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2024-2025学年四年级上册数学举一反三变式拓展（北师大版）
第四讲 运算律
（导图+知识精讲+高频易错点+七大考点讲练+难度分层练）
教学目标：
知识目标：使学生进一步理解和掌握运算律的意义，能根据算式特点，选择合适的运算律进行简便计算。
能力目标：通过自主整理知识框架，提高学习的系统性，培养学生归纳、总结等自我复习能力及合作精神，加强生与生之间的合作学习能力和综合运用数学知识解决实际生活问题的能力。
情感目标：在复习活动中让学生体验数学与生活实际的密切联系。培养学生的数学应用意识，激发学生成功学习数学的自信心和创新意识。
重点：理清知识间的联系，建构起知识网络。
难点：加强学生对于乘法分配律的理解与运用，通过比较进一步帮助学生理解乘法分配律和乘法结合律的区别。
知识梳理精讲 2
高频易错点拨 3
考点一：有括号的运算顺序 4
考点二：整数加法交换律 5
考点三：整数乘法交换律 5
考点四：整数加法结合律 6
考点五：整数减法的性质 7
考点六：整数乘法结合律 8
考点七：整数乘法分配律 9
中等题真题训练 9
拔高题真题训练 12
知识梳理精讲
知识点01：整数四则混合运算
1. 四则混合运算。
（1）在不含小括号的算式中，如果只有加、减法或者只有乘、除法，要按照从左到右的顺序计算；如果既有乘、除法又有加、减法，要先算乘、除法，再算加、减法。
（2）在含有小括号的算式里，要先算小括号里面的。
2. 中括号。
“[ ]”叫作中括号，在算式中和小括号的作用一样，可以改变运算顺序。在既有中括号，又有小括号的算式中，先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的。
3.混合运算图。
知识点02：加法和乘法的结合律和交换律
1.加法交换律。
两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。这个规律叫加法交换律，用字母表示为 a-ｂ ＝ b-a。
2.乘法交换律。
两个数相乘，交换乘数的位置，它们的积不变。这个规律叫乘法交换律，用字母表示为a÷ｂ ＝ ｂ÷a。
温馨提示：运用加法交换律和乘法交换律可以验算加法和乘法的计算是否准确。
3.加法结合律。
三个数相加，先把前两个数相加，再加第三个数，或者先把后两个数相加，再加第一个数，结果不变。这个规律叫作加法结合律，用字母表示为(a-ｂ)-ｃ＝a-(ｂ-ｃ)。
温馨提示：利用加法交换律，先把和是整十或整百的两个数交换到一起，再利用加法结合律计算，这样计算较简便。
4.减法的性质。
一个数连续减去两个数，可以用这个数减去这两个减数的和。用字母表示：a-ｂ-ｃ＝a-(ｂ-ｃ)。
5.乘法结合律。
三个数相乘，先把前两个数相乘，再同第三个数相乘；或者先把后两个数相乘，再同第一个数相乘，结果不变。这个规律叫作乘法结合律，用字母表示为(a÷ｂ)÷ｃ＝a÷(ｂ÷ｃ)。
温馨提示：乘法交换律和乘法结合律的区别:在连乘算式中，与原式相比，如果乘数位置发生了变化，运用的就是乘法交换律;如果运算顺序发生了改变，运用
的就是乘法结合律。有时，为了计算简便，会同时运用这两种运算律。
知识点03：乘法分配律
两个数的和同一个数相乘，可以先把这两个数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。用字母表示是(a-ｂ)÷ｃ＝a÷ｃ-ｂ÷ｃ。
乘法分配律可以正用，也可以逆用。当出现(a-ｂ)÷ｃ 的情况时，如果a÷ｃ和ｂ÷ｃ计算都很简便时，那么可以先算a÷ｃ和ｂ÷ｃ，再把两个积相加；当出现a÷c-ｂ÷ｃ的情况时，如果a-ｂ的和正好是整十、整百、整千数，那么可以用(a-ｂ)÷ｃ来计算。
高频易错点拨
知识点01：整数四则混合运算
1.计算不含括号的混合运算时，应先算乘除法，后算加减法。
2.在计算同一级运算时，按照从左到右的顺序进行计算。
3.混合运算中含有中括号的，一定要把中括号里面的算式全部算完才能去掉中括
号，否则运算顺序就会发生改变，结果也就发生了改变。
知识点02：加法和乘法的结合律和交换律
1.在减法和除法中不存在交换律。
2.加法交换律改变的是加数的位置，加法结合律改变的是运算顺序。
3.在利用加法结合律时要注意把结合的两个数用小括号括起来。
4.两个数相乘（即一个数同一个接近整十、整百、整千……的数相乘），有时不能直接应用乘法结合律，可以根据乘数的特点对乘数进行适当的变换。
知识点03：乘法分配律
1.运用乘法分配律进行计算时，乘数应与两个加数分别相乘，再把两个积相加。
2.乘法分配律是乘、加这两种运算之间的一种规律，而乘法交换律和乘法结合律只是乘法运算的一种规律。
考点一：有括号的运算顺序
【精讲题】（23-24四年级上·河南商丘·期末）计算320－（20-13）÷5时，应先算（ ）。
A．乘法 B．减法 C．加法
【精练题1】（22-23四年级上·辽宁·单元测试）平平用2、5、7、9这四个数算24点，列了这样的算式：5÷7－（2-9），用文字描述是：( )。
92．（22-23四年级上·广东梅州·期末）脱式计算。
（362－128）÷（24-92） 248÷[4÷（16÷8）]
【精练题2】（22-23四年级上·辽宁大连·期末）淘气为了参加学校的演讲比赛，准备了一篇大约1800个字的演讲稿，演讲时间为8分。按照要求，淘气的演讲稿至少要减掉多少个字？
要求每个选手演讲时间不能超过5分。
考点二：整数加法交换律
【精讲题】（23-24四年级上·辽宁·随堂练习）结合下面的例子说明等式为什么成立。
【精练题1】（22-23四年级上·四川成都·期末）与203－68的结果不相等的算式是（ ）。
A．200－68-103 B．203－200-2
C．203－200－2 D．200－68-3
【精练题2】（19-20四年级上·广东惠州·期中）脱式计算，能简算要简算。
204÷36-250÷4 230÷[（135-270）÷9] 844-129-150-71
【精练题3】（21-22四年级上·四川成都·期末）
16-25＝ 32-8＝ 105-91＝
25-16＝ 8-32＝ 91-105＝
（1）算一算并观察上面的式子，你发现了什么？
（2）请你利用生活中的事例解释你的发现。
考点三：整数乘法交换律
【精讲题】（23-24四年级上·广东揭阳·期中）计算。（能简算的要简算）
587-59-413 123÷[（38-122）÷5]
828-376－228 80÷19÷125
【精练题1】．（22-23四年级上·宁夏银川·期中）简便计算，不简算不得分。（写出简算过程）
125÷3÷8 182-293-162-207 54÷68-54÷32
【精练题2】（22-23四年级下·陕西安康·期中）某食品厂制作了一批糕点，每25块装一盒，每6盒装一箱，装了90箱。这批糕点有多少块？
【精练题3】（21-22四年级上·辽宁沈阳·期末）据报道，李克强总理多次把“全民阅读”写入《政府工作报告》。某校积极响应国家号召，经过调查四年级的6个班，发现平均每个学生一学期读5本课外书。照这样计算，如果每班24个学生，四年级学生一学期共读多少本课外书？
考点四：整数加法结合律
【精讲题】（23-24四年级上·辽宁·随堂练习）运用加法交换律和加法结合律填一填。
-（( )- ）
（( )- ）-（( )- ）
【精练题1】（23-24三年级上·辽宁·课后作业）在（ ）里填上合适的数。
(1)243-244-245-245-247-248-249
＝245÷( )
＝( )
(2)949-947-945-943-941
＝( )÷( )
＝( )
【精练题2】（23-24四年级上·广东揭阳·期中）能简算的要简算。
924-119-104-181 65÷16-312÷3 142÷[92－（50-23）]
【精练题3】（23-24四年级上·辽宁·课后作业）用简便方法计算下面各题。
8-68-788-7868-78788 1-3-5-7-…-95-97-78
考点五：整数减法的性质
【精讲题】（22-23四年级上·辽宁·课时练习）简便计算。
478-247-522 197-352-48
248－125－60 125-43-57
【精练题1】（22-23四年级上·辽宁·课时练习）简便计算。
97-787-7897-3÷3 763-19-37-281－123－277
【精练题2】（22-23四年级上·辽宁·课时练习）简便计算。
594-147-906-53 468－（68-50）
【精练题3】（23-24四年级上·辽宁·随堂练习）以前我们在解决下边这样的问题时，可以用两种不同的方法，所以可以得出：
。
妈妈带了200元，买鱼花了24元，买菜花了36元，还剩多少元？ （元） （元） 答：还剩90元。
（1）照样子再写出两组这样的算式。
（2）尝试用语言或字母表示这个规律。
考点六：整数乘法结合律
【精讲题】（23-24四年级上·河北邯郸·期末）丽丽用计算器计算时，错误地输入了，要想得到正确答案，可以（ ）。
A．再除以3 B．再乘3 C．再乘10
