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中考选择题难点突破2：《几何图形轨迹（最值）问题》
---------邓雪玲
知识梳理
几何图形轨迹最值问题是中考的热点问题,题型丰富,变化灵活,综合性强,考查的知识点众多,涉及数形结合、转化等多种数学思想,考查了学生的添加辅助线,依题画图,建构知识体系等能力,一般都是各题型的压轴题,发展了学生的几何直观和推理能力的核心素养。
初中数学的几何动点最值问题其实都来自两个基本图形：
定点到定点：两点之间，线段最短
定点到定线：点线之间，垂线段最短
在此基础上又产生了以下基础图形和结论：
三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
平行线之间，垂线段最短
点圆最值：点圆之间，点心线截距最短（长）
线圆最值：心垂线截距最短
解决几何最值问题的主要方法是转化，通过变化过程中不变特征的分析，利用几何变换（比如等值变换：平移、旋转、轴对称；比例变换：三角函数、相似图形性质）等手段把所求量进行转化，构造出符合几何最值问题理论依据的基本结构进而解决问题。
教学过程：
模块一：动点轨迹在直线上
【设计意图】通过尝试解决例1、例2，使学生体会：当动点轨迹明确是直线（或线段，射线）时，动中求静，找到变化过程中的不变量是解决问题的关键，可以利用对称，平移，三角函数等知识，化同为异，化折为直的思维方法解决，可以回顾将军饮马，建桥选址，胡不归等常见模型。
【例题精讲】
例1：如图，已知在中，，，，为边上的动点，为边上的动点。则线段的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【解答】B
如图，作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，
.
.
当三点共线且与垂直时，线段的值最小，即作于.在Rt中，.
例2：如图，四边形是菱形，AB=4，且，为对角线（不含点）上任意一点，则的最小值为___________。
变式思考：（1）本题若求“的最小值，你会求吗？
（2）本题若求“的最小值，你会求吗？
(3) 若四边形是菱形，，对角线的长为，点为上一点，则的最小值__________.
【解答】
如何将转化为其他线段呢？
本题值为，可转化为某一角的正弦值，即转化为角的正弦值.
思考到这里，不难发现，只要作垂直于点，则，即最小转化为最小，本题得解.
如图，作，垂足为交于点，
四边形是菱形且，
.
，
即的最小值为的长.
在Rt中，.
的最小值为.
【变式思考答案】（1）（2） （3）4
模块一：跟进练习解答
1、如图，在Rt中，，点是上的任意一点，作于点于点，连接，则的最小值为______。
【解答】2.4
中，，
连接CP
于点与点E
四边形是矩形
当DE最小时，则CP最小，根据垂线段最短可知时，最小
2、如图，中，为边上的一动点，则的最小值等于________.
【解答】
如图，过点作交延长线于点，
在Rt中，易得，当三点共线时，的值最小，此时，即的最小值为，
3、如图，中，，，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是（）
A. B. C. D.10
【解答】B
如图，作于点于点.
.
，
∴在中，.
（负值舍去）.
.
.
.
.故选B.
4、如图①,在矩形中,,为的中点，为上一动点，为的中点.
(1)画出当从点运动到点时,点的运动轨迹;
(2)如图②,连接求的最小值.
【解答】
取的中点，连接并延长，交于点，连接点分别是的中点，为的中位线，在点运动的过程中，点始终在的中位线上运动.当时，取得最小值.
在矩形中，为的中点，
均为等腰直角三角形，，即的最小值即为的长，在Rt中，的最小值是
5、如图，在中，，，,交于点.点为线段上的动点，则的最小值为________.
【解答】.
过点作于点，过点作于点，首先得出，根据，得，则的最小值为的最小值，即求的长，再通过等积法即可解决问题.
过点作于点，过点作于点，
,
，
，，，
由勾股定理得,
，
，
.
即点三点共线时，最小，的最小值为的长，
，
，
的最小值为.
故答案为：.
6、如图所示，在边长为1的菱形中，，沿射线的方向平移得到，分别连接，则的最小值为_________
【解答】
作直线AA'，并作点C关于直线的对称点E，连接EA，.
四边形为菱形，，由平移得，
当三点共线时，的值最小.
，
，，
即的最小值为.
方法总结求不在同一条直线上的两条线段长的和的最小值，一般是通过轴对称转化为求一条直线上的两条线段的长度和.
模块二：动点轨迹是圆（弧）
【设计意图】通过解决例3、例4，经历自主调用数学方法，运用数学思维分析探究的过程，相似转化法求最值。“PA+kPB”型的最值问题，当明确动点在圆上运动（阿氏圆问题），通过构造相似三角形，转化成两线段和的最小值。
【例题精讲】
例3：如图，在中，，以点为圆心，6为半径的圆上有一个动点，连接，则的最小值为（）
A.3 B.4 C.5 D.6
【解答】B
在线段上截取，使得4，连接，
易得，
，即.
，
在Rt中，由勾股定理得的最小值为.
例4：如图，点在圆上，是的中点，点在上，且动点在圆上，则的最小值_________。
变式思考：（1）本题若求“”的最小值，你会求吗？
（2）本题若求“”的最小值，你会求吗？
【解答】
如何将转化为其他线段呢？不难发现本题出现了中点，即2倍关系，套用“阿氏圆”模型：构造共边共角相似.
连接，在射线上截取，连接交于点，此时的值最小.易知.
即三点共线时，最小.
在Rt中，.
即的最小值为.
