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人教版八年级数学上名师点拨与训练
第15章 分式
15.2.1 分式的乘除
学习目标
1.掌握分式的乘除运算法则.
2.能够进行分子、分母为多项式的分式乘除法运算．
重点：分式的乘除法法则的运用.
难点：进行分式的乘除运算.
老师告诉你
乘法、除法是同级运算，进行分式乘除混合运算时，应按照从左到右的顺序进行运算；
对于除法运算，要先将除法转化为乘法，注意“一变一倒”：即变除号为乘号时，把除式的分子、分母颠倒位置，并注意除式是整式时，可以把整式看成分母为1的式子进行运算。
知识点拨
知识点1 、分式的乘法
分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表示为：，其中是整式，.
【新知导学】
例1-1．计算 的结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
例1-2．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．x
【对应导练】
1．计算：　 　．
2．计算 的结果是（　　）
A． B． C． D．
3．先化简 ，再在1，2，3中选取一个适当的数代入求值．
4． =　 　。
知识点2 、分式的除法
分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：，其中是整式，.
【新知导学】
例2-1．计算：．
例2-2．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【对应导练】
1．若运算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（　　）
A． B． C． D．
2．化简：．
3．先化简，再求值：，其中．
知识点3 、分式的乘除混合运算
（1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式.
（2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘.
（3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分.
（4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式.
【新知导学】
例3-1．化简 结果为（　　）
A． B． C． D．1
【对应导练】
1．计算分式结果是（　　）
A．-1 B．1 C． D．
2．计算
（1）
（2）；
（3）
3．计算：；
二、题型训练
1.利用分式乘除法则化简求值
1．先化简，再求值． ，其中x＝- ．
2．先化简： ，再选择一个恰当的x值代入求值．
2.分式乘除混合运算的应用
3．某商店有A、B两箱水果，A箱水果重量为千克，B箱水果重量为千克（其中），两箱水果均卖了120元，那么A箱水果的单价是B箱水果单价的（　　）
A． B． C． D．
4．化简： ÷ ．
5．某人从A地步行到B地时，速度为a，再从B地原路返回到A地时，速度为b，则他自A地到B地再返回A地的平均速度为（　　）
A． B． C． D．
3.利用分式乘除法则巧计算
（1）巧用分配律
6．先化简，再求值 ，其中x满足 ．
（2）巧用结果化简
7．先化简再求值：，其中．
（3）巧用整体思想
8． 已知，则的值为（　　）
A． B． C．4 D．－4
三、课堂达标
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．已知，则与的积为1的是（　　）
A． B． C． D．
2．小丽在化简分式时，*部分不小心滴上了墨水，请你推测，*部分的式子应该是（　　）
A． B． C． D．
3．若，则M为（　　）
A． B． C． D．
4．下面是某同学化简分式的部分计算过程，则在化简过程中的横线上依次填入的序号为（　　）
．
A． B． C． D．
5．计算的结果是（　　）
A． B．
C． D．
6．现有A，B两个圆，A圆的半径为(a>6)，B圆的半径为，则A圆的面积是B圆面积的(　　)
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
7．化简 的结果是（　　）
A． B． C． D．
8．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．计算：　 　 ．
10．计算的结果是　 　.
11．计算：　 　．
12．计算： 　 　 .
13．计算 　 　.
三、解答题（每小题8分，共48分）
14．已知，，．求值：
（1）；
（2）．
15．计算：
（1）；
（2）．
16．阅读下列 材料，并解答总题：
材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母x+1，可设
则
=
∵对于任意上述等式成立
∴，
解得，
∴
这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式．
（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为　 　；
（2）已知整数使分式的值为整数，则满足条件的整数=　 　．
17．化简：
（1）
（2）化简代数式：，再从，，2，3，中选取一个喜欢的数值代入，并求出代数式的值．
18．（1）若，化简A；
（2）若a满足，求A值.
19．“杂交水稻之父”袁隆平团队示范基地的“水稻1号”的试验田是边长为a米（a＞1）的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“水稻2号”的试验田是边长为（a-1）米的正方形，两块试验田的水稻都收获了1000千克．
（1）试说明哪种水稻的单位面积产量高？
（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
人教版八年级数学上名师点拨与训练
第15章 分式
15.2.1 分式的乘除
学习目标
1.掌握分式的乘除运算法则.
2.能够进行分子、分母为多项式的分式乘除法运算．
重点：分式的乘除法法则的运用.
难点：进行分式的乘除运算.
