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人教版八年级数学上名师点拨与训练
第15章 分式
15.2.2 分式的加减
学习目标
1.掌握分式的加减运算法则并运用其进行计算.
2.能够进行异分母的分式加减法运算．
重点：运用分式的加减法则进行运算.
难点：异分母分式加减的运算(异分母转化为同分母).
老师告诉你
同分母分式的加减运算。要把每个分式的分子看成一个整体，加上括号，避免出现符号错误。
分母互为相反数的分式加减法，先通过分式的符号法则变成同分母后，再加减。
分式的化简求值的方法：
一般是先运用分式的运算法则把分式化简为最简分式，然后将已知的数值代入求值。
技巧：（1）当所给的字母的取值较复杂或是以条件等式的形式给出时，一般考虑整体代入法：（2）当所给的是几个量的比时，用设参数法或倒数法求值。
知识点拨
知识点1 、同分母分式的加减
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
上述法则可用式子表为：
.
注意
“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，
当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误.
（2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式.
【新知导学】
例1-1 .计算：．
华华的计算过程如下：
解：原式．
请问华华的计算结果正确吗？如果不正确，请说明理由．
例1-2 .计算： -
【对应导练】
1 .计算： -
2．计算的结果是　 　．
3．计算：
4．计算：　 　．
5．化简：的结果是（　　）
A． B．1 C．2 D．0
知识点2 分母互为相反数的分式加减
首先根据分式变号法则转化为同分母分式加减。
【新知导学】
例2-1．如图是某同学分式求值的错误过程．
先化简，再求值：，其中解：原式
（1）求原式正确的化简结果；
（2）老师说：“虽然该过程有错误，但最后所求的值是正确的．”求图中被污染的x的值．
例2-2．计算的结果为（ ）
A． B．1 C． D．
【对应导练】
1．化简 + 的结果为　 　
2．化简： =　 　．
3．化简：的结果为　 　．
知识点3 、异分母分式的加减
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
上述法则可用式子表为：
.
注意
异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法.
（2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式.
【新知导学】
例3-1．下面是小明同学的一篇回顾与反思，请认真阅读并完成相应的任务．
异分母的分式加减法回顾与反思
【回顾】
今天我们学习了异分母的分式加减法，在课堂小结环节我的总结如下：
下面是我在课堂上化简分式的过程：
解：原式 第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
【反思】
总之，在学习中我们要善于思考与反思，总结与归纳，在总结中收获经验，为今后的学习奠定坚实的基础．
任务：
（1）在探究异分母的分式加减法法则时主要体现的数学思想是______；
A．方程思想 B．数形结合思想 C．转化思想 D．统计思想
（2）以上化简过程中，第______步是分式的通分，通分的依据是______；
（3）我们在做题时一定要养成认真检查的好习惯，由于小明的马虎，解题过程出现了错误，从第_____步开始出现错误，化简的正确结果应该是______．
例3-2． 先化简，再求值：，并从－2，2，4中选一个合适的数作为x的值代入求值．
【对应导练】
1． 先化简，再求值：，其中.
