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人教版八年级数学上名师点拨与训练
第15章 分式
15.2.3整数指数幂
学习目标
1.类比正整数指数幂，探究负指数整数幂的运算性质.
2.会用整数指数幂的运算性质进行计算.
3.理解负整数指数幂的性质并应用其解决实际问题．
4.会用科学计数法表示较小的数
重点：理解负整数指数幕的意义，掌握运算性质.
难点：理解负整数指数幕的产生过程和意义.
老师告诉你
求负整数指数幂的方法
1.负整数指数幂的变形= =(a≠0,n是正整数）
2.底数为正数的任何次幂都是正数，底数为负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数。
3.运算结果要化为正整数指数幂。
知识点拨
知识点1 、负整数指数幂
任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数，即（≠0，是正整数）.
引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立.
注意：是的倒数，可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如（），（）.
【新知导学】
例1-1．下列运算结果是正数的是( )
A. B. C. D.
例1-2．如果,,,那么a,b,c的大小关系为( )
A. B.
C. D.
【对应导练】
1．计算：.
2．计算：
3．若，则_______.
4．计算：______.
知识点2 、整数指数幂的性质
整数指数幂的运算性质：
同底数幂的乘法
同底数幂的除法
幂的乘方
积的乘方
分式的乘方
0指数幂
【新知导学】
例2-1．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
.
例2-2．我们规定：完成下列问题：
（1）已知，则x的取值范围是__________；
（2）已知，求x的值.
【对应导练】
1．计算：.
2．化简下列各式，使结果只含有正整数指数幂.
（1）；
（2）.
3．计算下列各式：
（1）；
（2）.
知识点3 、科学记数法
（1）把一个绝对值大于10的数表示成的形式，其中是正整数，
（2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即的形式，其中是正整数，.
用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法.
【新知导学】
例3-1．下列各数用科学记数法可表示为的是( )
A.108000 B. C.0.0000108 D.
例3-2．华为手机使用了自主研发的海思麒麟芯片，目前最新的型号是麒麟990.芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求是体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的电力功耗，而麒麟990的晶体管栅极的宽度达到了毫米，将数据用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
【对应导练】
1．石墨烯是2004年科学家从石墨中分离出的单层石墨片，这是目前世界上人工制得的最薄的材料，仅为米，数据用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
2．5G是第五代移动通信技术的简称,5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上,这意味着下载一部高清电影只需要1秒.将1300000用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3．中国人民解放军海军福建舰(舷号：18,简称福建舰),是中国完全自主设计建造的首艘弹射型航空母舰,采用平直通长飞行甲板,配置电磁弹射和阻拦装置,满载排水量8万余吨.将数字8万用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4．用科学记数法表示下列数：
，，，.
二、题型训练
1.利用整数指数幂计算
1 .计算：2024﹣1＝（　　）
A．﹣2024 B．2024 C． D．
2 .计算：（﹣2）﹣3﹣2﹣3+（）﹣3﹣（﹣）﹣3．
3 .计算：
(1)
(2)．
2.利用整数指数幂化简
4 .化简
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
5 .化简：
(1)；
(2)
(3)
(4)
6 .计算下列各式，并把结果化为正整数指数幂的形式．
（1）a2b3（2a﹣1b3）；
（2）（a﹣2）﹣3（bc﹣1）3；
（3）2（2ab2c﹣3）2÷（ab）﹣2．
3.利用整数指数幂求待定系数的值
7. 已知am＝5，an＝2，求a﹣2m﹣2n的值．
8 .已知am+an＝4，am+n＝2，求a﹣2m+a﹣2n的值．
9 .已知xm＝3，yn＝2，求（x2myn）﹣1的值　　．
4.科学记数法表示较小的数
10 .祖国主权，寸土不让．钓鱼岛列岛是我国固有领土，共由个岛屿组成，其中最小的岛是飞濑岛，面积约为平方公里，请用科学记数法表示飞濑岛的面积约为____________平方公里．（ ）
A． B． C． D．
11 .芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一．据测，一粒芝麻的质量约为，将用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
12 .嫦娥五号返回器携带月球样品安全着陆，标志着中国航天业向前又迈出了一大步．嫦娥五号返回器在接近大气层时，飞行大约需要秒．将数据用小数表示为（ ）
A． B． C． D．
5.根据式子有无意义的条件求值
13 .若（x﹣4）0﹣（2x﹣6）﹣2有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞4 B．x＜3 C．x≠4或x≠3 D．x≠4且x≠3
14 .若没有意义，则x﹣2的值为（　　）
A． B．﹣4 C．4 D．
15 .已知（x﹣1）x+2＝1，则整数x＝__________
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．世界上体积最小的动物要比蚂蚁小很多倍，它是被命名为的原生动物，它的最长直径才0.0000003米，数据0.0000003用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
2．下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
3．若有意义，则x的取值范围是( )
