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第二章 有理数的运算 期末复习考点讲义-2024-2025学年数学人教版（2024）七年级上册
第一步：单元学习目标
1.有理数的加减法 （1）掌握有理数加法运算律，并能灵活、合理地运用它们简化加法运算 （2）掌握有理数减法法则，能熟练进行有理数的减法运算 （3）能把有理数的加减混合运算统一成加法运算，并能熟练进行有理数的加减混合运算 （4）能利用有理数的加减法解决简单的实际问题
2.有理数的乘除法 （1）掌握有理数乘法法则及多个有理数相乘的符号法则，会进行有理数的乘法运算 （2）理解有理数的倒数的意义，会求一个有理数的倒数 （3）掌握有理数除法法则，能根据条件选择合适的法则熟练地进行有理数的除法运算及加减混合运算
3.有理数的乘方 （1）理解乘方的意义，会进行有理数的乘方运算 （2）掌握有理数的混合运算顺序，能熟练进行简单的混合运算，提高运算能力 （3）会用科学记数法表示绝对值大于10的数，会用科学记数法表示的数还原 （4）了解近似数，在解决实际问题时，会按问题的要求进行简单的近似运算
第二步：思维导图回顾知识
第三步：单元重难知识易混易错
【知识梳理】
倒数：（1）的倒数是；
（2）若互为倒数，则
【注意】0没有倒数，倒数等于本身的数是
科学记数法：（1）表示形式：
（2）的确定（设原数为）
当时，等于原数的整数位数减1；
【注意】当原数带有计数单位或计量单位时，可以先进行转化，如1万=，1亿=等.
近似数：（1）准确数：与实际完全符合的数，称为准确数
（2）近似数：许多实际情况中，较难取得准确数，把接近准确数但不等于准确数的数称为近似数
（3）近似数的精确度：近似数的精确度是指近似数与准确数的接近程度.一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位
近似数的精确度的表述方法：
①用数位表示，如精确到千位，精确到千分位等；
②用小数表示，如精确到0.1，精确到0.01等；
③对带有单位的数用单位表示，如精确到1kg，精确到1m等.
（4）取近似数的方法：通常用四舍五入法
【注意】取近似数的方法是四舍五入法，关键是看准精确度，需要注意的问题是近似数的舍入，只考虑精确度后面的第一个数字，且近似数小数点后末位数字是0时千万不能省略不写.
运算法则：
加法法则：① 同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加
②异号两数相加：绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值
减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数：
乘法法则：两数相乘（除），同号得正，异号得负，并把绝对值相乘（除）；任何数同0相乘后得0；0除以任何数，仍得0
【注意】几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定.当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正
运算律：交换律：加法交换律：，乘法交换律：
结合律：加法结合律：，乘法结合律：
分配律：乘法分配律：
运算顺序：先乘方，在乘除，最后加减；如有括号，先进行括号内的运算，一般按小括号、中括号、大括号依次进行；同级运算，从左到右进行
【常考题型】
1.用四舍五入按要求对0.04018分别取近似数,其中正确的是( ).
A.0.4(精确到0.1) B.0.040(精确到百分位)
C.0.040(精确到0.001) D.0.0402(精确千分位)
2.在新能源汽车领域,今年1月至8月,安徽省新能源汽车产量93.7万辆,居全国第2位,数据万用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3.下列说法正确的是( )
A.倒数等于它本身的数只有1 B.正数的绝对值是它本身
C.平方等于它本身的数只有1 D.立方等于它本身的数只有1
4.a,b,c的大小关系如图所示,则的值是( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
5.如图所示的运算程序中,若开始输入的x值为,我们发现第1次输出的结果为9,第2次输出的结果为,则第次输出的结果为______.
6.已知a、b互为相反数,c、d互为倒数,m是绝对值等于2的数,求的值.
