资源简介

第一讲 中考选择题难点突破1：《图形变换与二次函数中的多结论问题》
------林翠凤
知识技能梳理
模块一：图形变换——轴对称
图形的轴对称是初中三大图形变换中的一种，在中考中常常会以折叠的形式出现。折叠的载体有各种各样的图形，考查的问题有求线段长度（或线段最值、线段比值）、角度、图形周长、面积、三角函数等等。虽然有纷繁复杂的情形，但解决问题的突破口始终是轴对称的性质和背景图形的性质。
轴对称的性质：1、全等性：全等图形、对应边相等、对应角相等。2、对称性：对应点所连线段被对称轴垂直平分。
解题步骤：1、明确轴对称性质（全等性、对称性），关注背景图性质和已知条件。2、结合背景图性质、轴对称性质和已知条件，找条件之间的联系，进行等量转化。3、利用基本方法：构造方程（勾股定理、全等三角形、相似三角形、等面积），进行求解，进而解决问题。
模块二：图形变换——旋转
图形的旋转是初中三大图形变换中的一种，在中考中常常以综合题的形式出现。图形的旋转常见的类型有两种，一种是题目已有明显的较为完整的共顶点的旋转图形，这类型的题目难度不大。第二种类型是题目没有明显旋转图形，需要根据题目中的条件构造旋转模型，使问题巧妙解决。本模块重点学习第二种类型。若题目中出现共顶点等线段，如等腰直角三角形或等边三角形，则可以作辅助线构造旋型全等三角形；若题目中无共顶点等线段，但有共点等角，则可以做辅助线构造旋转相似三角形。构造旋转图形的共同特点是寻找全等三角形或相似三角形，利用它们的性质解题，此类旋转问题，有时也会结合动点问题求最值。
模块三：二次函数中的多结论问题
二次函数中的多结论问题通常是选择题常考的压轴题。考点如下：
，考符号
， , ，，考特殊点
，考对称轴
，，考对称轴与特殊点结合
，考最值（顶点）
，考最值（顶点纵坐标）
，考图象与x轴交点个数
在抛物线上，则，考增减性和对称性
方程有两个不相等的实数根，考函数与方程的关系，平移
学习过程
模块一：图形变换——轴对称
例1．如图，点为矩形的边上一点，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，交于点．在上取点，使．若，，则（ 　　）
A． B．12 C．15 D．
【解答】解：方法一，如图，连接，过点作于点，
∵，，，，
∵四边形是矩形，，，
由翻折可知：，，，
在和中，，，，
∵F是的中点，，
，，
由翻折可知：垂直平分，，
，，，
．．
故答案为：选A．
方法二：连接BG，证明(SAS)，由F是BE中点，所以EF=FG=6。因为是等腰和等腰的公共底角，所以顶角。设BG=4k，则AB=5k，AG=3k，GE=2k，在Rt中，有，解得k=，所以AB=.
