
【答案】B
【知识点】分式的值；分式的约分
【解析】【解答】解： 原式=，是正整数，分子比分母小1，当时取最小值等于，，故表示这个数的点落在线②处.
故答案为：B.
【分析】先将分式因式分解，然后约分，再对分式的值进行估算，即可得到答案.
8．下列结论：①无论a为何实数，都有意义；②当时， 分式的值为0；③若的值为负， 则x的取值范围是； ④若有意义，则x的取值范围是且.其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：①，
，故无论a为何实数，都有意义，①正确；
②当时 ，，分母为0分式无意义，②错误；
③，
若分式的值为负，则，
，③正确；
④有意义 ，
，
解得：，④错误.
综上所述，正确的有两个.
故答案为：B.
【分析】①，可知无论a为何实数，都有意义，即可判断；②当时，，分母为0分式无意义，即可判断；③先判断的符号为正，再根据两数相除，同号得正，异号得负，得到，求解即可得到x的取值范围；④根据分式有意义的条件为分母不等于零，即，解不等式即可判断④错误.
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．分式有意义，则字母m满足的条件是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：如果 分式有意义 ，则分母必不为0，所以，解得：；
故答案为：。
【分析】本题考查的是分式成立的条件.分式有意义条件：分母不为0.
10．若分式的值为正，则x的取值范围是　 　．
【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值；解一元一次不等式
【解析】【解答】∵的值为正，
又∵，
∴且，
且，
故答案为：且．
【分析】本题考查分式的性质.根据平方具有非负性可得：，再根据分式的值为正，分母不等于0可得：且，解不等式组可求出x的取值范围.
11．如果分式有意义，那么的取值范围是　 　，如果分式的值为零，那么　 　，如果有意义，那么　 　．
【答案】；；
【知识点】分式有无意义的条件；零指数幂
【解析】【解答】解：由题意可得：当分式有意义时，分母不能为零，
则，
解得：；
当分式的值为零时，则分子为零，分母不为零，
∴
解得：；
当有意义时，，
即，
故答案为：、、．
【分析】本题考查分式有意义的条件，零指数幂的运算法则．根据分式有意义条件；分母不能为零，据此可得，解不等式可求出答案；根据分式等于0的条件：分母不为0，分子等于0，据此可列出不等式，解不等式可求出x的值，进而求出答案；根据零次幂有意义的条件：底数不为0，据此可列出不等式，解不等式可求出答案．
12．当x　 　时，分式无意义.
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：分式无意义，
，
解得：．
故答案为：．
【分析】分式无意义的条件是分母为零，据此求解．
13．当=　 　时，分式的值是零．
【答案】1
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得，
解得x=1，
∴当=1时，分式的值是零．
故答案为：1
【分析】根据分式值为0结合分式有意义的条件解一元二次方程即可求解。
三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分）
14． 当x为何值时，分式的值为零？
【答案】解：∵的值为零，
∴|x|﹣2＝0且x2+5x+6≠0，
解得：x＝±2，
当x＝2时，x2+5x+6＝20≠0，
当x＝﹣2时，x2+5x+6＝0，故舍去．
综上：x＝2．
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【分析】根据分式的值为0的条件：分子为0，分母不等于0得到|x|﹣2＝0且x2+5x+6≠0， 解得x的值并取符合题意的x的值即可求解.
15．已知x＝﹣4时，分式 无意义，x＝2时，此分式的值为零，求分式 的值．
【答案】解：∵分式无意义， ∴2x+a＝0
即当x＝﹣4时，2x+a＝0．
解得a＝8
∵分式的值为0， ∴x﹣b＝0，
即当x＝2时，x﹣b＝0．
解得b＝2 ∴ ．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值
【解析】【分析】由分式无意义，可求出a的值，由分式的值为0，可求出b的值．把a、b的值代入分式中求值即可．
16．已知：代数式
（1）当m为何值时，该式无意义？
（2）若该式的值为正数，求m的取值范围；
【答案】（1）解：由题意得，当时，代数式无意义；
所以时，该式无意义.
（2）解：由题意得，该式的值为正数时，，即m＞－1.
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值
【解析】【分析】（1）根据分式无意义的条件可得，再求出m的值即可；
（2）根据分式的值为正数可得，再求出m的取值范围即可.
17．若a，b为实数，且 ，求3a﹣b的值.
【答案】解：∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴3a﹣b=6﹣4=2.
故3a﹣b的值是2.
【知识点】分式的值为零的条件；非负数之和为0
【解析】【分析】根据分式的值为0，则分子等于且分母不为0及非负数的和为0，则每一个数都为0可得，据此求出a、b的值，然后代入计算即可.
18．是否存在x，使得当y＝5时，分式 的值为0 若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：不存在．
对于分式 ， 当 时，分式 的值为0，
而当x＋5＝0时，x＝－5，x2－25＝0，
故不存在这样的x值使分式 的值为0．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【分析】由y=5，结合分式的值为零的条件，可得x+5=0，同时x2-25≠0，据此即可解答。
19．已知分式，回答下列问题．
（1）若分式无意义，求x的取值范围；
（2）若分式的值是零，求x的值；
（3）若分式的值是正数，求x的取值范围．
【答案】（1）x＝；（2）x＝1；（3）＜x＜1．
【分析】
（1）分式无意义，分母值为零，进而可得2﹣3x＝0，再解即可；
（2）分式值为零，分子为零，分母不为零，进而可得x﹣1＝0，且2﹣3x≠0，再解即可；
（3）分式值为正数，则分子分母同号，进而可得两个不等式组，再解即可．
【详解】
解：（1）由题意得：2﹣3x＝0，
解得：x＝；
（2）由题意得：x﹣1＝0，且2﹣3x≠0，
解得：x＝1；
（3）由题意得：①，
此不等式组无解；
②，
解得：＜x＜1．
∴分式的值是正数时，＜x＜1．
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