A. B.且 C.或 D.
4．下列各式中，正确的是( )
A. B. C. D.
5．已知：，，，则a，b，c大小关系是( )
A. B. C. D.
6．下列四个数中,值最大的是( )
A. B. C. D.
7．已知，下列关于a的叙述中，正确的是( )
A. B. C. D.
8．若有意义，则x的取值范围是( )
A. B. C.或 D.且
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．_______.
10．将代数式写成只含有正整数指数幂的形式：_________.
若x满足，则整数x的值为__________.
12．已知，，，用“<”连接a，b，c为___________.
13．计算：__________.
三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分）
14．计算：
（1）；
（2）.
15．用科学记数法表示下列数：
，，，.
16．计算：
（1）.
（2）.
（3）.
.
17．与的大小，我们可以采用“从特殊到一般”的思想方法：
（1）通过计算比较下列各式中两数的大小：（填“>”“<“=”）
①___；
②____；
③____；
④____.
（2）由（1）可以猜测与（n为正整数）的大小关系：当n______时，；当n______时，.
（3）根据上面的猜想，则有_______（填“>”“<”或“=”）.
18．根据如图所示的程序，求输出D的化简结果；已知x的立方根是它本身，选取一个合适的x的值代入，求D的值.
19．在初一，我们学习了“有理数的乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算，定义：am与an（a≠0，m、n都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作am÷an．
运算法则如下：
am÷an＝．
解决问题
根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题：
（1）填空：＝　　，23÷27＝　　；
（2）如果，求出x的值；
（3）如果（5﹣2x）3x﹣1÷（5﹣2x）x+7＝1，请直接写出x的值．
人教版八年级数学上名师点拨与训练
第15章 分式
15.2.3整数指数幂
学习目标
1.类比正整数指数幂，探究负指数整数幂的运算性质.
2.会用整数指数幂的运算性质进行计算.
3.理解负整数指数幂的性质并应用其解决实际问题．
4.会用科学计数法表示较小的数
重点：理解负整数指数幕的意义，掌握运算性质.
难点：理解负整数指数幕的产生过程和意义.
老师告诉你
求负整数指数幂的方法
1.负整数指数幂的变形= =(a≠0,n是正整数）
2.底数为正数的任何次幂都是正数，底数为负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数。
3.运算结果要化为正整数指数幂。
知识点拨
知识点1 、负整数指数幂
任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数，即（≠0，是正整数）.
引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立.
注意：是的倒数，可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如（），（）.
【新知导学】
例1-1．下列运算结果是正数的是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：A、是正数，符合题意；
B、是负数，不符合题意；
C、是负数，不符合题意；
D、是负数，不符合题意；
故选：A.
例1-2．如果,,,那么a,b,c的大小关系为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：,,,
所以,
故选：B.
【对应导练】
1．计算：.
答案：
解析：
.
2．计算：
答案：
解析：原式
.
3．若，则_______.
答案：-3
解析：∵，
∴，
∴.
故答案为：-3.
4．计算：______.
答案：3
解析：
.
故答案为：3.