小结：1、折叠有两大性质：全等性和对称性，要根据具体情况选择合适的条件。
2、题目中出现三角函数时，有两个思考方向：一是直接构造直角三角形，另一种是把角通过等量代换转化到已有的直角三角形中。
3、引入参数时，可利用勾股定理、相似三角形等构造方程进行求解。
例2．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D在斜边AB上运动，点E在边BC上运动，把△BDE沿DE折叠得到△B'DE，B'D交边BC于点F，BC＝3CF，∠CEB'＝30°，则BE的长为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：方法一：如图，过点E作EK⊥BD于点K，
设BE的长为x，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，∴∠A＝∠B＝45°，
∵BC＝3CF＝3，∴CF＝1，BF＝2，EF＝2﹣x、
∵△B′DE由△BDE折叠而来，∴∠B′＝∠B＝45°，B'E＝BE＝x，∠B'ED＝∠BED，
∵∠CEB＝30°，∴∠DEB+DEB′＝∠FEB+∠B′EF＝180°+30°＝210°，
∴∠BED＝∠B′ED＝105°，
∴∠EDB＝180°﹣∠BED﹣∠B＝180°﹣105﹣45°＝30°，
∵∠BDE＝∠B'EF＝30°，∠B＝∠B′＝45°，∴△BDE∽△B′EF，∴＝，
在Rt△BEK中，∠B＝45，BE＝x，∴EK＝BK＝x，
在Rt△DEK中，∠EDK＝30°，EK＝x，∴DE＝x，DK＝x，
∴DB＝BK+DK＝x+x＝x，∴＝，
解得x＝，经检验：x＝是原分式方程的解，∴BE的长为．
故答案为：选A．
方法二：过点F作FH垂直于B′E于H。∵∠CEB＝30°，∠B＝∠B′＝45°
∴设FH=k，则B′H=k，HE= k，EF=2 k，EB=2-2 k。∵B′E=EB∴k+ k=2- 2k
∴，∴BE的长为．
小结：三角形中有特殊角，可通过作垂线作出特殊角的直角三角形。
练习1
1．如图，在矩形纸片ABCD中，点E在边AD上，沿着BE折叠使点A落在边CD上点F处，过点F作FP∥AD交BE于点P．若tan∠ABE＝，AD＝3cm，则PF的长为（　　）cm．
A． B．2 C． D．
【解答】解：∵沿着BE折叠使点A落在边CD上点F处，∴F点与A点关于BE对称．
∴AE＝FE，∠AEB＝∠FEB．
又∵FP∥AD，∴∠AEB＝∠FPE．∴∠FEB＝∠FPE．∴EF＝FP．
由折叠可知，∠ABE＝∠FBE，∴tan∠ABE＝tan∠FBE＝，∴＝，
∵∠EFB＝∠C＝∠D＝90°．∴∠DFE+∠DEF＝90°，∠DFE+∠BFC＝90°．
∴∠DEF＝∠BFC．∴△DEF∽△CFB．∴＝＝．
∵BC＝AD＝3cm，∴DF＝1cm，
∵DF2+DE2＝EF2，∴12+（3﹣AE）2＝AE2，解得AE＝，
∴PF＝cm，
故选：A．
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，将矩形ABCD沿MN折叠使点C恰好落在AB的中点F处，点D落在点E处，若AM＝4DM，则DM的长为（　　）
A．2.5cm B．cm C．cm D．3cm
【解答】解：如图，连接MF，MC，
∵AM＝4DM，∴设DM＝xcm，则AM＝4xcm，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝10cm，∴DC＝AB＝10cm，∠A＝∠D＝90°，
由折叠可知：四边形CDMN和四边形FEMN关于MN对称，
∴EM＝DM＝xcm，∠D＝∠E＝90°，MC＝MF，DC＝EF＝10cm，
∵F是AB的中点，∴AF＝AB＝5cm，
在Rt△AFM和Rt△CDM中，根据勾股定理得：
FM2＝AF2+AM2，CM2＝CD2+DM2，∴AF2+AM2＝CD2+DM2，∴52+（4x）2＝102+x2，
解得x＝（负值舍去），∴DM＝cm．
故选：B．
3．如图，矩形纸片ABCD，AB＝8，BC＝6，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE、DE分别交AB于点O、F，且OP＝OF，则sin∠ADF的值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据折叠，可知：△DCP≌△DEP，∴DC＝DE＝8，CP＝EP．
在△OEF和△OBP中，，∴△OEF≌△OBP（AAS），∴OE＝OB，EF＝BP．