老师告诉你
乘法、除法是同级运算，进行分式乘除混合运算时，应按照从左到右的顺序进行运算；
对于除法运算，要先将除法转化为乘法，注意“一变一倒”：即变除号为乘号时，把除式的分子、分母颠倒位置，并注意除式是整式时，可以把整式看成分母为1的式子进行运算。
知识点拨
知识点1 、分式的乘法
分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表示为：，其中是整式，.
【新知导学】
例1-1．计算 的结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】 = = .
故答案为：A.
【分析】利用分式的乘除法的性质化简即可。
例1-2．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．x
【答案】A
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】，
故答案为：A.
【分析】利用分式的乘法的计算方法分析求解即可.
【对应导练】
1．计算：　 　．
【答案】
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：，
故答案为：2a.
【分析】根据分式的乘法法则计算求解即可。
2．计算 的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解： ，
故答案为：D．
【分析】利用分式的乘法法则计算求解即可。
3．先化简 ，再在1，2，3中选取一个适当的数代入求值．
【答案】解：原式= = =
当x=2时，原式= .
【知识点】分式的约分；分式的乘除法
【解析】【分析】根据分式化简，然后约分代入数值带出答案即可
4． =　 　。
【答案】-x2y
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】 =﹣x（x﹣y） =-x2y．
【分析】考查了简单的分式计算．
知识点2 、分式的除法
分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：，其中是整式，.
【新知导学】
例2-1．计算：．
【答案】解：
．

【知识点】分式的乘除法
【解析】【分析】本题考查分式的除法运算．先把除法运算转化为乘法运算可得：原式=，再进行约分可求出答案．
例2-2．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的除法
【解析】【解答】解：
=
=
故答案为：B.
【分析】先将分数的除法转换为乘法，再利用分式的乘法的计算方法分析求解即可.
【对应导练】
1．若运算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】A、当“□”为时，不是整式，∴A不符合题意；
B、当“□”为时，不是整式，∴B不符合题意；
C、当“□”为时，不是整式，∴C不符合题意；
D、当“□”为时，是整式，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】将各选项分别代入代数式，再利用分式的除法的计算方法逐项分析判断即可.
2．化简：．
【答案】解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分式的乘除法
【解析】【分析】 先利用完全平方公式和平方差公式将式子变形，再将除法转化为乘法，最后约分即可得到答案．
3．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：，
当时，代入得：
原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分式的乘除法；分式的化简求值
【解析】【分析】先利用分式的除法法则将原式变形，再利用完全平方公式和平方差公式进行化简，最后带入的值计算即可
知识点3 、分式的乘除混合运算
（1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式.
（2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘.
（3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分.
（4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式.
【新知导学】
例3-1．化简 结果为（　　）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：原式 .
故答案为：B.
【分析】首先将除法化为乘法，然后根据分式的乘法法则进行化简.
【对应导练】
1．计算分式结果是（　　）
A．-1 B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】，
故答案为：B.
【分析】先将除法转换为乘法，再利用分式的乘法计算方法分析求解即可.
2．计算
（1）
（2）；
（3）
【答案】（1）解：-
（2）解：4
（3）解：
【知识点】分式的乘除法；分式的加减法；分式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）原式=
=
=
(2)原式=
=
=
=4；
(3)原式=
=
=
=
=；
【分析】(1)先计算乘方，再根据分式的乘除运算即可求解；
（2）先将分母进行因式分解，再计算括号，最后根据分式的除法运算即可求解；
（3）根据分式的混合运算，先计算除法运算，再计算减法运算即可求解.
3．计算：；
【答案】解：
【知识点】分式的乘除法
【解析】【分析】根据分式的乘法，除法运算法则，正确进行运算，即可得出答案。
二、题型训练
1.利用分式乘除法则化简求值
1．先化简，再求值． ，其中x＝- ．
【答案】解：原式
当 时，原式
【知识点】分式的乘除法
【解析】【分析】先将分子分母能分解因式的先分解因式，再约分化简，然后代入求值。
2．先化简： ，再选择一个恰当的x值代入求值．
【答案】解：解：原式= = =﹣x+1。
当x=2时，原式=﹣2+1=﹣1。
【知识点】平方差公式及应用；分式的乘除法
【解析】【分析】将分式通过通分，利用平方差公式，最后约分，化为最简，再将x赋值，代入计算出结果。
2.分式乘除混合运算的应用
3．某商店有A、B两箱水果，A箱水果重量为千克，B箱水果重量为千克（其中），两箱水果均卖了120元，那么A箱水果的单价是B箱水果单价的（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：由，
故选：D．
【分析】根据题意列出算式，应用平方差公式，再进行约分化简即可
4．化简： ÷ ．
【答案】解：原式= =（a﹣1） =a+1
【知识点】分式的乘除法
【解析】【分析】原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
5．某人从A地步行到B地时，速度为a，再从B地原路返回到A地时，速度为b，则他自A地到B地再返回A地的平均速度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的乘除法；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】设AB之间的距离为S，
∵从A地步行到B地时，速度为a，
∴从A地步行到B地时，时间为：，
∵从B地原路返回到A地时，速度为b，
∴从B地原路返回到A地时，时间为：，
∴自A地到B地再返回A地的平均速度为，
故答案为：D.