2．计算：
3．已知分式，，其中，则与的关系是 （　　）
A． B． C． D．
知识点4 、分式的加减的应用
例4-1．一辆汽车开往距离出发地的目的地． 出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前到达目的地，
（1）求汽车实际走完全程所花的时间．
（2）若汽车按原路返回，司机准备一半路程以的速度行驶，另一半路程以的速度行驶（），则用时小时，若用一半时间以 的速度行驶，另一半时间以的速度行驶，则用时小时，请比较 的大小，并说明理由．
例4-2．小明发现爸爸和妈妈的加油习惯不同，妈妈每次加油都说“师傅，给我加元油”（油箱未加满），而爸爸则说：“师傅，帮我把油箱加满”小明很好奇：现实生活中油价常有变动，爸爸妈妈不同的加油方式，哪种方式会更省钱呢？现以两次加油为例来研究．设爸爸妈妈第一次加油油价为元/升，第二次加油油价为元/升，
（1）求妈妈两次加油的总量和两次加油的平均价格．用含，的代数式表示
（2）爸爸和妈妈的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？用所学数学知识说明理由．
【对应导练】
1．现有甲、乙、丙三张正方形卡片，卡片的边长如图1所示．某同学将甲和丙卡片的一个直角重叠在一起拼成图2，其阴影部分面积记为；图3为乙卡片，其面积记为．
（1）化简式子，并求当时，该式子的值；
（2）当时，求的值．
2．科学中，经常需要把两种物质混合制作成混合物，研究混合物的物理性质和化学性质．现将甲、乙两种密度分别为，的液体混合，研究混合物的密度（物体的密度物体的质量的体积．假设混合前后液体的总体积不变，令等体积的甲乙两种液体的混合溶液密度为，等质量的甲乙两种液体的混合溶液的密度为．
（1）请用含，式子表示；
（2）比较，的大小，并通过运算说明理由；
（3）现有密度为的盐水，加适量的水（密度为）进行稀释，问：需要加水多少，才能使密度为的鸡蛋悬浮在稀释后的盐水中？
二、题型训练
利用分式的加减法则计算
1．计算：．
2．计算：．
3．若，那么　 　．
4．计算
（1）
（2）先化简再求值：，其中
利用分式的加减法则化简求值
5．已知，．
（1）化简A；
（2）当时，求A的值
7．已知，求代数式的值．
利用分式的加减法则比较大小
8．比较大小有求差、求比等方法，但灵活应用已知巧妙变形也会起到简化计算的效果．已知a、b为实数，且ab=1，设P=+，Q=+，比较P、Q的大小．
9．已知a、b为实数，且，设，则M、N的大小关系是M　 　 N（填=、>、<、≥、≤）．
10． 数学来源于生活，生活中处处有数学，用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证发现一些数学结论现有克糖水，其中含有克糖，则糖水的浓度即糖的质量与糖水的质量比为．
（1）糖水实验一：加入克水，则糖水的浓度为　 　生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡，由此可以写出一个不等式　 　，我们趣称为“糖水不等式”．
（2）糖水实验二：
将“糖水实验一”中的“加入克水”改为“加入克糖”，则糖水的浓度为　 　根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”　 　．
（3）请结合探究得到的结论尝试证明：
设、、为三边的长，求证：．
三、课堂达标
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
30．下列等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
3．化简 的结果是（　　）
A． B． C． D．
4．化简结果正确的是（　　）
A． B．1 C． D．
5．在复习分式的化简运算时，老师把甲、乙两位同学的解答过程分别展示如下则（　　）
甲： 乙：
A．甲、乙都错 B．甲、乙都对 C．甲对，乙错 D．甲错，乙对
6．已知：a，b，c三个数满足：，，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，若约定：上方相邻两个代数式之和等于两个代数式下方箭头共同指向的代数式，则代数式M是（　　）
A． B． C． D．
8．在计算 时， 嘉嘉和琪琪使用方法不同， 但计算结果相同， 则 ( )
嘉嘉：
琪琪：
A．嘉嘉正确 B．琪琪正确 C．都正确 D．都不正确
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．若 ，则 　 　.
10．计算：　 　．
11．化简：　 　．
12．若，且，，则m，n的大小关系是　 　．
13．如果，，满足，，则　 　．
三、解答题（每小题8分，共48分）
14．计算：
15．学完分式运算后，老师出了一道题：“计算”小明解答如下：
解：原式＝ ……第一步
＝2x﹣（x+1）……第二步
＝2x﹣x﹣1 ……第三步
＝x﹣1 ……第四步
（1）上述解题过程中的错误从第　 　步开始；
（2）当x为x﹣3＜0的正整数解时，求的值．
16．数学来源于生活，生活离不开数学，开水中加入适量的糖冲泡成甜糖水很受一些人的喜爱，人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度.
（1）若在a克糖水里面含糖b克（），则该糖水的甜度为　 　；
（2）现向（1）中的糖水中再加入适量的糖，充分搅匀后，感觉糖水更甜了.