设EF＝x，则BP＝x，DF＝DE﹣EF＝8﹣x，
又∵BF＝OB+OF＝OE+OP＝PE＝PC，PC＝BC﹣BP＝6﹣x，
∴AF＝AB﹣BF＝2+x．
在Rt△DAF中，AF2+AD2＝DF2，即（2+x）2+62＝（8﹣x）2，解得：x＝，
∴DF＝8﹣x＝，AF＝2+x＝，∴sin∠ADF＝＝×＝，
故选：C．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC边上一点，将△ABD为直线AD翻折得到△AB′D，AB′与BC边交于点E，若AB＝3BD，点E为CD中点，BC＝6，则AB的长为（　　）
A． B．6 C． D．
【解答】解：由折叠可知：∠AB′D＝∠B，BD′＝BD，AB′＝AB，
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠AB′D＝∠ACE，∵∠B′ED＝∠CEA，∴△B′ED∽△CEA，
∴＝＝，∵点E为CD中点，∴DE＝CE，
设BD＝B′D＝x，AB＝AC＝AB′＝3x，
∴＝＝＝，∴B′E＝CE，
∴AE＝AB′﹣B′E＝3x﹣CE，
∴＝＝＝，∴CE＝x，
∴BC＝BD+DE+CE＝x+x+x＝6，∴x＝，
∴AB＝3x＝．
故选：A．
5．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝3，CD＝4，点E是CD边上的中点，将△BCE沿BE翻折得△BGE，连接AE，A、G、E在同一直线上，则点G到AB的距离为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，GF⊥AB于点F，
∵点E是CD边上的中点，∴CE＝DE＝2，
由折叠可知：∠BGE＝∠C，BC＝BG＝3，CE＝GE＝2，
∵在 ABCD中，BC＝AD＝3，BC∥AD，∴∠D+∠C＝180°，
∵∠BGE+∠AGB＝180°，∴∠AGB＝∠D，∴BG＝AD，
∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠AED，∴△ABG≌△EAD（AAS），∴AG＝DE＝2，∴AB＝AE＝AG+GE＝4，
∵GF⊥AB于点F，∴∠AFG＝∠BFG＝90°，
在Rt△AFG和△BFG中，根据勾股定理，得
AG2﹣AF2＝BG2﹣BF2，即22﹣AF2＝32﹣（4﹣AF）2，解得AF＝，
∴GF2＝AG2﹣AF2＝4﹣＝，
∴GF＝．
故选：B．
6．如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，点P在AB上，AP＝1．将矩形ABCD沿CP折叠，点B落在点B'处．B'P、B′C分别与AD交于点E、F，则EF＝（ ）．
A．3 B． C． D．
【解答】解：过P作PG⊥CD于G，交CB′于H，则四边形ADGP和四边形PBCG是矩形，
∴AD＝PG＝BC＝8，DG＝AP＝1，∴CG＝PB＝4，
∵将矩形ABCD沿CP折叠，点B落在点B'处，∴∠BCP＝∠PCH，
∵PG∥BC，∴∠HPC＝∠PCB，∴∠HPC＝∠PCH，∴HP＝CH，
设HG＝x，则CH＝PH＝8﹣x，∵HG2+CG2＝CH2，∴x2+42＝（8﹣x）2，∴x＝3，∴CH＝PH＝5，
∵HG∥DF，∴△CHG∽△CFD，∴＝＝，∴＝＝，
∴CF＝，DF＝，∴B′F＝，
∵∠B′＝∠D＝90°，∠EFB′＝∠DFC，
∴△B′EF∽△DCF，∴＝，∴＝，∴EF＝．
故答案为：B．
模块二：图形变换——旋转
例3．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠BCD＝30°，BC＝2，AC＝，则CD的长为（　　）
A．4 B．2 C．5 D．
【解答】解：如图，把△ABC绕点A逆时针旋转90度，得到△ADE，连接CE，过点E作EF⊥CD延长线于点F，
根据旋转可知：AE＝AC＝，ED＝BC＝2，∠ABC＝∠ADE，
根据四边形ABCD的内角和＝360°，∴∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠DAB＝360°，
∵∠BAD＝90°，∠BCD＝30°，∴∠ABC+∠ADC＝240°，∴∠ADE+∠ADC＝240°，
∴∠CDE＝120°，∴∠EDF＝60°，
在Rt△EDF中，DE＝2，∴DF＝1，EF＝，在Rt△AEC中，CE＝AC＝2
∴CF＝＝＝5，∴CD＝CF﹣DF＝5﹣1＝4．
