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人教版八年级数学上名师点拨与训练
第15章 分式
15.2.2 分式的加减2
学习目标
1.掌握分式的加减乘除混合运算法则并运用其进行计算.
2.能够应用分式的加减乘除混合运算解决实际问题．
重点：运用分式的加减乘除混合运算法则进行运算.
难点：分式加减乘除混合的运算
老师告诉你
分式的混合运算遵循以下步骤和原则：
运算顺序 ：先进行乘方运算然后进行乘除运算，最后进行加减运算。
如果有括号，则先计算括号内的内容，在没有括号的情况下，同级运算从左到右依次进行运算，结果应化为最简分式或整式。分子和分母需要进行约分，以得到最简形式
特殊注意 ：当分子或分母的系数为负数时，应将负号提到分式前面
通分时，要找到各分式的最简公分母
加减法中，同分母分式相加减时，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减时，要先通分再计算
请根据这些原则进行分式的混合运算，并确保最后结果是最简形式。
知识点拨
知识点1 、分式混合运算的步骤
分式的混合运算
与分数的加、减、乘、除混合运算一样，分式的加、减、乘、除混合运算，也是先算乘、除，后算加、减；遇到括号，先算括号内的，按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序计算. 分式运算结果必须达到最简，能约分的要约分，保证结果是最简分式或整式.
【新知导学】
例1-1．数学课上，老师展示佳佳的解答如下：
计算：，
原式①
②
③
＝3④
对佳佳的每一步运算，依据错误的是：( )
A.①：同分母分式的加减法法则 B.②：合并同类项法则
C.③：提公因式法 D.④：等式的基本性质
【对应导练】
1．如图是嘉琪进行分式计算的过程，下列判断不正确的是( )
第一步第二步第三步第四步
A.第二步运用了分式的基本性质 B.从第三步开始出现错误
C.原分式的计算结果为 D.当时，原分式的值为0
2．以下是代数式排乱的化简步骤：
①；
②；
③；
④.
则正确化简步骤的顺序是( )
A.①→③→④→② B.③→①→④→② C.③→④→①→② D.①→④→③→②
知识点2 、分式混合运算
（1）正确运用运算法则：分式的乘除（包括乘方）、加减、符号变化法则是正确进行分式运算的基础，要牢牢掌握.
（2）运算顺序：先算乘方，再算乘、除，最后算加、减，遇有括号，先算括号内的.
（3）运算律：运算律包括加法和乘法的交换律、结合律，乘法对加法的分配律.能灵活运用运算律，将大大提高运算速度
【新知导学】
例2-1．化简：.
例2-2．化简：.
【对应导练】
1．计算：
2．计算.
3．以下是某同学化简分式的部分运算过程：
解：原式①②③…
解：
（1）上面的运算过程中第_________步出现了错误，并在上框内写出完整的解答过程；
（2）选择一个你喜欢的x的值代入求值.
4．以下是小华化简分式的过程：
原式①
②
③
（1）小华的解答过程在第______步出现错误.
（2）请你帮助小华写出正确的解答过程，并计算当时分式的值.
知识点3 、分式混合运算的实际应用
读懂题意，分清问题中的数量关系.
根据数量关系列出代数式.
按分式的运算法则、运算顺序解决问题.
【新知导学】
例3-1．一块麦田有，甲收割完这块麦田需，乙比甲少用就能收割完这块麦田，两人一起收割完这块麦田需要多少小时？
例3-2．以下是某同学化简分式的部分运算过程：
原式①
②
③
……
（1）上面的运算过程中第_____步出现了错误；
（2）选择一个你喜欢的x的值代入求值.
【对应导练】
1．甲乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料，两次饲料的价格有变化，第一次的价格为m元/千克，第二次的价格为n元/千克（m，n是正数，且），甲每次购买800千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料.
（1）甲、乙所购饲料的平均单价各是多少元？
（2）谁的购买方式平均单价较低？
2．商店通常用以下方法来确定两种糖果混合而成的什锦糖的价格：设A种糖的价格为a元/，B种糖的价格为b元/，则mA种糖和nB种糖混合而成的什锦糖的价格为元/.现有甲、乙两种什锦糖，均由A，B两种价格不同的糖混合而成.其中甲种什锦糖由10A种糖和10B种糖混合而成，乙种什锦糖由价值100元的A种糖和价值100元的B种糖混合而成.你认为哪一种什锦糖的价格较高？为什么？
二、题型训练
1.分式的混合运算
1．老师在黑板上书写了一个式子的正确计算结果，随后用手遮住了原式的一部分，如图.
(.
（1）求被手遮住的部分，并将其化简.
（2）原式的值能等于-1吗？请说明理由.
