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有理数减法及加减混合运算
通过对本节课的学习，你能够：
1
有理数减法的意义及法则
利用有理数减法解决生活中的问题
有理数减法与绝对值的综合应用
解决数轴上两点间的距离问题
理解代数和的意义
有理数的加减混合运算
利用有理数的加减运算解决实际问题
有理数的加减与数轴、绝对值的综合
规律探究
适用学科 初中数学 适用年级 初中一年级
适用区域 北师大版区域 课时时长（分钟） 120
知识点 1、有理数减法的意义及法则 6、有理数的加减混合运算 2、利用有理数减法解决生活中的问题 7、利用有理数的加减运算解决实际问题 3、有理数减法与绝对值的综合应用 8、有理数的加减与数轴、绝对值的综合 4、解决数轴上两点间的距离问题 9、规律探究 5、理解代数和的意义
教学目标 1、使学生理解并掌握有理数减法法则，会进行有理数的减法运算. 2、能够依据有理数的加法和减法法则按从左到右顺序进行计算. 3、能初步掌握有关有理数的加减混合运算.
教学重点 1、有理数减法法则. 2、理解有理数的加减法可以互相转化，并了解代数和概念.
教学难点 1、法则本身的推导和理解. 2、理解有理数的加减法可以互相转化，能根据具体问题适当运用运算简化运算.
教学过程：
有理数的减法：
（一）课前研究：
自学教材p40-41，总结出有理数的减法法则；仿照例1书 写过程完成前测练习：教材p42，随堂练习。
（二）课中展示：
学生讨论展示课前研究，师生共同归纳出减法法则：
减去一个数等于加上这个数的相反数，用数学式子表示为：
a－b＝a+（－b）．
分析法则不难发现，减法法则其实是一个转化法则，转化成了加法法则，然后利用加法法则进行计算，从而体会转化的数学思想．
（三）小结梳理：
1．教师指导学生阅读教材 后强调指出：
由于把减数变为它的相反数，从而减法 转化为加法．有理数的加法和减法，当引进负数后就可以统一用加法来解决．
2．不论减数是正数、负数或是零，都符合有理数减法法则．在使用法则时，注意被减数是永不变的。
有理数加减的混合运算：
一、导入
回顾有理数的加法、减法法则：
1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.例：2+3=5，(－2)+(－3)=－5
2、异号两数相加，绝对值相等时和为0.例：(－6)+6=0
绝对值不相等时，和取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.例：(－5)+3=－2，5+(－3)=2
3、一个数同0相加，仍得这个数.
注：两个相反数的和为0，即：如果a与b互为相反数，那么a+b=0
减去一个数，等于加上这个数的相反数.
二、教授新课
同学们，咱们一起来做游戏吧，同学们分组合作，完成下列游戏：
请按下列规则做游戏：
(1)每人每次抽取4张卡片.如果抽到白色卡片，那么加上卡片上的数字；如果抽到红色卡片，那么减去卡片上的数字.
(2)比较两人所抽4张卡片的计算结果，结果大的为胜者.
同学们分组进行比赛.
总结：
有理数的加减混合运算可以统一成加法运算.
有理数的加减混合运算可以运用加法交换律和结合律进行简化运算.
减去一个数，等于加上这个数的相反数即a-b=a+（-b）（a，b表示任意有理数）
点A对应的数是a，点B对应的数是b，A，B两点间的距离就是a，b两数差的绝对值即AB=
对于有理数的加减法运算中减法，可以根据有理数减法法则将减法转化为加法，如：（-11）-7+（-9）-（-6）可转化为（-11）+（-7）+（-9）+（+6）
这样一来，就将原来的加减混合运算统一为加法运算，统一成加法运算后的式子是几个正数或负数的和的形式，我们把这样的式子叫做代数和。
有理数加减混合运算步骤：（1）运用减法法则将有理数混合运算中运算的减法转化为加法；
（2）写成省略加号的代数和的形式；
（3）运用加法法则、加法交换律、加法结合律进行简便运算。
（1）图表的意义：日常生活中我们可以用正负数表示河流的水位变化，气温的升降，产量的波动，股票的涨跌等，通常以表格的形式来反映变化情况。
（2）图表中的信息
注意：理解图表下面“标注”或“注意”的含义
画折线统计图的步骤：
1、首先确定题目中的折线统计图的标题；
2、确定哪一个量或哪一个数值为0点，有的题目已直接给出0点；
3、标出横轴和竖轴的单位，使看图的人能看懂，并正确使用；
4、慎重选择单位长度，使画出的折线统计图记不太靠上，也不太靠下，有明显的上升和下降的幅度，能看清楚变化情况；
5、竖轴上选择的最高点最好比实际最高值高一些，最低点比实际最低值低一些；
6、将所有的点顺次连接起来。
1、在下列括号中填上适当的数.