故选：A．
小结：1、共顶点等线段可以构造旋转型全等三角形解决问题。
三角形中，已知两边和一个特殊角，求第三边：可通过作垂线构造特殊直角三角形解决问题。
例4．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是对角线AC上的动点，连接DP，将直线DP绕点P顺时针旋转使∠DPG＝∠DAC，且过D作DG⊥PG，连接CG，则CG最小值为( )．
A． B． C． D．
【解答】方法一：寻找G点运动轨迹。
解：如图，作DH⊥AC于H，连接HG延长HG交CD于F，作HE⊥CD于E．
∵DG⊥PG，DH⊥AC，∴∠DGP＝∠DHA，
∵∠DPG＝∠DAH，∴△ADH∽△PDG，∴，∠ADH＝∠PDG，
∴∠ADP＝∠HDG，∴△ADP∽△DHG，∴∠DHG＝∠DAP＝定值，
∴点G在射线HF上运动，
∴当CG⊥HF时，CG的值最小，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∴∠ADH+∠HDF＝90°，
∵∠DAH+∠ADH＝90°，∴∠HDF＝∠DAH＝∠DHF，∴FD＝FH，
∵∠FCH+∠CDH＝90°，∠FHC+∠FHD＝90°，
∴∠FHC＝∠FCH，∴FH＝FC＝DF＝1.5，
在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝3，
∴AC＝＝5，DH＝，
∴CH＝＝，∴EH＝＝，
∵∠CFG＝∠HFE，∠CGF＝∠HEF＝90°，CF＝HF，∴△CGF≌△HEF（AAS），∴CG＝HE＝，
∴CG的最小值为，
故答案为．选A
方法二：转化CG边。
如图，连接BD，BP，∴△BDC∽△PDG，同理可证△BDP∽△CDG，且相似比为5:3，∴ ，
当时，BP取最小值，为 ，∴CG的最小值为。
小结：未知运动轨迹的动点线段求最值问题：1、通过相似或全等转化为已知运动轨迹的动点线段的最值问题，一般是构造旋转图形。2、求出该动点的轨迹，结合图象进行分析。
练习2
1．若点D为等边△ABC内一点，且DA＝4，DB＝3，DC＝5，则此等边三角形ABC的面积为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：将△ABD绕点B顺时针旋转60°得△CBE，连接DE，过C作CF⊥BE交BE延长线于F，如图：
由旋转性质可知：BD＝BE＝3，∠DBE＝60°，AD＝CE＝4，
∴△BDE是等边三角形，
∴∠BED＝60°，DE＝BD＝3，
在△CDE中，DE＝3，CE＝4，CD＝5，
∴DE2+CE2＝CD2，
∴∠DEC＝90°，
∴∠BEC＝∠BED+∠DEC＝150°，
∴∠CEF＝30°，
∴CF＝CE＝2，EF＝CF＝2，
在Rt△BCF中，BC2＝CF2+BF2，
∴BC2＝22+（3+2）2＝25+12，
∵等边△ABC面积是BC2，
∴等边△ABC面积为×（25+12）＝+9，
故选：A．
2．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝，tanB＝，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A'B'C的位置，且点B′在AB上，A′B′交AC于点D，则△A′DC的面积为（　　）
A． B． C． D．4
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝，tanB＝，
设BC＝2x，AC＝7x，
∵BC2+AC2＝AB2，
∴（2x）2+（7x）2＝（）2，
∴x＝1（负值舍去）．
∴BC＝2，AC＝7．
由旋转的性质可知，BC＝B′C，∠BCB′＝∠ACA′，∠A＝∠A′，A′C＝AC＝7．
∴tan∠A＝tan∠A′＝．
过点B′作B′F⊥BC于点F，过点C作CE⊥BB′于点E，过点D作DG⊥A′C于点G，
∴BE＝B′E，
∵tanB＝＝，BC＝2，
∴BE＝，CE＝，
∴BB′＝．
对于△BCB′，BB′ CE＝B′F BC，
∴××＝×B′F×2，
解得B′F＝，
由勾股定理可知，CF＝．
∴tan∠B′CF＝＝，
∴tan∠A′CD＝＝，
设DG＝2m，
∴A′G＝7m，CG＝m，
∴7m+m＝7，解得m＝．
∴△A′DC的面积＝ A′C DG＝ 2m 7＝7m＝．
故选：B．