知识点2 、整数指数幂的性质
整数指数幂的运算性质：
同底数幂的乘法
同底数幂的除法
幂的乘方
积的乘方
分式的乘方
0指数幂
【新知导学】
例2-1．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
答案：（1）
（2）
（3）
（4）
解析：（1）原式.
（2）原式.
（3）原式.
（4）原式.
例2-2．我们规定：完成下列问题：
（1）已知，则x的取值范围是__________；
（2）已知，求x的值.
答案：（1）
（2），，
解析：（1）由题意得：，
解得：，
x的取值范围是：，
故答案为：；
（2），
或且为偶数或时，，
解得：或或，
x的值为，，.
【对应导练】
1．计算：.
答案：
.
解析：
2．化简下列各式，使结果只含有正整数指数幂.
（1）；
（2）.
答案：（1）
.
（2）
.
解析：
3．计算下列各式：
（1）；
（2）.
答案：（1）
.
（2）
.
解析：
知识点3 、科学记数法
（1）把一个绝对值大于10的数表示成的形式，其中是正整数，
（2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即的形式，其中是正整数，.
用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法.
【新知导学】
例3-1．下列各数用科学记数法可表示为的是( )
A.108000 B. C.0.0000108 D.
答案：C
解析：A: 108000=1.08x105
B; -108000=-1.08x105
C : 0.0000108=1.08x10-5
D: -0.0000108=-1.08x10-5
故选C
例3-2．华为手机使用了自主研发的海思麒麟芯片，目前最新的型号是麒麟990.芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求是体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的电力功耗，而麒麟990的晶体管栅极的宽度达到了毫米，将数据用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：.
故选：B.
【对应导练】
1．石墨烯是2004年科学家从石墨中分离出的单层石墨片，这是目前世界上人工制得的最薄的材料，仅为米，数据用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：，
故选：B
2．5G是第五代移动通信技术的简称,5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上,这意味着下载一部高清电影只需要1秒.将1300000用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：科学记数法的表示形式为,其中,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值时,n是正数；当原数绝对值时,n是负数.将1300000转变为大于等于1,小于10的数字,即,小数点向左移动了6位,所以,用科学记数法表示为,
答案选B.
3．中国人民解放军海军福建舰(舷号：18,简称福建舰),是中国完全自主设计建造的首艘弹射型航空母舰,采用平直通长飞行甲板,配置电磁弹射和阻拦装置,满载排水量8万余吨.将数字8万用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：8万用科学记数法表示为,
故选C.
4．用科学记数法表示下列数：
，，，.
答案：见解析
解析：，
，
，
.
二、题型训练
1.利用整数指数幂计算
1 .计算：2024﹣1＝（　　）
A．﹣2024 B．2024 C． D．
【分析】根据负整数指数幂的意义进行计算，即可解答．
【解答】解：2024﹣1＝，
故选：D．
2 .计算：（﹣2）﹣3﹣2﹣3+（）﹣3﹣（﹣）﹣3．
【分析】直接根据负整数指数幂的运算法则求解即可．
【解答】解：原式＝﹣﹣+8+8＝．
3 .计算：
(1)
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了绝对值化简，零指数幂，负整数指数幂，整数指数幂，以及实数的混合运算，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则．
（1）根据负整数指数幂，整数指数幂，以及实数的混合运算法则计算即可；
（2）根据绝对值化简，零指数幂，负整数指数幂，整数指数幂，以及实数的混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：原式，，；
（2）解：原式，，．
2.利用整数指数幂化简
4 .化简
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)8
【分析】本题考查分式的运算：
（1）根据分式的乘法法则进行计算即可；
（2）除法变乘法，约分化简即可；
（3）先乘方，再进行乘除运算；
（4）先乘方，再进行乘除运算；
（5）除法变乘法，约分化简即可；
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式；
（4）解：原式；
（5）解：原式；
