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第十二讲 应用一元一次方程（二）
应用一元一次方程（二）
通过对本节课的学习，你能够：
积分问题
计费问题
产品配套问题
工程问题
相遇问题
直线追击问题
环形问题
综合问题
适用学科 初中数学 适用年级 初中一年级
适用区域 北师大版区域 课时时长（分钟） 120
知识点 1、积分问题. 5、相遇问题. 2、计费问题. 6、直线追击问题. 3、产品配套问题. 7、环形问题. 4、工程问题. 8、综合问题.
教学目标 1、借助表格分析复杂问题中的数量关系，建立方程解决实际问题，发展分析问题，解决问题的能力。 2、对同一问题设不同未知数列出不同的方程，体会算法多样化。 3、能借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系，从而列出方程，解决问题.熟悉行程问题中路程、速度、时间之间的关系，从而实现从文字语言到符号语言的转换.
教学重点 准确分析问题中的等量关系，设恰当的未知数，列方程.
教学难点 思考不同等量关系在解决问题中的不同的作用，提高分析问题和解决问题的能力，培养思维的灵活性.
工作量=工作时间×工作效率
甲、乙合作效率=甲的工作效率+乙的工作效率
调配问题中可采用列表法协助分析数量关系
用一元一次方程解决实际问题时，要设出合理的未知数，找出隐含在题目中的相等关系时。在寻找相等关系时，要抓住关键性词语，如共、多、少、倍、几分之几等，并以原有量、现有量之间的关系为基础导出相等关系。
路程=速度×时间
（1）相遇问题中的等量关系
速度和×相遇时间=相遇距离
甲行的路程+乙行的行程=相遇路程
（2）追及问题中的等量关系
速度差×追及时间=追及距离
快者走的路程-慢者走的路程=追及路程
考点一：积分问题
某公司对应聘人员进行英语考试，试题由50道选择题组成，评分标准规定：每道题的答案选对得3分，不选得0分，选错倒扣1分。已知某人有5道题未作，得了103分，则这个人选错了几道题？
某足球赛一个赛季共进行了26轮比赛（即每队均需赛26场），其中胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。某队在这个赛季中平的场数比负的场数多7场，结果得34分，则这个队在这一赛季中胜、平、负的场数各是多少？
3、足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一支足球队在某个赛季比赛共需14场，现已比赛8场，输了一场，得17分，请问：
(1)前8场比赛中，这支球队共胜了多少场
(2)这支球队打满14场比赛，最高能得多少分
(3)通过对比赛的分析，这支球队打满14场比赛，得分不低于29分，就可达到预期的目的，请你分析一下，在后面的6场比赛中，这支球队至少要胜几场，才能达到预期的目标
考点二：计费问题
1、某地上网有两种收费方式，用户可以任意选择其一：
A．计时制：1.5元/时；B．包月制：45元/月；
此外，每种上网方式都要加收通信费1元/时。
（1）某用户平均每月的上网时间为20小时，若选择方案A， 应缴 元上网费；若选择方案B，应缴 元上网费；
（2）某用户平均每月的上网时间为30小时，若选择方案A，应缴 元上网费；若选择方案B，应缴 元上网费；
（3）某用户平均每月的上网时间为40小时，若选择方案A，应缴 元上网费；若选择方案B，应缴 元上网费；
（4）某用户发现他家10月份的上网费，按方案A与方案B的缴费一样；求他家10月份的上网时间？
（5）根据用户上网时间的不同，请你为用户选择省钱收费方式（选择方案A或选择方案B）？
2、郑州市出租车计价规则如下：行程不超过2公里，收起步价8元；超过2公里的部分每公里加收1.5元（不足一千米按一千米算）。
（1）、若乘坐出租车1.5公里，则应缴 元车费；
（2）、若乘坐出租车8公里，则应缴 元车费；
（3）、小明从学校坐出租车到家，共付出租车车费为26 元，求学校到小明家的路程？
3、下表有两种移动电话计费方式：月使用费固定收,主叫不超限定时间不再收费,主叫超时部分加收超时费,被叫免费
月使用费/元 主叫限定时间/min 主叫超时费/(元/min) 被叫
方式一 58 150 0.25 免费
方式二 88 350 0.19 免费
（1）一个月内用移动电话主叫为t min(t是正整数).根据上表,列表说明:当t在不同时间范围内取值时,按方式一和方式二如何计费.
(2)观察你的列表,你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗 通过计算验证你的看法.