（1）（ ）；
（2）；
（3）；
（4）.
2、计算4一（一10）的结果为 ．
3、（ ）
A．0 B．2 C．-2 D．±2
4、两个有理数的差 （ ）
A．小于被减数 B．大于被减数
C．等于被减数 D．上述情况都有可能
5、下列说法正确的是（ ）
A．异号两数相加，取较大的符号，并把绝对值相加
B．同号两数相减，取相同的符号，并把绝对值相减
C．符号相反的两个数相加得0
D．0加上一个数仍得这个数
1、甲、乙、丙三地的海拔高度分别为20m、-15m和-10m，那么最高的地方比最低的地方高（ ）
A．5m B．10m C．25m D．35m
2、某超市出售的三种品牌月饼袋上，分别标有质量为（500±5），（500±10），（500±20）的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差 ．
3、某自行车厂一周计划生产2100辆电动车，平均每天生产电动车300辆，由于各种原因，实际每天生产量与计划每天生产量相比有出入。下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负，单位：辆）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
减增 +8 -2 -6 +11 -12 +6 +7
（1）根据记录的数据可知，该厂星期一生产电动车 辆
（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产电动车 辆
（3）该厂实行记件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超额部分每辆车另奖10元，每少生产一辆扣10元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？
1、已知，b=3，则a-b=_________．
2、若，，且，则的值等于 .
3、若，且，求的值.
4、已知a、b、c三个数在数轴上对应点的位置如图所示，下列几个判断正确的个数有（ ）
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5、定义新运算“*”为： ，则当时，计算的结果为 ．
1、数轴上表示数-5和-14的两点之间的距离的是（ ）。
A、19 B、9 C、-19 D、-9
2、（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ；
数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是 ；
数轴上表示-2和5的两点之间的距离是 ；
数轴上表示和2的两点M、N之间的距离是 ；
如果M、N之间的距离为3，那么 .
1、将6－(＋3)－(－7)＋(－2)写成省略加号的和的形式为( )
A．－6－3＋7－2 B．6－3－7－2 C．6－3＋7－2 D．6＋3－7－2
2、把写出去掉括号的和形式是 ，读作 ，也可读作 .
1、（1）、 （2）、（+16）+（-25）+（+24）+（-32）
（3）、 （4）、
（5）（＋3）＋（－5） －4－（－2）；
2、例题：a为有理数，定义运算符号“※”：当a＞－2时，※a＝－a；当a＜－2时，※a＝a；当a＝－2时，※a＝0．根据这种运算，则※[4＋※（2－5）]的值为（ ）
A．1 B．－1 C．7 D．－7
1、某检修站的工人乘一辆汽车沿东西方向的公路检修线路，规定向东为正，向西为负，从A地出发到收工时，行驶记录为（单位：千米）：+15, -2，+5，-1, +10,-3,-2,+12,+4,-5,+6．试计算收工时，工人在A地的哪一边？距离A地多远？
2、小武驾驶一辆宝马汽车从A地出发，先向东行驶15公里，再向西行驶25公里，然后又向东行驶20公里，再向西行驶40公里，问汽车最后停在何处？已知这种汽车行驶100公里消耗的油量为8升，并且汽车最后回到A地，问小武这次消耗了多少升汽油？
1、在数轴上，与表示－3的点相距6个单位长度的点所表示的数是________．
2、已知M是6的相反数，N比M的相反数小2，则M-N= .
3、已知＝3，＝4，且x>y，则2x－y的值为（ ）
A．＋2 B．±2 C．＋10 D．－2或＋10
4、数、b在数轴上的位置如图所示，化简 = ___。
5、有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ）
A．2a B．-2b C．-2a D．2b
6、如图所示,是有理数，则式子化简的结果为( ）.
