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15.1.1 从分数到分式
一、分式的概念
1、分数与分式的区别
分数：如，等，是两个整数相除的形式，其中分子和分母都是常数。
分式：一般地，如果A、B（B≠0）表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。例如，等。
2、分式有意义的条件
对于分式，当分母B≠0时，分式有意义；当B = 0时，分式无意义。
例1：对于分式，当x - 2≠0，即x≠2时，该分式有意义；当x = 2时，分式无意义。
二、分式的值
1、求分式的值
给定分式和字母的值，将字母的值代入分式中计算。
例2：当x = 3时，求分式的值。
解：将x = 3代入分式，得到。
2、分式值为0的条件
当分式的值为0时，需要满足分子A = 0且分母B≠0。
例3：对于分式，当时，由分子x - 2 = 0，解得x = 2，此时分母x + 3=2 + 3 = 5≠0，所以当x = 2时，该分式的值为0。
练习
题型一、分式的判定
例题：在代数式，，，，中，分式的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
变式1：下列各式：，，，，其中分式共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
变式2：在，，，，中，属于分式的有______个。
变式3：下列代数式是分式的是( )
A. B. C.2xy D.
题型二、分式有意义的条件
例题：若分式有意义，则实数x的取值范围是( )
A. B. C. D.
变式1：下列各式中，不论x取何值分式都有意义的是( )
A. B. C. D.
变式2：若分式有意义，则( )
A. B. C. D.
变式3：x取何值时，下列分式有意义：
(1)
(2)
(3)
题型三、分式无意义的条件
例题：若分式的值不存在，则x的值为( )
A. 3 B.-1 C. D.
变式1：当x = 1时，下列分式没有意义的是( )
A. B. C. D.
变式2：当x = 4时，分式无意义，求m的值为______。
变式3：按要求填空。
(1) 分式有意义时，x的取值范围是______。
(2) 分式无意义时，x的值是______。
题型四、分式值为零的条件
例题：当x =______时，分式的值为0。
变式1：如果当x = -1时，分式M的值为0，那么M可以是( )
A. B. C. D.
变式2：若分式的值为0，则x的值为 。
变式3：若分式的值为0，则x的值为______。
题型五、分式的求值
例题：如果，那么代数式的值是( )
A. B. C. D.
变式1： 已知，则 。
变式2：若，则 。
变式3：当时，分式的值不存在，则当时，求分式的值 。
题型五、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围
例题：若分式表示的数是负数，则x的取值范围为 。
变式1：已知分式的值是非负数，那么x的取值范围是( )
A. 且 B. C. D. 且
变式2：若分式有意义，下列说法错误的是( )
A.当时，分式的值为正数 B.当时，分式无意义
C.当时，分式的值为0 D.当时，分式的值为1
变式3：若分式的值为负数，则x的取值范围是______。
变式4：当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为______。
变式5：分式的定义告诉我们：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B可以表示成的形式，如果B中含有字母，那么称为分式。
我们还知道：两数相除，同号得正，异号得负。请运用这些知识解决下列问题：
(1)如果，求x的取值范围；
(2)如果，求x的取值范围。
变式6：已知，x取哪些值时：
(1)y的值是零；
(2)分式无意义；
(3)y的值是正数；
变式7：当x的取值范围是多少时：
(1)分式的值为负数？
(2)分式的值为正数？
(3)分式的值为负数？
变式8：已知：代数式
(1)当m为何值时，该式无意义？
(2)若该式的值为正数，求m的取值范围；
题型六、求使分式值为整数时未知数的整数值
例题：我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：
，。
参考上面的方法，解决下列问题：
(1)将变形为满足以上结果要求的形式： ；
(2)若为正整数，且a也为正整数，则a的值为 。
变式1：若分式的值是整数，则满足条件的所有正整数m的和是( )
A. B. C. D.
变式2：分式的值是正整数，则整数x =______。
变式3：能使分式值为整数的整数x有个 。
变式4：(1)若成立，则x的取值范围是 ；
(2)若分式的值为0，则x = ；
(3)已知分式的值是整数，则满足条件的所有整数a的和为 。
变式5：回答下列问题：
(1)已知分式，当x = -2时，分式无意义；当x = 4时，分式的值为零，求a + b的值；
(2)当x为何整数时，分式的值是整数？

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