考点三：产品配套问题
1、某幼儿园阿姨给小朋友分苹果，每人分3个则剩1个；每人分4个则差2个；问有多少个苹果？设有x个苹果，则可列方程为（ ）．
A、3x＋1=4x－2 B、
C、 D、
2、小明看书若干日，若每日读书32页，尚余31页；若每日读书36页，则最后一天需要读39页，才能读完。这本书共多少页？
3、某车间有22名工人生产螺钉和螺母,每人每天平均生产螺钉1200或螺母2000个,一个螺钉要配两个螺母;为了使每天生产的产品正好配套,应该如何安排工人生产
考点四：工程问题
1、一项工程甲单独做要40天完成，乙单独做要50天完成，甲先单独做4天，然后两人合作天完成这项工程，则可列的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2、一项工程甲单独做要40天完成，乙单独做要50天完成，甲先单独做4天，然后两人合作x天完成这项工程，则可列方程 ．
3、修筑一条公路，甲工程队单独承包要80天完成，乙工程队单独承包要120天完成。
（1）现由甲、乙两个工程队合作承包，多少天可以完成？
（2）如果甲、乙两工程队合作了30天后，因甲工程队另有任务，剩下的工作由乙工程队完成，则修好这条公路一共需要多少天完成？
考点五：相遇问题
1、A，B两地相距480 km，一列慢车从A地出发，每小时行驶60 km，一列快车从B地出发，每小时行驶90 km，快车提前30 min出发．两车相向而行，慢车行驶了多少小时后，两车相遇？若设慢车行驶了x h后，两车相遇，则根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2、A、B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行.已知甲车速度120千米/时，乙车
速度为80千米/时，经过小时两车相距50千米，则的值是（ ）.
A．2或2.5 B．2或10 C．10或12.5 D．2或12.5
3、小华和小玲同时从相距700米的两地相对走来，小华每分钟走60米，小玲每分钟走80米。几分钟后两人相遇？
4、两列火车同时从相距600千米地甲乙两地相向而行，经过4小时后两列火车在途中相遇，已知客车每小时行80千米，货车每小时行多少千米？
考点六：直线追及问题
1、小明每天早上要在7：50之前赶到距家1000米的学校上课，一天小明以80米/分的速度出发，5分后，小明的爸爸发现他忘了带语文书，于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他。
（1）爸爸追上小明用了多少时间？
（2）追上小明时，距离学校还有多远？
2、列方程解应用题；
一队学生去校外进行军事野营训练，他们以5千米/时的速度行走，出发18分钟后，学校要将一个紧急通知传达给队长，派通讯员立刻从学校出发，骑自行车以14千米/时的速度按原路追赶，通讯员用多长时间可以追上学生队伍？
3、列方程解应用题：七年级某班同学清明节去扫墓，步行的同学先从学校出发1h，然后骑车的同学从学校出发沿同一路线前行，30min后与步行的同学同时到达.已知骑车的同学比步行的同学每小时多行10km，求骑车的同学和步行的同学的速度.
考点七：环形问题
1、甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步，甲每分钟跑240米，乙每分钟跑200米，二人同时同地同向出发，几分钟二人相遇？若背向跑，几分钟后相遇？
2、如图所示图形ABCD是一个长为400米的环形跑道，现在把跑道分成相等的4段，即两条直道和两条弯道长度都相等。甲、乙二人沿着环形跑道ABCD练习跑步（匀速），甲从A点出发，乙从B点出发，甲比乙每秒多跑1米。
（1）如果甲按照顺时针方向跑，同时乙按照逆时针方向跑，经过25秒两人第一次相遇，求甲、乙两人的速度；
（2）如果两人按照原来（1）中的速度，沿相同的方向同时起跑，当第一次相遇时，甲在环形跑道ABCD的哪一条直道或弯道上？说明理由。
考点八：综合问题
1、小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15km，可早到10分钟，每小时骑12km就会迟到5分钟．问他家到学校的路程是多少km？设他家到学校的路程是xkm，则据题意列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2、已知A、B、C三地是同一条河流上的三个不同地方，且A、B、C在同一直线上，A、C相距28千米，某船先从A地顺流而下来到B地，再立刻调头逆流而上到达C地，一共用了5小时，调头时间忽略不计．已知该船的静水速度为18km/h，水流速度为2km/h，请问：
（1）船在顺水中航行的速度是 km/h，船在逆水中航行的速度是 km/h．
（2）A、B两地相距多少千米？
3、甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。
（1）慢车先开出1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？
（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？
（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？
（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？
（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？
4、甲、乙两位同学进行“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线起跑，绕过点P跑回起跑线（如图，绕点P时转弯的路忽略不计），用时少者为胜；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，结果：甲同学由于心急，掉了球，他捡起球并回到掉球处继续赛跑，共浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完。事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙同学说：“甲同学浪费的时间不算在内时，我的速度是2.5米/秒，甲的速度是我的1.2倍”。请根据以上图文信息，解答以下问题：