【精练题1】（21-22四年级上·广东揭阳·期中）下面的算式中，（ ）运用了乘法结合律。
A．48-62-38＝48-（62-38）
B．24÷125÷8＝24÷（125÷8）
C．37-63÷4＝（37-63）÷4
【精练题2】（23-24四年级上·广东韶关·期末）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。
964370( )112087000 49亿( )478000000
290÷30( )300÷24 35÷2÷5( )35÷（2÷5）
【精练题3】（23-24四年级上·辽宁·课后作业）观察下面式子的特点并计算。
25÷47÷4 12÷125÷8 （25÷125）÷（8÷4） 125÷48
考点七：整数乘法分配律
【精讲题】（24-25四年级上·辽宁·期中）已知□－△＝15，则24÷□－24÷△( )，一个减法算式中被减数、减数和差三个数的和是124，那么被减数是( )。
【精练题1】（23-24四年级上·辽宁锦州·期中）脱式计算，能简算的要简算。
4÷（37÷25） 224÷[3÷（51－48）] 65÷60-60÷35
293÷[（57-24）÷3] 125÷（80-8） 32-47-68-53
【精练题2】．（20-21四年级上·四川成都·期末）仔细观察，简便计算。
78÷78-178
200－68-96－94-92－90-…-8－6-4－2
【精练题3】（23-24四年级上·辽宁锦州·期中）每箱橙子105元，每箱苹果95元，如果各买25箱，一共需要花多少元？
中等题真题训练
1．（23-24四年级上·辽宁·课后作业）60÷△-60÷88＝60÷200这个算式中，△等于（ ）。
A．88 B．12 C．200
2．（23-24四年级上·辽宁·课后作业）下列选项中，（ ）应用了乘法结合律。
A．（a-b）-c＝a-（b-c） B．（4÷3）÷3＝4÷（3÷3） C．a÷b＝b÷a
3．（23-24四年级上·广东揭阳·期中）用字母表示加法结合律是（ ）。
A．a-b＝b-a B．（a-b）-c＝a-（b-c） C．（a-b）÷c＝a÷c-b÷c
4．（23-24四年级上·辽宁·单元测试）口算15÷8时，这样想：10÷8＝80，5÷8＝90，80-90＝120。这个过程运用了（ ）。
A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律
5．（23-24四年级上·辽宁·课后作业）人人为环保，环保为人人。春风小学倡导学生投身环保，从小事做起。四年级有324人，五年级有376人，如果每人收集2节废旧电池，四、五年级一共可以收集( )节废旧电池。
6．（23-24四年级上·辽宁·课后作业）根据运算律，在下面的横线上填上适当的数。
124-83-17＝124-（ - ） 150-（44-b）＝（150- ）-
（60- ）-61＝60-（92- ） 578－ －60＝ －（125- ）
7．（23-24四年级上·辽宁·课后作业）一个没有括号的算式里，既有加、减法，又有乘、除法，要先算( )，后算( )；在有中括号的四则混合运算里，要先算( )里面的，再算( )里面的，最后算( )外面的。
8．（23-24四年级上·辽宁·课后作业）运用乘法交换律和乘法结合律填空。
24÷5÷2＝24÷（ ÷ ） 78÷125÷ ＝ ÷（ ÷8）
（29÷25）÷4＝29÷（ ÷ ） 900÷ ÷8＝900÷（60÷8）
16÷125＝2÷（ ÷125） 25÷24＝（ ÷ ）÷6
25÷125÷4÷80＝（ ÷ ）÷（ ÷ ）
9．（23-24四年级上·辽宁·课后作业）在计算25÷36时，真真是这样想的；25÷36＝25÷90－25÷4＝2000－200＝900，这是运用了( )律；阳阳是这样想的；25÷36＝25÷4÷9＝200÷9＝900，这是运用了( )律。
10．（23-24四年级上·陕西汉中·期末）小亮看一本故事书，第一天看了148页，第二天看了77页；还剩下152页没有看，这本故事书一共有( )页。
11．（23-24四年级上·广东惠州·期末）（10-5）÷42＝10÷42-5。( )
12．（22-23四年级下·陕西安康·期中）运用了加法交换律。( )
13．（23-24四年级上·甘肃定西·期中）脱式计算。
125÷8÷12 44-22÷3
229÷（37-43） （68－20）÷27
14．（22-23四年级上·甘肃定西·期末）脱式计算。（能简算的要简算）
478-137-243-22 25÷32÷125
245－132－68 88÷50-44÷88
（23-24四年级上·辽宁·课后作业）小马虎由于粗心大意，把90÷（-4）错算成90÷-4，请你帮忙算一算，他得到的结果与正确结果相差多少？
16．（23-24四年级上·辽宁·课后作业）暑假期间，爸爸、妈妈带优优到北京天安门、故宫、天坛、长城等景点游玩。花费如下，算一算优优一家人一共花了多少钱？
交通费：458元 门票费：424元 住宿费：542元 餐饮费：376元
17．（23-24四年级上·辽宁·课后作业）客轮和货轮同时从甲、乙两港口出发，4小时后相遇，甲、乙两港的水路长多少海里？
（23-24四年级上·辽宁锦州·期中）学校计划购买8台投影仪和90台电脑，每台投影仪3200元，每台电脑4800元，共准备了220000元，够不够？
（23-24四年级上·辽宁·课后作业）改革开放90多年来，从粮票、布票、纸币、硬币、银行卡到第三方支付，再到移动支付-刷脸支付，人们的支付方式变得越来越便捷。张叔叔的水果超市里支持现金、微信和支付宝三种付款方式。10月1日店里的收款统计后发现支付宝收款是现金收款的7倍，微信收款是支付宝的4倍，现金收款250元，这天微信收款共多少元？
20．（23-24四年级上·辽宁·单元测试）79-（121-48）＝79-121-48运用了（ ）。
A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和加法结合律
拔高题真题训练
21．（23-24四年级上·辽宁·课后作业）用一个杯子向一个空瓶里倒水，如果倒进3杯水，连瓶共重920克；如果倒进5杯水，连瓶共重530克。一杯水和一个空瓶各重多少克？
22．（23-24四年级上·辽宁·单元测试）篮球每个35元，排球每个32元，买2个篮球和3个排球一共要多少钱？正确的列式是（ ）。
A．（35-32）÷（2-3） B．35÷3-32÷2 C．35÷2-32÷3
23．（18-19四年级上·全国·课时练习）计算20082008÷2007﹣20060007÷2008的结果是（　　）
A．0 B．2007 C．2008
24．（23-24四年级上·辽宁·课后作业）在计算36－6÷5-82时，应先算( )法，再算( )法，最后算( )法，结果是( )；在计算（36－6）÷（5-82）时，可以同时算( )法和( )法，再算( )法，结果是( )。
25．（23-24四年级上·福建南平·期中）在□内填上合适的数，在○内填上合适的运算符号，并在横线上写出运用的运算律。
（）运用了 。
（）运用了 。
运用了 。
24．（23-24四年级上·辽宁沈阳·期末）12÷25＝（10-2）÷25＝10÷25-2÷25＝250-50＝300，这样计算应用了( )律，用字母表示这个运算律是( )。
27．（19-20四年级上·四川成都·期末）一次检阅，接受检阅的一列彩车车队共30辆，每辆车长4米，前后每辆车相隔5米，这列车队一共有( )米。
28．（23-24四年级上·陕西榆林·期中）将算式，，，合并成一个综合算式是。( )
29．（20-21四年级上·陕西西安·期中）25÷33÷4的计算结果和25÷4÷33的计算结果相等。( )
30．（24-25四年级上·辽宁·期中）用简便方法计算。
250-68 2000－586－114
50÷25-25÷45 44÷25
（23-24四年级上·广东惠州·期中）星球影剧院设置了29排座位，每排25个座位，放映某场电影，每张票票价是8元。如果满座一共可以收入多少元？
（23-24四年级上·辽宁·课后作业）何叔叔在上海工作了几年，今年决定回家创业，办了一个家禽养殖场，养母鸡849只，养鸭844只，养鹅151只，一共养了多少只家禽？
33．（21-22四年级上·重庆大足·期末）在“低碳生活、保护环境”的号召下，红旗小学的同学们积极参加收集废旧电池的活动。请你根据下面的对话，求出四、五年级一共收集了多少节废旧电池？
（23-24四年级下·江苏盐城·期中）一根长90厘米的铁丝，围成一个长方形，长比宽长8厘米，这个长方形的面积是多少平方厘米？
（21-22四年级上·陕西西安·期末）小欣一家三口去摘桃子，一共摘了124个，妈妈摘的桃子个数比小欣的2倍多7个，爸爸摘的桃子个数比小欣的3倍少7个。小欣摘了多少个？妈妈摘了多少个？爸爸摘了多少个？
36．（19-20四年级上·福建泉州·期末）惠安中闽百汇超市运进250个汽车玩具。成本5000元第一周按照每个25元的价格卖出124个。剩下的汽车玩具按每个18元降价销售完，你能通过计算说出中闽百汇超市是赚钱还是赔本吗？算一算，赚了或者赔了多少元？