2．以下是小华化简分式的过程：
原式①
②
③
（1）小华的解答过程在第______步出现错误.
（2）请你帮助小华写出正确的解答过程，并计算当时分式的值.
3．计算：
（1）；
（2）.
2.分式化简求值
4．先化简，再求值：，其中.
5．已知，求代数式的值.
6．已知：，①化简A；②若.求A的值.
3.利用分式的运算法则求字母的值
7．已知对任意x有，则__________，__________，__________.
8．已知m、n、p是正数，且满足，，则__________.
9．已知，则实数_______________.
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．计算：( )
A. B. C. D.
2．在一段坡路,小明骑自行车上坡的速度为每小时v1千米,下坡时的速度为每小时v2千米,则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时( )
A.千米 B.千米 C.千米 D.无法确定
3．小明在纸上书写了一个正确的演算过程,同桌小亮一不小心撕坏了一角,如图所示,则撕坏的一角中“■”为( )
A. B. C. D.
4．试卷上一个正确的式子被小颖同学不小心滴上了墨汁，则被墨汁遮住部分的代数式为( )
A. B. C. D.
5．计算的结果是( )
A. B. C. D.
6．化简的结果是( )
A. B. C. D.
7．计算的结果是( )
A. B. C. D.
8．化简的结果是( )
A. B. C. D.
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．计算的结果是____________.
10．化简：______.
11．已知（且），，…，，则的值为________.
12计算：（）÷=___________
13．化简：________.
三、解答题(每小题8分，共48分）
14．计算：
(1)；
(2).
15．老师在黑板上书写了一个式子的正确计算结果，随后用手遮住了原式的一部分，如图.
(.
（1）求被手遮住的部分，并将其化简.
（2）原式的值能等于-1吗？请说明理由.
16．化简，下面是甲、乙两位同学的部分运算过程：
（1）甲同学解法的依据是_________，乙同学解法的依据是_________；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；
③乘法分配律；④乘法交换律.
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程.
17．先化简，再求值：，选择一个合适的整数作为a的值代入求值.
18．【阅读学习】阅读下面的解题过程.
已知，求的值.
解：由知，
，即，
，
的值为.
【类比探究】
上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解题.
已知，求的值.
【拓展延伸】
已知，，，求的值.
19．阅读材料：
将分式拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和(差)的形式.
解:由分母为，可设,
则由.
对于任意x，上述等式均成立， ，解得.
.
这样,分式就被拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和(差)的形式.
解决问题:将分式分别拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和(差)的形式.
人教版八年级数学上名师点拨与训练
第15章 分式
15.2.2 分式的加减2
学习目标
1.掌握分式的加减乘除混合运算法则并运用其进行计算.
2.能够应用分式的加减乘除混合运算解决实际问题．
重点：运用分式的加减乘除混合运算法则进行运算.
难点：分式加减乘除混合的运算
老师告诉你
分式的混合运算遵循以下步骤和原则：
运算顺序 ：先进行乘方运算然后进行乘除运算，最后进行加减运算。
如果有括号，则先计算括号内的内容，在没有括号的情况下，同级运算从左到右依次进行运算，结果应化为最简分式或整式。分子和分母需要进行约分，以得到最简形式
特殊注意 ：当分子或分母的系数为负数时，应将负号提到分式前面
通分时，要找到各分式的最简公分母
加减法中，同分母分式相加减时，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减时，要先通分再计算
请根据这些原则进行分式的混合运算，并确保最后结果是最简形式。
知识点拨
知识点1 、分式混合运算的步骤
分式的混合运算
与分数的加、减、乘、除混合运算一样，分式的加、减、乘、除混合运算，也是先算乘、除，后算加、减；遇到括号，先算括号内的，按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序计算. 分式运算结果必须达到最简，能约分的要约分，保证结果是最简分式或整式.
【新知导学】
例1-1．数学课上，老师展示佳佳的解答如下：
计算：，
原式①
②
③
＝3④
对佳佳的每一步运算，依据错误的是：( )
A.①：同分母分式的加减法法则 B.②：合并同类项法则
C.③：提公因式法 D.④：等式的基本性质
答案：D
解析：①：同分母分式的加减法法则，正确；
②：合并同类项法则，正确；
③：提公因式法，正确；
④：分式的基本性质，故错误；
故选：D.
【对应导练】
1．如图是嘉琪进行分式计算的过程，下列判断不正确的是( )
第一步第二步第三步第四步
A.第二步运用了分式的基本性质 B.从第三步开始出现错误
C.原分式的计算结果为 D.当时，原分式的值为0
答案：D
解析：第二步运用了分式的基本性质，将两个分式的分母进行通分，故选项A判断正确，不符合题意；
从第三步运算，应为分式的分母不变，分子相加减，解答过程丢掉分母，选项B判断正确，不符合题意；
分式的计算过程如下：
故选项C判断正确，不符合题意；
当时，原分式的分母值为0，分式没有意义，故判断错误，符合题意.
