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人教版八年级数学上名师点拨与训练
第15章 分式
专题 分式及其运算的十种常见题型
老师告诉你
（1）分式无意义 分母为0
分式有意义 分母不为0
分式值为0 分子为0且分母不为0；
分式值为正数 分子、分母同号；
分式的值为负数 分子、分母异号。
2.负数运算注意以下几点
（1）弄清楚各种运算的法则，分式的基本性质（约分和通分）是分式运算的依据；
（2）区分混合运算顺序，结果要化为最简分式或整式；
（3）正确使用运算律。
题型1 利用分式定义识别分式
【例1-1】．下列各式：,,,,其中是分式的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【变式1-1】．下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
，，，，，.
【变式1-1】．在，，，，五个式子中，分式有___________个.
题型2 分式有无意义的条件
【例2--1】若分式有意义，则x的取值范围是( )
A. B. C. D.
【例2--2】要使分式有意义，x的取值应满足( )
A. B. C.或 D.且
【变式2--1】．无论a取何值，下列分式中，总有意义的是( )
A. B. C. D.
【变式2--2】．当时，下列分式没有意义的是( )
A. B. C. D.
【变式2--3】．当x取什么值时，下列分式有意义？
（1）；
（2）.
题型3 分式值为0的条件
【例3-1】．若分式的值为0,则x的值为______.
【例3-2】．当______时,分式的值为0.
【变式3-1】．若分式的值为零，则x的值为________.
【变式3-2】．能使分式的值为零的所有x的值是( )
A.1 B.-1 C.1或-1 D.2或1
【变式3--3】．若a，b为实数，，求的值.
题型4 分式值为正数的条件
【变式4-1】．填空：
（1）当x为__________时，分式的值为0；
（2）当为__________时，分式的值为正；
（3）当为__________时，分式的值为负.
【例4--2】．当x的取值范围是多少时，
（1）.分式的值为负数？
（2）.分式的值为正数？
（3）.分式的值为负数？
【变式4-1】．回答下列问题：
（1）若分式的值为正数，求x的取值范围；
（2）若分式的值为负数，求x的取值范围.
【变式4-2】．已知分式.
(1)当m为何值时，该分式无意义；
(2)当m为何整数值时，该分式的值为正整数.
【变式4-3】．若分式的值为正数，则x的取值范围是( )
A. B. C.且 D.
题型5 分式的基本性质化整数系数
【例5-1】．不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为( )
A. B. C. D.
【例5-2】．如果把分式中的x，y都扩大到原来的3倍，那么分式的值( )
A.不变 B.缩小 C.扩大3倍 D.扩大9倍
【变式5-1】．将分式中的x，y的值都变为原来的2倍，则该分式的值( )
A.变为原来的2倍 B.变为原来的4倍 C.不变 D.变为原来的一半
【变式5-2】．不改变分式的值，把分子、分母中x，y的系数化为整数.
（1）；
（2）.
【变式5-3】．不改变分式的值，使分子、分母中次数最高项的系数为正数，可以得到_________.
题型6 根据分式的基本性质变号
【例6-1】根据分式的基本性质,分式可变形为( )
A. B. C. D.
【例6-2】．与分式的值相等的分式是( )
A. B. C. D.
【变式6-1】不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【变式6-2】．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含负号.
（1）；
（2）.
【变式6-3】．下列各式中的变形，错误的是( )
A. B. C. D.
题型7 根据分式的基本性质求值
【例7-1】．已知，求分式的值.
【例7-2】．阅读理解题.
因为,所以,(第一步)
所以 (第二步).
（1）.回答下列问题:
①第一步运用了 的基本性质;
②第二步的解题过程运用了 的方法,由得,是对分式进行了 .
（2）.模仿材料解题:
已知,求的值.
答案：1.①等式;②代人消元;约分.; 2.设,
则
所以.
【变式7-1】．当时，求分式的值.
【变式7-2】．阅读下面的解题过程：
已知，求的值.
解：由，可知，
所以，即，
所以.
仿照上面的方法，解决下列问题：
已知，求的值.
【变式7-3】．已知：，求下列各式的值
(1)；
(2).
题型8 分式的混合运算
【例8-1】计算：.
【变式8-1】．化简：.
【变式8-2】．计算：.
【变式8-3】．计算：
【变式8-4】．计算：
(1)；
(2).
题型9 分式运算在化简（计算）中的应用
【例9-1】．化简：______.
【例9-2】．化简：.
【变式9-1】化简：.
【变式9-2】．化简：.
