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人教版八年级数学上名师点拨与训练
第15章 分式
15.1.2 分式的基本性质2
学习目标
1.理解并掌握分式的基本性质．
3.会运用分式的基本性质进行分式的通分．
重点：使学生理解并掌握分式的基本性质，这是学好本章的关键.
难点：灵活运用分式的基本性质进行分式的通分
老师告诉你
约分与通分的关系：
约分的关键是找分子分母的公因式，通分的关键是确定最简公分母。
约分和通分的依据是分式的基本性质，前者是分子、分母同除以公因式，后者是使分母都变为最简公分母。
知识点拨
知识点1 、最简公分母
（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积
作为公分母.
（2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的
最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母.
（3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言.
【新知导学】
例1-1．分式和的最简公分母是______.
例1-2．下列说法不正确的是( )
A.与的最简公分母是
B.与的最简公分母是
C.与的最简公分母是
D.与的最简公分母是
【对应导练】
1．下列三个分式、、的最简公分母是( )
A. B. C. D.
2．分式、、的最简公分母是( )
A. B.
C. D.
3．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”.
（1）下列分式：
①；
②；
③；
④.
其中是“和谐分式”是_______（填写序号即可）；
（2）若a为正整数，且为“和谐分式”，请写出a的值；
（3）在化简时，
小东和小强分别进行了如下三步变形：
小东：原式，
小强：原式，
显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：_________________________，
请你接着小强的方法完成化简.
知识点2 、通分
根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式。
注意：
各分母都是单项式，最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的
最高次幂的乘积。
各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母.
【新知导学】
例2-1．通分：
（1）与；
（2）与；
（3）与；
（4）与.
例2-2．把，，通分的过程中，不正确的是( )
A.最简公分母是 B.
C. D.
【对应导练】
1．若分式的分母通分后为，则分子应为( )
A. B. C. D.
2．下列各式从左到右的变形一定正确的是( )
A. B. C. D.
3．则之间的大小关系是( )
A. B.
C. D.
知识点3 、分式的基本性质的应用
利用分式的基本性质解决恒等变形问题时是基本性质的灵活应用，注意分式的基本性质的适用条件是分式有意义，做题时考虑分母不为0的条件。
【新知导学】
例3-1．甲完成一项工作需要天，乙完成这项工作要比甲多8天，设工作总量为1，写出表示甲、乙两人工作效率的式子，若两式的分母不同，则将两个式子进行通分.
例3-2 .已知实数a、b、c满足；计算：.
【对应导练】
1 .已知＋＝3，求的值．
2 .若，．则的值为______
二、题型训练
1.利用通分化为同分母分式
1．通分：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
2．通分：
（1），；
（2），，，.
2.通分在字母求值中的应用
3. 已知（过中A、B均为常数），则________，________．
3.分式的基本性质的综合应用
5．对分式的变形，甲同学的做法是：；乙同学的做法是：.请根据分式的基本性质，判断甲、乙两同学的解法是否正确.
6．如果一个式子由两个或两个以上的分式用“+”连接而成,且任意两个分式的分母位置互换后对式子的值没有影响,则称这类式子为“均衡分式串”,例中交换,的位置可得,两个式子值相同,则是“均衡分式串”.
概念理解：(1)下列3个式子中是“均衡分式串”的是________.(填序号)
①；②；③.
深入探究：(2)“均衡分式串”是否为定值,若是定值,请求出这个定值；若不是定值,请说明理由.
拓展应用：(3)若,求“均衡分式串”的值.
三、课堂达标
一、选择题（每小题4分，共32分）
1.分式 ， 的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
2．分式和的最简公分母是( )
A. B. C. D.
3．下列三个分式、、的最简公分母是( )
A. B. C. D.
4．把，，通分的过程中，不正确的是( )
A.最简公分母是 B.
C. D.
5．若分式的分母通分后为，则分子应为( )
A. B. C. D.
6 ..对分式通分后，的结果是（ ）
A． B． C． D．
7 .已知，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
8．若，则的值为（ ）
A．2019 B．0 C．1 D．2
二、填空题（每小题4分，共20分）
9 .分式 、﹣ 、 的最简公分母是________．
10 .已知x－y＝4xy，则的值为____．
11 .定义新运算：a b，若a （﹣b）＝2，则的值是___．
12．分式与通分后的结果是______________________.
13．对于两个非零的实数a，b，定义运算如下：.例如：.若，则的值为___________.
三、解答题（共8小题，每小题8分，共48分）
14．通分：（1）；（2）.