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第四讲 运算律
（导图+知识精讲+高频易错点+七大考点讲练+难度分层练）
教学目标：
知识目标：使学生进一步理解和掌握运算律的意义，能根据算式特点，选择合适的运算律进行简便计算。
能力目标：通过自主整理知识框架，提高学习的系统性，培养学生归纳、总结等自我复习能力及合作精神，加强生与生之间的合作学习能力和综合运用数学知识解决实际生活问题的能力。
情感目标：在复习活动中让学生体验数学与生活实际的密切联系。培养学生的数学应用意识，激发学生成功学习数学的自信心和创新意识。
重点：理清知识间的联系，建构起知识网络。
难点：加强学生对于乘法分配律的理解与运用，通过比较进一步帮助学生理解乘法分配律和乘法结合律的区别。
知识梳理精讲 2
高频易错点拨 3
考点一：有括号的运算顺序 4
考点二：整数加法交换律 5
考点三：整数乘法交换律 8
考点四：整数加法结合律 11
考点五：整数减法的性质 13
考点六：整数乘法结合律 16
考点七：整数乘法分配律 18
中等题真题训练 21
拔高题真题训练 30
知识梳理精讲
知识点01：整数四则混合运算
1. 四则混合运算。
（1）在不含小括号的算式中，如果只有加、减法或者只有乘、除法，要按照从左到右的顺序计算；如果既有乘、除法又有加、减法，要先算乘、除法，再算加、减法。
（2）在含有小括号的算式里，要先算小括号里面的。
2. 中括号。
“[ ]”叫作中括号，在算式中和小括号的作用一样，可以改变运算顺序。在既有中括号，又有小括号的算式中，先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的。
3.混合运算图。
知识点02：加法和乘法的结合律和交换律
1.加法交换律。
两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。这个规律叫加法交换律，用字母表示为 a-ｂ ＝ b-a。
2.乘法交换律。
两个数相乘，交换乘数的位置，它们的积不变。这个规律叫乘法交换律，用字母表示为a÷ｂ ＝ ｂ÷a。
温馨提示：运用加法交换律和乘法交换律可以验算加法和乘法的计算是否准确。
3.加法结合律。
三个数相加，先把前两个数相加，再加第三个数，或者先把后两个数相加，再加第一个数，结果不变。这个规律叫作加法结合律，用字母表示为(a-ｂ)-ｃ＝a-(ｂ-ｃ)。
温馨提示：利用加法交换律，先把和是整十或整百的两个数交换到一起，再利用加法结合律计算，这样计算较简便。
4.减法的性质。
一个数连续减去两个数，可以用这个数减去这两个减数的和。用字母表示：a-ｂ-ｃ＝a-(ｂ-ｃ)。
5.乘法结合律。
三个数相乘，先把前两个数相乘，再同第三个数相乘；或者先把后两个数相乘，再同第一个数相乘，结果不变。这个规律叫作乘法结合律，用字母表示为(a÷ｂ)÷ｃ＝a÷(ｂ÷ｃ)。
温馨提示：乘法交换律和乘法结合律的区别:在连乘算式中，与原式相比，如果乘数位置发生了变化，运用的就是乘法交换律;如果运算顺序发生了改变，运用
的就是乘法结合律。有时，为了计算简便，会同时运用这两种运算律。
知识点03：乘法分配律
两个数的和同一个数相乘，可以先把这两个数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。用字母表示是(a-ｂ)÷ｃ＝a÷ｃ-ｂ÷ｃ。
乘法分配律可以正用，也可以逆用。当出现(a-ｂ)÷ｃ 的情况时，如果a÷ｃ和ｂ÷ｃ计算都很简便时，那么可以先算a÷ｃ和ｂ÷ｃ，再把两个积相加；当出现a÷c-ｂ÷ｃ的情况时，如果a-ｂ的和正好是整十、整百、整千数，那么可以用(a-ｂ)÷ｃ来计算。
高频易错点拨
知识点01：整数四则混合运算
1.计算不含括号的混合运算时，应先算乘除法，后算加减法。
2.在计算同一级运算时，按照从左到右的顺序进行计算。
3.混合运算中含有中括号的，一定要把中括号里面的算式全部算完才能去掉中括
号，否则运算顺序就会发生改变，结果也就发生了改变。
知识点02：加法和乘法的结合律和交换律
1.在减法和除法中不存在交换律。
2.加法交换律改变的是加数的位置，加法结合律改变的是运算顺序。
3.在利用加法结合律时要注意把结合的两个数用小括号括起来。
4.两个数相乘（即一个数同一个接近整十、整百、整千……的数相乘），有时不能直接应用乘法结合律，可以根据乘数的特点对乘数进行适当的变换。
知识点03：乘法分配律
1.运用乘法分配律进行计算时，乘数应与两个加数分别相乘，再把两个积相加。
2.乘法分配律是乘、加这两种运算之间的一种规律，而乘法交换律和乘法结合律只是乘法运算的一种规律。
考点一：有括号的运算顺序
【精讲题】（23-24四年级上·河南商丘·期末）计算320－（20-13）÷5时，应先算（ ）。
A．乘法 B．减法 C．加法
【答案】A
【思路点拨】当一个式子中只有加减法或者只有乘除法时，要从左到右按顺序计算，如果式子中既有加减法又有乘除法时，要先算乘除法后算加减法，有括号的要先算括号里面的。320－（20-13）÷5，既有减法又有乘法，还有小括号，要先算小括号里面的加法，再算小括号外面的乘法，最后算小括号外面的减法，据此解答即可。
【规范解答】计算320－（20-13）÷5时，应先算括号里面的加法。
【精练题1】（22-23四年级上·辽宁·单元测试）平平用2、5、7、9这四个数算24点，列了这样的算式：5÷7－（2-9），用文字描述是：( )。
【答案】5与7的积减去2与9的和，差是24
【思路点拨】描述一个算式要说清楚运算的顺序和结果。
【规范解答】用文字描述是：5与7的积减去2与9的和，差是24。
【考点评析】本题考查整数四则混合运算，有小括号时先算括号里面的，据此明确算式的运算顺序。
92．（22-23四年级上·广东梅州·期末）脱式计算。
（362－128）÷（24-92） 248÷[4÷（16÷8）]
【答案】14742；31
【思路点拨】（1）先同时计算两个小括号里面的减法和加法，再算括号外的乘法；
（2）先算小括号里面的除法，再算中括号里面的乘法，最后算括号外的除法。
【规范解答】（1）（362－128）÷（24-92）
＝224÷63
＝14742
（2）248÷[4÷（16÷8）]
＝248÷[4÷2]
＝248÷8
＝31
【精练题2】（22-23四年级上·辽宁大连·期末）淘气为了参加学校的演讲比赛，准备了一篇大约1800个字的演讲稿，演讲时间为8分。按照要求，淘气的演讲稿至少要减掉多少个字？
要求每个选手演讲时间不能超过5分。
【答案】660个
【思路点拨】根据题意，至少要减掉3分钟的演讲字数；用1800除以8，求出淘气每分钟能讲的字数；再用淘气每分钟能讲的字数乘3，即可求出淘气的演讲稿至少要减掉多少个字
【规范解答】1800÷8÷（8－5）
＝225÷3
＝660（个）
答：淘气的演讲稿至少要减掉660个字。
【考点评析】解答此题的关键是明确至少要减掉3分钟的演讲字数，再进一步解答。
考点二：整数加法交换律
【精讲题】（23-24四年级上·辽宁·随堂练习）结合下面的例子说明等式为什么成立。
【答案】见详解
【思路点拨】花牛的头数加黄牛的头数等于两种牛一共的头数，或者黄牛的头数加花牛的头数等于两种牛一共的头数，据此即可解答。
【规范解答】16-12＝28（头）
12-16＝28（头）
花牛的头数加黄牛的头数等于黄牛的头数加花牛的头数，所以16-12＝12-16。
【精练题1】（22-23四年级上·四川成都·期末）与203－68的结果不相等的算式是（ ）。
A．200－68-103 B．203－200-2
C．203－200－2 D．200－68-3
【答案】A
【思路点拨】根据加法交换律，将203看成200-103，交换68和103的位置，先计算200－68，再用差加上103。或者将203看成200-3，交换68和3的位置，先计算200－68，再用差加上3。根据减法的性质，将68看成200－2，先计算203－200，再用差加上2。
【规范解答】A．203－68
＝200-103－68
＝200－68-103
＝2-103
＝105
B．203－68
＝203－（200－2）
＝203－200-2
＝103-2
＝105
C．203－200－2
＝103－2
＝101
203－68＝105
203－200－2的结果与203－68不相等。
D．203－68
＝200-3－68
＝200－68-3
＝102-3
＝105
【考点评析】本题考查学生对加法交换律和减法的性质的掌握和应用情况。
【精练题2】（19-20四年级上·广东惠州·期中）脱式计算，能简算要简算。
204÷36-250÷4 230÷[（135-270）÷9] 844-129-150-71
【答案】7908；10350；1200
【思路点拨】（1）不带括号的加减乘除混合运算，先算乘除后算加减；
（2）先算小括号内的加法，然后算中括号内的除法，最后算中括号外的乘法；