7.计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
8.慧慧学习了“有理数的乘方”后,她就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”的概念.规定：求若干个相同的有理数(均不为0)的除法运算叫作除方,如,等,类比有理数的乘方,把记作,读作“5的圈3次方”,记作,读作“的圈4次方”,一般地,把记作,读作“a的圈n次方”.请你根据慧慧的规定解决下列问题：
(1)直接写出计算结果：______,______；
(2)将下列运算结果直接写成乘方幂的形式：
______,______,______,______；
(3)计算：.
第四步：单元核心素养对接中考
【核心素养】
（1）运算能力：掌握有理数的加、减、乘、除、乘方运算的法则，以及运算律的运用，能够正确、熟练地进行有理数的混合运算，提高运算能力.
（2）推理能力：在探究有理数运算律的过程中，通过观察、比较、分析等活动，发现规律并进行归纳总结，培养推理能力.
（3）数学建模：运用有理数的运算解决实际生活中的问题，如行程问题、利润问题等，建立数学模型，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力.
【对接中考】
1．[2024年湖南长沙中考真题]“玉兔号”是我国首辆月球车，它和着陆器共同组成“嫦娥三号”探测器.“玉兔号”月球车能够耐受月球表面的最低温度是、最高温度是，则它能够耐受的温差是( )
A. B. C. D.
2．[2024年湖南中考真题]据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家，将用科学记数法表示应为( )
A. B. C. D.
3．[2024年江西中考真题]计算：__________.
4．[2024年陕西中考真题]小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，，，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是________.（写出一个符合题意的数即可）
5．[2024年北京中考真题]联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始.一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下：
节目 A B C D
演员人数 10 2 10 1
彩排时长 30 10 20 10
已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）.
若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为__________min；若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按的__________先后顺序彩排
答案以及解析
【常考题型】
1.答案：C
解析：(精确到0.1)；(精确到百分位)；(精确到0.001)；(精确到千分位).
故选C.
2.答案：C
解析：数据万用科学记数法表示为.
故选：C.
3.答案：B
解析：A、倒数等于它本身的数有,此项说法错误；
B、正数的绝对值是它本身,此项说法正确；
C、平方等于它本身的数有0和1,此项说法错误；
D、立方等于它本身的数有0和,此项说法错误；
故选：B.
4.答案：B
解析：由a、b、c的大小关系图可知,所以,,.
对于,因为,所以；
对于,因为,所以；
对于,因为,所以.
则,
答案选B.
5.答案：6
解析：输入,则第一次输出的是：；
第二次输出的数是；
第三次输出的数是：；
第四次输出的数是：；
第五次输出的数是：；
第六次输出：；
如此循环,偶数次输出的是3,奇数次输出的是6.
故第次输出6.
故答案是：6.
6.答案：3或
解析：a、b互为相反数,c、d互为倒数,m是绝对值等于2的数,
∴,,,
∴
；
或
.
7.答案：(1)0
(2)
(3)
(4)
解析：(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
.
8.答案：(1)2,9
(2),,,
(3)
解析：(1)；
；
故答案为：,9；
(2)由题意可得：,
,
,
,
故答案为：,,,；
(3)原式
.
【对接中考】
1．答案：D
解析：能够耐受的温差是，
故答案为：D.
2．答案：B
解析：用科学记数法表示为.
故选：B.
3．答案：1
解析：.
故答案为：1.
4．答案：0
解析：由题意，填写如下：
，，满足题意；
故答案为：0.
5．答案：60；
解析：①节目D的演员的候场时间为，
故答案为：60；
②由题意得节目A和C演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长长的节目应该放在后面，那么C在A的前面，B和D彩排时长一样，人数不一样，那么人数少的应该往后排，这样等待时长会短一些，那么B在D前面，
①按照顺序，则候场时间为：分钟；
②按照顺序，则候场时间为：分钟；
③按照顺序，则候场时间为：分钟；
④按照顺序，则候场时间为：分钟；
⑤按照顺序，则候场时间为：分钟；
⑥按照顺序，则候场时间为：分钟.
按照顺序彩排，候场时间之和最小，
故答案为：.

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