15．已知，，求分式的值．
16．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：若，求代数式的值．
解：
即
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若，且，求的值．
解：令
则，
．
根据材料回答问题：
(1)已知，求的值．
(2)已知，求的值
(3)已知为实数，，求分式的值．
17．当A、B、C取何值时,++=.
18．解答：
将分式的分子、分母化为整式，且不改变分式的值
19．已知分式,,且=8,其中m是这两个分式中分母的公因式,n是这两个分式的最简公分母,求x的值.
人教版八年级数学上名师点拨与训练
第15章 分式
15.1.2 分式的基本性质2
学习目标
1.理解并掌握分式的基本性质．
3.会运用分式的基本性质进行分式的通分．
重点：使学生理解并掌握分式的基本性质，这是学好本章的关键.
难点：灵活运用分式的基本性质进行分式的通分
老师告诉你
约分与通分的关系：
约分的关键是找分子分母的公因式，通分的关键是确定最简公分母。
约分和通分的依据是分式的基本性质，前者是分子、分母同除以公因式，后者是使分母都变为最简公分母。
知识点拨
知识点1 、最简公分母
（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积
作为公分母.
（2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的
最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母.
（3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言.
【新知导学】
例1-1．分式和的最简公分母是______.
答案：
解析：分式和的最简公分母是,
故答案为：.
【点拨】本题考查了最简公分母，利用最简公分母的定义求解即可．
例1-2．下列说法不正确的是( )
A.与的最简公分母是
B.与的最简公分母是
C.与的最简公分母是
D.与的最简公分母是
答案：D
解析：与的最简公分母是，故D错误
.故选D.
【点拨】本题主要考查了求最简公分母，解题的关键在于能够熟练掌握最简公分母的定义．
【对应导练】
1．下列三个分式、、的最简公分母是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：分式、、的分母分别是、、x，故最简公分母是.
故选：D.
【点拨】本题主要考查了求最简公分母，解题的关键在于能够熟练掌握最简公分母的定义．
2．分式、、的最简公分母是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解析：的分母为：，
∴最简公分母为：，
故选：A.
【点拨】本题考查了最简公分母，利用最简公分母的定义求解即可．
3．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”.
（1）下列分式：
①；
②；
③；
④.
其中是“和谐分式”是_______（填写序号即可）；
（2）若a为正整数，且为“和谐分式”，请写出a的值；
（3）在化简时，
小东和小强分别进行了如下三步变形：
小东：原式，
小强：原式，
显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：_________________________，
请你接着小强的方法完成化简.
答案：（1）②
（2）4或5
（3）小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母
解析：（1）②分式，不可约分，
分式是和谐分式，
故答案为：②；
（2）分式为和谐分式，且a为正整数，
，（舍），；
故答案为：4和5.
（3）小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母，
原式
故答案为：小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母.
知识点2 、通分
根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式。
注意：
各分母都是单项式，最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的
最高次幂的乘积。
各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母.
【新知导学】
例2-1．通分：
（1）与；
（2）与；
（3）与；
（4）与.
答案：（1），
（2），
（3），
（4），
解析：（1）最简公分母是.
，.
（2）最简公分母是.
，.
（3）最简公分母是.
，
.
（4）最简公分母是.
，
.
【点拨】本题考查分式的通分，正确得出最简公分母是解题关键．
例2-2．把，，通分的过程中，不正确的是( )
A.最简公分母是 B.
C. D.
答案：D
解析：.
【点拨】本题主要考察了最简公分母的定义，解题的关键是对分母进行因式分解.
【对应导练】
1．若分式的分母通分后为，则分子应为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：.
2．下列各式从左到右的变形一定正确的是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：A.、，缺条件，从左到右的变形不正确，故本选项不符合题意；
B、，原式从左到右的变形不正确，故本选项不符合题意；
C、，原式从左到右的变形不正确，故本选项不符合题意；
D、从左到右的变形正确，故本选项符合题意.
故选择：D.
3．则之间的大小关系是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
知识点3 、分式的基本性质的应用
利用分式的基本性质解决恒等变形问题时是基本性质的灵活应用，注意分式的基本性质的适用条件是分式有意义，做题时考虑分母不为0的条件。
【新知导学】
例3-1．甲完成一项工作需要天，乙完成这项工作要比甲多8天，设工作总量为1，写出表示甲、乙两人工作效率的式子，若两式的分母不同，则将两个式子进行通分.
答案：甲的工作效率为，乙的工作效率为，通分后甲的工作效率为，乙的工作效率为
解析：甲的工作效率为，
乙的工作效率为.
，
.
例3-2 .已知实数a、b、c满足；计算：.
