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第二章 有理数
2.5《有理数的乘法与除法》
第1课时
1. 贴近生活实例感受有理数的乘法，让学生理解有理数乘法法则，激发学生对数学的兴趣；
2. 引导学生熟悉有理数乘法法则，使学生能灵活地进行有理数的乘法运算；
3. 引导学生体会有理数乘法的实际意义，培养学生的数学运算素养.
了解有理数乘法的实际意义，理解有理数的乘法法则；
能熟练地进行有理数的乘法运算.
探索有理数的乘法法则，及其积的符号确定.
有理数乘法法则的灵活应用.
一、情境导入
小学里，我们已经熟悉了非负有理数的乘法和除法运算，引入负有理数之后，怎样进行乘法和除法运算呢？
在水文观测中，常常关注水位的高低与升降.
(1)如果水位每天上升4cm，那么如何计算3天后的水位变化？
(2)如果水位每天下降4cm，那么如何计算3天后的水位变化？
答：(1)我们把水位上升记为正，水位下降记为负；几天后记为正，几天前记为负．那么我们有(+4)×(+3)= +12. 即3天后的水位比今天高12cm．
(2)我们把水位上升记为正，水位下降记为负；几天后记为正，几天前记为负．那么我们有(－4)×(+3)= －12. 即3天后的水位比今天低12cm．
此外，因为4×3=12，所以(－4)×3是4×3的相反数，我们也可以用相反数的意义来说明(－4)×3= －12.
因为(－4)×3+4×3=[(－4)+4]×3=0×3=0，所以(－4)×3是4×3的相反数，所以(－4)×3=－12.
师生活动：第(1)题，教师演示，学生倾听，第(2)题，学生模仿，类比完成．
设计意图：引导学生根据生活经验得到有理数的泵法算式,将变化过程和结果数学化，获得对有理数乘法法则的感性经验.保持原数系的基本运算是数系扩充的基本原则，因此，从非负有理数扩充到有理数时,需要保持原有的运算律.
新知探究
1.两数相乘
如何计算4×(－3)，(－4)×(－3)
(1) 4×3＝12； (2) (－ 4)×3＝－12；
(3) 4×(－3)＝－12； (4) (－4)×(－3)＝12.
选择两个有理数，仿照上面的方法进行计算，并与同学交流，看看有什么一般的规律.
(1)4×2＝ ；(2) (－ 4)×2＝ ；(3)4×(－2)＝ ；(4) (－ 4)×(－ 2)＝ ；(5)4×0= .
问题(1)积的符号与因数的符号有什么关系？
(2)积的绝对值与因数绝对值有什么关系？
答：8，－8，－8，8，0.
问题(1)正×正＝正，正×负＝负，负×负＝正，负×正＝负，0×正＝0，0×负＝0；
(2)乘积的绝对值等于各乘数绝对值的乘积.
师生活动：填空，师生一问一答；问题，师生互动交流．
设计意图：不断完善有理数相乘的分类，并结合前面的具体实例，从不同的角度解释和推断每种情况的结果.
根据上面的讨论，你能归纳一下有理数的乘法法则吗？
答：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.0与任何数相乘都得0.
师生活动：师生互动交流，鼓励学生用自己的语言叙述，不断完善．
设计意图：观察积的符号及其绝对值与两个乘数的符号及其绝对值的关系，鼓励学生用自己的语言叙述,培养分类、归纳、抽象能力.
2.多数相乘
算一算，找规律：
(－1)×(－2)=
(－1)×(－2)×(－3)=
(－1)×(－2)×(－3)×(－4)=
(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)=
…
(－1)×(－2)×0×(－3)×(－4)×(－5)×…=
答：2，－6，24，－120，0.
规律：(1)几个不等于0的数相乘，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正.(2)几个数相乘，有一个因数为0，积就为0. 口诀：奇负偶正.
师生活动：师问生答，师生共同归纳多个数相乘的规律.
