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配套初中数学苏科版
「第六章」平面图形的初步认识
6.3 相交线
第1课时-对顶角
小学里,我们已经认识了相交线.如图,过一点可以画出无数条相交的直线,那么,如何描述这些相交线的位置关系呢
答：可以通过角来描述这些相交的直线.
对顶角
将两根细木条钉在一起,可以形成哪些角 这些角之间有什么关系
发现1：相邻的两个角互补；
发现2：相对的两个角相等。
对顶角
我们可以将两条木棒抽象成两条直线，那么我们会得到四个角。
有公共顶点没有公共边的两个角叫作对顶角(opposite angles)。
例如：∠1和∠3是对顶角；
∠2和∠4是对顶角.
对顶角性质
猜想：对顶角相等吗？你能证明∠1=∠3吗？
答：相等，
理由：因为∠1，∠3都是∠2的补角,所以∠1=∠3.
同理，可以得到∠2=∠4.
结论：两直线相交，对顶角相等.
符号语言：因为∠1和∠3为对顶角
所以∠1=∠3
∠1的对顶角是哪个角 你还能找出哪些对顶角 （只用含数字的表示）
对顶角
答：∠1的对顶角为∠4；
图中对顶角还有：
∠2和∠5是对顶角；
∠3和∠6是对顶角.
注意：
（1）两条直线相交产生对顶角，对顶角的三个特征（①有公共顶点；②无公共边；③角的两边互为反向延长线.
（2）对顶角是成对出现的，每两条直线就有两对对顶角，因而找对顶角的关键是看共有多少组两两相交的直线.
邻补角
有一条公共边，而且另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角.
猜想：∠1和∠4具有怎样的数量关系？
答：互补.
理由：因为∠AOB为平角，
所以∠1和∠4互补.
同理，可以得到∠2与∠3互补.
结论：两直线相交，邻补角有四对，分别为∠1和∠4、∠4和∠3、
∠3和∠2、∠2和∠1.
邻补角
邻补角与补角的区别：
答：1. 相同点：
互为邻补角、互为补角都是和为180°；
2. 不同点：
互为邻补角与位置有关；
互为补角与位置无关.
直线AB，CD 相交于点O，OE平分∠AOC.OE的反向延长线OF平分∠BOD吗 为什么
解：OF平分∠BOD.
理由：根据“两直线相交，对顶角相等”，得
∠AOE=∠BOF，∠COE=∠DOF.
因为OE平分∠AOC，
所以∠AOE=∠COE.
所以∠BOF=∠DOF，即OF平分∠BOD.
直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOC.若∠AOD=130°，求∠AOE的度数.
1.下列各图中,∠1和∠2是对顶角吗 请说明理由 .　　　　　　　　　　　　　
答：（1）不是，因为它们两个角不是两条直线相交而得到；
（2）是；
（3）不是，无公共顶点；
（4）不是，因为不是两条直线相交而得到.
2.如图，如何在围墙外面测量两堵围墙的底边OA，OB 所形成的∠AOB的大小
解：如图所示，可以延长AO、BO，则我们只需要测量∠COD，利用两直线相交，对顶角相等得，∠AOB=∠COD.
D
C
3. 如图，直线AB，CD相交于点O，∠BOD与∠BOE互为余角，
∠AOC=72°.求∠BOE的大小.
解：因为∠AOC和∠BOD为对顶角，
所以∠BOD=∠AOC=72°，
又因为∠BOD与∠BOE互为余角，
所以∠BOD+∠BOE=90°，
所以∠BOE=90°－∠BOD=90°－72°=18°.
4.观察下列图形，寻找对顶角（不含平角）.