【答案】8或-1
【分析】
先设=k，易得b+c=ka①，a+c=kb②，a+b=kc③，①+②+③可得2（a+b+c）=k（a+b+c），若a+b+c≠0，则k=2，再把k的值代入所求分式可求一个答案；而当a+b+c=0，则有a+b=-c，b+c=-a，a+c=-b，再整体代入所求分式中又可求另一答案．
【详解】
解：设=k，则
b+c=ka①，a+c=kb②，a+b=kc③，
①+②+③得，2（a+b+c）=k（a+b+c），
当a+b+c≠0，则k=2，
∴==k3=8；
当a+b+c=0，则a+b=-c，b+c=-a，a+c=-b，
∴==-1．
故答案是8或-1．
【点睛】
本题考查了比例的性质．解题的关键是分情况讨论问题，注意整体代入．
【对应导练】
1 .已知＋＝3，求的值．
【答案】18
【详解】
试题分析：分子分母同除以xy，然后整体代入即可求值.
试题解析：根据分式的特点，
分子、分母同时除以xy得
原式=
2 .若，．则的值为______
【答案】
【分析】先由题意2x y+4z=0 ，4x+3y 2z=0，得出用含x的式子分别表示y，z，然后带入要求的式中，化简便可求出.
【详解】2x-y+4z= 0①，4x+3y- 2z= 0②，
将②×2得: 8x+ 6y-4z=0③．
①+③得: 10x+ 5y= 0，
∴y= -2x，
将y= - 2x代入①中
得:2x- (-2x)+4z=0
∴z=-x
将y= -2x，z=-x，代入上式
=
=
=
=
故答案为：
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是根据题目，得出用含x的式子表示y，z.本题较难，要学会灵活化简.
二、题型训练
1.利用通分化为同分母分式
1．通分：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
答案：（1）最简公分母是，
.
（2）最简公分母是，
（3）最简公分母是，
.
（4）最简公分母是，
（5）最简公分母是，
，
.
【点睛】此题考查了通分，解答此题的关键是熟知找公分母的方法：
（1）系数取各系数的最小公倍数；
（2）凡出现的因式都要取；
（3）相同因式的次数取最高次幂．
2．通分：
（1），；
（2），，，.
答案：（1）
（2）
解析：（1），的最简公分母为，
所以，.
（2），，，的最简公分母为，
所以，，，.
【点睛】此题考查了通分，解答此题的关键是熟知找公分母的方法：
（1）系数取各系数的最小公倍数；
（2）凡出现的因式都要取；
（3）相同因式的次数取最高次幂．
2.通分在字母求值中的应用
3. 已知（过中A、B均为常数），则________，________．
【答案】
【分析】已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，再根据分式相等的条件即可求出所求．
解：，
，
解得．
【点拨】本题考查了分式的加减，解题的关键是通分．
4 .已知：求证：
【答案】证明见解析
【分析】
要证明，就要证明，即，因x、y为指数，故运用同底数幂乘法让左右两边同时乘以，然后再利用已知等式进行变形转化即可得到结果.
【详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，（x、y均不可能为0）
∴，即.
【点睛】
本题考查同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方的应用，将要证明的等式进行转化，出现指数相加、相乘是解题的关键.
3.分式的基本性质的综合应用
5．对分式的变形，甲同学的做法是：；乙同学的做法是：.请根据分式的基本性质，判断甲、乙两同学的解法是否正确.
答案：乙同学的做法是错误的，详见解析
解析：甲同学将分式的分子、分母同时除以，而由分式有意义可知，所以甲同学的做法正确；
乙同学将分式的分子、分母同时乘），但的值是否等于0是不确定的，所以乙同学的做法是错误的.
6．如果一个式子由两个或两个以上的分式用“+”连接而成,且任意两个分式的分母位置互换后对式子的值没有影响,则称这类式子为“均衡分式串”,例中交换,的位置可得,两个式子值相同,则是“均衡分式串”.
概念理解：(1)下列3个式子中是“均衡分式串”的是________.(填序号)
①；②；③.
深入探究：(2)“均衡分式串”是否为定值,若是定值,请求出这个定值；若不是定值,请说明理由.
拓展应用：(3)若,求“均衡分式串”的值.
答案：(1)①
(2)是,0
(3)2
解析：(1),故①是“均衡分式串”,
,故②不是“均衡分式串”,
,故③不是“均衡分式串”,
故答案为：①；
(2)是,理由：；
(3)∵,
∴,,
∴
.