（1）这次“托球赛跑”游戏最终获胜的是哪位同学？请说明理由。
（2）点P到起跑线的距离是多少米？
1、某学校七年级8个班进行足球友谊赛，采用胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分的记分制。某班与其他7个队各赛1场后，以不败的战绩积17分，那么该班共胜了几场比赛？
2、小明在一次篮球比赛中，共投中15个球（其中包括2分球和3分球），共得34分，则小明共投中2分球和3分球各多少个？
3、小明同学是学校的篮球明星，在一场篮球比赛中，他一人得了23分，如果他投进的2分球比3分球多4个，那么在这场比赛中他投进的2分球的个数有多少？
1、某品牌汽车生产厂为了占领市场提高销售量，对经销商采取销售奖励活动，在2024年10月前奖励办法以下表计算奖励金额，2024年10月后以新奖励办法执行．某经销商在新奖励办法出台前一个月共售出某品牌汽车的A型和B型共413台，新奖励办法出台后的第一个月售出这两种型号的汽车共510台，其中A型和B型汽车的销售量分别比新奖励办法出台前一个月增长25％和20％．2024年10月前奖励办法：
销售量（x台） 每台奖励金额（元）
0＜x≤ 100 200
100＜x≤300 500
x＞300 1000
（1）在新办法出台前一个月，该经销商共获得奖励金额多少元？
（2）在新办法出台前一个月，该经销商销售的A型和B型汽车分别为多少台？
（3）若A型汽车每台售价为10万元，B型汽车每台售价为12万元．新奖励办法是：每销售一台A型汽车按每台汽车售价的给予奖励，每销售一台B型汽车按每台汽车售价的给予奖励．新奖励办法出台后的第二个月，A型汽车的销售量比出台后的第一个月增加了； 而B型汽车受到某问题零件召回的影响，销售量比出台后的第一个月减少了，新奖励办法出台后的第二个月该经销商共获得的奖励金额355680元，求的值．
4、已知A、B两地相距120km，乙的速度比甲每小时快1km，甲先从A地出发2小时后，乙从B地出发，与甲相向而行经过10小时后相遇，求甲、乙的速度各是多少？
5、甲、乙两人骑自行车同时从相距80千米的两地出发，相向而行，2小时后相遇，已知甲每小时比乙多走2.4千米，求甲、乙每人每小时走多少千米？
分析：等量关系为：甲2小时走的路程+乙2小时走的路程=80，把相关数值代入求解即可．
6、甲乙两人在同一道路上从相距5千米的A、B两地同向而行，甲的速度为5千米/小时，乙的速度为3千米/小时，甲带着一只狗，当甲追乙时，狗先追上乙，再返回遇上甲，再返回追上乙，依次反复，直至甲追上乙为止，已知狗的速度为15千米/小时，求此过程中，狗跑的总路程是多少？
7、甲乙两人从相距1500米的A、B两地同时出发相向而行，甲骑自行车，速度是7.5米/秒，乙步行，速度是2.5米/秒，甲出发1分钟后忘记带东西，迅速返回去取（掉头时间及取东西时间不计），则在乙出发 秒后，两人相距100米．
购买香蕉数 (千克) 不超过 20千克 20千克以上 但不超过40千克 40千克以上
每千克价格 6元 5元 4元
1、某水果批发市场香蕉的价格如下表：
张强两次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次），共付出264元， 请问张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？
2、参加保险公司的医疗保险，住院治疗的病人享受分段报销，保险公司制定的报销细则如下表.某人住院治疗后得到保险公司报销金额是1100元，那么此人住院的医疗费是多少钱？
住院医疗费（元） 报销率（%）
不超过500元的部分 0
超过500～1000元的部分 60
超过1000～3000元的部分 80
……
3、列方程解应用题 （10分）
甲、乙两人同时从相距25千米的A地去B 地，甲骑车乙步行，甲的速度是乙的速度的3倍，甲到达B地停留40分钟，然后从B地返回A地，在途中遇见乙，这时距他们出发的时间恰好3小时，求两人的速度各是多少？
4、甲、乙两人从相距75km的两地出发，相向而行，甲每小时行10km，每小时比乙快2km，乙先出发2小时，当两人还相距5km的时候，乙一共行了多少小时？
【教学建议】
通过本节课的学习，学生应该借助表格分析复杂问题中的数量关系，建立方程解决实际问题，发展分析问题，解决问题的能力；对同一问题设不同未知数列出不同的方程，体会算法多样化；能借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系，从而列出方程，解决问题.熟悉行程问题中路程、速度、时间之间的关系，从而实现从文字语言到符号语言的转换，课后需要通过大量的练习来巩固课上所学的知识，真正做到学以致用。
1、在全国足球甲A联赛的前11轮比赛中,某队保持连续不败（不败含取胜和打平）共积23分,按比赛规则,胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分,求该队在这11场比赛中共胜了多少场
2、为了提升学生体育锻炼意识，某中学七年级(1)班进行了一次体育测试，测试内容为投掷实心球，老师在操场上画出了A，B，C三个区域，每人投掷5次，实心球落在各个区域的分值各不相同，落在C区得3分．墨墨，茗茗，丽丽三位同学投掷后其落点如图所示，已知墨墨的得分是19分．
（1）设投进B区域得x分，用整式表示投进A区域的得分；
（2）若茗茗的得分是21分，求投进B区域的得分；
（3）求丽丽的得分．
3、小明家离学校2.9千米，一天小明放学走了5分钟之后，他爸爸开始从家出发骑自行车去接小明，已知小明每分钟走60米，爸爸骑自行车每分钟骑200米，请问小明爸爸从家出发几分钟后接到小明？
4、敌我两军相距25km，敌军以5km/h的速度逃跑，我军同时以8km/h的速度追击，并在相距1km处发生战斗，问战斗是在开始追击后几小时发生的？
5、甲、乙两人在一条长400米的环形跑道上跑步，甲的速度为360米/分，乙的速度是240米/分.