(1)如图1，两条直线相交于一点，共有__________对对顶角；
(2)如图2，三条直线相交于一点，共有__________对对顶角；
(3)如图3，四条直线相交于一点，共有__________对对顶角；
(4)n条直线相交于一点，共有__________对对顶角；
5. 如图，直线AB与CD相交于点O，∠DOE＝80°，∠DOF：∠AOD＝2：3，射线OE平分∠BOF，则∠BOC的度数为（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
答：设∠DOF=2x，
因为∠DOF：∠AOD＝2：3
所以∠AOD=3x
因为∠DOE=80°
所以∠EOF=∠DOE-∠DOF=80°-2x
因为射线OE平分∠BOF
所以∠BOF=2∠EOF=160°-4x
因为∠AOB=180°
所以∠AOD+∠DOF+∠BOF=2x+3x+160°-4x=180°
所以x=20°，所以∠BOC=∠AOD=3x=60°
故选择B选项
B第六章 平面图形的初步认识
6.3《相交线》
第1课时 对顶角
1. 学生能够理解并掌握相交线的基本概念，包括交点、对顶角、邻补角等，学生能够识别并准确画出相交线的对顶角和邻补角，学生能够运用相交线的性质进行简单的几何推理；
2. 通过观察、操作、推理等活动，培养学生的观察力、思维力和动手能力；
3. 培养学生对几何图形的美感，激发学习数学的兴趣.、学情分析
在现实生活中认识对顶角，理解对顶角的性质，会画出对顶角，能利用对顶角相等的性质进行简单推理和计算；
经历观察、操作、推理、交流等活动，发展学生的空间观念，培养学生的推理能力和有条理的表达能力；
体验数学知识的发生、发展过程，敢于面对数学活动中的困难，建立学好数学的自信心.
相交线的定义，对顶角和邻补角的识别和性质.
运用相交线的性质进行几何推理.
一、情境导入
小学里，我们已经认识了相交线.如图，过一点可以画出无数条相交的直线，那么，如何描述这些相交线的位置关系呢
答：可以通过角来描述这些相交的直线.
师生活动：先教师展示，学生回答，然后师生互动交流．
设计意图：通过对于小学知识的回忆，既唤醒了孩子的旧知，又巧妙引入新知，承上启下，更有利于孩子快速进入学习状态。
新知探究
1.对顶角
（1）将两根细木条钉在一起，可以形成哪些角 这些角之间有什么关系
发现1：相邻的两个角互补；发现2：相对的两个角相等。
我们可以将两条木棒抽象成两条直线，那么我们会得到四个角。
有公共顶点没有公共边的两个角叫作对顶角(opposite angles).
例如：∠1和∠3是对顶角；∠2和∠4是对顶角.
（2）性质
猜想：对顶角相等吗？你能证明∠1=∠3吗？
答：相等，
理由：因为∠1，∠3都是∠2的补角，所以∠1=∠3.
同理，可以得到∠2=∠4.
结论：两直线相交，对顶角相等.
符号语言：因为∠1和∠3为对顶角
所以∠1=∠3
（3）寻找对顶角
∠1的对顶角是哪个角 你还能找出哪些对顶角 （只用含数字的表示）
答：∠1的对顶角为∠4；
图中对顶角还有：
∠2和∠5是对顶角；
∠3和∠6是对顶角.
注意：
（1）两条直线相交产生对顶角，对顶角的三个特征（①有公共顶点；②无公共边；③角的两边互为反向延长线；）
（2）对顶角是成对出现的，每两条直线就有两对对顶角，因而找对顶角的关键是看共有多少组两两相交的直线.
师生活动：教师提示，师生问答方式，合作交流归纳总结．
设计意图：对顶角设计意图在于通过直观展示和逻辑推理，帮助学生理解对顶角的性质，掌握其相等关系，并培养学生的空间想象能力和几何思维.
2.邻补角
有一条公共边，而且另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角.
猜想：∠1和∠4具有怎样的数量关系？
答：互补，
理由：因为∠AOB为平角，
所以∠1和∠4互补.
同理，可以得到∠2与∠3互补.
结论：两直线相交，邻补角有四对，分别为∠1和∠4、∠4和∠3、∠3和∠2、∠2和∠1.