三、课堂达标
一、选择题（每小题4分，共32分）
1.分式 ， 的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【详解】解：分式，的分母分别是：x2y2、xy3，各分母系数的最小公倍数是1，
则最简公分母是x2y3．故选：C．
【点睛】本题考查了最简公分母．通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．
2．分式和的最简公分母是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：分式的分母分别为，，
故最简公分母是：，
故选C.
3．下列三个分式、、的最简公分母是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：分式、、的分母分别是、、x，故最简公分母是.
故选：D.
4．把，，通分的过程中，不正确的是( )
A.最简公分母是 B.
C. D.
答案：D
解析：.
5．若分式的分母通分后为，则分子应为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：.
6 ..对分式通分后，的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把a2-b2因式分解，得出的最简公分母，根据分式的基本性质即可得答案．
【详解】∵a2-b2=(a+b)(a-b)，∴分式的最简公分母是，
∴通分后，=．故选：B．
【点睛】本题考查分式的通分，正确得出最简公分母是解题关键．
7 .已知，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分式的运算、完全平方公式的变形即可求解．
【详解】∵
∴=．
故选B．
【点睛】此题主要考查分式化简求值，解题的关键是熟知完全平方公式的变形应用．
8．若，则的值为（ ）
A．2019 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】先对m的代数式通分化简求出m的值，然后计算即可．
【详解】，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，求出m的值是解题关键．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9 .分式 、﹣ 、 的最简公分母是________．
【答案】（x﹣1）2（x+1）2
【分析】根据最简公分母的定义即可变形求解．
解：∵ = ，
﹣ =﹣ ，
= ，
∴最简公分母是（x﹣1）2（x+1）2；
故答案为：（x﹣1）2（x+1）2 ．
【点拨】此题考查了最简公分母，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．
10 .已知x－y＝4xy，则的值为____．
【答案】．
【分析】先将变形为，再将x－y＝4xy代入即可求解．
【详解】解：∵x－y＝4xy，∴．故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
11 .定义新运算：a b，若a （﹣b）＝2，则的值是___．
【答案】
【分析】根据a b求出a和b的值，代入计算即可
【详解】解：∴b-a=2ab．即a-b=-2ab．
故答案为：
【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据题意掌握新运算的规律．
12．分式与通分后的结果是______________________.
答案：
解析：最简公分母为分式,分式.
13．对于两个非零的实数a，b，定义运算如下：.例如：.若，则的值为___________.
答案：
解析：，
.
故答案为：.
三、解答题
14．通分：（1）；（2）.
答案：（1）.
（2）.
【点睛】此题考查了通分，解答此题的关键是熟知找公分母的方法：
（1）系数取各系数的最小公倍数；
（2）凡出现的因式都要取；
（3）相同因式的次数取最高次幂．
15．已知，，求分式的值．
【答案】
【分析】本题考查分式求值，确定a与b的数量关系，掌握分式的通分是解题的关键．
将通分为，然后代入求解即可．
【详解】解：，
．
16．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：若，求代数式的值．
解：
即
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若，且，求的值．
解：令
则，
．
根据材料回答问题：
(1)已知，求的值．
(2)已知，求的值
(3)已知为实数，，求分式的值．
【答案】(1)23
(2)
(3)
【分析】本题主要考查完全平方公式及分式的通分和约分，熟练掌握完全平方公式及分式的通分与约分是解题的关键；
（1）由题意易得，即，进而根据完全平方公式可进行求解；
（2）由题意可设，然后代入求解即可；
（3）利用倒数法、分式的约分法则计算求出，把原式变形代入计算即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由可设，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
∴，
∴．
17．当A、B、C取何值时,++=.
【答案】A=3，B=-2，C=-1.
【详解】由恒等式的性质知,通分加减后，左右两边分母相同，则分子也相同，所以分子的各项系数也相同.
++=
=
=,
则A+B+C=0，-A-3B=3，-2A+2B-C=-9，解得A=3，B=-2，C=-1.
18．解答：
将分式的分子、分母化为整式，且不改变分式的值
【答案】
【分析】根据分式的基本性质，分式的分子、分母同时乘以即可.
【详解】根据分式的基本性质，分式的分子、分母同时乘以，
【点睛】考查分式的基本性质，分式的分子、分母同时乘以同一个不为0的式子即可.
19．已知分式,,且=8,其中m是这两个分式中分母的公因式,n是这两个分式的最简公分母,求x的值.
【答案】
【分析】根据公分母的定义,找到公分母即可解题.
【详解】∵与的公分母为3（x+2）(x-2),
由题可知m=x-2,n=3（x+2）(x-2),
∴==3(x+2)=8,
解得：x=.
【点睛】本题考查了分式的公分母,一次方程求解,属于简单题,找公分母是解题关键.
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