请用所学的数学知识解释这一现象.（提示：我们在判断两个数的大小时，常常会用到作差法，如所以，同样如果，就说明）
17．下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．
，
＝…第一步，
＝…第二步，
＝…第三步，
＝…第四步，
＝…第五步，
＝…第六步．
（1）任务一：填空：
①以上化简步骤中，第 　 　步是进行分式的通分，通分的依据是 　 　或填为：　 　；
②第 　 　步开始出现错误，这一步错误的原因是 　 　；
（2）任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果是 　 　；
（3）任务三：根据小明同学进行分式化简的过程：完成下列分式的计算：．
18．先化简分式，然后请你选取一个合适的a值代入，求分式的值．
19．【阅读理解】阅读下面的解题过程：已知：，求的值．
解：由知，即①
②，故的值为．
（1）第①步由得到逆用了法则：______；第②步运用了公式：______；（法则，公式都用式子表示）
【类比探究】
（2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：
已知，求的值；
人教版八年级数学上名师点拨与训练
第15章 分式
15.2.2 分式的加减
学习目标
1.掌握分式的加减运算法则并运用其进行计算.
2.能够进行异分母的分式加减法运算．
重点：运用分式的加减法则进行运算.
难点：异分母分式加减的运算(异分母转化为同分母).
老师告诉你
同分母分式的加减运算。要把每个分式的分子看成一个整体，加上括号，避免出现符号错误。
分母互为相反数的分式加减法，先通过分式的符号法则变成同分母后，再加减。
分式的化简求值的方法：
一般是先运用分式的运算法则把分式化简为最简分式，然后将已知的数值代入求值。
技巧：（1）当所给的字母的取值较复杂或是以条件等式的形式给出时，一般考虑整体代入法：（2）当所给的是几个量的比时，用设参数法或倒数法求值。
知识点拨
知识点1 、同分母分式的加减
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
上述法则可用式子表为：
.
注意
“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，
当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误.
（2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式.
【新知导学】
例1-1 .计算：．
华华的计算过程如下：
解：原式．
请问华华的计算结果正确吗？如果不正确，请说明理由．
【答案】不正确，理由见解析
【分析】按照同分母的减法法则计算即可．
解：华华的计算结果不正确，
理由：减式的分子是一个多项式，没有注意分数线的括号作用；
正确的运算是：
原式．
【点拨】本题考查了分式的加减，掌握运算法则是解本题的关键．注意： 减式的分子是一个多项式，运算时要注意分数线的括号作用，防止出现的错误．
例1-2 .计算： -
【答案】m-1
【分析】按照同分母的减法法则计算即可．
解: -
=
=
=
=m-1
【点拨】本题考查了分式的加减，掌握运算法则是解本题的关键．注意： 减式的分子是一个多项式，运算时要注意分数线的括号作用，
【对应导练】
1 .计算： -
【答案】a+1
【分析】按照同分母的减法法则计算即可．
解: -
=
=
=a+1
【点拨】本题考查了分式的加减，掌握运算法则是解本题的关键．注意： 减式的分子是一个多项式，运算时要注意分数线的括号作用，
2．计算的结果是　 　．
【答案】1
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：；
故答案为：1．
【分析】本题考查同分母的分式的加法.根据同分母的分式的加法法则：分母不变，分子相加可得：原式，再进行计算可求出答案．
3．计算：
【答案】解：
．
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】本题考查同分母分式减法计算．同分母的分式相加减，分母不变，分子直接相加减，据此可得：原式=，再进行化简可求出答案.
4．计算：　 　．
【答案】1
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：.
故答案为：1.
【分析】根据同分母相加减，分母不变，分子相加减，进行计算即可得到答案.
5．化简：的结果是（　　）
A． B．1 C．2 D．0
【答案】C
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】，
故答案为：C.
【分析】利用分式的加法计算方法分析求解即可.
知识点2 分母互为相反数的分式加减
首先根据分式变号法则转化为同分母分式加减。
【新知导学】
例2-1．如图是某同学分式求值的错误过程．
先化简，再求值：，其中解：原式
（1）求原式正确的化简结果；
（2）老师说：“虽然该过程有错误，但最后所求的值是正确的．”求图中被污染的x的值．
【答案】（1）解：
=
=
=
（2）解：根据（1）可得：
∴，
解得：，
经检验，是原方程的解．
【知识点】解分式方程；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）利用分式的加减法的定义及计算方法（①分母相同，分子相加减；②分母不同，先通分，再将分子相加减）分析求解即可；
（2）利用（1）的化简结果可得：，再利用分式方程的计算方法及步骤分析求解即可.