5 .化简：
(1)；
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查整式的运算、有理数的混合运算：
（1）先进行积的乘方，再进行同底数幂的乘法计算即可；
（2）先进行零指数幂，负整数指数幂，乘方计算，再进行加减运算即可；
（3）先进行积的乘方，再进行单项式乘以单项式的运算，再进行加减运算即可；
（4）利用同底数幂的除法法则进行计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）解：．
．
6 .计算下列各式，并把结果化为正整数指数幂的形式．
（1）a2b3（2a﹣1b3）；
（2）（a﹣2）﹣3（bc﹣1）3；
（3）2（2ab2c﹣3）2÷（ab）﹣2．
【分析】（1）根据单项式的乘法进行计算即可；
（2）根据幂的乘方的性质进行计算，再根据负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数解答；
（3）先根据积的乘方的性质与单项式的除法进行计算，再根据负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数解答．
【解答】解：（1）a2b3（2a﹣1b3）＝2a2﹣1b3+3＝2ab6；
（2）（a﹣2）﹣3（bc﹣1）3，
＝a6b3c﹣3，
＝；
（3）2（2ab2c﹣3）2÷（ab）﹣2，
＝2（4a2b4c﹣6）÷（a﹣2b﹣2），
＝8a4b6c﹣6，
＝．
3.利用整数指数幂求待定系数的值
7. 已知am＝5，an＝2，求a﹣2m﹣2n的值．
【分析】根据负整数指数幂的性质解答即可．
【解答】解：a﹣2m﹣2n＝＝＝，
∵am＝5，an＝2，
∴a﹣2m﹣2n＝＝．
8 .已知am+an＝4，am+n＝2，求a﹣2m+a﹣2n的值．
【分析】根据负整数指数幂的性质及完全平方公式对原式进行化简，然后代入即可得出答案．
【解答】解：由已知，，
∴a﹣2m+a﹣2n＝（a﹣m+a﹣n）2﹣2a﹣ma﹣n＝3．
9 .已知xm＝3，yn＝2，求（x2myn）﹣1的值　　．
【分析】根据幂的乘方，可得负整数指数幂，再根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案．
【解答】解：x﹣2m＝（xm）﹣2＝3﹣2＝，
y﹣n＝（yn）﹣1＝．
（x2myn）﹣1＝x﹣2my﹣n＝×＝，
故答案为：．
4.科学记数法表示较小的数
10 .祖国主权，寸土不让．钓鱼岛列岛是我国固有领土，共由个岛屿组成，其中最小的岛是飞濑岛，面积约为平方公里，请用科学记数法表示飞濑岛的面积约为____________平方公里．（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．据此解答即可．
【详解】解：用科学记数法表示飞濑岛的面积约为平方公里．
故选：B．
11 .芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一．据测，一粒芝麻的质量约为，将用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查利用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂．
【详解】解：将数用科学记数法表示为，
故答案为：．
12 .嫦娥五号返回器携带月球样品安全着陆，标志着中国航天业向前又迈出了一大步．嫦娥五号返回器在接近大气层时，飞行大约需要秒．将数据用小数表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．
【详解】解：将数据用小数表示为．
故选：B．
5.根据式子有无意义的条件求值
13 .若（x﹣4）0﹣（2x﹣6）﹣2有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞4 B．x＜3 C．x≠4或x≠3 D．x≠4且x≠3
【分析】根据零指数幂及负整数指数幂有意义的条件列出关于x的不等式组，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵（x﹣4）0﹣（2x﹣6）﹣2有意义，
∴，
解得x≠4且x≠3．
故选：D．
14 .若没有意义，则x﹣2的值为（　　）
A． B．﹣4 C．4 D．
【分析】根据零指数幂的意义即可求出x的值．
【解答】解：由题意可知：，
∴，
∴，
故选：C．
15 .已知（x﹣1）x+2＝1，则整数x＝__________
【答案】2、0、﹣2
【分析】直接利用零指数幂的性质以及有理数的乘方运算法则计算得出答案．
解：∵（x﹣1）x+2＝1，
∴x+2＝0且x﹣1≠0或x﹣1＝1或x﹣1＝﹣1且x+2为偶数，
解得：x＝﹣2、x＝2或x＝0，
故x＝﹣2或2或0．
故答案为：2、0、﹣2．
【点拨】此题主要考查了零指数幂的性质以及有理数的乘方运算，正确分类讨论是解题关键．
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．世界上体积最小的动物要比蚂蚁小很多倍，它是被命名为的原生动物，它的最长直径才0.0000003米，数据0.0000003用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：，
故选：C.