（1）两人同时同地同向跑，问第一次相遇时，两人一共跑了多少圈？
（2）两人同时同地反向跑，问几秒后两人第一次相遇？
1、红光服装厂要生产某种学生服一批，已知每3米长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用600米长的这种布料生产学生服，应分别用多少布料生产上衣和裤子，才能恰好配套？共能生产多少套？
2、某车间有技术工85人，平均每天每人可加工甲种部件16个或乙种部件10个，2个甲种部件和3个乙种部件配 一套，问加工甲、乙部件各安排多少人才能使每天加工的甲、乙两种部件刚好配套？（4分）
3、某车间有技术工人85人，平均每天每人可加工甲种部件16个或乙种部件10个，2个甲种部件和3个乙种部件配成一套，问加工甲、乙两种部件各安排多少人才能使每天加工的两种部件刚好配套？并求出加工了多少套？
4、雅丽服装厂童装车间有40名工人，缝制一种儿童套装（一件上衣和两条裤子配成一套）。已知1名工人一天可缝制童装上衣3件或裤子4件，问怎样分配工人才能使缝制出来的上衣和裤子恰好配套？
5、有一些相同的房间需要粉刷墙面，一天3名师傅去粉刷8个房间，结果其中有40㎡墙面未来得及刷；同样时间内5名徒弟粉刷了9个房间的墙面，每名师傅比徒弟一天多刷30㎡墙面．
（1）求每个房间需要粉刷的墙面面积；
（2）张老板现有36个这样的房间需要粉刷,若请1名师傅带2名徒弟去,需几天完成
6、小明和小华每天早晨坚持跑步，小华每秒跑5米，小明每秒跑7米，如果小华站在小明前面20米处，两人同时起跑，几秒后小明能追上小华？
7、小明和小刚从学校出发去敬老院送水果，小明带着东西先走了200m，小刚才出发.若小明每分钟行80m，小刚每分钟行120m.则小刚用几分钟可以追上小明？
8、列方程解应用题：（6分）
小明和小东两人练习跑步，都从甲地出发跑到乙地，小明每分钟跑250米，小东每分钟跑200米，小明让小东先出发3分钟之后再出发，结果两人同时到达乙地，求甲、乙两地之间的路程是多少米？
1、某工程，甲单独做12天完成，乙单独做8天完成。现在由甲先做3天，乙再参加做，求完成这项工程乙还需要几天？若设完成这项工程乙还需要x天，则下列方程不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2、一个水池有甲、乙两个水龙头，单独开甲龙头，4 h可把空水池灌满；单独开乙龙头，6 h可把空水池灌满，灌满水池的要同时开甲、乙两龙头的时间是（　　）
A．h B.h C．4 h D．h
3、一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成．现在先由甲单独做4小时，剩下的部分由甲、乙合做，需要几小时完成？
4、展开你想象的翅膀，尽可能多地从方程中猜想出它可能会是哪种类型的实际问题，将其编写出来，并解答之。
5、 某管道由甲、乙两工程队单独施工分别需30天、20天。
(1)如果两队从两端同时相向施工，需要多少天铺好
(2)又知甲队单独施工每天需付200元的施工费，乙队单独施工每天需付280元的施工费，那么是由甲队单独施工，还是由乙队单独施工，还是由两队同时施工，请你按照少花钱多办事的原则，设计一个方案，并说明理由。
6、列方程解应用题：七年级某班同学清明节去扫墓，步行的同学先从学校出发1h，然后骑车的同学从学校出发沿同一路线前行，30min后与步行的同学同时到达.已知骑车的同学比步行的同学每小时多行10km，求骑车的同学和步行的同学的速度.
7、A、B两地相距40千米，上午6时张强步行从A地出发于下午4时到达B地；上午10时王丽骑自行车从A地出发于下午3时到达B地，问王丽是在什么时间追上张强的？

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