【变式9-3】．化简：.
题型10 分式运算在求值中的应用
【例10-1】．先化简,再求值：,且x满足,取一个值即可.
【例10-2】化简,再在1,2,3中选取一个适当的数代入求值.
【变式10-1】．先化简,再求值：.其中m是方程的根.
【变式10-2】．先化简,再求值：,其中
【变式10-3】．先化简,再求值：,其中.
人教版八年级数学上名师点拨与训练
第15章 分式
专题 分式及其运算的十种常见题型
老师告诉你
（1）分式无意义 分母为0
分式有意义 分母不为0
分式值为0 分子为0且分母不为0；
分式值为正数 分子、分母同号；
分式的值为负数 分子、分母异号。
2.负数运算注意以下几点
（1）弄清楚各种运算的法则，分式的基本性质（约分和通分）是分式运算的依据；
（2）区分混合运算顺序，结果要化为最简分式或整式；
（3）正确使用运算律。
题型1 利用分式定义识别分式
【例1-1】．下列各式：,,,,其中是分式的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案：B
解析：是整式,是分式,是整式,是分式,是整式,
其中是分式的有2个,
故选B.
【变式1-1】．下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
，，，，，.
答案：见解析
解析：整式：，.
分式：，，，.
【变式1-1】．在，，，，五个式子中，分式有___________个.
答案：2
解析：根据分式的概念，得，是分式，所以分式有2个.
题型2 分式有无意义的条件
【例2--1】若分式有意义，则x的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：∵分式有意义，
∴，解得：.
故选：B.
【例2--2】要使分式有意义，x的取值应满足( )
A. B. C.或 D.且
答案：D
解析：∵要使分式有意义，
∴x-2≠0且x-3≠0
即且
故选D
【变式2--1】．无论a取何值，下列分式中，总有意义的是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：当时，分式没有意义；当时，分式没有意义；
当时，分式没有意义；因为，所以，所以分式总有意义.
【变式2--2】．当时，下列分式没有意义的是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：A.，当时，分式有意义，不符合题意；
B.，当时，，分式无意义，符合题意；
C.，当时，分式有意义，不符合题意；
D.，当时，分式有意义，不符合题意.
故选：B.
【变式2--3】．当x取什么值时，下列分式有意义？
（1）；
（2）.
答案：（1）当时，分式有意义
（2）当时，分式有意义
解析：（1）分母，
所以，当时，分式有意义.
（2）分母，即，
所以，当时，分式有意义.
题型3 分式值为0的条件
【例3-1】．若分式的值为0,则x的值为______.
答案：-2
解析：分式的值为0,
解得：,
故答案为:-2.
【例3-2】．当______时,分式的值为0.
答案：6
解析：根据题意得且,
所以.
故答案为：6.
【变式3-1】．若分式的值为零，则x的值为________.
答案：
解析：由题意得：，解得，
，解得：，，
综上：
故答案为：.
【变式3-2】．能使分式的值为零的所有x的值是( )
A.1 B.-1 C.1或-1 D.2或1
答案：B
解析：由题意可得且，解得.
故选B
【变式3--3】．若a，b为实数，，求的值.
答案：2
解析：由，
得，且，
所以且，
所以，，所以.
题型4 分式值为正数的条件
【变式4-1】．填空：
（1）当x为__________时，分式的值为0；
（2）当为__________时，分式的值为正；
（3）当为__________时，分式的值为负.
答案：（1）2
（2）大于的实数
（3）小于2的实数
解析：
【例4--2】．当x的取值范围是多少时，
（1）.分式的值为负数？
（2）.分式的值为正数？
（3）.分式的值为负数？
答案：（1）.，要使，则，.故当时，分式的值为负数，
（2）.由题意知①，或②.解①得，不等式组②无解，当时，分式的值为正数
（3）.由题意知①，解①得，解②得，当或时，分式时，分式的值为负数.
解析：
【变式4-1】．回答下列问题：
（1）若分式的值为正数，求x的取值范围；
（2）若分式的值为负数，求x的取值范围.
答案：（1）由题意知①或②
解①得，不等式组②无解，
当时，分式的值为正数.
（2）由题意知①或②
解①得，解②得，
当或时，分式的值为负数.
解析：
【变式4-2】．已知分式.
(1)当m为何值时，该分式无意义；
(2)当m为何整数值时，该分式的值为正整数.
答案：(1)
(2)或
解析：（1）该分式无意义，
，
解得，
即当时，该分式无意义.