3．如图，如图，将矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转一定角度后，BC的对应边B′C交CD边于点G，如果当AB′＝B′G时量得AD＝7，CG＝4，连接BB′、CC′，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，连接AC，AG，AC'，
由旋转可得，AB＝AB'，AC＝AC'，∠BAB'＝∠CAC'，
∴＝，
∴△ABB'∽△ACC'，
∴＝，
∵AB'＝B'G，∠AB'G＝∠ABC＝90°，
∴△AB'G是等腰直角三角形，
∴AG＝AB'，
设AB＝AB'＝x，则AG＝x，DG＝x﹣4，
∵Rt△ADG中，AD2+DG2＝AG2，
∴72+（x﹣4）2＝（x）2，
解得x1＝5，x2＝﹣13（舍去），
∴AB＝5，
∴Rt△ABC中，AC＝＝＝，
∴＝＝，
故答案为：．选A
4．如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，E是AC的中点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，当点D运动时，则AF的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．
【解答】解：作DM⊥AC于M，FN⊥AC于N，如图，设DM＝x，
在Rt△CDM中，CM＝DM＝x，
而EM+x＝2，
∴EM＝﹣x+2，
∵线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，
∴ED＝EF，∠DEF＝90°，
易得△EDM≌△FEN，
当D在BC上时，
∴DM＝EN＝x，EM＝NF＝﹣x+2，
在Rt△AFN中，AF2＝（﹣x+2）2+（2+x）2＝（x+）2+4+2，
此时AF2没有最小值，
当D在BC的延长线上时，
∴DM＝EN＝x，EM＝NF＝x+2，
在Rt△AFN中，AF2＝（x+2）2+（2﹣x）2＝（x﹣）2+4+2，
当x＝时，AF2有最小值4+2，
∴AF的最小值为＝+1．
解法二：过点A作AJ⊥BC于J，过点F作FG⊥BC交BC的延长线于G，过点E作EM⊥BC于M，EN⊥FG于N，过点A作AH⊥FG于H．
证明△EMD≌△ENF，推出EN＝EM＝，推出点F的运动轨迹是直线FG，
当AF⊥FG时，AF的值最小，最小值＝AH＝JG＝1+．
故选：D．
5．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点H为BC中点，点E绕着点C旋转，且CE＝4，在DC的右侧作正方形DEFG，则线段FH的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：延长BC至M，使CM＝BC＝6，连接DM、FM、DF，如图：
∵四边形ABCD是正方形，CM＝BC，
∴CD＝CM，∠DCM＝90°，
∴△DCM是等腰直角三角形，
∴∠CDM＝45°，DM＝CD，
∵四边形DEFG是正方形，
∴DF＝DE，∠EDF＝45°，
∴∠CDE＝∠FDM，＝＝，
∴△DEC∽△DFM，
∴＝＝，
∵CE＝4，
∴FM＝4，
∴F的轨迹是以M为圆心，以4为半径的⊙M，
∴线段FH最小时，F为⊙M与线段BC的交点，如图：
此时HM＝HC+CM＝3+6＝9，FM＝4，
∴FH＝9﹣4，
故选：A．
6．如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是AB边的中点，点E是BC边上的一个动点，以DE为边作等边三角形DEF，连接AF，则AF的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．
【解答】解：以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，过A作AH⊥BC于H，过F作FM⊥BC于M，过E作EN⊥AB于N，如图：
∵等边三角形ABC的边长为4，点D是AB边的中点，
∴∠NBE＝60°，BD＝AB＝2，BH＝2，AH＝2，
∴A（2，2），H（2，0），
设BE＝m，则BN＝m，NE＝m，DN＝2﹣m，
∵△ABC、△DEF是等边三角形，
∴DE＝EF，∠DEF＝60°＝∠DBE，
∴∠FEM+∠DEB＝120°＝∠DEB+∠BDE，
∴∠FEM＝∠BDE，
又∠END＝∠FME＝90°，
∴△DEN≌△EFM（AAS），
∴DN＝EM＝2﹣m，NE＝FM＝m，
∴BM＝BE+EM＝m+2﹣m＝2+m，
∴F（2+m，m），
令x＝2+m，y＝m，消去m可得y＝x﹣2，
