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第十讲 认识并求解一元一次方程
认识并求解一元一次方程
适用学科 初中数学 适用年级 初中一年级
适用区域 北师大版区域 课时时长（分钟） 120
知识点 1、一元一次方程的定义 2、列一元一次方程 3、一元一次方程的解 4、等式的基本性质 5、解一元一次方程 6、一元一次方程的综合运用（含参问题）
教学目标 1、掌握一元一次方程的定义. 2、掌握等式的基本性质 3、掌握一元一次方程的解法.
教学重点 能根据方程的特点灵活地选择解法.
教学难点 灵活运用解一元一次方程的步骤.
一、情景导入：
我能猜出你们的年龄，相信吗？只要任何一个同学回答我一个问题，我就能马上猜到他的年龄是多少岁，我们来试试吧．
问：你的年龄乘以2加3等于多少？
学生说出结果，教师猜测年龄，并问：你们知道我是怎么做的吗？
学生讨论并回答
二、知识探究：
1．方程的教学（投影演示）
小彬和小明也在进行猜年龄游戏，我们来看一看．
找出这道题中的等量关系，列出方程．
大家观察，这两个式子有什么特点．
讨论并回答：什么是方程？方程有哪些特点？
2．判断下列式子是不是方程？
（1）x＋2＝3（是） （2）x＋3y＝6（是）
（3）3x－6（不是） （4）1＋2＝3（不是）
（5）x＋3＞5（不是） （6）y－12＝5（是）
三、合作交流
1．如果告诉我们一些实际生活中的问题，大家能够自己列出方程吗？（投影演示）
情景一：小颖种了一株树苗，开始时树苗高为40厘米，栽种后每周树苗长高约10厘米，大约几周后树苗长高到1米？
你能找出题中的等量关系吗？怎样列方程？由此题你们想到了些什么？
情景二：第五次全国人口普查统计数据（2001年3月28日新华社公布）
截至2000年11月1日0时，全国每10万人中具有大学文化程度的人数为3611人，比1990年7月1日0时增长了153.94%，1990年6月底每10万人中约有多少人具有大学文化程度？
情景三：西湖中学的体育场的足球场，其周长为200米，长和宽之差为12米，这个足球场的长和宽分别是多少米？
下面是刚才根据几道情景题所列的方程，分析下列方程有何共同点？
2x–5＝21
40＋15x＝100
x（1＋153.94﹪）＝3611
2[x＋(x＋12)]＝200
2[y＋(y–12)]＝200
在一个方程中，只含有一个未知数x（元），并且未知数的指数是1（次），这样的方程叫一元一次方程．
问：大家刚才都已经自己列出了方程，那个同学能够说一下你是怎样列出方程的，列方程应该分为那几步呢？
生：分组讨论，回答列方程的步骤：（1）找等量关系；（2）设未知数；（3）列方程．
方程的定义：含有未知数的等式叫做方程。
方程的定义的要点：①含有未知数，π不是未知数；②是等式。
方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解。
一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的指数都是1，这样的方程叫做一元一次方程。
一元一次方程的三要点：①、只含有一个未知数；②、未知数的次数为“1”；③、整式方程。
解方程：求方程解的过程叫做解方程。
等式的基本性质一：等式的两边同时加上（或减去）同一个整式，等式还成立。
等式的基本性质二：等式的两边同时乘以（或除以）同一个整式（不为零），等式还成立。
解一元一次方程的步骤及依据：
步骤 注意事项 依据
去分母 等式两边每一项都要乘以分母的最小公倍数 等式的基本性质二
去括号 括号前是负号时要变号 去括号法则
移项 移项要变号 等式的基本性质一
合并同类项 注意系数的符号 合并同类型法则
系数化“1” 两边同时除以系数 等式的基本性质二
1、已知下列方程：其中一元一次方程有（ ）
①x﹣2=；②0.2x﹣2=1；③；④x2﹣3x﹣4=0；⑤2x=0；⑥x﹣y=6．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2、若关于x的方程mxm﹣2﹣m+3=0是一元一次方程，则这个方程的解是（ ）
A．x=0 B．x=3 C．x=﹣3 D．x=2
1、甲数比乙数的还多1，设乙数为，则甲数可表示为 ( )
A． B． C． D．
2、有m辆客车及n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车；若每辆客车乘43人，则只有1人不能上车，用下列四个等式表示：
①；
②；
③；
④，
其中正确的是（ ）
①② B、②④ C、②③ D、③④
3、比a的3倍大5的数是9，列出方程式是 ．
1、若x= 2是关于x的方程3x+4= +a的解，则a2020 a的值是______.