设计意图：由两个数相乘类比得到多个数相乘，从特殊到一般，采用归纳法.
三、应用举例：
例1 计算：
6×(－1)； (2) (－6)×(－1)；
9×(－6)； (4) (－9)×6.
变式 计算：
(1) (2)　　　　
答：例1 (1)6×(－1)=－(6×1)=－6；(2)(－6)×(－1)=+(6×1)=6；(3)9×(－6)=－(9×6)=－54；(4)(－9)×6=－(9×6)=－54.
变式 (1)原式 (2)原式
师生活动：教师板演示范，学生模仿．
设计意图：例1，发现任何一个数乘－1就会得到其相反数，再运用变式对例1进行强化.
探究：a×(－b)与a×b有什么关系
答：a×(－b)+a×b=a×[(－b)+b] =a×0=0，根据“如果两个数的和为0,那么这两个数互为相反数”，
可知a×(－b)与a×b互为相反数.
师生活动：师生互动，交流讨论．
设计意图：通过取特殊值、分类讨论等方法，利用有理数乘法法则学生容易得到a×(－b)与a×b互为相反数.但是逻辑推理过程教师要进行指导.
例2 计算：
(1) (2)
答：(1)=2××3=3； (2)=
师生活动：教师板演示范，学生模仿．
设计意图：给学生拓展知识：“几个有理数相乘，因数都不为0时，积的符号怎样确定 有一个因数为0时，积是多少 ”，为有理数较复杂的运算打下基础.
四、课堂练习
1.下列运算结果为正数的是 ( )
A.(–7)×(–5) B. 0×(–1)×7 C.(–8)×2 D.(–7)×(+2)
2.下列说法中，不正确的是 ( )
A.异号两数相乘，积一定是负数
B.两个负数相乘，积一定是正数
C.两数相乘，若积为正数，则这两个因数都是正数
D.一个数与–1相乘，积是这个数的相反数
3.一个有理数和它的相反数之积 ( )
A.符号必定为正 B.符号必定为负 C.一定不大于0 D.一定大于0
4.若5个有理数之积为负数，则这5个因数中，负因数的个数可能是( )
A. 1 B. 3 C. 1或3或5 D. 2或4或没有
5.已知|a|＝5，|b|＝2，且ab＜0，求3a＋2b的值.
答：1.A 2.C 3.C 4.C
5. 解：∵|a|=5，|b|=2，
∴a=±5， b=±2.
又∵ab<0，
∴a、b异号.
①当a=5，b=－2时，3a+2b=3×5+2×(－2)=11;
②当a=－5，b=2时，3a+2b=3×(－5)+2×2=－11.
答：3a+2b的值为11或－11
师生活动：学生独立完成，教师批阅.
设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用.
五、课堂小结
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
六、课后作业
1. 完成课本上的相关练习题；
2. 寻找解释“负负得正的合理性”的生活实例.
1.情境创设：本课的情境涉及两个方面的学生现实，一是水位的生活现实，二是相反数意义的数学现实. 教学中先把实际问题抽象成数学模型，再探索有理数乘法法则的合理性，基于有逻辑的推理得到“负负得正”.
2.知识建构：重点围绕让学生“接受”有理数乘法法则，尤其是“负负得正”展开知识建构. 先让学生用正、负数表示水位的上升与下降，引导学生把水位的变化过程与结果数学化. 教学中应鼓励学生用自己的方式总结有理数乘法法则，并使学生感受“分类”的思想，研究两个数的问题，通常把这两个数分成“两数同号；两数异号；两数中至少有一个为零”三类进行研究.
3.例题教学：本课时的重点是引导学生感受有理数乘法法则的合理性，能运用法则进行有理数的乘法运算，应让学生熟悉含负数的运算，加深对有理数乘法法则的理解.