【答案】（1）
模块二 跟踪练习解答
1、如图所示，，半径为2的圆内切于，为圆上一动点，过点作分别垂直于的两边，垂足为则的最大值__________
【解答】
作于，作于，如图所示：
当与 切时，取得最大和最小，
①连接，如图1所示：
可得：四边形为正方形，
在中，，
在Rt中，，
2、已知半圆直径为8，点是圆弧上的一动点，连接，求的最大值。
【解答】
3、点的坐标分别为（2，0），（0，2）点为坐标平面内的一点，，点为线段上的中点，连接，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【解答】B
点为坐标平面内一点，点在以点为圆心、1为半径的圆上.如图，在轴上取，连接，
当三点共线时，最大，的最大值为.因此本题选B.
4、如图，正方形的边长为4，的半径为2，为上的动点，则的最大值是_______
【解答】5
如图，在上截取，连接
正方形的边长为的半径为2，
.
当三点共线时，值最小，即的值最小.
的最小值为.故答案为5.
5、正方形边长为4，为内切圆周上动点，求的最小值_________.
【解答】 如解图，连接，
设的半径为，则，取的中点，连接是公共角，当在一条直线上时，最小，最小值为的长，过点作于点最小值为的最小值是.
6、菱形边长为2，，圆的半径为，与圆相切于点，点在圆上运动，求的最小值_______。
【解答】
模块三：隐形轨迹问题
【设计意图】如果题目中并未直接给出动点轨迹，这时需要我们去分析和寻找动点的运动轨迹，这是学生最难掌握的难点，确定轨迹后，再根据轨迹确定属于哪种最值问题，再进行分析和计算。例5是通过旋转构造手拉手全等，找到动点运动轨迹是线段，从而转化成点到直线最值问题；例6的核心思路是：由结论入手：求的最小值，是定点，是动点，的轨迹如何？由可得，定弦定角，即点在圆上运动。
练习涉及主从联动问题---其实质是构造旋转型全等或相似，找到对应点的运动轨迹。隐圆问题---利用定点定长，定边对定角，定角动弦，四点共圆，找到动点的运动轨迹是圆，从而寻找圆心与半径，转化成点圆，线圆最值问题。
【例题精讲】
例5：如图，边长为4的等边三角形中，是对称轴上的一个动点，连接，将线段逆时针旋转60°得到，连接，则在点运动过程中，的最小值是__________
你能画出点F的运动轨迹吗？
【解答】1
找到点的轨迹是本题的首要任务，直线型轨迹的常用寻找方法都是寻找定点定角，即找到过某一定点的定角，点的轨迹即可确定.如图
本题中易得，则不难发现点的轨迹为直线.再根据垂线段最短，可得的最小值为1.
例6如图，在边长为6的等边三角形中，分别是边上的动点，且,连接交于点，连接，则的最小值为___________.
你能画出点F的运动轨迹吗？
【解答】
易证.
如图3-3-13，过点，点，点作，连接
点在上运动.
当点在上时，有最小值，的最小值.
模块三 跟踪练习解答
1、如图，在Rt中，，点是内部一点，且，连接，则的最小值为_______.
【解答】 轨迹描述：点在以为直径的圆弧上运动
（利用同角的余角相等得到定角，再根据模型解题就清晰明了了）点在以的中点为圆心，长为直径的弧上运动（直径所对的圆周角为，连接当三点共线时，取得最小值，最小值为的值..
2、如图①，在正方形中，，点为平面内一点，，连接，将线段绕点顺时针旋转90°，得到线段.
（1）画出求的运动轨迹。
（2）如图②，连接，求的最大值
【解答】
（1）如解图①，虚线即为点的运动轨迹；
（2）如解图②，连接.
将线段绕点顺时针旋转，得到线段，
点在以点为圆心，3为半径的上运动，当三点共线时，有最大值，
的最大值为.
3、如图，在中，，点在边上由点向点运动（不与点重合），过点作，交射线于点若，则运动过程中线段长度的最小值为_________.
【解答】4
取的中点，连接，如图.
在中，是斜边上的中线，.当最小时，最小，此时.（可考虑以为直径的圆与直线的交点情况，当圆与直线相切时，圆的半径最短.）
4、是边长为5的等边三角形，是边长为3的等边三角形，直线与直线交于点，如图，若点在内，，则_______；现将绕点旋转1周，在这个旋转过程中，线段长运动度的最小值是________.
【解答】80°；
都是等边三角形，.
如图，设交于点.
同法可证..点在的外接圆上运动，当最小时，的值最小，此时，
5、如图，在Rt中，点是以为圆心，4为半径的圆上一点，连接，为的中点，则线段的长度的最大值为______.
【解答】7
如图，取的中点，连接.
在Rt中，.因为是的中点，所以.因为是的中点，是的中点，所以.在中，，即.当三点共线时，或.所以线段长度的最大值为7.
6、如图，已知点，点，为轴正半轴上一动点，以为直角顶点构造直角三角形，交轴于点为边的中点，则的最小值为_______.
【解答】
本题的实质为有一直角绕点旋转与坐标轴交于两点，求的中点所形成的轨迹是什么的问题.由点坐标可构造一系列直角三角形，
发现所有三角形中（四点共圆），故所有满足题意的三角形相似，故确定的运动轨迹为一条直线的一部分.当在原点时，，此时点；当在原点时，，此时点在射线上.设直线的解析式为，
的解析式为.
当时，最小，此时.
故答案为.

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