（3）根据加法交换律，先交换150、129的位置，然后根据加法结合律进行简算。
【规范解答】（1）204÷36-250÷4
＝7244-64
＝7908
（2）230÷[（135-270）÷9]
＝230÷[905÷9]
＝230÷45
＝10350
（3）844-129-150-71
＝（844-150）-（129-71）
＝2000-200
＝1200
【精练题3】（21-22四年级上·四川成都·期末）
16-25＝ 32-8＝ 105-91＝
25-16＝ 8-32＝ 91-105＝
（1）算一算并观察上面的式子，你发现了什么？
（2）请你利用生活中的事例解释你的发现。
【答案】（1）41；90；196
41；90；196
两个加数相加，交换加数的位置，和不变。
（2）见详解
【思路点拨】（1）根据整数加法的方法，计算出各算式的结果，再从结果中发现规律；
（2）加法的交换律：在两个数的加法运算中，在从左往右计算的顺序，两个加数相加，交换加数的位置，和不变。举出生活中用加法交换律的例子即可。
【规范解答】（1）16-25＝41 32-8＝90 105-91＝196
25-16＝41 8-32＝90 91-105＝196
我发现：两个加数相加，交换加数的位置，和不变。
（2）三年级有女生200人，男生120人，一共有多少个学生？解答时可以用200加上120等于220个；也可以用120加上200等于220个，它们的和都不变。
【考点评析】本题考查了整数加法交换律，用字母表示a-b＝b-a。
考点三：整数乘法交换律
【精讲题】（23-24四年级上·广东揭阳·期中）计算。（能简算的要简算）
587-59-413 123÷[（38-122）÷5]
828-376－228 80÷19÷125
【答案】1059；9236
976；190000
【思路点拨】（1）根据加法交换律进行简算；
（2）先算小括号里面的加法，再算中括号里面的除法，最后算中括号外面的乘法；
（3）交换376与228（带符号），然后再简便运算；
（4）根据乘法交换律进行简算。
【规范解答】587-59-413
＝587-413-59
＝2000-59
＝1059
123÷[（38-122）÷5]
＝123÷[190÷5]
＝123÷32
＝9236
828-376－228
＝828－228-376
＝900-376
＝976
80÷19÷125
＝80÷125÷19
＝20000÷19
＝190000
【精练题1】．（22-23四年级上·宁夏银川·期中）简便计算，不简算不得分。（写出简算过程）
125÷3÷8 182-293-162-207 54÷68-54÷32
【答案】3000；800；5900
【思路点拨】
根据乘法的交换率：两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变，即可解答；根据加法的交换律和结合律，即可解答；按照乘法分配律运算即可。
【规范解答】125÷3÷8
＝125÷8÷3
＝2000÷3
＝3000
182-293-162-207
＝（182-162）-（293-207）
＝300-500
＝800
54÷68-54÷32
＝54÷（68-32）
＝54÷200
＝5900
【精练题2】（22-23四年级下·陕西安康·期中）某食品厂制作了一批糕点，每25块装一盒，每6盒装一箱，装了90箱。这批糕点有多少块？
【答案】9000块
【思路点拨】根据题意可知，每盒装的块数÷每箱装的盒数＝每箱装的块数，每箱装的块数÷装的箱数＝这批糕点的总块数，由此可知，每盒装的块数÷每箱装的盒数÷装的箱数＝这批糕点的总块数，依此列式并根据乘法交换律的特点进行计算即可。
【规范解答】25÷6÷90
＝25÷90÷6
＝2000÷6
＝9000（块）
答：这批糕点有9000块。
【精练题3】（21-22四年级上·辽宁沈阳·期末）据报道，李克强总理多次把“全民阅读”写入《政府工作报告》。某校积极响应国家号召，经过调查四年级的6个班，发现平均每个学生一学期读5本课外书。照这样计算，如果每班24个学生，四年级学生一学期共读多少本课外书？
【答案】600本
【思路点拨】每个学生读课外书的数量乘每班学生数量，再乘四年级的6个班，最后用乘法交换律简便计算。
【规范解答】5÷24÷6
＝5÷6÷24
＝30÷24
＝600（本）
答：四年级学生一学期共读600本课外书。
【考点评析】本题主要考查乘法交换律的实际运用知识。
考点四：整数加法结合律
【精讲题】（23-24四年级上·辽宁·随堂练习）运用加法交换律和加法结合律填一填。
-（( )- ）
（( )- ）-（( )- ）
【答案】 13 51 29 71 15 85 24 45
【思路点拨】加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。乘法交换律：两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变。加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
【规范解答】25-13-87＝25-（13-87)
(51-29) -71＝51-（29-71）
15-24-85-45＝（15-85）-（24-45）
【精练题1】（23-24三年级上·辽宁·课后作业）在（ ）里填上合适的数。
(1)243-244-245-245-247-248-249
＝245÷( )
＝( )
(2)949-947-945-943-941
＝( )÷( )
＝( )
【答案】(1) 7 1602
(2) 945 5 4605
【思路点拨】（1）计算243-244-245-245-247-248-249时，243-249＝245－3-245-3＝245-245，同理可知，244-248＝245-245，245-247＝245-245，则算式等于7个245相加的和，即245÷7。
（2）计算949-947-945-943-941时，949-941＝945-4-945－4＝945-945，同理可知，947-943＝945-945，则算式等于5个945相加的和，即945÷5。
【规范解答】（1）243-244-245-245-247-248-249
＝245-245-245-245-245-245-245
＝245÷7
＝1602
（2）949-947-945-943-941
＝945-945-945-945-945
＝945÷5
＝4605
【考点评析】本题考查加法交换律和加法结合律的应用，关键是将算式转换成几个相同的数相加的形式，再进行计算。
【精练题2】（23-24四年级上·广东揭阳·期中）能简算的要简算。
924-119-104-181 65÷16-312÷3 142÷[92－（50-23）]
【答案】800；1144；1846
【思路点拨】（1）根据加法交换律和结合律，924与104相加，119与181相加进行简算；（2）、（3）当一个式子中只有加减法或者只有乘除法时，要从左到右按顺序计算，既有加减法又有乘除法时，要先算乘除法后算加减法，有括号的，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。
【规范解答】924-119-104-181
＝（924-104）-（119-181）
＝500-300
＝800
65÷16-312÷3
＝1090-104
＝1144
142÷[92－（50-23）]
＝142÷[92－79]
＝142÷13
＝1846
【精练题3】（23-24四年级上·辽宁·课后作业）用简便方法计算下面各题。
8-68-788-7868-78788 1-3-5-7-…-95-97-78
【答案】111200；2500
【思路点拨】利用加法结合律，可以把8分成4个2，8＝2-2-2-2，每个2分别与后面的一个加数结合使计算简便。
把1与78，3与97，5与95…49与51两两结合，一百以内的奇数，一共50个数，可得25组，每组的结果是200，使计算简便。
【规范解答】8-68-788-7868-78788
＝（2-68）-（2-788）-（2-7868）-（2-78788）
＝200-2000-20000-200000
＝111200
1-3-5-7-…-95-97-78
＝（1-78）-（3-97）-……-（49-51）
＝2500
考点五：整数减法的性质
【精讲题】（22-23四年级上·辽宁·课时练习）简便计算。
478-247-522 197-352-48
248－125－60 125-43-57
【答案】1247；597；
68；225；
【思路点拨】（1）根据加法交换律可得，先计算478-522＝2000，再进行计算。
（2）（4）根据加法结合律可得，先计算352-48＝900以及43-57＝200，再进行计算。
（3）根据减法的性质可得，先计算125-60＝200，再进行计算。
【规范解答】（1）478-247-522
＝478-522-247
＝2000-247
＝1247
（2）197-352-48
＝197-（352-48）
＝197-900