2、写出一个满足下列条件的一元一次方程：①所含未知数的系数是﹣1，②方程的解3．则这样的方程可写为 ．
3、已知关于x的方程2x＋4=m﹣x的解为负数，则m的取值范围是_______.
1、运用等式性质进行的变形，不正确的是（ ）
A．如果a=b，那么a﹣c=b﹣c B．如果a=b，那么a+c=b+c
C．如果a=b，那么ac=bc D．如果ac=bc，那么a=b
2、若a=b，则在①a﹣3=b﹣3；②3a=2b；③﹣4a=﹣3b；④3a﹣1=3b﹣1中，正确的有 ．（填序号）
3、如图1，天平呈平衡状态，其中左侧秤盘中有一袋玻璃球，右侧秤盘中也有一袋玻璃球，还有2个各20克的砝码．现将左侧袋中一颗玻璃球移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘的1个砝码后，天平仍呈平衡状态，如图2，则被移动的玻璃球的质量为（ ）
A．10克 B．15克 C．20克 D．25克
1、解下列方程：
①3－2＝4＋5 ②3（x－1）＝5x＋4
③--[12-4（-1）]＝0 ④+1=2-x
1、
2、．
3、按要求完成下面题目：
解：去分母，得……①
即 ……②
移项，得 …… ③
合并同类项，得 ……④
∴ ……⑤
上述解方程的过程中，是否有错误？答： ；如果有错误，则错在_________步。如果上述解方程有错误，请你给出正确的解题过程：
1、关于x的方程与的解互为相反数．
（1）求m的值；
（2）求这两个方程的解．
2、已知关于x的方程4x+3k=2x+2和方程2x+k=5x+2.5的解相同，求k的值．
3、若符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：，请你根据上述规定求出下列等式中的值： =1．
4、【现场学习】
定义：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．
如：|x|=2，|2x﹣1|=3，||﹣x=1，…都是含有绝对值的方程．
怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程．
我们知道，根据绝对值的意义，由|x|=2，可得x=2或x=﹣2．
[例]解方程：|2x﹣1|=3．
我们只要把2x﹣1看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题．
解：根据绝对值的意义，得2x﹣1=3或2x﹣1= ．
解这两个一元一次方程，得x=2或x=﹣1．
检验：
（1）当x=2时，
原方程的左边=|2x﹣1|=|2×2﹣1|=3，
原方程的右边=3，
∵左边=右边
∴x=2是原方程的解．
（2）当x=﹣1时，
原方程的左边=|2x﹣1|=|2×（﹣1）﹣1|=3，
原方程的右边=3，
∵左边=右边
∴x=﹣1是原方程的解．
综合（1）（2）可知，原方程的解是：x=2，x=﹣1．
【解决问题】
解方程：||﹣x=1．
5、己知：x=3是方程+=2的解，n满足关系式|2n+m丨=1，求m+n的值．
【练习1】
1、下列是一元一次方程的是（ ）
A．x﹣y=4﹣2x B． C．2x﹣5=3x﹣2 D．x（x﹣1）=2
2、某车间有27名工人,生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品,每人每天生产螺母16个或螺栓22个,若分配x名工人生产螺栓,其他工人生产螺母,恰好使每天生产的螺栓和螺母配套,则下面所列方程中正确的是( )
A. 22x=16(27 x) B. 16x=22(27 x) C. 2×16x=22(27 x) D. 2×22x=16(27 x)
3、若（m+3）x|m|﹣2﹣8=2是关于x的一元一次方程，则m的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．不能确定
4、关于x的方程（a﹣1）x2+x+a2﹣4=0是一元一次方程，则方程的解为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．﹣2
【练习2】
1、写出一个同时满足下列条件的一元一次方程：① 某个未知数的系数是2 ，②方程的解为 ，则这样的方程可写为：_______________________．
2、关于x的方程kx﹣1=2x的解为正实数，则k的取值范围是 ．
3、如果x=6是方程2x+3a=6x的解，那么a的值是（ ）
A．4 B．8 C．9 D．-8
4、关于x的方程5x﹣a=0的解比关于y的方程3y+a=0的解小2，则a的值是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
1、下列判断错误的是（ ）
A．若a=b，则ac﹣3=bc﹣3
B．若x=2，则x2=2x
C．若a=b，则=
D．若ax=bx，则a=b
2、下列变形正确的是（ ）
A．x=0变形得x=3
B．3x=2x﹣2变形得3x﹣2x=2
C．3x=2变形得x=
D．变形得2x﹣3=3x
3、已知等式ax=ay，下列变形不正确的是（ ）
A．x=y B．ax+1=ay+1 C．2ax=2ay D．3﹣ax=3﹣ay
4、下列方程变形中，正确的是（ ）
A．方程，移项，得；
B．方程，去括号，得；
C．方程，未知数系数化为1，得；
D．方程化成.