即F点在直线y＝x﹣2上运动，
而直线y＝x﹣2与x轴交点为（2，0），即直线y＝x﹣2与x轴交点为H，
∴HM＝BM﹣BH＝m，
∴tan∠FHM＝＝＝，
∴∠FHM＝60°，
∴∠AHF＝30°，
过A作AK⊥直线HF与K，则AF的最小值即为AK，
在Rt△AHK中，AK＝AH＝×2＝，
∴AF的最小值为，
故选：B．
模块三：二次函数中的多结论问题
常规的二次函数的多结论问题，大部分结论的特征比较明显，比较容易判断。当判断某个系数取值范围时，考查的是对称轴和特殊点，以下举例说明这种情况如何求解。
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，m），与y轴的交点在（0，﹣4），（0，﹣3）之间（包含端点），则结论1≤a≤是否正确？
以下两道例题是含有参数的二次函数多结论问题。
例5．如图，函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），请思考下列判断：①abc＜0；②4a+c＜2b；③；④am2+（2a+b）m+a+b+c＜0；⑤|am+a|＝其中，正确结论的个数是（　　）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，
∵抛物线交y轴于正半轴，∴c＞0，
∵﹣＞0，∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确，
∵x＝﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，即4a+c＜2b，故②正确，
∵y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），∴﹣1×m＝，am2+bm+c＝0，
∴++＝0，∴＝1﹣，故③正确，
∵﹣1+m＝﹣，∴﹣a+am＝﹣b，∴am＝a﹣b，
∵am2+（2a+b）m+a+b+c＝am2+bm+c+2am+a+b＝2a﹣2b+a+b＝3a﹣b＜0，故④正确，
∵m+1＝|﹣|，∴m+1＝||，
∴|am+a|＝，故⑤正确，
故选：B．
例6．已知二次函数y＝（m+1）x2﹣2mx+m﹣2的图象与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0），下列说法中：①m≠﹣1；②该函数图象过定点（1，﹣1）；③若该函数图象开口向下，则m的取值范围为﹣2＜m＜﹣1；④当m＞0，且﹣2≤x≤﹣1时，y的最大值为：9m+3；⑤当m＞﹣1，且该函数图象与x轴两交点的横坐标x1，x2满足﹣2＜x1＜﹣1，1＜x2＜2时，m的取值范围为：﹣＜m＜．正确的是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【解答】解：①函数为二次函数，故m+1≠0，故m≠﹣1，正确；
②当x＝1时，y＝（m+1）x2﹣2mx+m﹣2＝﹣1，正确；
③该函数图象开口向下，且与x轴有两个交点，故m+1＜0，△＝（﹣2m）2﹣4（m+1）（m﹣2）＞0，解得：﹣2＜m＜﹣1，故③正确；
④函数的对称轴为﹣＝，当m＞0时，﹣＞0，故函数在x＝﹣2时，取得最大值，当x＝﹣2时，y＝（m+1）x2﹣2mx+m﹣2＝9m+2，故④错误；
⑤由﹣2＜x1＜﹣1知，当x＝﹣2和x＝﹣1函数值异号，当x＝﹣2时，y＝9m+2，当x＝﹣1时，y＝4m﹣1，故（9m+2）（4m﹣1）＜0，故m的取值范围为：﹣＜m＜，正确．
故选：B．解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/5/17 12:21:32；用户：林翠凤；邮箱：luohu83@；学号：31689425
练习3
1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，且过点（，0），有下列结论：①abc＞0； ②a﹣2b+4c＞0；③25a﹣10b+4c＝0；④3b+2c＞0；其中所有正确的结论是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①观察图象可知：a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0，所以①正确；
②当x＝时，y＝0，即a+b+c＝0，∴a+2b+4c＝0，∴a+4c＝﹣2b，
∴a﹣2b+4c＝﹣4b＞0，所以②正确；