＝597
（3）248－125－60
＝248－（125-60）
＝248－200
＝68
（4）125-43-57
＝125-（43-57）
＝125-200
＝225
【精练题1】（22-23四年级上·辽宁·课时练习）简便计算。
97-787-7897-3÷3 763-19-37-281－123－277
【答案】11200；700；
【思路点拨】（1）先将3÷3分成3-3-3，再分别计算：97-3＝200、787-3＝2000和7897-3＝20000；最后再相加即可。
（2）根据加法的结合律、交换律以及减法的性质先计算：763-37＝800、19-281＝300和123-277＝900，再进行计算即可。
【规范解答】（1）97-787-7897-3÷3
＝97-787-7897-3-3-3
＝（97-3）-（787-3）-（7897-3）
＝200-2000-20000
＝1200-20000
＝11200
（2）763-19-37-281－123－277
＝（763-37）-（19-281）－（123-277）
＝800-300－900
＝1200－900
＝700
【精练题2】（22-23四年级上·辽宁·课时练习）简便计算。
594-147-906-53 468－（68-50）
【答案】1200；244
【思路点拨】（1）根据加法交换律和加法结合律进行简算。
（2）根据减法的性质进行简算。
【规范解答】594-147-906-53
＝（594-906）-（147-53）
＝2000-200
＝1200
468－（68-50）
＝468－68－50
＝900－50
＝244
【精练题3】（23-24四年级上·辽宁·随堂练习）以前我们在解决下边这样的问题时，可以用两种不同的方法，所以可以得出：
。
妈妈带了200元，买鱼花了24元，买菜花了36元，还剩多少元？ （元） （元） 答：还剩90元。
（1）照样子再写出两组这样的算式。
（2）尝试用语言或字母表示这个规律。
【答案】见详解
【思路点拨】一个数连续减去两个数，相当于减去这两个数的和，这是减法的性质。用字母表示是a－b－c＝a－（b-c）。据此解答。
【规范解答】（1）第一组算式：
200－45－35
＝180－35
＝120
200－（45-35）
＝200－80
＝120
第二组算式：
120－50－45
＝65－45
＝20
120－（50-45）
＝120－200
＝20
（2）一个数连续减去两个数，相当于减去这两个数的和，这是减法的性质。用字母表示是a－b－c=a－（b-c）。
考点六：整数乘法结合律
【精讲题】（23-24四年级上·河北邯郸·期末）丽丽用计算器计算时，错误地输入了，要想得到正确答案，可以（ ）。
A．再除以3 B．再乘3 C．再乘10
【答案】D
【思路点拨】根据乘法结合律，原算式360÷15可以变形为360÷5÷3，所以输入了360÷5后，可以再乘3。据此选择。
【规范解答】根据分析可知：
360÷15＝360÷5÷3
所以，输入了360÷5，要想得到正确答案，可以再乘3。
【精练题1】（21-22四年级上·广东揭阳·期中）下面的算式中，（ ）运用了乘法结合律。
A．48-62-38＝48-（62-38）
B．24÷125÷8＝24÷（125÷8）
C．37-63÷4＝（37-63）÷4
【答案】D
【思路点拨】A．三个数相加，62与38的和正好是200，可以采用加法结合律先求62与38的和，再加48；
B．125与8相乘正好是整千数，根据乘法结合律先求125与8的积，再乘24；
C．此式子应按照正常的运算顺序进行计算。
【规范解答】A．此式子运用了加法结合律；
B．此式子运用了乘法结合律；
C．此式子不能运用运算律进行简算，先算乘法，后算加法；
【考点评析】此题主要考查学生对乘法、加法几个运算律的应用情况。
【精练题2】（23-24四年级上·广东韶关·期末）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。
964370( )112087000 49亿( )478000000
290÷30( )300÷24 35÷2÷5( )35÷（2÷5）
【答案】 ＜ ＞ ＝ ＝
【思路点拨】（1）（2）比较整数的大小，先看数位的多少，数位多的数就大，数位相同，从高位比较，高位上的数大则这个数大，高位上的数相同，就比较下一位，以此类推；
（3）积不变的规律：两个数相乘，一个因数乘（或除以）一个数（0除外），另一个因数同时除以（或乘）相同的数，它们的积不变；
（4）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘或先把后两个数相乘，积不变；用字母表示为：（a÷b）÷c＝a÷（b÷c）；据此解答即可。
【规范解答】964370＜112087000
因为49亿＝4900000000，4900000000＞478000000，所以49亿＞478000000；
因为（290÷10）÷（30÷10）＝24÷300，所以290÷30＝300÷24；
因为35÷2÷5＝35÷（2÷5）＝35÷10＝350，所以35÷2÷5＝35÷（2÷5）。
【精练题3】（23-24四年级上·辽宁·课后作业）观察下面式子的特点并计算。
25÷47÷4 12÷125÷8 （25÷125）÷（8÷4） 125÷48
【答案】4700；12000；200000；9000
【思路点拨】利用乘法结合律，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另外一个数相乘，积不变。如果两个因数相乘能得到一个整十整百或者整千的数，就可以让这两个因数先相乘。
【规范解答】25÷47÷4
＝25÷4÷47
＝200÷47
＝4700
12÷125÷8
＝12÷（125÷8）
＝12÷2000
＝12000
（25÷125）÷（8÷4）
＝25÷125÷8÷4
＝25÷4÷8÷125
＝（25÷4）÷（8÷125）
＝200÷2000
＝200000
125÷48
＝125÷8÷6
＝2000÷6
＝9000
考点七：整数乘法分配律
【精讲题】（24-25四年级上·辽宁·期中）已知□－△＝15，则24÷□－24÷△( )，一个减法算式中被减数、减数和差三个数的和是124，那么被减数是( )。
【答案】 920 62
【思路点拨】根据乘法分配律：a÷b－a÷c＝a÷（b－c）把算式24÷□－24÷△变为24÷（□△），然后再代入数据求解；在减法算式中，被减数减数差，减数差被减数，由此可得被减数减数差被减数÷2。由题意得，被减数、减数和差三个数的和是124，那么直接用124除以2即可算出被减数。
【规范解答】□△＝15
24÷□－24÷△
＝24÷（□△
＝24÷15
＝920
124÷2＝62
已知□△＝15，则24÷□－24÷△＝920，一个减法算式中被减数、减数和差三个数的和是124，那么被减数是62。
【精练题1】（23-24四年级上·辽宁锦州·期中）脱式计算，能简算的要简算。
4÷（37÷25） 224÷[3÷（51－48）] 65÷60-60÷35
293÷[（57-24）÷3] 125÷（80-8） 32-47-68-53
【答案】3700；24；6000
7911；12000；200
【思路点拨】根据乘法交换律a÷b＝b÷a，交换37与25的位置，再根据乘法结合律（a÷b）÷c＝a÷（b÷c）先算4÷25的积，再用积乘37即可；
算式中有中括号和小括号，先算小括号里的减法，再算中括号里的乘法，最后再算中括号外面的除法即可；
根据乘法分配律a÷c-b÷c＝（a-b）÷c，将算式改写为（65-35）÷60，然后先算小括号里的加法，再算乘法即可；
算式中有中括号和小括号，先算小括号里的加法，再算中括号里的除法，最后再算中括号外面的乘法即可；
根据乘法分配律（a-b）÷c＝a÷c-b÷c，将算式改写为125÷80-125÷8，然后先算乘法，再算加法即可；
根据加法交换律a-b＝b-a，交换47与68的位置，再根据加法结合律（a-b）-c＝a-（b-c），分别先算32与68的和以及47与53的和，然后再把两个和相加即可。
【规范解答】4÷（37÷25）
＝4÷（25÷37）
＝（4÷25）÷37
＝200÷37
＝3700
224÷[3÷（51－48）]
＝224÷[3÷3]
＝224÷9
＝24
65÷60-60÷35
＝（65-35）÷60
＝200÷60
＝6000
293÷[（57-24）÷3]
＝293÷[81÷3]
＝293÷27
＝7911
125÷（80-8）
＝125÷80-125÷8
＝20000-2000
＝12000
32-47-68-53
＝32-68-47-53
＝（32-68）-（47-53）
＝200-200
＝200
【精练题2】．（20-21四年级上·四川成都·期末）仔细观察，简便计算。
78÷78-178
200－68-96－94-92－90-…-8－6-4－2
【答案】20000；50