4.课堂小结：重点围绕“负负得正的合理性”展开讨论和总结.第二章 有理数
2.5《有理数的乘法与除法》
第2课时
1. 进一步掌握有理数的乘法运算法则，理解乘法运算律在有理数范围内推广的合理性；
2. 学会把知识运用于实践，灵活、合理地运用乘法运算律简化运算；
3. 培养积极思考和勇于探索的精神，感知数学知识具有普遍联系性，相互转化性
利用探究的方法推导出有理数乘法的运算律；
能用乘法运算律简化运算，了解互为倒数的意义.
学会把知识运用于实践，灵活、合理地运用乘法运算律简化运算.
有理数乘法中运算律的探索，概括有理数乘法交换律、结合律和分配律.
一、情境导入
（1）有理数的乘法法则是什么？
两数相乘，同号得 ，异号得 ，并把绝对值相乘，任何数和零相乘，都得0.
（2）如何进行多个有理数的乘法运算？
先定积的符号 ； 再算积的值－－－－（积的绝对值）.
（3）小学时候大家学过乘法的哪些运算律？
乘法 律、 乘法 律、 乘法 律.
答：（1）正 负 ；（2）负因数的个数“奇负偶正”；（3）结合，交换，分配 ．
师生活动：先教师展示，学生回答．
设计意图：通过回顾有理数的乘法法则以及小学学习的乘法运算律为数集扩充至有理数的运算铺垫.
新知探究
1－1：黑板上两个算式的结果相等吗？
1－2：把△、○中的数换成其他有理数，结果仍然相等吗？
答：1－1：相等.
1－2：相等，例如：(－5)×3=3×(－5)=－15，(－2)×(－7)=(－7)×(－2)=14，……
1－1：黑板上两个算式的结果相等吗？
1－2：把△、○、□中的数换成其他有理数，结果仍然相等吗？
答：1－1：相等.
1－2：相等，例如：[(－5)×3]×4=(－5)×(3×4)=－60，[(－2)×(－7)]×3=(－2)×[(－7)×3]=42，……
1－1：黑板上两个算式的结果相等吗？
1－2：把△、○、□中的数换成其他有理数，结果仍然相等吗？
答：1－1：相等.
1－2：相等，例如：[(－5)+3]×2=(－5)×2+3×2=－4，[(－2)+(－7)]×7=(－2)×7+(－7)×7=－63，……
事实上，小学学过的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律在有理数范围内仍然适用.
师生活动：学生回顾所学知识，再分两种情况自编题目，分别运算，比较结果．
设计意图：逻辑上，在数集扩充时就需要先保证运算律成立，这里通过实例再次感受与验证运算律的过程，而不是“发现”运算律的过程，让学生思考引进负数后，乘法运算律是否仍然适用.
三、应用举例：
例1 计算
注意：
①交换律与结合律常结合起来运用，怎样结合应观察、分析式中数字特征；
②在一个同时有小数和分数的乘法运算中，一般将小数化为分数，便于运用分数约分简化计算.
答：
师生活动：由学生独立思考后交流解法，板演并在每一步骤中要求口述相应的运算律或运算法则．
设计意图：教学时引导学生关注如何用有理数乘法运算律简化计算，可以让学生自主计算，如果学生没有使用运算律，而是直接按运算顺序运算，引导学生比较两种解法的区别，总结利用运算律简化运算的优点.
练习
答：
师生活动：学生小组讨论解题方法后板演.
设计意图：强化训练，加深对知识的理解，让学生更好的运用法则巩固所学的知识.
例2 计算：3×5－(－5)×5+(－1)×5
注意：分配律的逆用,逆用关键：取相同，合不同.
答：3×5－(－5)×5+(－1)×5
=[3－(－5)+(－1)]×5
=7×5
=35
师生活动：学生分小组讨论，探索解题方法.
设计意图：强化训练，掌握乘法分配律逆用的关键，巩固所学知识.
练习
答：
师生活动：学生小组讨论解题方法后板演.
设计意图：强化训练，加深对知识的理解，让学生更好的运用法则巩固所学的知识.