（1）解：
（2）解；由题意得，，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解．
例2-2．计算的结果为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】分式的加减法
【对应导练】
1．化简 + 的结果为　 　
【答案】x
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】原式= ，故答案为：x.
【分析】根据同分母的分式相加减，分母不变分子相加减，化为最简分式.
2．化简： =　 　．
【答案】x+2
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
= ﹣
=
=x+2．
故答案为：x+2．
【分析】先转化为同分母（x﹣2）的分式相加减，然后约分即可得解．
3．化简：的结果为　 　．
【答案】-2
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】，
故答案为：-2.
【分析】利用分式的减法计算方法分析求解即可.
知识点3 、异分母分式的加减
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
上述法则可用式子表为：
.
注意
异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法.
（2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式.
【新知导学】
例3-1．下面是小明同学的一篇回顾与反思，请认真阅读并完成相应的任务．
异分母的分式加减法回顾与反思
【回顾】
今天我们学习了异分母的分式加减法，在课堂小结环节我的总结如下：
下面是我在课堂上化简分式的过程：
解：原式 第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
【反思】
总之，在学习中我们要善于思考与反思，总结与归纳，在总结中收获经验，为今后的学习奠定坚实的基础．
任务：
（1）在探究异分母的分式加减法法则时主要体现的数学思想是______；
A．方程思想 B．数形结合思想 C．转化思想 D．统计思想
（2）以上化简过程中，第______步是分式的通分，通分的依据是______；
（3）我们在做题时一定要养成认真检查的好习惯，由于小明的马虎，解题过程出现了错误，从第_____步开始出现错误，化简的正确结果应该是______．
【答案】（1）C
（2）三，分式的基本性质
（3）四，
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】（1）解：在探究异分母的分式加减法法则时主要体现的数学思想是转化思想，故C正确；
故选：C．
（2）解：以上化简过程中，第三步是分式的通分，通分的依据是分式的基本性质．
故答案为：三；分式的基本性质；
（3）解：从第四步开始出现错误，
．
因此正确结果为：．
【分析】本题考查分式加减运算．
（1）根据 异分母的分式加减法法则时主要体现的数学思想是转化思想 ，据此可选出选项；
（2）原式 变形为：原式 ，是通分；通分的依据是分式的基本性质：分子和分母同时乘以一个不为0的数，分式的值不变；
（3）原式变形为：原式，错误，x+2是一个整体，需要加上括号，正确的为： 原式 ，再进行化简可求出答案.
（1）解：在探究异分母的分式加减法法则时主要体现的数学思想是转化思想，故C正确；
故选：C．
（2）解：以上化简过程中，第三步是分式的通分，通分的依据是分式的基本性质．
故答案为：三；分式的基本性质；
（3）解：从第四步开始出现错误，
．
因此正确结果为：．
例3-2． 先化简，再求值：，并从－2，2，4中选一个合适的数作为x的值代入求值．
【答案】解：
∵x不能取2，，
∴，
∴原式．
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简可得，再将x的值代入计算即可.
【对应导练】
1． 先化简，再求值：，其中.
【答案】解：
=
=
=；
当时，原式=
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值
【解析】【分析】先根据分式的混合运算进行化简，进而代入数值即可求解。
2．计算：
【答案】原式 =
=
=
=．
=
=．
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】本题考查分式的加减法.先进行通分可得：原式=，再根据同分母分式相减，分母不变，分子相减可得：原式=，再将括号进行展开，合并同类项可求出答案.
3．已知分式，，其中，则与的关系是 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：，
，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】根据平方差公式对A化简，利用分式的通分对B化简，即可比较与的关系.