③因为对称轴x＝﹣1，抛物线与x轴的交点（，0），所以与x轴的另一个交点为（﹣，0），
当x＝﹣时，a﹣b+c＝0，∴25a﹣10b+4c＝0．所以③正确；
④当x＝时，a+2b+4c＝0，又对称轴：﹣＝﹣1，∴b＝2a，a＝b，b+2b+4c＝0，
∴b＝﹣c．∴3b+2c＝﹣c+2c＝﹣c＜0，∴3b+2c＜0．所以④错误．
或者∵当x＝1时，a+b+c＜0，∴c＜﹣a﹣b，
又∵b＝2a，∴a＝b，∴c＜﹣b，∴2c＜﹣3b，∴2c+3b＜0，∴结论④错误
故选：C．
2．如图所示是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+c＞0；③b2＝4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c＝n+1没有实数根．其中正确的结论个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵抛物线顶点坐标为（1，n），∴抛物线对称轴为直线x＝1，
∵图象与x轴的一个交点在（3，0），（4，0）之间，
∴图象与x轴另一交点在（﹣1，0），（﹣2，0）之间，
∴x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，故①正确，符合题意．
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴y＝ax2﹣2ax+c，
∴x＝﹣1时，y＝3a+c＞0，故②正确，符合题意．
∵抛物线顶点坐标为（1，n），∴ax2+bx+c＝n有两个相等实数根，
∴Δ＝b2﹣4a（c﹣n）＝0，∴b2＝4a（c﹣n），故③正确，符合题意．
∵y＝ax2+bx+c的最大函数值为y＝n，∴ax2+bx+c＝n+1没有实数根，故④正确，符合题意．
故选：D．
3．二次函数y＝ax2+bx+c大致图象如图所示，其中顶点为（﹣2，﹣9a）下列结论：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③5a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两根为x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8，其中正确的结论是（　　）
A．①②③④ B．①②③⑤ C．②③④⑤ D．①②④⑤
【解答】解：∵顶点为（﹣2，﹣9a），设二次函数表达式为：y＝a（x+2）2﹣9a＝ax2+4ax﹣5a＝a（x+5）（x﹣1），
①抛物线对称轴在y轴左侧，则ab同号，而c＜0，则abc＜0，故①正确；
②函数在y轴右侧与x轴的交点（1，0），当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故②正确；
③5a﹣b+c＝5a﹣4a﹣5a≠0，故③错误；
④y＝a（x+5）（x﹣1）+1，相当于由原抛物线y＝ax2+bx+c向上平移了1个单位，故有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1，④正确；
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1，即：若方程ax2+bx+c＝±1，当ax2+bx+c﹣1＝0时，
根据一元二次方程根与系数的关系得：其两个根的和为＝﹣4，
同理当ax2+bx+c+1＝0时，其两个根的和也为＝﹣4，则这四个根的和为﹣8，故⑤正确．
故选：D．
4．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a＜0）经过点（﹣2，0），其对称轴为直线x＝1，有下列结论：①c＞0；②9a+3b+c＞0；③若方程ax2+bx+c+1＝0有解x1、x2，满足x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4；④抛物线与直线y＝x交于P、Q两点，若PQ＝，则a＝﹣1；
其中，正确结论的个数是（　　）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：∵a＜0，∴抛物线y＝ax2+bx+c的开口方向向下．
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），其对称轴为直线x＝1，
∴由抛物线的对称性可得抛物线经过点（4，0）．