5、①、8-5x＝x＋2 ②、（x﹣2）=x﹣（7﹣8x）；
③、 ④、
⑤、2（x﹣2）﹣9（1﹣x）=3（4x﹣1） ⑥、
⑦、
1、
2、
3、依据下列解方程=的过程，请在后面括号内填写变形依据．
解：=（ ）
3（3x+5）=2（2x﹣1）．（ ）
9x+15=4x﹣2．（ ）
9x﹣4x=﹣15﹣2．（ ）
5x=﹣17．（ ）
x=﹣．（ ）
4、老师在黑板上出了一道解方程的题=1﹣，小明马上举起了手，要求到黑板上去做，他是这样做的：
4（2x﹣1）=1﹣3（x+2）①
8x﹣4=1﹣3x﹣6 ②
8x+3x=1﹣6+4 ③
11x=﹣1 ④
⑤
老师说：小明解一元一次方程的一般步骤都掌握了，但解题时有一步做错了，请你指出他错在第 步（填编号），错误的原因是 ；然后，你自己细心地解下列方程：．
5、小乐的数学积累本上有这样一道题：
解方程：﹣=1
解：去分母，得6（2x+1）﹣（5x﹣1）=6…第一步
去括号，得4x+2﹣5x﹣1=6…第二步
移向、合并同类项，得x=5…第三步
方程两边同除以﹣1，得x=﹣5…第四步
在题后的反思中看，小郑总结到：解一元一次方程的一般步骤都知道，却没有掌握好，因此解题时有一步出现了错误…
小乐的解法从第 步开始出现错误，然后，请你自己细心地解下面的方程：
2﹣（x+2）=（x﹣1）
通过本节课的学习，学生应该掌握能用方程的定义， 方程的定义的要点，解方程，等式的基本性质，解一元一次方程的步骤及依据：
掌握掌握一元一次方程的定义，掌握等式的基本性质，掌握一元一次方程的解法，课后需要通过大量的练习来巩固课上所学的知识，真正做到学以致用。
1、若的3倍与2的差等于的一半，则可列方程为 ．
2、根据“的倍与的和比的小”，可列方程为 ．
3、根据“x的5倍比它的35％少28”列出方程为 ．
4、小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15km，可早到10min；每小时骑12km，就会迟到5min．问他家到学校的路程是多少千米？设他家到学校的路程为xkm，则根据题意列出的方程是 ．
5、七年级一班有学生53人,二班有学生45人,从一班调x人到二班,这时两个班人数相等，根据题意，列出方程为______________.
1、已知|a﹣3|+（b+1）2=0，代数式的值比的值多1，求m的值．
2、当x取什么值时，代数式与的差等于5．
3、设P=2a﹣1，Q=a+3，且2P﹣3Q=1，求a的值．
1、定义一种新运算“*”：a*b=2a－b，比如2*（－3）=2×2－（－3）=7．
（1）直接写出（－3）*2的结果是 ；（2分）
（2）若3*x=－5，求x的值；（3分）
（3）计算：[（x－2y）*（x+y）]*3y．（3分）
2、关于x的方程x﹣2m=﹣3x+4与2﹣m=x的解互为相反数．
（1）求m的值；
（2）求这两个方程的解．
3、小明在解方程=﹣1去分母时，方程右边的（﹣1）项没有乘3，因而求得的解是x=2，试求a的值，并求出方程正确的解．
4、阅读下面的解题过程：
解方程：|x+3|=2．
解：当x+3≥0时，原方程可化成为x+3=2
解得x=﹣1，经检验x=﹣1是方程的解；
当x+3＜0，原方程可化为，﹣（x+3）=2
解得x=﹣5，经检验x=﹣5是方程的解．
所以原方程的解是x=﹣1，x=﹣5．
解答下面的两个问题：
（1）解方程：|3x﹣2|﹣4=0；
（2）探究：当值a为何值时，方程|x﹣2|=a，
①无解；②只有一个解；③有两个解．
5、众所周知，中华诗词博大精深，集大量的情景情感于短短数十字之间，或豪放，或婉约，或思民生疾苦，或抒发己身豪情逸致，文化价值极高。而数学与古诗词更是有着密切的联系。古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字。有一本诗集，其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个字。问两种诗各多少首 设七言绝句有x首，根据题意，可列方程为___.

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