知识点4 、分式的加减的应用
例4-1．一辆汽车开往距离出发地的目的地． 出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前到达目的地，
（1）求汽车实际走完全程所花的时间．
（2）若汽车按原路返回，司机准备一半路程以的速度行驶，另一半路程以的速度行驶（），则用时小时，若用一半时间以 的速度行驶，另一半时间以的速度行驶，则用时小时，请比较 的大小，并说明理由．
【答案】（1）解：设前一小时行驶的速度为，则提速后的速度为，依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：汽车实际走完全程所花的时间为；
（2）解：，理由如下：由题意得，，，，
∵a，b均为正数，且，
∴，，
∴，
即，
∴．
【知识点】分式的加减法；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】本题考查分式方程的实际应用，分式加减法的实际应用：
（1）设前一小时行驶的速度为，则提速后的速度为， 根据实际比并比原计划提前到达目的地可列出方程，解方程可求出x的值，再进行检验可求出方程的解，进而可求出答案；
（2）利用时间等于路程除以速度，利用分式的基本性质进行计算可分别求出两种方案所需时间，，再进行比较（做差）可得：，利用符号法则可推出，据此可得出结论．
（1）解：设前一小时行驶的速度为，则提速后的速度为，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：汽车实际走完全程所花的时间为；
（2）解：，理由如下：
由题意得，，，，
∵a，b均为正数，且，
∴，，
∴，
即，
∴．
例4-2．小明发现爸爸和妈妈的加油习惯不同，妈妈每次加油都说“师傅，给我加元油”（油箱未加满），而爸爸则说：“师傅，帮我把油箱加满”小明很好奇：现实生活中油价常有变动，爸爸妈妈不同的加油方式，哪种方式会更省钱呢？现以两次加油为例来研究．设爸爸妈妈第一次加油油价为元/升，第二次加油油价为元/升，
（1）求妈妈两次加油的总量和两次加油的平均价格．用含，的代数式表示
（2）爸爸和妈妈的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？用所学数学知识说明理由．
【答案】（1）解：根据题意可得，
妈妈两次加油的总量是：(升)，
妈妈两次加油的平均价格是：(元/升)，
即妈妈两次加油的总量是升，妈妈两次加油的平均价格是元/升；
（2）解：设爸爸每次加满油箱的油是升，
则爸爸两次加油的平均价格是(元/升)，
，
当时，爸爸的加油方式和妈妈的加油方式一样省钱；
当时，妈妈的加油方式更省钱．
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系；异分母分式的加、减法
【解析】【分析】（1）先分别求出第一次和第二次加油的量，再相加可得两次加油的总量，再利用“平均价格=总价格÷总油量”列出代数式即可；
（2）设爸爸每次加满油箱的油是升，再利用“平均价格=总价格÷总油量”求出爸爸两次加油的平均价，再比较大小即可.
【对应导练】
1．现有甲、乙、丙三张正方形卡片，卡片的边长如图1所示．某同学将甲和丙卡片的一个直角重叠在一起拼成图2，其阴影部分面积记为；图3为乙卡片，其面积记为．
（1）化简式子，并求当时，该式子的值；
（2）当时，求的值．
【答案】（1）解：根据题意可知，，，
，
当时，．
（2）解：，
，
解得：，
经检验，是原分式方程的解．
【知识点】分式的化简求值；解分式方程
【解析】【分析】（1）先结合图形求出，，再将其代入计算并化简，最后将a=10代入计算即可；
（2）根据可得，再求解即可.
（1）解：由题意可知，，，
，
当时，．
（2），
，
解得，，
经检验，是原分式方程的解．
2．科学中，经常需要把两种物质混合制作成混合物，研究混合物的物理性质和化学性质．现将甲、乙两种密度分别为，的液体混合，研究混合物的密度（物体的密度物体的质量的体积．假设混合前后液体的总体积不变，令等体积的甲乙两种液体的混合溶液密度为，等质量的甲乙两种液体的混合溶液的密度为．
（1）请用含，式子表示；
（2）比较，的大小，并通过运算说明理由；
（3）现有密度为的盐水，加适量的水（密度为）进行稀释，问：需要加水多少，才能使密度为的鸡蛋悬浮在稀释后的盐水中？
【答案】（1）解：由题意得，，
则
（2）解：设选取的甲、乙两种溶液的质量都是，则
，
，．
（3）解：设需要加水，根据题意得：
去分母，得：，解这个整式方程，得．
经检验，是分式方程的解．
答：需要加水
【知识点】分式的化简求值；分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）根据题意列出分式，化简即可。
（2）先表示出，结合（1）得到的 ，利用求差法求得并化简分析即可。
（3）根据密度公式列出方程，解方程并检验即可。
二、题型训练
利用分式的加减法则计算
1．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】本题考查分式的减法.根据同分母分式相减，分母不变，分子相减可得：原式，再进括号展开可得：原式，再进行计算可求出答案.