【分析】先利用“时间=路程÷速度”求出从A地步行到B地的时间和从B地原路返回到A地的时间，再利用“速度=路程÷时间”列出算式求出自A地到B地再返回A地的平均速度即可.
3.利用分式乘除法则巧计算
（1）巧用分配律
6．先化简，再求值 ，其中x满足 ．
【答案】解：原式=
=
=x2﹣3﹣2x+2
=x2﹣2x﹣1
由x2﹣2x﹣3=0，得x2﹣2x=3，∴原式=3﹣1=2.
【知识点】分式的乘除法
【解析】【分析】依据已知条件可得到x2﹣2x=3，然后将除法转化为乘法，然后再按照乘法分配律进行计算，然后，再去括号，合并同类项，最后将x2﹣2x=3整体代入求解即可.
（2）巧用结果化简
7．先化简再求值：，其中．
【答案】原式
，
当时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的乘除法；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【分析】根据完全平方式将第二个分式分子括号展开，合并同类项，再根据分式的除法进行化简，再将代入原式即可求出答案.
（3）巧用整体思想
8． 已知，则的值为（　　）
A． B． C．4 D．－4
【答案】C
【知识点】分式的通分；分式的化简求值
【解析】【解答】∵
∴
∴
∴ =4
故答案为 ： C
【分析】本题考查分式的化简求值（分式通分和倒数），常用方法有直接代入，变形后整体带入等。所给等式不能直接求出未知数值，则考虑变形后，整体代入来解题。
三、课堂达标
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．已知，则与的积为1的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：∵，，∴与的积为1的是．
故选：A．
【分析】根据分式的乘法运算法则求解即可
2．小丽在化简分式时，*部分不小心滴上了墨水，请你推测，*部分的式子应该是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的约分；分式的乘除法
【解析】【解答】解：，.
故答案为：A.
【分析】根据被除数=商除数，可得，再通过分式的约分、整理即可得到答案.
3．若，则M为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：M=。
故答案为：B。
【分析】根据除法算式各部分之间的关系，可得出M=，然后根据分式除法法则，正确计算即可得出答案。
4．下面是某同学化简分式的部分计算过程，则在化简过程中的横线上依次填入的序号为（　　）
．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】
故C正确，A、B、D错误；
故答案为： C
【分析】分式除法化简，除法转化为乘法，分子分母分别分解因式，约分化简。
5．计算的结果是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】.
故答案为：C．
【分析】利用分式乘法运算法则计算求解即可.
6．现有A，B两个圆，A圆的半径为(a>6)，B圆的半径为，则A圆的面积是B圆面积的(　　)
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
【答案】B
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：由题意得：A圆的面积为，B圆的面积为，
π（）2÷[π（）2]=．
∴ A圆的面积是B圆面积的倍 .
故答案为：B．
【分析】根据圆的面积公式分别表示出A、B两个圆的面积，进而用A圆面积除以B圆面积，列式求解即可．
7．化简 的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】首先将各分式的分子和分母进行因式分解，然后进行计算．
∴原式=
【分析】首先将各分式的分子和分母进行因式分解，然后进行计算。
8．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：原式．
故答案为：D．
【分析】利用分式的除法计算方法求解即可。
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．计算：　 　 ．
【答案】
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】分式的除法，除以一个不为零的数等于乘上这个数的倒数，再运用分式的乘法法则计算即可.
10．计算的结果是　 　.
【答案】
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：
=
=
故答案为：
【分析】根据分式的乘除运算即可求出答案.
11．计算：　 　．
【答案】
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：
=
=
故答案为：．
【分析】利用分式的乘除法则计算求解即可。
12．计算： 　 　 .
