第8讲　一次不等式(组)及不等式的应用讲义 -2025年中考数学一轮考点探究（广东）

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第8讲　一次不等式(组)及不等式的应用
(6年5考,3~9分)
【知识清单】
知识点1 不等式的相关概念
相关概念
知识点2 不等式的性质
性质
知识点3 一元一次不等式的解法及解集表示
一般步骤:去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1
温馨提示:求解过程类似于解一元一次方程,但要注意不等式的性质3.
解集表示:
类型解集在数轴表示总结
x”用　　圆圈,“≤”和“≥”用　　　　圆点
⑧　　　
⑨　　　
⑩　　　
知识点4 常见关键词与不等号的关系表
常用关键词不等号
大于,多于,超过,高于 >
小于,少于,不足,低于
不小于,不少于,至少,不低于
不大于,不超过,至多,不高于
知识点5 一元一次不等式的应用
一元一次不等式的应用
知识点6 一元一次不等式组的解法及解集表示
一般步骤:一元一次不等式组→解每个一元一次不等式→在数轴上确定不等式解集的公共部分→确定原不等式组的解集
解集表示:
类型(a>b) 在数轴表示口诀解集
同大取大 x>a
同小取
大小小大中间找
大大小小无处找无解
【参考答案】
①成立　②所有的解　③>　④>　⑤>　⑥<　⑦<　⑧x>a　⑨x≤a　⑩x≥a　空心　实心　<　≥　≤　小　x【自我诊断】
1.(北师八下P42第1题改编)已知aA.a+4>b+4
B.a-b>0
C.2a>2b
D.-3a>-3b
2.一个不等式的解集在数轴上表示如图所示,则这个不等式可以是 ( )
A.x+2>0
B.x-2<0
C.2x≥4
D.2-x<0
3.(人教七下P120第2题改编)x的3倍减去2的差不小于0,列出不等式为 .
4.某商店为了促销一种定价为3元的商品,采取下列优惠方式销售:若一次性购买不超过5件,按原价付款;若一次性购买5件以上,超过部分按原价八折付款.如果小明有30元,那么他最多可以购买该商品件.
【参考答案】
D　2.B　3. 3x-2≥0 　4.11
【核心突破】
题型1 解一元一次不等式(组)
例题1 解不等式:-x<3-.
方法总结
解不等式的步骤和注意事项:
1.解一元一次不等式的一般步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验解集、按要求在数轴上表示解集.
2.解不等式时要注意:
(1)是否要变号;
(2)看不等式是否含等号,有等号的解集在数轴上用实心圆点表示,无等号的则用空心圆圈表示;
(3)在数轴上表示不等式的解集时,大于向右,小于向左.
例题2 解不等式组请结合题意填空,完成本题的解答.
(1)解不等式①,得 .
(2)解不等式②,得 .
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来:
(4)原不等式组的解集为 .
变式1 解不等式组:
题型2 一元一次不等式的应用
例题3 [真情境]为全面推进“三供一业”分离移交工作,甲、乙两个工程队承揽了某社区2400米的电路管道铺设工程.已知甲队每天铺设管道的长度是乙队每天铺设管道长度的1.5倍,若两队各自独立完成1200米的铺设任务,则甲队比乙队少用10天.
(1)问甲、乙两工程队每天分别铺设电路管道多少米
(2)若甲队参与该项工程的施工时间不得超过20天,则乙队至少施工多少天才能完成该项工程
方法总结
用不等式解应用题的注意事项:
(1)①“大于”“多于”“超过”“高于”用“>”表示,②“小于”“少于”“不足”“低于”用“<”表示,③“至少”“不低于”“不小于”用“≥”表示,④“最多”“不高于”“不大于”“不超过”用“≤”表示;
(2)注意题目中的隐含条件,如人数只能取自然数.
变式2 某水果店销售苹果和梨,已知购买1千克苹果和3千克梨共需26元,购买2千克苹果和1千克梨共需22元.
(1)求每千克苹果和每千克梨的售价.
(2)如果购买苹果和梨共15千克,且总价不超过100元,那么最多能购买多少千克苹果
【参考答案】
例题1　【自主解答】去分母,得4(1-x)-12x<36-3(x+2),
去括号,得4-4x-12x<36-3x-6,
移项、合并,得-13x<26,
系数化为1,得x>-2.
例题2　【自主解答】(1)x≥-1.
(2)x≤3.
(3)不等式①和②的解集在数轴上表示为
(4)-1≤x≤3.