2．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】分式的加减法；因式分解-平方差公式
【解析】【分析】本题考查分式的加减运算，平方差公式的运用.先运用平方差公式进行因式分解可得：原式 ，再根据异分母分式的运算法则进行通分可得：原式，再对分子进行去括号，合并同类项，再分子和分母同时进行约分可求出答案．
3．若，那么　 　．
【答案】3
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴A-B=3，
故答案为：3.
【分析】先利用分式的加法的计算方法可得，再利用待定系数法可得A-B=3.
4．计算
（1）
（2）先化简再求值：，其中
【答案】（1）解：原式=
=
；
（2）解：原式=
当时，
.
【知识点】分式的加减法；分式的化简求值
【解析】【分析】（1）根据分式的加减运算法则运算即可；
（2）根据分式的混合运算法则，先乘除，再加减，有括号时先算括号里面的.约分时需要先分解因式.最后代入求值即可.
利用分式的加减法则化简求值
5．已知，．
（1）化简A；
（2）当时，求A的值
【答案】（1）
（2）
【知识点】分式的值；分式的加减法；因式分解法解一元二次方程
6．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式，
，
，
当时，
原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先利用平方差公式将第二个分式的分母分解因式，再计算分式乘法，进而根据同分母分式减法计算，最后把x=2代入化简后的式子即可求解.
7．已知，求代数式的值．
【答案】解：原式
，
当时，
原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先计算分式乘法，再通分计算分式减法，化简出最简结果，最后整体代入，计算求解即可．
利用分式的加减法则比较大小
8．比较大小有求差、求比等方法，但灵活应用已知巧妙变形也会起到简化计算的效果．已知a、b为实数，且ab=1，设P=+，Q=+，比较P、Q的大小．
【答案】解：P=+===，Q=+=，则P=Q．
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】首先把P和Q通分相加，把ab=1代入，然后进行比较即可．
9．已知a、b为实数，且，设，则M、N的大小关系是M　 　 N（填=、>、<、≥、≤）．
【答案】=
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：，
，
∵，
∴，
∴M＝N，
故答案为：＝．
【分析】利用分式的加减法可得M、N的值，即可得到M＝N。
10． 数学来源于生活，生活中处处有数学，用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证发现一些数学结论现有克糖水，其中含有克糖，则糖水的浓度即糖的质量与糖水的质量比为．
（1）糖水实验一：加入克水，则糖水的浓度为　 　生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡，由此可以写出一个不等式　 　，我们趣称为“糖水不等式”．
（2）糖水实验二：
将“糖水实验一”中的“加入克水”改为“加入克糖”，则糖水的浓度为　 　根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”　 　．
（3）请结合探究得到的结论尝试证明：
设、、为三边的长，求证：．
【答案】（1）；
（2）；
（3）解：在中，，，，且，，，
，，，
由糖水不等式得，，，，
，
．
【知识点】分式的化简求值；用字母表示数；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：（1）①根据题意可得：加入m克水后，糖水的浓度为，
②∵糖水加水后会变淡，
∴，
故答案为：；；
（2）根据题意可得：加入m克糖后，糖水的浓度为，
∵根据生活经验， 糖水加糖后会变浓，
∴，
故答案为：；.
【分析】（1）根据题意直接列出代数式，再根据生活常识分析求解即可；
（2）根据题意直接列出代数式，再根据生活常识分析求解即可；
（3）利用三角形三角形的关系可得，，，且，，，再求出，，，最后利用“糖水不等式”的变形进行分析求解即可.
三、课堂达标
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：A、 ，故A错误；
B、原式= ，故B正确；
C、 ，故C错误；
D、原式= ，故D错误；
故答案为：B.