【答案】
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】 .
故答案是：
【分析】利用分式的除法计算方法求解即可。
13．计算 　 　.
【答案】
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
故答案为： .
【分析】首先利用平方差公式以、完全平方公式及提取公因式法对分式的分子、分母进行因式分解，然后将除法化为乘法，接下来进行约分即可.
三、解答题（每小题8分，共48分）
14．已知，，．求值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：∵，
∴
；
（2）解：由题意知，
．
【知识点】平方差公式及应用；分式的通分；完全平方式
【解析】【分析】解：（1）将m、n直接带入m2+n2，再运用完全平方公式计算即可；
（2）将原式通分后代入m、n的值，再运用完全平方公式和平方差公式计算即可.
15．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
．
（2）解：
．
【知识点】分式的乘除法；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用分式的乘除法的计算方法方法和步骤（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子）分析求解即可；
（2）有括号先计算括号内的，再计算分式的乘除法（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子），最后计算分式的加减法（①分母相同，分子相加减；②分母不同，先通分，再将分子相加减）即可.
（1）解：
．
（2）解：
．
16．阅读下列 材料，并解答总题：
材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母x+1，可设
则
=
∵对于任意上述等式成立
∴，
解得，
∴
这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式．
（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为　 　；
（2）已知整数使分式的值为整数，则满足条件的整数=　 　．
【答案】（1）
（2）16、4、2、-10
【知识点】多项式乘多项式；分式的值；分式的乘除法；分式的加减法
【解析】【解答】解：（1） 由分母x－1，可设
则
=
∵对于任意上述等式成立
∴，
解得，
∴
这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式．
故答案为：
（2） ，
∴
∴
∴.
当的值为整数时，的值也是整数，
所以x-3的值可以取13，1，-1，-13，
从而x=16、4、2、-10.
故答案为：16、4、2、-10.
【分析】（1）按照给的例题步骤设，求出a和b的值，然后计算化简即可.
（2）按照例题的步骤设，求出a和b的值，然后代入得拆分后的形式，根据题意，当的值为整数时，分母只能取13，1，-1，-13，从而可得对应的x的取值.
17．化简：
（1）
（2）化简代数式：，再从，，2，3，中选取一个喜欢的数值代入，并求出代数式的值．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
=
，
要使分式有意义，则且且，
不能为2，，3，
当时，原式．
【知识点】分式的乘除法；分式的化简求值
【解析】【分析】（1）利用分式的混合运算的计算方法求解即可；
（2）先利用分式的混合运算的计算方法化简，再将x的值代入计算即可。
18．（1）若，化简A；
（2）若a满足，求A值.
【答案】（1）解：
；
（2）解：满足，
，即或，
根据（1）的化简过程可知，则得，
.
【知识点】分式的乘除法；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）对第二个分式的分子、分母进行分解，将除法化为乘法，再根据分式的乘法法则即可对原式进行化简；
（2）利用因式分解法可求出a的值，然后由分式有意义的条件选取一个a值代入计算即可.
19．“杂交水稻之父”袁隆平团队示范基地的“水稻1号”的试验田是边长为a米（a＞1）的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“水稻2号”的试验田是边长为（a-1）米的正方形，两块试验田的水稻都收获了1000千克．
（1）试说明哪种水稻的单位面积产量高？
（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
【答案】（1）解：∵“水稻1号”小麦的试验田是边长为a米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“水稻2号”小麦的试验田是边长为（a 1）米的正方形，
∴“水稻1号”小麦的试验田的面积＝a2 1；
“水稻2号”小麦的试验田的面积＝（a 1）2，
∵a2 1 （a 1）2＝a2 1 a2＋2a 1＝2（a 1），
由题意可知，a＞1，
∴2（a 1）＞0，
即a2 1＞（a 1）2，
∵两块试验田的水稻都收获了1000千克，
∴“水稻2号”小麦的试验田小麦的单位面积产量高；
（2）解：∵“水稻1号”小麦的试验田的面积＝a2 1；
“水稻2号”小麦的试验田的面积＝（a 1）2，两块试验田的小麦都收获了1000千克，
∴“水稻2号”小麦的试验田小麦的单位面积产量高，
∴=．
答：单位面积产量高是低的倍．
【知识点】分式的乘除法
【解析】【分析】（1）分别求出两种水稻的单位面积产量，再比较即可；
（2）利用“水稻2号” 单位面积产量除以“水稻1号” 单位面积产量即得结论.
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