例3 计算：
互为倒数的概念：
一般地，如果a×b=1，那么a和b互为倒数关系，其中一个数叫作另一个数的倒数.特别地，0没有倒数.
答：
师生活动：学生思考后口述.
设计意图：给出有理数的倒数的概念，自然且易于被学生接受，同时也是为探讨有理数除法法则做准备.
四、课堂练习
1.下列说法正确的是 ( )
A.负数没有倒数； B.－1 的倒数是－1；
C.任何有理数都有倒数； D.正数的倒数比自身小.
2.倒数等于它本身的数是 ；绝对值等于它本身的数是 ；相反数等于它本身的数是 .
3.计算
答：1. B 2. 1或－1 ；非负数；0
3.
师生活动：学生独立完成，教师批阅.
设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用.
五、课堂小结
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
六、课后作业
1. 完成课本上的相关练习题.
1.教学中为了避免学生认为从几个例子就可以得出一般结论的错误认识，应让学生在通过多次换成其他的有理数计算的基础上归纳结论.
2.可示范如何用乘法分配律简化计算，也可以根据教学的实际情况采用学生先独立计算后交流的方式，同时对“符号”理解的要求较高，教学中要继续关注学生正确理解算式的意义.
3.对于运算律，不仅可以从左到右还可以从右到左的运用，恰当地运用运算律就可以获得简捷地求解效果.
4.练习环节要兼顾基础和提升，确保每个学生都能掌握基本概念，同时也能挑战他们的思维.
通过观察学生的参与度、讨论内容的深度以及解决实际问题的能力，评估学生对本节课内容的理解和掌握情况.第二章 有理数
2.5《有理数的乘法与除法》
第3课时
1. 让学生掌握将有理数的除法运算转化成乘法运算；
2. 让学生掌握有理数的乘除混合运算，发展他们的运算能力．
1. 理解并熟练掌握有理数的除法法则；
2. 熟练进行有理数的乘除混合运算；
3. 在探索有理数除法法则的活动中，体会类比思想、转化思想，发展运算能力．
会将有理数的除法运算转化成乘法运算．
会进行有理数的乘除混合运算.
一、情境导入
某地某星期每天上午八时的气温：
这周每天上午八时的平均气温如何求呢？
[(－4)+(－4)+0+1+1+(－3)+(－5)]÷7 即(－14)÷7
师生活动：学生思考，同伴互动交流．
设计意图：通过“问题”引导学生从现实情境中抽象出除法算式，感受含有负数的除法是合理的、存在的，进而探索有理数的除法运算法则.
新知探究
1.议一议：(－14)÷7 = ？
方法一：因为(－2)×7=－14，所以(－14)÷7=－2(依据：除法的意义，即除法是乘法的逆运算.)
方法二：除以一个数等于乘这个数的倒数，所以(－14)÷7=(－14)×=－2(依据：小学学过的除法运算法则.)
2.仿照前面的算式，填空：
(1) (－10) ÷2 = (－10) × ____= ____
(2) 24÷ (－8) = 24 × ____= ____
(3) (－12) ÷(－4) =(－12) ×____= ____
答：，－3；，3.
3.讨论：根据上述算式，你能归纳出有理数除法的法则吗
【结论】有理数除法法则1：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数.
a ÷ b =a × (b≠0)
【结论】有理数除法的法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.
0除以任何一个不等于0的数，都得0.
a ÷ b = (b≠0)
师生活动：师生一问一答，师生交流总结．
设计意图：用“根据除法是乘法的逆运算、根据除以一个数等于乘以这个数的倒数”两种方法计算情境中的平均气温，用学生已有的数学知识和方法归纳总结出有理数的除法法则，并引导学生尝试用符号语言表达法则，发展符号意识.