故选：D.
2．以下是代数式排乱的化简步骤：
①；
②；
③；
④.
则正确化简步骤的顺序是( )
A.①→③→④→② B.③→①→④→② C.③→④→①→② D.①→④→③→②
答案：C
解析：原式
.
由上化简过程可得顺序为：③→④→①→②.
故选：C.
知识点2 、分式混合运算
（1）正确运用运算法则：分式的乘除（包括乘方）、加减、符号变化法则是正确进行分式运算的基础，要牢牢掌握.
（2）运算顺序：先算乘方，再算乘、除，最后算加、减，遇有括号，先算括号内的.
（3）运算律：运算律包括加法和乘法的交换律、结合律，乘法对加法的分配律.能灵活运用运算律，将大大提高运算速度
【新知导学】
例2-1．化简：.
答案：原式
解析：
.
例2-2．化简：.
答案：
解析：原式，
，
，
.
【对应导练】
1．计算：
答案：
解析：
.
2．计算.
答案：
解析：,
.
3．以下是某同学化简分式的部分运算过程：
解：原式①②③…
解：
（1）上面的运算过程中第_________步出现了错误，并在上框内写出完整的解答过程；
（2）选择一个你喜欢的x的值代入求值.
答案：（1）③；完整过程见解析
（2）当时，原式
解析：（1）③
原式
.
（2）（答案不唯一）当时，原式.
4．以下是小华化简分式的过程：
原式①
②
③
（1）小华的解答过程在第______步出现错误.
（2）请你帮助小华写出正确的解答过程，并计算当时分式的值.
答案：（1）②
（2）过程见解析，
解析：（1）小华的解答过程在第②步出现错误，在运算去括号时没有变号
第②步应该为：
故答案为②；
（2）原式
，
当时，
原式.
知识点3 、分式混合运算的实际应用
读懂题意，分清问题中的数量关系.
根据数量关系列出代数式.
按分式的运算法则、运算顺序解决问题.
【新知导学】
例3-1．一块麦田有，甲收割完这块麦田需，乙比甲少用就能收割完这块麦田，两人一起收割完这块麦田需要多少小时？
答案：
解析：
.
所以两人一起收割完这块麦田需要.
例3-2．以下是某同学化简分式的部分运算过程：
原式①
②
③
……
（1）上面的运算过程中第_____步出现了错误；
（2）选择一个你喜欢的x的值代入求值.
答案：（1）③
（2）；
解析：（1）第③步出现错误，原因是分子相减时未变号，故答案为：③；
（2）原式
当时，.
故答案为：；.
【对应导练】
1．甲乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料，两次饲料的价格有变化，第一次的价格为m元/千克，第二次的价格为n元/千克（m，n是正数，且），甲每次购买800千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料.
（1）甲、乙所购饲料的平均单价各是多少元？
（2）谁的购买方式平均单价较低？
答案：（1）甲的平均价格是，乙的平均价格是
（2）所以乙的购买方式平均单价低
解析：（1）甲的平均价格是（元）
乙的平均价格是：（元）
（2）甲-乙，即
因为（），
所以，
所以，即
所以.
所以乙的购买方式平均单价低.
2．商店通常用以下方法来确定两种糖果混合而成的什锦糖的价格：设A种糖的价格为a元/，B种糖的价格为b元/，则mA种糖和nB种糖混合而成的什锦糖的价格为元/.现有甲、乙两种什锦糖，均由A，B两种价格不同的糖混合而成.其中甲种什锦糖由10A种糖和10B种糖混合而成，乙种什锦糖由价值100元的A种糖和价值100元的B种糖混合而成.你认为哪一种什锦糖的价格较高？为什么？
答案：甲种糖的价格较高，理由见解析
解析：甲种糖价格为（（元/），
乙种糖价格为（元/），
，
甲、乙两种什锦糖，均由A，B两种价格不同的糖混合而成，
，
甲种糖的价格较高.
二、题型训练
1.分式的混合运算
1．老师在黑板上书写了一个式子的正确计算结果，随后用手遮住了原式的一部分，如图.
(.
（1）求被手遮住的部分，并将其化简.
（2）原式的值能等于-1吗？请说明理由.
答案：（1）
（2）不能.理由见解析
解析：（1）方法一：设被手遮住的部分为A，
则，
，
，
则.
方法二：被手遮住的部分
.
（2）不能.
理由：若原式的值能等于-1，
则，即.
当时，无意义，
所以原式的值不能等于-1.
