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人教版九年级数学下名师点拨与训练
第28章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
学习目标：
1. 理解并掌握锐角正弦、余弦、正切的定义，进而得到锐角三角函数的概念。
2. 能灵活运用锐角三角函数进行相关运算。
3.经历探索直角三角形中的边与角的关系，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力. 通过学生自我发现培养学生的自我反思能力，通过提出困惑提升学生发现问题的能力.
老师告诉你
锐角三角函数是数学中用于直角三角形中锐角与边长之间关系的函数；初中包括正弦、余弦、正切；
正弦：在直角三角形中，锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦。
余弦：在直角三角形中，锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦。
正切：在直角三角形中，锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切。
一、知识点拨
知识点1 、 锐角∠A的正弦
如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°。
我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 sin A 即
sin A==，
【新知导学】
例1-1．在直角三角形中，如果各边都扩大1倍，则其锐角的三角函数值( )
A.都扩大1倍 B.都没有变化
C.都缩小为原来的一半 D.不能确定
【对应导练】
1．如图,梯子(长度不变)与地面所成的锐角为,关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系,下列说法中,正确的是( )
A.的值越大,梯子越陡 B.的值越大,梯子越陡
C.的值越小,梯子越陡 D.陡缓程度与的函数值无关
2．在中，，若，，则是( )
A. B. C. D.
知识点2 、 锐角∠A的余弦
如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°。
我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，
cos A==，
【新知导学】
例2-1．如图,已知在中,,则( )
A. B. C. D.
例2-2．如图，在中，，于点D，则下列结论不正确的是( )
A. B. C. D.
【对应导练】
1．如图,在中,,若,则是( )
A. B. C. D.
2．在中，，，，则的值是( )
A. B. C. D.
3．在中，，，，则的余弦值为________.
知识点3 、 锐角∠A的正切
如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°。
我们把锐角A的对边与邻边的比叫做 ∠A 的正切，记作 tanA， 即
tan A==．
sin A、cos A、tan A分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切，统称为锐角∠A的三角函数．
【新知导学】
例3-1．如图,在平面直角坐标系中,点A在x轴的正半轴上,点B坐标为,则的值为___.
例3-2．在高位100米的楼顶得得地面上某十字路口的俯角为，那么楼底到这个十字路口的水平距离是_______________米（用含的代数式表示）.
【对应导练】
1．在中，，已知，，则的值为( )
A. B. C. D.
2．如图，是圆锥的母线，为底面直径，已知，圆锥的侧面积为，则的值为( )
A. B. C. D.
3．已知在中，，，，则等于( )
A.6 B.16 C.12 D.4
知识点4、锐角∠A的正弦、余弦、正切的定义应用
1.在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，知道三条边的任意两条边，可以求出锐角∠A（或者∠B）的正弦、余弦、正切的值。
2.已知锐角的正弦值求直角三角形的边长以及三角形周长、面积等。
注意：当用三角函数定义求角的三角函数值时，首先要判断这个三角形是否为直角三角形，若是，还应明确哪个角是直角，切忌硬套定义式．对于复杂问题，需要构造直角三角形，将所考察的角置身在这个直角三角形中．
(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．
　　(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．
　　(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．
　　(4)由锐角三角函数的定义知：
当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0．
【新知导学】
例4-1．在中，，，，求，和的值.
例4-2．分别求出图中，的正弦值、余弦值和正切值.
【对应导练】
1．如图,点A为边上的任意一点,作于点C,于点D,下列用线段比表示的值,错误的是( )
A. B. C. D.
2．如图,点,,,在上,是的一条弦,则( ).
A. B. C. D.
3．如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值为_____.
二、题型训练
1.已知三角形边长求锐角三角函数值
1．如图所示，的顶点是正方形网格的格点，则的值为( )
A． B． C． D．
2．如图，在平行四边形ABCD中，，BE平分交CD于O，交AD延长线于E，连接CE.
（1）求证：四边形BCED是菱形；
（2）若，，求的面积.
3．6个全等的小正方形如图放置在中，则的值是________.