A． B． C． D．
1、一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步再后退2步的程序运动．设该机器人每秒前进或后退1步，并且每步的距离为一个单位长度，表示第n秒时机器人在数轴上位置所对应的数，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
1、今年一月的某一天，我市最高温度为7°C，最低温度是-4°C，这天的最高温度比最低温度高
A．3°C B．7°C C．11°C D．-11°C
2、某日，北京市的最低气温是℃，杭州市的最低气温是℃，则这一天北京的最低气温比杭州的最低气温低 （ ）
A、℃ B、℃ C、11℃ D、9℃
3、冬季某天我国三个城市的最高气温分别是－10℃，1℃，－7℃，它们任意两城市中最大的温差是： （ ）
A．11℃ B．17℃ C．8℃ D．3℃
4、将写成省略括号的和的形式为（ ）
A、 B、 C、 D、
5、把写出去掉括号的和形式是 ，读作 ，也可读作 .
6、把写出去掉括号的和形式是 ，读作 ，也可读作 .
7、将写出省略括号的形式 .
【练习1】
1、有理数、在数轴上的对应点如图所示：则（ ）
A． B．
C． D．
2、已知有理数所对应的点在数轴上的位置如图所示.
判断下列各式的符号：；
若，试比较之间的大小关系.
3、若│a│=2,b=-3,c是最小的自然数,求a+b-c的值.
4、若，且，求的值.
5、设[x）表示大于x的最小整数，如[3）=4，[－1.2）=－1，则下列结论中正确的是．（　　）
A．[0）=0
B、[x）－x的最小值是0
C．[x）－x的最大值是0
D．存在实数x，使[x）－x=0.5成立．
6、（1）比较下列各式的大小：（用＞、＜或=连接）
（2）通过（1）的比较，请你分析，归纳当为有理数时，的大小关系；
（3）根据（2）中的结论，求当时，的取值范围.
【练习2】
七年级（1）班的班委会把班费存入银行，使用时再到银行去取，这学期管理情况如下：存入125元，取出97元，存入50元，取出38元，取出12.5元，存入100元，取出78元，取出21元，这学期班费还剩多少钱？
2、某检修小组乘汽车检修公路道路。向东记为正，向西记为负。某天自A地出发。所走路程（单位：千米）为：+22，-3，+4，-2，-8，-17，-2，+12，+7，-5；
问：①，最后他们是否回到出发点？若没有，则在A地的什么地方？距离A地多远？
②，若每千米耗油0.05升，则今天共耗油多少升？
3、某工厂一周计划每日生产自行车100辆,由于工人实行轮休,每日上班人数不一定相等,实际每日生产量与计划量相比情况如下表（以计划量为标准,增加的车辆数记为正数,减少的车辆数记为负数）:
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减/辆 -1 +3 -2 +4 +7 -5 -10
（1）生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少辆 （3分）
（2）本周总的生产量是多少辆 （3分）
4、某文具店在一周的销售中，盈亏情况如下表（盈余为正，单位为元）
表中星期六的盈亏数被墨水涂污了，请你算出星期六的盈亏数，并说明星期六是盈还是亏？盈亏多少？
1、请先阅读下列一组内容，然后解答问题：
因为：
所以：
计算：（1）
（2）
【教学建议】
通过本节课的学习，使学生理解并掌握有理数减法法则，会进行有理数的减法运算；能够依据有理数的加法和减法法则按从左到右顺序进行计算；能初步掌握有关有理数的加减混合运算，课后需要通过大量的练习来巩固课上所学的知识，真正做到学以致用。
1、计算：（1）13+(+7)-(-20)-(-40)-(+6)；
（2）；
2、计算下列各式：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） .
3、计算下列各题：
（1）； （2）
（3）； （4）；
（5）； （6）；
1、a,b,c三个数在数轴上的位置如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
A a+b＜0 B a+c＜0 C a－b＞0 D b－c＜0
2、若，，且，，则= （ ）
A．－2 B．2 C．6 D．－6
3、我们知道，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上两个点A、B分别用a，b表示，那么AB=|a-b|，利用此结论，回答以下问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是______，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是______；
（2）数轴上表示x和-1的两点A．B之间的距离是______，如果|AB|=2，那么x的值为______；
（3）说出|x+1|+|x+2|表示的几何意义______，该式的最小值是：______
4、小虫从某点O出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬过的路程依次为（单位：cm）：
+5， -3， +10， -8， -6， +12， -10．
问：（1）小虫是否回到原点O？
（2）在爬行过程中，如果每爬行1 cm奖励一粒芝麻，则小虫共可得到多少粒芝麻？
1、结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；表示－3和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．如果表示数a和－2的两点之间的距离是3，那么a= ；（3分）
(2)若数轴上表示数a的点位于－4与2之间,求+的值；（2分）
(3)当a取何值时，++的值最小，最小值是多少？请说明理由。（3分）

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