变式特训　【解析】
解不等式①,得x>-2,解不等式②,得x≤3,
∴不等式组的解集为-2例题3　【自主解答】(1)设乙队每天铺设电路管道x米,则甲队每天铺设电路管道1.5x米,
依题意,得-=10,
解得x=40,
经检验,x=40是原方程的解,且符合题意,
∴1.5x=1.5×40=60.
答:甲队每天铺设电路管道60米,乙队每天铺设电路管道40米.
(2)设乙队施工m天正好完成该项工程,
依题意,得≤20,
解得m≥30.
答:若甲队参与该项工程的施工时间不得超过20天,则乙队至少施工30天才能完成该项工程.
变式特训　【解析】(1)设每千克苹果的售价为x元,每千克梨的售价为y元.
依题意,得
解得
答:每千克苹果的售价为8元,每千克梨的售价为6元.
(2)设购买m千克苹果,则购买(15-m)千克梨.
依题意,得8m+6(15-m)≤100,
解得m≤5.
答:最多购买5千克苹果.
【真题精粹】
考向1 不等式的性质
真题拓展
1.已知实数a,b,若a>b,则下列结论不正确的是 ( )
A.a-5>b-5 B.2+a>2+b
C.> D.3a<3b
考向2 解一元一次不等式(仅2018.T6考查)
2.(2018·广东6题3分)不等式3x-1≥x+3的解集是 ( )
A.x≤4 B.x≥4 C.x≤2 D.x≥2
考向3 解一元一次不等式组(6年4考)
3.(2023·广东8题3分)一元一次不等式组的解集为 ( )
A.-1C.x<3 D.34.(2020·广东8题3分)不等式组的解集为 ( )
A.无解 B.x≤1
C.x≥-1 D.-1≤x≤1
5.(2022·广东16题8分)解不等式组
(2021·广东18题6分)解不等式组
真题拓展
7.解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来.
考向4 一元一次不等式的应用(6年2考)
8.(2023·广东14题3分)某商品进价4元,标价5元出售,商家准备打折销售,但其利润率不能少于10%,则最多可打折.
9.(2019·广东21题7分)某校为了开展“阳光体育运动”,计划购买篮球、足球共60个,已知每个篮球的价格为70元,每个足球的价格为80元.
(1)若购买这两类球的总金额为4600元,问篮球、足球各买了多少个
(2)若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额,问最多可购买多少个篮球
真题拓展
10.[真情境]南山荔枝是广东省深圳市南山区的特产、中国国家地理标志产品,品种多样.共有6个品种,“糯米糍”和“妃子笑”是其中两个品种.某水果商从批发市场用8000元购进了“糯米糍”和“妃子笑”各200千克,“糯米糍”的进价比“妃子笑”的进价每千克多20元.“糯米糍”售价为每千克40元,“妃子笑”售价为每千克16元.
(1)“糯米糍”和“妃子笑”的进价分别是每千克多少元销售完后,该水果商共赚了多少元钱
(2)该水果商第二次仍用8000元钱从批发市场购进了“糯米糍”和“妃子笑”各200千克,进价不变,但在运输过程中“妃子笑”损耗了20%.若“妃子笑”的售价不变,要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚的钱,“糯米糍”的售价最少应为多少
【参考答案】
1.D　2.D　3.D　4.D
5.【解析】
由①得x>1,
由②得x<2,
∴不等式组的解集为16.【解析】
由①得x<2,
由②得x>-1,
∴原不等式组的解集为-17.【解析】解不等式3x-5解不等式2(2x-1)≥3x-4,得x≥-2,
则不等式组的解集为-2≤x<3.
将不等式组的解集表示在数轴上如下:
8.8.8
9.【解析】(1)设购买了x个篮球,y个足球.
依题意,得
解得
答:买了20个篮球,40个足球.
(2)设购买了m个篮球,则购买了(60-m)个足球.
依题意,得70m≤80(60-m),
解得m≤32.
答:最多可购买32个篮球.
10.【解析】(1)设“糯米糍”的进价是x元/千克,则“妃子笑”的进价是(x-20)元/千克,
依题意得200x+200(x-20)=8000,
解得x=30,
∴x-20=10,
200×40+200×16-8000=3200(元).
答:“糯米糍”的进价是30元/千克,“妃子笑”的进价是10元/千克,销售完后,该水果商共赚了3200元钱.
(2)设“糯米糍”的售价应为m元/千克,
依题意,得200m+200×(1-20%)×16-8000≥3200,
解得m≥43.2.
答:“糯米糍”的售价最少应为43.2元/千克.

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