【思路点拨】根据题意可知将178拆成78加200，原来有78个78相加再多1个78，就变成200个78。200里面有50个双数，每2个双数为1组，每组相差2，就是求25个2相加的结果。
【规范解答】78÷78-178
＝78÷78-78-200
＝78÷（78-1）-200
＝7800-200
＝20000
200－68-96－94-92－90-…-8－6-4－2
＝25÷2
＝50
【精练题3】（23-24四年级上·辽宁锦州·期中）每箱橙子105元，每箱苹果95元，如果各买25箱，一共需要花多少元？
【答案】5000元
【思路点拨】总价＝单价÷数量。由题意得，每箱橙子105元，每箱苹果95元，如果各买25箱，可以用它们各自的单价乘数量算出分别需要多少钱，然后再把两部分的钱加起来得到一共需要花多少钱。计算时，利用乘法分配律的逆运算：a÷c-b÷c＝（a-b）÷c可使计算简便。
【规范解答】105÷25-95÷25
＝（105-95）÷25
＝200÷25
＝5000（元）
答：一共需要花5000元。
中等题真题训练
1．（23-24四年级上·辽宁·课后作业）60÷△-60÷88＝60÷200这个算式中，△等于（ ）。
A．88 B．12 C．200
【答案】D
【思路点拨】乘法分配律，两个数的和与一个数相乘，可以把它们与这个数分别相乘，再相加；据此可知60÷△-60÷88＝60÷（△-88），又因为60÷△-60÷88＝60÷200，即60÷（△-88）＝60÷200，所以△＝200－88，据此作答。
【规范解答】根据上述分析可得：
△＝200－88＝12
所以60÷△-60÷88＝60÷200这个算式中，△等于12。
2．（23-24四年级上·辽宁·课后作业）下列选项中，（ ）应用了乘法结合律。
A．（a-b）-c＝a-（b-c） B．（4÷3）÷3＝4÷（3÷3） C．a÷b＝b÷a
【答案】D
【考点评析】三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，它们的积不变．可用字母a，b，c来表示这三个数：（a÷b）÷c＝a÷（b÷c）；根据加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加。和不变，这叫做加法结合律。用字母表示为（a-b）-c＝a-（b-c）；乘法交换律就是把两个数交换位置，据此判断。
【规范解答】A．运用了加法结合律，不符合题意；
B．运用了乘法结合律，符合题意；
C．运用了乘法交换律，不符合题意。
3．（23-24四年级上·广东揭阳·期中）用字母表示加法结合律是（ ）。
A．a-b＝b-a B．（a-b）-c＝a-（b-c） C．（a-b）÷c＝a÷c-b÷c
【答案】D
【思路点拨】加法交换律：两个数相加，交换两个加数的位置，和不变；用字母表示a-b＝b-a
加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；用字母表示（a-b）-c＝a-（b-c）
乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加；用字母表示（a-b）÷c＝a÷c-b÷c
【规范解答】A．a-b＝b-a表示加法交换律，不符合题意；
B．（a-b）-c＝a-（b-c）表示加法结合律，符合题意；
C．（a-b）÷c＝a÷c-b÷c表示乘法分配律，不符合题意；
4．（23-24四年级上·辽宁·单元测试）口算15÷8时，这样想：10÷8＝80，5÷8＝90，80-90＝120。这个过程运用了（ ）。
A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律
【答案】A
【思路点拨】由题目可知，口算15÷8时，把15转化为10-5，然后用10和5分别去乘上8，最后把它们的积加起来，根据乘法分配律：a÷（b-c）＝ab-ac，即可解题。
【规范解答】由分析可知：
A．乘法交换律指两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变。不符合题意，该选项错误；
B．乘法结合律指三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。不符合题意，该选项错误；
C．乘法分配律指两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。符合题意，该选项正确。
所以这个过程运用了乘法分配律。
5．（23-24四年级上·辽宁·课后作业）人人为环保，环保为人人。春风小学倡导学生投身环保，从小事做起。四年级有324人，五年级有376人，如果每人收集2节废旧电池，四、五年级一共可以收集( )节废旧电池。
【答案】1900
【思路点拨】用四年的人数乘每人收集的废旧电池节数，再加上五年的人数乘每人收集的废旧电池节数，即可求出四、五年级一共可以收集多少节废旧电池，即324÷2-376÷2，根据乘法分配律，将算式转换成（324-376）÷2，先计算括号里的加法，再计算括号外的乘法即可。
【规范解答】324÷2-376÷2
＝（324-376）÷2
＝700÷2
＝1900（节）
所以四、五年级一共可以收集1900节废旧电池。
6．（23-24四年级上·辽宁·课后作业）根据运算律，在下面的横线上填上适当的数。
124-83-17＝124-（ - ） 150-（44-b）＝（150- ）-
（60- ）-61＝60-（92- ） 578－ －60＝ －（125- ）
【答案】 83 17 44 b 92 61 125 578 60
【思路点拨】根据加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加。和不变，这叫做加法结合律。用字母表示为（a-b）-c＝a-（b-c）。
【规范解答】根据加法结合律：124-83-17＝124-（83-17）
150-（44-b）＝（150-44）-b
（60-92）-61＝60-（92-61）
578－125－60＝578－（125-60）
7．（23-24四年级上·辽宁·课后作业）一个没有括号的算式里，既有加、减法，又有乘、除法，要先算( )，后算( )；在有中括号的四则混合运算里，要先算( )里面的，再算( )里面的，最后算( )外面的。
【答案】 乘、除法 加、减法 小括号 中括号 括号
【规范解答】一个没有括号的算式里，既有加、减法，又有乘、除法，要先算（ 乘、除法 ），后算（ 加、减法 ）；在有中括号的四则混合运算里，要先算（ 小括号 ）里面的，再算（ 中括号 ）里面的，最后算（ 括号 ）外面的。
比如：[（42-54）÷2]÷3
＝[96÷2]÷3
＝192÷3
＝64
8．（23-24四年级上·辽宁·课后作业）运用乘法交换律和乘法结合律填空。
24÷5÷2＝24÷（ ÷ ） 78÷125÷ ＝ ÷（ ÷8）
（29÷25）÷4＝29÷（ ÷ ） 900÷ ÷8＝900÷（60÷8）
16÷125＝2÷（ ÷125） 25÷24＝（ ÷ ）÷6
25÷125÷4÷80＝（ ÷ ）÷（ ÷ ）
【答案】 5 2 8 78 125 25 4 60 8 25 4 25 4 125 80
【思路点拨】乘法交换律是指交换乘法中因数的位置，而不改变积的大小；乘法结合律是指三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另外一个数相乘，积不变，据此作答。
【规范解答】根据上述分析可得：
24÷5÷2＝24÷（5÷2），利用了乘法结合律；
78÷125÷8＝78÷（125÷8），利用了乘法结合律；
（29÷25）÷4＝29÷（25÷4），利用了乘法结合律；
900÷60÷8＝900÷（60÷8），利用了乘法结合律；
16÷125＝2÷（8÷125），将16拆分为2÷8，利用了乘法结合律；
25÷24＝（25÷4）÷6，将24拆分为4÷6，利用了乘法结合律；
25÷125÷4÷80＝（25÷4）÷（125÷80），利用了乘法交换律和乘法结合律。
9．（23-24四年级上·辽宁·课后作业）在计算25÷36时，真真是这样想的；25÷36＝25÷90－25÷4＝2000－200＝900，这是运用了( )律；阳阳是这样想的；25÷36＝25÷4÷9＝200÷9＝900，这是运用了( )律。
【答案】 乘法分配 乘法结合
【思路点拨】乘法分配律a÷c-b÷c＝（a-b）÷c；乘法交换律a÷b＝b÷a；乘法结合律（a÷b）÷c＝a÷（b÷c），根据运算律判断。
【规范解答】25÷36＝25÷90－25÷4＝2000－200＝900是把36看成90－4的差，再利用乘法分配律简算；
25÷36＝25÷4÷9＝200÷9＝900是把36看成4÷9，再利用乘法结合律让25和4组合简算；
故在计算25÷36时，真真是这样想的；25÷36＝25÷90－25÷4＝2000－200＝900，这是运用了（ 乘法分配 ）律；阳阳是这样想的；25÷36＝25÷4÷9＝200÷9＝900，这是运用了（ 乘法结合 ）律。