综上抛物线y＝ax2+bx+c的大致图象如下：
由图象可知：抛物线与y轴交于正半轴（0，c），∴c＞0．∴①的结论正确；
由图象可知：当﹣2＜x＜4时，函数值y＞0，∴当x＝3时，y＝9a+3b+c＞0．∴②的结论正确．
作直线y＝﹣1，交抛物线于两点，它们的横坐标分别为x1，x2，如图，
则x1，x2是方程ax2+bx+c＝﹣1的两根，即方程ax2+bx+c+1＝0的解为x1、x2，
由图象可知：满足x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4，∴③的结论正确；
如图，分别过点P，Q作坐标轴的平行线，它们交于点H，
则△PHQ为等腰直角三角形，
∴PH＝HQ，PQ＝HQ．∴．∴ax2+（b﹣1）x+c＝0．
设点P，Q的横坐标分别为m，n，∴m，n是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的两根，
∴m+n＝，mn＝．
∴HQ＝|m﹣n|＝＝．
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），其对称轴为直线x＝1，
∴．∴．∴HQ＝．∵PQ＝，
∴ ＝．解得：a＝﹣1或．∴④的结论不正确；
综上所述，正确结论有：①②③，
故选：B．
5．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴负半轴交于（﹣，0），对称轴为直线x＝1．有以下结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③若点（﹣3，y1），（3，y2），（0，y3）均在函数图象上，则y1＞y3＞y2；④若方程a（2x+1）（2x﹣5）＝1的两根为x1，x2且x1＜x2，则x1＜﹣＜＜x2；⑤点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的范围为a≥﹣4．其中结论正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：∵对称轴为直线x＝1，函数图象与x轴负半轴交于（﹣，0），
∴x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，由图象可知a＞0，c＜0，∴b＝﹣2a＜0，∴abc＞0，故①正确；
由图可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，∴a+2a+c＞0，即3a+c＞0，故②正确；
抛物线开口向上，离对称轴水平距离越大，y值越大；
又|﹣3﹣1|＝4，|3﹣1|＝2，|0﹣1|＝1，∴y1＞y2＞y3；故③错误；
由抛物线对称性可知，抛物线与x轴另一个交点为（，0），
∴抛物线解析式为：y＝a（x+）（x﹣），
令a（x+）（x﹣）＝，则a（2x+1）（2x﹣5）＝1，如图，作y＝，
由图形可知，x1＜﹣＜＜x2；故④正确；
由题意可知：M，N到对称轴的距离为，
当抛物线的顶点到x轴的距离不小于时，
在x轴下方的抛物线上存在点P，使得PM⊥PN，即≤﹣，
∵y＝a（x+）（x﹣）＝ax2﹣2ax﹣a，∴c＝﹣a，b＝﹣2a，
∴≤﹣，解得：a≥，故⑤错误；
故选：B．
6．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线x＝，以下五个结论中：①abc＜0：②a﹣＝0；③b2﹣4ac＞0；④a+c﹣b＞0；⑤b＜c；正确的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：由抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴在y轴的右侧，因此a、b异号，a＜0，则b＞0，抛物线与y轴交在正半轴，因此c＞0，于是abc＜0，因此①是正确的；
由对称轴为x＝，即﹣＝，化简得，4a＝﹣3b，或4a+3b＝0，即a+b＝0，故②不正确；
抛物线与x轴有两个不同的交点，因此b2﹣4ac＞0；故③是正确的；
抛物线过（﹣1，a﹣b+c），通过图象可知，当x＝﹣1时，相应的y的值为负数，即a﹣b+c＜0，故④不正确；
由图象可知当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，而4a＝﹣3b，∴﹣3b+2b+c＞0，即c＞b，故⑤是正确的；
综上所述，正确的结论有①③⑤，共3个，
故选：B．

展开更多......

收起↑