师生活动：老师提问，学生举手回答问题．
设计意图：邻补角设计意图旨在通过实例和图形，让学生理解邻补角的定义及性质，掌握其互补关系，培养学生的几何直观和逻辑推理能力.
讨论1 邻补角与补角的区别：
答：1、相同点：
互为邻补角、互为补角都是和为180°；
2、不同点：
互为邻补角与位置有关；
互为补角与位置无关.
三、应用举例：
例1 直线AB，CD 相交于点O，OE平分∠AOC.OE的反向延长线OF平分∠BOD吗 为什么
解：OF平分∠BOD.
理由：根据“两直线相交，对顶角相等”，得
∠AOE=∠BOF，∠COE=∠DOF.
因为OE平分∠AOC，
所以∠AOE=∠COE.
所以∠BOF=∠DOF，即OF平分∠BOD.
变式：直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOC.若∠AOD=130°，求∠AOE的度数.
解：因为∠AOC与∠AOD为邻补角
所以∠AOC=180°-∠AOD=50°
因为OE平分∠AOC
所以∠AOE= 0.5∠AOC=25°.
师生活动：老师引导学生逐个解决所给问题．
设计意图：让学生灵活利用所学的定理解决数学问题，训练学生的分析能力和逻辑推理能力.
四、课堂练习
1.下列各图中，∠1和∠2是对顶角吗 请说明理由.
答：（1）不是，因为它们两个角不是两条直线相交而得到；
（2）是；
（3）不是，无公共顶点；
（4）不是，因为不是两条直线相交而得到.
2.如图，如何在围墙外面测量两堵围墙的底边OA，OB 所形成的∠AOB的大小
解：如图所示，可以延长AO，BO，则我们只需要测量∠COD，利用两直线相交，对顶角相等得，∠AOB=∠COD.
3.如图，直线AB，CD相交于点O，∠BOD与∠BOE互为余角，∠AOC=72°.求∠BOE的大小.
解：因为∠AOC和∠BOD为对顶角
所以∠BOD=∠AOC=72°
因为∠BOD与∠BOE互为余角
所以∠BOD+∠BOE=90°
所以∠BOE=90°－∠BOD=90°－72°=18°
4.观察下列图形，寻找对顶角（不含平角）.
(1)如图1，两条直线相交于一点，共有__________对对顶角；
(2)如图2，三条直线相交于一点，共有__________对对顶角；
(3)如图3，四条直线相交于一点，共有__________对对顶角；
(4)n条直线相交于一点，共有__________对对顶角；
答：（1）2对；（2）6对；（3）12对；（4）n(n-1).
5.如图，直线AB与CD相交于点O，∠DOE＝80°，∠DOF：∠AOD＝2：3，射线OE平分∠BOF，则∠BOC的度数为（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
答案：设∠DOF=2x，
因为∠DOF：∠AOD＝2：3
所以∠AOD=3x
因为∠DOE=80°
所以∠EOF=∠DOE-∠DOF=80°-2x
因为射线OE平分∠BOF
所以∠BOF=2∠EOF=160°-4x
因为∠AOB=180°
所以∠AOD+∠DOF+∠BOF=2x+3x+160°-4x=180°
所以x=20°，所以∠BOC=∠AOD=3x=60°
故选择B选项
师生活动：学生独立完成，教师批阅.
设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用.
五、课堂小结
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
六、课后作业
1. 完成课本上的相关练习题；
2. 布置一个观察任务，让学生在家中继续寻找生活中的相交线，下节课分享.
1.实例引入：在教授新概念时，通过生活实例快速吸引学生兴趣，但需注意实例与知识点的紧密关联.
2.活动式学习：学生参与度高，动手实践加深理解，需平衡活动与知识传授的时间。
3.鼓励提问：营造开放氛围，学生提问积极，但需引导提问方向，避免偏离主题.
4.联系生活实际：增强知识实用性，但需确保联系自然，不牵强附会.
通过这样的教学反思，我们可以使数学教学更加贴近孩子的生活，同时也能帮助学生建立起数学思维，提高他们的数学素养.

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