【分析】（1）由同分母的分式加减法法则“把同分母的分子相加，分母不变”计算可得原式=；
（2）观察分式的分母可知，两个分母相差一个负号，将第二个分式变形并根据同分母的分式加减法法则“把同分母的分子相加，分母不变”计算可得原式=；
（3）由异分母的分式加减法法则“先将异分母化为同分母，再根据同分母的分式加减法法则计算可得原式=；
（4）根据（2）的方法计算即可求解.
30．下列等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】分式的基本性质；分式的加减法
【解析】【解答】解：A、 ≠ ，故A选项不成立；
B、 = ，故B选项成立；
C、 不能约分，故C选项错误；
D、 ，故D选项不成立.
故答案为：B.
【分析】根据分式的基本性质“分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的数或式子，分式的值不变”并结合各选项可判断求解.
3．化简 的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】原式
故答案为：B.
【分析】原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可求出值.
4．化简结果正确的是（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解： 。
故答案为：B。
【分析】根据同分母分式的运算法则，进行计算即可。
5．在复习分式的化简运算时，老师把甲、乙两位同学的解答过程分别展示如下则（　　）
甲： 乙：
A．甲、乙都错 B．甲、乙都对 C．甲对，乙错 D．甲错，乙对
【答案】A
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】甲第①步中没有通分，故计算错误；乙第③步中，同分母分式相加，分母应保持不变，故计算错误.
故答案为：A．
【分析】根据分式的加减乘除运算法则即可求解.
6．已知：a，b，c三个数满足：，，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，，，
∴，
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据题意可知： ，，，再把它们相加可得，从而可得的值.
7．如图，若约定：上方相邻两个代数式之和等于两个代数式下方箭头共同指向的代数式，则代数式M是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：由题意得：，∴，∴D正确。
故答案为：D。
【分析】根据题意，列出等式，化简约分后，求出代数式M即可。
8．在计算 时， 嘉嘉和琪琪使用方法不同， 但计算结果相同， 则 ( )
嘉嘉：
琪琪：
A．嘉嘉正确 B．琪琪正确 C．都正确 D．都不正确
【答案】D
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：嘉嘉：；
琪琪：，
∴嘉嘉和琪琪的计算都不正确，
故答案为：D.
【分析】有括号先计算括号内的，再计算分式的乘除法（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子），最后计算分式的加减法（①分母相同，分子相加减；②分母不同，先通分，再将分子相加减）即可.
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．若 ，则 　 　.
【答案】8
【知识点】代数式求值；分式的基本性质；分式的化简求值
【解析】【解答】∵ 可化为 ， 化为
∴原式= =32-1=8
【分析】先把 可化为 ，再将 化为 ，然后代入即可解答。
10．计算：　 　．
【答案】
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：
=
=
=
=
故答案为：.
【分析】有括号先计算括号内的，再计算分式的乘除法（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子），最后计算分式的加减法（①分母相同，分子相加减；②分母不同，先通分，再将分子相加减）即可.
11．化简：　 　．
【答案】
【知识点】分式的加减法；分式的化简求值
【解析】【解答】解：原式
故答案为：.
【分析】先将分母化为一致，然后分子进行加减，再利用平方差公式把分母分解，最后化简即可.
12．若，且，，则m，n的大小关系是　 　．
【答案】m=n
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：，
，
∵ab=1，
故，
，
∴m=n；
故答案为：m=n.
【分析】根据分式的性质将m、n化简，再将ab=1代入求出m、n的值，即可得出答案.
13．如果，，满足，，则　 　．
【答案】
【知识点】平方差公式及应用；分式的化简求值
【解析】【解答】解：根据题意得：，
，，，
．
故答案为：．
【分析】先求出，，，再将其代入计算即可.