应用举例：
例1 计算：(1)－36 ÷ 8 ；(2)48 ÷(－6)；(3)(－) ÷(－)
解:(1)原式= =；(2)原式= =；(3)原式= =
问题：48÷( 6)和－有什么关系
解：48÷( 6)= =，这意味着分母或分子中的负号“－”可以移到分数前面.
师生活动：学生观察计算，学生回答，教师板书．师生互动，交流讨论问题．
例2 计算：(1)(－32)÷8÷(－4)；(2)17×(－6)÷(－5)；(3)(－81)÷ × ÷(－16)
解：(1)原式 = ( 32)× ×(－)= ( 4) ×(－) = 1
(2)原式 = 17×( 6)×(－ )= 102×(－)=
(3)原式 =(－81)× × ×(－)=(－16)×(－= 1
问题：( 32)÷8÷( 4)和( 32)÷[8÷( 4)]相等吗？
解：不相等.原因：( 32)÷[8÷( 4)]=( 32)÷( 2)=16≠1.
师生活动：学生观察计算，学生回答，教师板书．师生互动，交流讨论问题．
设计意图：例1教学是对有理数除法运算的巩固练习.一般来讲，在能整除的情况下，往往采用除法法则2，确定符号后直接除；在不能整除的情况下，采用除法法则1，即将除数换成倒数，转化成乘法.例2教学中，要求学生有条不紊地按照法则和运算律进行运算，先厘清算理，再熟练运算，着重提升运算能力.
四、课堂练习
1．下列说法中不正确的是( 　)
A．零不能做除数　　　　　 B．零没有倒数
C．两个数的积等于1，这两个数就互为倒数 D．1除以一个数，叫做这个数的倒数
答：D.
计算：(1) 78÷ (－13) ； (2) 0 ÷ ； (3) ( )÷( )
答：－6；0；.
3．计算：(1) ( 4)÷( )÷4； (2) ( 25)÷×÷( 16)
答：(1)4；(2) .
4．下列判断不正确的是( )
A．若ab>0，则>0 B．若<0，则ab<0
C．若ab=0，则=0 D．若=0，则ab=0
答：C.
5．若a、b为非零有理数，求的值.
解：因为当a>0时，；当a<0时，；
所以当a>0，b>0时，=2；
当a<0，b<0时，=－2；
当a>0，b<0时， =0；
当a<0，b>0时，=0；
综上所述，=±2或0.
师生活动：学生独立完成，教师批阅后讲解.
设计意图：通过练习2和3，让学生熟练掌握有理数的除法法则,熟练进行有理数的乘除混合运算.通过练习1和4，加深“除数不为0”这一要点，练习4还提高学生的符号意识.练习5考查了绝对值的性质和分类讨论思想.
五、课堂小结
议一议：通过本节课的学习，你有哪些疑问或收获？
师生活动：师生交流总结.
设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学的内容，掌握本节课的重点：掌握有理数的除法法则和有理数的乘除混合运算方法.通过议一议，培养学生反思自己学习过程的意识，充分发挥学生的主体作用，从而培养其归纳、整理、表达的能力.
六、课后作业
1. 完成课本上的相关练习题.
1.情境创设：本课设计“计算某地一周每天上午8时的平均气温”情境，让学生从生活现实中抽象出数学模型，进而探索有理数的除法运算法则.
2.知识建构：本课设计了“小明根据除法是乘法的逆运算、小丽根据除以一个数等于乘以它的倒数”两种计算平均气温的方法，选用学生已有的数学知识和方法，不仅有利于学生感受有理数除法运算转化为乘法运算的合理性，还能使学生感悟借助已有的知识研究新问题是获取新知识的一个重要途径，有利于学生建立合理的认知结构.
3.例题教学：本节课的重点是会将有理数的除法运算转化成乘法运算，能进行乘除混合运算.通过例题教学，让学生熟悉含负数的除法运算，加深对有理数除法法则的理解.
在教学过程中，注重引导学生通过类比、归纳等方法探索有理数的除法法则，培养了学生的数学思维能力.

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