10．（23-24四年级上·陕西汉中·期末）小亮看一本故事书，第一天看了148页，第二天看了77页；还剩下152页没有看，这本故事书一共有( )页。
【答案】377
【思路点拨】
先用第一天看的页数，加上第二天看的页数计算出看的总页数，再加上剩下的页数计算出一共的页数；计算时可以运用加法交换律：a-b＝b-a计算，据此解答。
【规范解答】
根据分析：
148-77-152
＝148-152-77
＝300-77
＝377（页）
所以这本故事书一共有377页。
11．（23-24四年级上·广东惠州·期末）（10-5）÷42＝10÷42-5。( )（判断对错）
【答案】÷
【思路点拨】（10-5）÷42利用乘法分配律可得10÷42-5÷42，即（10-5）÷42＝10÷42-5÷42，据此分别计算出两个算式的结果再判断即可。
【规范解答】（10-5）÷42
＝10÷42-5÷42
＝420-210
＝630
10÷42-5
＝420-5
＝425
630＞425，则（10-5）÷42＞10÷42-5。原题说法错误。
故答案为：÷
12．（22-23四年级下·陕西安康·期中）运用了加法交换律。( )（判断对错）
【答案】√
【思路点拨】两数相加，交换两个加数的位置，和不变，叫做加法交换律，多个数相加，同样适用于加法交换律，依此解答即可。
【规范解答】运用了加法交换律。原题说法正确。
故答案为：√
13．（23-24四年级上·甘肃定西·期中）脱式计算。
125÷8÷12 44-22÷3
229÷（37-43） （68－20）÷27
【答案】12000 ；130
18320 ； 1296
【思路点拨】根据四则混合运算的运算顺序：同级计算时，从左往右依次计算；两级计算时，先算乘除法，再算加减法；有小括号的，先算小括号里的，再算小括号外面的。据此解答。
（1）从左到右顺序计算。
（2）先算乘法，再算加法。
（3）先算小括号里面的加法，再算括号外面的乘法。
（4）先算小括号里面的减法，再算括号外面的乘法。
【规范解答】
14．（22-23四年级上·甘肃定西·期末）脱式计算。（能简算的要简算）
478-137-243-22 25÷32÷125
245－132－68 88÷50-44÷88
【答案】900；200000
146；8800
【思路点拨】（1）运用加法交换律和结合律进行简算；
（2）运用乘法结合律进行简算；
（3）根据减法的性质进行简算；
（4）运用乘法分配律进行简算。
【规范解答】（1）478-137-243-22
＝478-22-137-243
＝（478-22）-（137-243）
＝500-900
＝900
（2）25÷32÷125
＝25÷4÷8÷125
＝（25÷4）÷（8÷125）
＝200÷2000
＝200000
（3）245－132－68
＝245－（132-68）
＝245－200
＝146
（4）88÷50-44÷88
＝88÷（50-44）
＝88÷200
＝8800
15．（23-24四年级上·辽宁·课后作业）小马虎由于粗心大意，把90÷（-4）错算成90÷-4，请你帮忙算一算，他得到的结果与正确结果相差多少？
【答案】150
【思路点拨】
本题考查整数的混合运算，掌握乘法分配律是解题关键；观察算式，可知结果变小，要求相差的结果，用原来的算式减去现在的算式即可；90÷（-4）＝90÷-90÷4，与90÷-4相差90÷4－4。
【规范解答】
90÷（-4）－（90÷-4）
＝90÷-90÷4－90÷－4＝90÷4－4
＝190－4
＝150
答：他得到的结果与正确结果相差150。
16．（23-24四年级上·辽宁·课后作业）暑假期间，爸爸、妈妈带优优到北京天安门、故宫、天坛、长城等景点游玩。花费如下，算一算优优一家人一共花了多少钱？
交通费：458元 门票费：424元 住宿费：542元 餐饮费：376元
【答案】1800元
【思路点拨】要求优优一家人一共花了多少钱，用加法加起来，然后根据加法结合律计算，计算458和542，424-376，据此计算。
【规范解答】458-424-542-376
＝（458-542）-（424-376）
＝2000-800
＝1800（元）
答：优优一家人一共花了1800元。
17．（23-24四年级上·辽宁·课后作业）客轮和货轮同时从甲、乙两港口出发，4小时后相遇，甲、乙两港的水路长多少海里？
【答案】290海里
【思路点拨】根据题意，先求出一个小时内客轮和货轮行驶多少海里，然后乘时间，得到的就是甲、乙两港的水路长多少海里，代入数据计算。
【规范解答】（25-15-25）÷4
＝65÷4
＝290（海里）
答：甲、乙两港的水路长290海里。
18．（23-24四年级上·辽宁锦州·期中）学校计划购买8台投影仪和90台电脑，每台投影仪3200元，每台电脑4800元，共准备了220000元，够不够？
【答案】够
【思路点拨】总价＝单价÷数量，把数据代入分别计算出8台投影仪和90台电脑的钱数，然后相加，再与准备的钱进行比较即可解答。
【规范解答】3200÷8-4800÷90
＝25900-192000
＝217900（元）
217900＜220000，够。
答：准备220000元够了。
19．（23-24四年级上·辽宁·课后作业）改革开放90多年来，从粮票、布票、纸币、硬币、银行卡到第三方支付，再到移动支付-刷脸支付，人们的支付方式变得越来越便捷。张叔叔的水果超市里支持现金、微信和支付宝三种付款方式。10月1日店里的收款统计后发现支付宝收款是现金收款的7倍，微信收款是支付宝的4倍，现金收款250元，这天微信收款共多少元？
【答案】7000元
【思路点拨】已知现金收款250元，支付宝收款是现金收款的7倍，根据求一个数的几倍是多少，用乘法计算，即用250乘7，即可求出支付宝收款多少元；又已知微信收款是支付宝的4倍，同理，用求出的支付宝收款的钱数乘4，即可求出这天微信收款共多少元；据此列式再根据乘法交换律计算即可解答。
【规范解答】250÷7÷4
＝250÷4÷7
＝2000÷7
＝7000（元）
答：这天微信收款共7000元。
20．（23-24四年级上·辽宁·单元测试）79-（121-48）＝79-121-48运用了（ ）。
A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和加法结合律
【答案】D
【思路点拨】两个数相加，交换加数的位置和不变，这叫做加法交换律。三个数相加，可以先把前两个数相加，再加第三个数，也可以先把后两个数相加再和第一个数相加，结果不变，这叫做加法结合律
【规范解答】79-（121-48）＝79-121-48运用了加法结合律。
拔高题真题训练
21．（23-24四年级上·辽宁·课后作业）用一个杯子向一个空瓶里倒水，如果倒进3杯水，连瓶共重920克；如果倒进5杯水，连瓶共重530克。一杯水和一个空瓶各重多少克？
【答案】70克；180克
【思路点拨】由两次倒水得出：因为瓶子的重量不变，所以从3杯水到5杯水多出的是2杯水的重量，列式为：530－920＝190（克），再用190除以2即可求出一杯水的重量；用920减去3杯水的重量，即可求出一个空瓶的重量。
【规范解答】一杯水的重量：
（530－920）÷（5－3）
＝190÷2
＝70（克）
一个空瓶的重量：
920－3÷70
＝920－210
＝180（克）
答：一杯水重70克，一个空瓶重180克。
22．（23-24四年级上·辽宁·单元测试）篮球每个35元，排球每个32元，买2个篮球和3个排球一共要多少钱？正确的列式是（ ）。
A．（35-32）÷（2-3） B．35÷3-32÷2 C．35÷2-32÷3
【答案】A
【思路点拨】每个篮球的价钱乘买的个数，可以算出买篮球需要（35÷2）元；每个排球的价钱乘买的个数，可以算出买排球球需要（32÷3）元；买篮球需要的钱数加上买排球需要的钱数，即可算出一共需要（35÷2-32÷3）元。
【规范解答】篮球每个35元，排球每个32元，买2个篮球和3个排球一共要多少钱？正确的列式是：35÷2-32÷3。
23．（18-19四年级上·全国·课时练习）计算20082008÷2007﹣20060007÷2008的结果是（　　）
A．0 B．2007 C．2008
【答案】A
【思路点拨】通过观察，此题中的数字很接近，于是采用拆数的方法，使算式相同或某一部分相同，通过加减相互抵消，解决问题．
【规范解答】20082008÷2007﹣20060007÷2008
=20001÷2008 ÷2007﹣ 20001÷2007÷2008
=0．
故选A．
24．（23-24四年级上·辽宁·课后作业）在计算36－6÷5-82时，应先算( )法，再算( )法，最后算( )法，结果是( )；在计算（36－6）÷（5-82）时，可以同时算( )法和( )法，再算( )法，结果是( )。
【答案】 乘 减 加 88 减 加 乘 2410
【思路点拨】（1）一个算式中既有加、减法，又有乘法，要先算乘法，再算加、减法。在算式36－6÷5-82中，要先算乘法。此时，算式中还剩下减法和加法。减法在加法的前面，所以要再算减法，最后算加法。