2．下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意，
故选：D.
3．若有意义，则x的取值范围是( )
A. B.且 C.或 D.
答案：B
解析：由题意得且，
解得且.
故选B
4．下列各式中，正确的是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：，，不是同类项，不能合并，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
，故C不符合题意；
，故D符合题意；
故选：D.
5．已知：，，，则a，b，c大小关系是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：∵，，，
∵，
∴，
故选：A.
6．下列四个数中,值最大的是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：A、；
B、；
C、；
D、.
∴
故选：C.
7．已知，下列关于a的叙述中，正确的是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：已知，
则，
故选：B.
8．若有意义，则x的取值范围是( )
A. B. C.或 D.且
答案：D
解析：有意义，
，
解得且.
故选：D.
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．_______.
答案：
解析：,
故答案为：.
10．将代数式写成只含有正整数指数幂的形式：_________.
答案：
若x满足，则整数x的值为__________.
答案：-1或3或1
解析：分三种情况讨论：
①，且，解得.
②，解得.
③，为偶数，解得，符合题意.
综上，x的值为-1或3或1.
12．已知，，，用“<”连接a，b，c为___________.
答案：
解析：因为，，，所以.故答案为.
13．计算：__________.
答案：3
解析：
故答案为:3.
三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分）
14．计算：
（1）；
（2）.
答案：（1）
（2）
解析：（1）原式.
（2）原式.
15．用科学记数法表示下列数：
，，，.
答案：见解析
解析：，
，
，
.
16．计算：
（1）.
（2）.
（3）.
答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）原式.
（2）原式.
（3）原式.
17．与的大小，我们可以采用“从特殊到一般”的思想方法：
（1）通过计算比较下列各式中两数的大小：（填“>”“<“=”）
①___；
②____；
③____；
④____.
（2）由（1）可以猜测与（n为正整数）的大小关系：当n______时，；当n______时，.
（3）根据上面的猜想，则有_______（填“>”“<”或“=”）.
答案：（1）①>
②>
③<
④<
（2）；
（3）<
解析：（1）①因为，，所以.故答案为>.
②因为，，所以.故答案为>.
③因为，，所以.故答案为<.
④因为，，所以.故答案为<.
（2）由（1）可以猜测n为正整数时，当时，；
当时，.故答案为，.
（3）由（2）得，则.故答案为<.
18．根据如图所示的程序，求输出D的化简结果；已知x的立方根是它本身，选取一个合适的x的值代入，求D的值.
答案：（答案不唯一）
解析：.
.
.
由题意可知或，
由分式有意义的条件可知x不能取0，
当时，.（答案不唯一）
19．在初一，我们学习了“有理数的乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算，定义：am与an（a≠0，m、n都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作am÷an．
运算法则如下：
am÷an＝．
解决问题
根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题：
（1）填空：＝　　，23÷27＝　　；
（2）如果，求出x的值；
（3）如果（5﹣2x）3x﹣1÷（5﹣2x）x+7＝1，请直接写出x的值．
【分析】（1）根据同底数幂的除法法则进行计算即可；
（2）先把81化为34的形式，再进行计算即可；
（3）根据同底数幂的除法法则进行计算即可．
【解答】解：（1）＝（）4﹣2＝（）2＝，23÷27＝＝＝．
故答案为：，；
（2）∵＝，
∴3x+4﹣1＝4，
解得x＝；
（3）∵（5﹣2x）3x﹣1÷（5﹣2x）x+7＝1，
∴3x﹣1＝x+7或5﹣2x＝1或5﹣2x＝﹣1，
解得x＝4或2或3．
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