2．以下是小华化简分式的过程：
原式①
②
③
（1）小华的解答过程在第______步出现错误.
（2）请你帮助小华写出正确的解答过程，并计算当时分式的值.
答案：（1）②
（2）过程见解析，
解析：（1）小华的解答过程在第②步出现错误，在运算去括号时没有变号
第②步应该为：
故答案为②；
（2）原式
，
当时，
原式.
3．计算：
（1）；
（2）.
答案：（1）
（2）
解析：（1）
.
（2）
.
2.分式化简求值
4．先化简，再求值：，其中.
答案：-1
解析：，，原式.
5．已知，求代数式的值.
答案：2
解析：，
，，原式.
6．已知：，①化简A；②若.求A的值.
答案：①；②1
解析：①
；
②，
，
原式.
3.利用分式的运算法则求字母的值
7．已知对任意x有，则__________，__________，__________.
答案：1；；
解析：
，
又
，
解得.
故答案为：，，.
8．已知m、n、p是正数，且满足，，则__________.
答案：
解析：设，则，..
等式可变形为：
，
，
.
，
.
.
故答案为：.
9．已知，则实数_______________.
答案：1
解析：，
因为，
所以，解得.
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．计算：( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：，
故选：A.
2．在一段坡路,小明骑自行车上坡的速度为每小时v1千米,下坡时的速度为每小时v2千米,则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时( )
A.千米 B.千米 C.千米 D.无法确定
答案：C
解析：平均速度=总路程÷总时间,题中没有单程,可设单程为1,那么总路程为2.
依题意得：千米.
故选C.
3．小明在纸上书写了一个正确的演算过程,同桌小亮一不小心撕坏了一角,如图所示,则撕坏的一角中“■”为( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：撕坏的一角中“■”为
,
故选A
4．试卷上一个正确的式子被小颖同学不小心滴上了墨汁，则被墨汁遮住部分的代数式为( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：由题意，得被墨水遮住部分的代数式是.
故选A
5．计算的结果是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：.
故选C
6．化简的结果是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：
，
故选：D.
7．计算的结果是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：
= . .
=
故选D
8．化简的结果是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：
，
故选：D.
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．计算的结果是____________.
答案：1
解析：
，
故答案为：1.
10．化简：______.
答案：/
解析：
.
故答案为：.
11．已知（且），，…，，则的值为________.
答案：
解析：，
，
，
，
，
，
…，
由上可得，每三个为一个循环，
，
.
故答案为：.
12计算：（）÷=___________
【答案】
【分析】先算括号内的分式减法，然后计算括号外的分式除法即可．
【详解】解：
＝
＝
＝．
【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．
13．化简：________.
答案：/
解析：
；
故答案为：.
三、解答题(每小题8分，共48分）
14．计算：
(1)；
(2).
答案：(1)
(2)
解析：(1)
；
(2)
.
15．老师在黑板上书写了一个式子的正确计算结果，随后用手遮住了原式的一部分，如图.
(.
（1）求被手遮住的部分，并将其化简.
（2）原式的值能等于-1吗？请说明理由.
答案：（1）
（2）不能.理由见解析
解析：（1）方法一：设被手遮住的部分为A，
则，
，
，
则.
方法二：被手遮住的部分
.
（2）不能.
理由：若原式的值能等于-1，
则，即.
当时，无意义，
所以原式的值不能等于-1.
16．化简，下面是甲、乙两位同学的部分运算过程：
（1）甲同学解法的依据是_________，乙同学解法的依据是_________；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；
③乘法分配律；④乘法交换律.
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程.
答案：（1）②；③
（2）见解析
解析：（1）②；③
（2）选择甲同学的解法：
.
选择乙同学的解法：
.
17．先化简，再求值：，选择一个合适的整数作为a的值代入求值.
答案：；2，答案不唯一
解析：
，
∵，，，
当时，
原始.
18．【阅读学习】阅读下面的解题过程.
已知，求的值.
解：由知，
，即，
，
的值为.
【类比探究】
上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解题.
已知，求的值.
【拓展延伸】
已知，，，求的值.
答案：【类比探究】
【拓展延伸】
解析：【类比探究】由知，
，
即，
，
，
.
【拓展延伸】，，，
，且，
.
，
.
19．阅读材料：
将分式拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和(差)的形式.
解:由分母为，可设,
则由.
对于任意x，上述等式均成立， ，解得.
.
这样,分式就被拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和(差)的形式.
解决问题:将分式分别拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和(差)的形式.
答案：解：由的分母为，可设，
则.
对于任意x，上述等式均成立，，.
.
由的分母，
可设，
则由
.
对于任意x，上述等式均成立，解得
.
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