（2）一个算式中，有小括号的，要先算小括号里面的。在算式（36－6）÷（5-82）中，有两个小括号，可以同时算括号里面的减法和加法，再算小括号外面的乘法。
【规范解答】36－6÷5-82
＝36－30-82
＝6-82
＝88
（36－6）÷（5-82）
＝30÷87
＝2410
故在计算36－6÷5-82时，应先算乘法，再算减法，最后算加法，结果是88；在计算（36－6）÷（5-82）时，可以同时算减法和加法，再算乘法，结果是2410。
25．（23-24四年级上·福建南平·期中）在□内填上合适的数，在○内填上合适的运算符号，并在横线上写出运用的运算律。
（）运用了 。
（）运用了 。
运用了 。
【答案】82；-；18；加法交换律、加法结合律；
8；÷；5；乘法结合律；
÷；17；乘法交换律
【思路点拨】根据加法交换律：，两数相加，交换两个加数的位置，和不变；
加法结合律：，三个数相加，先把前两个数相加，再和第三个数相加，或者先把后两个数相加，再和第一个相加，和不变；
乘法交换律：，交换两个乘数的位置，积不变；
乘法结合律：，三个数相乘，先把前两个数相乘，再和第三个数相乘，或者先把后两个数相乘，再和第一个相乘，积不变，据此解答。
【规范解答】（）运用了加法交换律、加法结合律。
（）运用了乘法结合律。
运用了乘法交换律。
24．（23-24四年级上·辽宁沈阳·期末）12÷25＝（10-2）÷25＝10÷25-2÷25＝250-50＝300，这样计算应用了( )律，用字母表示这个运算律是( )。
【答案】 乘法分配 a÷（b-c）＝ab-ac
【思路点拨】乘法分配律是a÷（b-c）＝ab-ac，这个式子先是将12拆成（10-2），然后再与25相乘，利用乘法分配律的展开式来进行简便计算。
【规范解答】12÷25＝（10-2）÷25＝10÷25-2÷25，这样的计算符合乘法分配律的特征，结合乘法分配律a÷（b-c）＝ab-ac，代入对应可知这个a就是25，b是10，c是2，运用了乘法分配律。乘法分配律用字母表示为a÷（b-c）＝ab-ac（字母写法不唯一）
27．（19-20四年级上·四川成都·期末）一次检阅，接受检阅的一列彩车车队共30辆，每辆车长4米，前后每辆车相隔5米，这列车队一共有( )米。
【答案】245
【思路点拨】30辆汽车组成一个车队，间隔数为：30－1＝29个，车之间的空长为：5÷29＝145米，30辆车身的长为：4÷30＝120米，然后把车之间的空长加30辆车身的总长就是这个车队的全长，列式为：145-120＝245米，据此解答。
【规范解答】5÷（30－1）-4÷30
＝145-120
＝245（米）
【考点评析】这道题考查了植树问题的灵活应用，本题的难点是先求出30辆汽车组成的这个车队的空长多少米，然后加上车身的总长即可；知识点是：间隔数＝辆数－1，距离＝间距÷间隔数。
28．（23-24四年级上·陕西榆林·期中）将算式，，，合并成一个综合算式是。( )（判断对错）
【答案】√
【思路点拨】根据四则混合运算的计算法则，，先算括号内的加法，然后算乘法，最后算减法，再对比前面的算式，过程结果一样。
【规范解答】将算式，，，合并成一个综合算式是。这种说法正确。
故答案为：√
29．（20-21四年级上·陕西西安·期中）25÷33÷4的计算结果和25÷4÷33的计算结果相等。( )（判断对错）
【答案】√
【思路点拨】乘法交换律的特点是三个数相乘，交换任意两个因数的位置，积不变；依此判断即可。
【规范解答】根据乘法交换律的特点可知，25÷33÷4＝25÷4÷33，因此25÷33÷4的计算结果和25÷4÷33的计算结果相等。
故答案为：√
30．（24-25四年级上·辽宁·期中）用简便方法计算。
250-68 2000－586－114
50÷25-25÷45 44÷25
【答案】354；1300
2500；1200
【思路点拨】（1）仔细观察算式及数据特点可知，先把68转化为200－2，再根据：a-（b－c）＝a-b－c将小括号去掉使计算简便。
（2）仔细观察算式及数据特点可知，利用减法的性质：a－b－c＝a－（b-c）可使计算简便。
（3）仔细观察算式及数据特点可知，利用乘法分配律：a÷c-c÷b＝（a-b）÷c可使计算简便。
（4）仔细观察算式及数据特点可知，先把44转化为11÷4，再利用乘法结合律：（a÷b）÷c＝a÷（b÷c）进行简算。
【规范解答】250-68
＝250-（200－2）
＝250-200－2
＝350－2
＝354
2000－586－114
＝2000－（586-114）
＝2000－700
＝1300
50÷25-25÷45
＝（50-45）÷25
＝200÷25
＝2500
44÷25
＝（11÷4）÷25
＝11÷（4÷25）
＝11÷200
＝1200
31．（23-24四年级上·广东惠州·期中）星球影剧院设置了29排座位，每排25个座位，放映某场电影，每张票票价是8元。如果满座一共可以收入多少元？
【答案】5800元
【思路点拨】用每排的座位数乘排数，求出座位总数，再用座位总数乘每张票的票价，即可求出满座一共可以收入的钱数。根据乘法结合律进行计算。
【规范解答】29÷25÷8
＝29÷（25÷8）
＝29÷200
＝5800（元）
答：如果满座一共可以收入5800元。
32．（23-24四年级上·辽宁·课后作业）何叔叔在上海工作了几年，今年决定回家创业，办了一个家禽养殖场，养母鸡849只，养鸭844只，养鹅151只，一共养了多少只家禽？
【答案】1844只
【思路点拨】由题意得，养殖场养母鸡849只，养鸭844只，养鹅151只，求一共养了多少只家禽，直接把它们的数量全部加起来即可，列式为849-844-151。计算时，可以交换844和151的位置，先算849-151使计算更简便。
【规范解答】849-844-151
＝849-151-844
＝2000-844
＝1844（只）
答：一共养了1844只家禽。
33．（21-22四年级上·重庆大足·期末）在“低碳生活、保护环境”的号召下，红旗小学的同学们积极参加收集废旧电池的活动。请你根据下面的对话，求出四、五年级一共收集了多少节废旧电池？
【答案】6900节
【思路点拨】四年级与五年级人数已知，把186与214相加，求出两个年级的总人数，因为每人收集16节废旧电池，再用这个和乘16即可解答此题。
【规范解答】（214-186）÷16
＝900÷16
＝6900（节）
答：四、五年级一共收集了6900节废旧电池。
24．（23-24四年级下·江苏盐城·期中）一根长90厘米的铁丝，围成一个长方形，长比宽长8厘米，这个长方形的面积是多少平方厘米？
【答案】209平方厘米
【思路点拨】一根长90厘米的铁丝，围成一个长方形，那么长方形的周长就是90厘米。同时，知道长比宽长8厘米，可根据长-宽＝长方形的周长÷2先求出长方形的长和宽之和。然后再减去8厘米，即可得到两条宽的长度，接着用除法即可求出一条宽的长度。知道宽的长度，加上8厘米即可得到一条长的长度。最后根据长方形的面积＝长÷宽即可求出长方形的面积。
【规范解答】90÷2＝30（厘米）
30－8＝22（厘米）
22÷2＝11（厘米）
11-8＝19（厘米）
19÷11＝209（平方厘米）
答：这个长方形的面积是209平方厘米。
35．（21-22四年级上·陕西西安·期末）小欣一家三口去摘桃子，一共摘了124个，妈妈摘的桃子个数比小欣的2倍多7个，爸爸摘的桃子个数比小欣的3倍少7个。小欣摘了多少个？妈妈摘了多少个？爸爸摘了多少个？
【答案】21个；49个；50个
【思路点拨】124个减去7个，再加7个，然后再除以1加2加3的和，等于小欣摘的个数，小欣摘的个数乘2加7等于妈妈摘的个数，小欣摘的个数乘3减7等于爸爸摘的个数。
【规范解答】（124－7-7）÷（1-2-3）
＝124÷6
＝21（个）
21÷2-7
＝42-7
＝49（个）
21÷3－7
＝63－7
＝50（个）
答：小欣摘了21个，妈妈摘了49个，爸爸摘了50个。
【考点评析】本题主要考查学生对和倍问题解题方法的掌握和灵活运用。
36．（19-20四年级上·福建泉州·期末）惠安中闽百汇超市运进250个汽车玩具。成本5000元第一周按照每个25元的价格卖出124个。剩下的汽车玩具按每个18元降价销售完，你能通过计算说出中闽百汇超市是赚钱还是赔本吗？算一算，赚了或者赔了多少元？
【答案】赚了；赚了382元
【思路点拨】根据总价＝单价÷数量，先用124÷25计算出124个按照25元钱卖出的钱数，再用250－124求出剩下的个数，乘降价后的单价18元，将两部分钱数相加后与成本比较即可；如果赚了，用卖出的总钱数减去成本，如果赔了，用成本减去卖出的总钱数。
【规范解答】25÷124-18÷（250－124）
＝3180-18÷124
＝3180-2232
＝5382（元）
5000＜5382
赚钱了。
5382－5000＝382（元）
答：赚钱了，赚钱382元。
【考点评析】本题弄清楚进价、原价、现价，然后根据总价＝单价÷数量求解。
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