（2）该分式的值为正整数，且m也为整数，
或，
解得或，
即当或时，该分式的值为正整数.
【变式4-3】．若分式的值为正数，则x的取值范围是( )
A. B. C.且 D.
答案：C
解析：原式=，
当时，，
当时，分式的值为正数，
且.
故选：C.
题型5 分式的基本性质化整数系数
【例5-1】．不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：，
故选：A.
【例5-2】．如果把分式中的x，y都扩大到原来的3倍，那么分式的值( )
A.不变 B.缩小 C.扩大3倍 D.扩大9倍
答案：A
解析：根据题意得，扩大后的分式为，所以分式的值不变.
【变式5-1】．将分式中的x，y的值都变为原来的2倍，则该分式的值( )
A.变为原来的2倍 B.变为原来的4倍 C.不变 D.变为原来的一半
答案：A
解析：，
故选：A.
【变式5-2】．不改变分式的值，把分子、分母中x，y的系数化为整数.
（1）；
（2）.
答案：（1）
（2）
解析：（1）.
（2）.
【变式5-3】．不改变分式的值，使分子、分母中次数最高项的系数为正数，可以得到_________.
答案：
解析：分子中次数最高的项为，分母中次数最高的项为，系数均为负数，所以分子与分母都乘-1，可得.
题型6 根据分式的基本性质变号
【例6-1】根据分式的基本性质,分式可变形为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：,
故选：C.
【例6-2】．与分式的值相等的分式是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：.
【变式6-1】不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
答案：（1）
（2）
（3）
（4）
解析：
【变式6-2】．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含负号.
（1）；
（2）.
答案：（1）
（2）
解析：（1）.
（2）.
【变式6-3】．下列各式中的变形，错误的是( )
A. B. C. D.
答案：BD
解析：A、，原式变形正确，不符合题意；
B、，原式变形错误，符合题意；
C、，原式变形正确，不符合题意；
D、，原式变形错误，符合题意；
故选：BD.
题型7 根据分式的基本性质求值
【例7-1】．已知，求分式的值.
答案：解：由条件可知，所以.
原式.
解析：
【例7-2】．阅读理解题.
因为,所以,(第一步)
所以 (第二步).
（1）.回答下列问题:
①第一步运用了 的基本性质;
②第二步的解题过程运用了 的方法,由得,是对分式进行了 .
（2）.模仿材料解题:
已知,求的值.
答案：1.①等式;②代人消元;约分.; 2.设,
则
所以.
【变式7-1】．当时，求分式的值.
答案：解：原式.
把代入，得原式.
解析：
【变式7-2】．阅读下面的解题过程：
已知，求的值.
解：由，可知，
所以，即，
所以.
仿照上面的方法，解决下列问题：
已知，求的值.
答案：由，可知，
所以，即，
所以.
解析：
【变式7-3】．已知：，求下列各式的值
(1)；
(2).
答案：(1)
(2)
解析：（1），
，
.
（2），
，，
.
题型8 分式的混合运算
【例8-1】计算：.
答案：
解析：.
【例8-2】．计算：
（1）；
（2）.
答案：（1）
（2）
解析：（1）.
（2）
.
【变式8-1】．化简：.
答案：
解析：原式，
，
，
.
【变式8-2】．计算：.
答案：
解析：
.
【变式8-3】．计算：
答案：
解析：
.
【变式8-4】．计算：
(1)；
(2).
答案：(1)2
(2)
解析：(1)原式，
(2)原式
.
题型9 分式运算在化简（计算）中的应用
【例9-1】．化简：______.
答案：/
解析：原式
.
故答案为：.
【例9-2】．化简：.
答案：原式
解析：
.
【变式9-1】化简：.
答案：
解析：原式
.
【变式9-2】．化简：.
答案：
解析：原式，
，
，
.
【变式9-3】．化简：.
答案：
解析：
.
题型10 分式运算在求值中的应用
【例10-1】．先化简,再求值：,且x满足,取一个值即可.
答案：
解析：原式
,
∵,且,
∴整数或-1,
∴当时,原式.
【例10-2】化简,再在1,2,3中选取一个适当的数代入求值.
答案：；-2
解析：
∵,
∴,
把代入原式.
【变式10-1】．先化简,再求值：.其中m是方程的根.
答案：,
解析：
.
∵m是方程的根,
∴,
∴原式.
【变式10-2】．先化简,再求值：,其中
答案：,
解析：
当时,
原式.
【变式10-3】．先化简,再求值：,其中.
答案：；
解析：
,
当时,上式.
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