三、解答题（每小题8分，共48分）
14．计算：
【答案】解：原式=
=
=
【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】利用分式减法的计算方法求解即可。
15．学完分式运算后，老师出了一道题：“计算”小明解答如下：
解：原式＝ ……第一步
＝2x﹣（x+1）……第二步
＝2x﹣x﹣1 ……第三步
＝x﹣1 ……第四步
（1）上述解题过程中的错误从第　 　步开始；
（2）当x为x﹣3＜0的正整数解时，求的值．
【答案】（1）2
（2）解：当x﹣3＜0时，
∴x＜3
∵x是整数，
∴x＝2
∴原式＝
＝
＝
＝
【知识点】分式的加减法；分式的化简求值
【解析】【解答】解：
原式＝ ……第一步
＝……第二步
对比原题，发现错误从第二步开始
故填：2
【分析】（1）通分步骤正确，通分后分式的分母不变，分子相加减，错误出现在丢掉了分母；（2）根据题意，本题属于化简求值问题，根据平方差公式化简后，筛选符合条件的x值，要考虑使分式有意义，x只能是2.
16．数学来源于生活，生活离不开数学，开水中加入适量的糖冲泡成甜糖水很受一些人的喜爱，人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度.
（1）若在a克糖水里面含糖b克（），则该糖水的甜度为　 　；
（2）现向（1）中的糖水中再加入适量的糖，充分搅匀后，感觉糖水更甜了.
请用所学的数学知识解释这一现象.（提示：我们在判断两个数的大小时，常常会用到作差法，如所以，同样如果，就说明）
【答案】（1）
（2）解：设往杯中加入克糖，则此时糖水的甜度为：，
∵
，
∵，，
∴，，，
∴，∴，
∴向（1）中的糖水中再加入适量的糖，充分搅匀后，糖水更甜.
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】（1）解：∵糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度
∴a克糖水里面含糖b克（），则该糖水的甜度为
【分析】本题考查分式加减的应用。
（1）根据题中”甜度“的定义，可得a克糖水里面含糖b克（），则该糖水的甜度为；
（2）设往杯中加入c克糖，则此时糖水的甜度为：，作差法得，由，得，，则，可解释这一现象。
17．下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．
，
＝…第一步，
＝…第二步，
＝…第三步，
＝…第四步，
＝…第五步，
＝…第六步．
（1）任务一：填空：
①以上化简步骤中，第 　 　步是进行分式的通分，通分的依据是 　 　或填为：　 　；
②第 　 　步开始出现错误，这一步错误的原因是 　 　；
（2）任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果是 　 　；
（3）任务三：根据小明同学进行分式化简的过程：完成下列分式的计算：．
【答案】（1）三；分式的基本性质；分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变；五；去括号时，括号前面是“-”号，去括号后，括号里的第二项没有变号
（2）
（3）解：
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：(1)①以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质或填为：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变；
故答案为：三；分式的基本性质；分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变.
②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号时，括号前面是''-''号，去括号后，括号里的第二项没有变号.
故答案为：五；去括号时，括号前面是''-''号，去括号后，括号里的第二项没有变号.
(2)，
，
，
，
，
，
.
故答案为：.
【分析】(1)①分式的分子和分母同时乘以同一个不为零的数化为所有分母的最小公倍数进行通分，分式的值不变.
②去括号时，括号前面是''-''号，去括号后，括号里的第二项没有变号.
(2)对第五步错误的地方进行更改，化简即可.
(3)先对分母进行因式分解，再化简通分，然后进行同分母分式的加减运算.
18．先化简分式，然后请你选取一个合适的a值代入，求分式的值．
【答案】解：
∵a取0，1，-1时，分式无意义，
∴当a＝3时，
原式＝（答案不唯一）．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值
【解析】【分析】先利用分式的分子、分母进行因式分解，再进行分式的乘法运算，化简后代入x的值求解即可.
19．【阅读理解】阅读下面的解题过程：已知：，求的值．
解：由知，即①
②，故的值为．
（1）第①步由得到逆用了法则：______；第②步运用了公式：______；（法则，公式都用式子表示）
【类比探究】
（2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：
已知，求的值；
【答案】（1）；；
解：（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】有理数的倒数；完全平方公式及运用；分式的化简求值
【解析】【解答】解：（1）第①步由得到逆用了法则：；第②步运用了公式：；
故答案为：；；
【分析】（1）根据同分母分式的加法法则及完全平方公式的变形即可求出答案.
（2）根据题意计算即可求出答案.
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