2.已知锐角函数值求三角形边长
4．2024年5月29日16时12分,“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射.当火箭上升到点A时,位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米,仰角为,则此时火箭距海平面的高度为(　　)
A.千米 B.千米 C.千米 D.千米
5．在中,,,,则BC的长为( )
A.6 B.7.5 C.8 D.12.5
6．如图,为测量一棵与地面垂直的树OA的高度,在距离树的底端30米的B处,测得树顶A的仰角为,则树OA的高度为( )
A.米 B.米 C.米 D.米
3.锐角三角函数应用
7．如图是一把遮阳伞的示意图,遮阳伞立柱垂直于,垂足为点D,米.当遮阳伞撑开至如图所示的位置时,,则此时伞内半径的长度为( )
A.米 B.米 C.米 D.米
8．如图，为了绿化荒山，在坡角的山坡上修建扬水站（），扬水站中出水口B的高度为.现在打算从山脚下的机井房A沿山坡铺设水管，则铺设水管的长度为______m.(用含的三角函数表示)
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．已知在中，，，，则AC等于( )
A.6 B.16 C.12 D.4
2．在中,,,,则BC的长为( )
A.6 B.7.5 C.8 D.12.5
3．如图是一把遮阳伞的示意图,遮阳伞立柱垂直于,垂足为点D,米.当遮阳伞撑开至如图所示的位置时,,则此时伞内半径的长度为( )
A.米 B.米 C.米 D.米
4．在中，，，垂足为D，则下列式子中正确的是( )
A. B. C. D.
5．如图，在中，，，，，则下列选项正确的是( )
A. B. C. D.
7．如图，的顶点都在方格纸的格点上，则的值为( )
A. B. C.3 D.
8．已知直线，且相邻的两条平行直线间的距离均等，将一个含的直角三角板按图示放置，使其三个顶点分别在三条平行线上，则的值是( )
A. B. C. D.
二、填空题（每小题4分，共20分））
9．在中，，，，则的值为________.
10．在中，，，，则的余弦值为________.
11．正方形网格中,如图放置,则______.
12．如图1是一种手机平板支架，图2是其侧面结构示意图.托板AB固定在支撑板顶端的点C处，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动.如图2，若量得支撑板长，，则点C到底座DE的距离为______cm（结果保留根号）.
13．矩形ABCD中AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，tan∠AFE等于_______
A． B． C． D．
三、解答题（每小题8分，共48分）
14．在中，，，，求，和的值.
15.如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC，BC＝CD，BD、AC交于点E．
求证：ABCD；
已知BC＝6，AB＝10，求的值．
16．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处.已知折痕，且.
（1）与有什么关系？
（2）求矩形ABCD的周长.
17．如图，在菱形中，对角线、交于点O，交延长线于点E，交延长线于点F.
（1）求证：四边形为矩形.
（2）若，，则的值为______.
18．如图，在中，，，的平分线BD交AC于点D，，求AB的长.
19．如图，在中，，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使.
（1）若，求的周长；
（2）若，求的值.
人教版九年级数学下名师点拨与训练
第28章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
学习目标：
1. 理解并掌握锐角正弦、余弦、正切的定义，进而得到锐角三角函数的概念。
2. 能灵活运用锐角三角函数进行相关运算。
3.经历探索直角三角形中的边与角的关系，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力. 通过学生自我发现培养学生的自我反思能力，通过提出困惑提升学生发现问题的能力.
老师告诉你
锐角三角函数是数学中用于直角三角形中锐角与边长之间关系的函数；初中包括正弦、余弦、正切；
正弦：在直角三角形中，锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦。
余弦：在直角三角形中，锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦。
正切：在直角三角形中，锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切。
一、知识点拨
知识点1 、 锐角∠A的正弦
如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°。
我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 sin A 即
sin A==，
【新知导学】
例1-1．在直角三角形中，如果各边都扩大1倍，则其锐角的三角函数值( )
A.都扩大1倍 B.都没有变化
C.都缩小为原来的一半 D.不能确定
答案：B
解析：根据锐角三角函数的概念，知：
如果各边都扩大1倍，即各边都变为原来的2倍，边长比不变，则其锐角的三角函数值不变.
故选：B.
【对应导练】
1．如图,梯子(长度不变)与地面所成的锐角为,关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系,下列说法中,正确的是( )
A.的值越大,梯子越陡 B.的值越大,梯子越陡
C.的值越小,梯子越陡 D.陡缓程度与的函数值无关
答案：A
解析：A、的值越大,则越大,则梯子越陡,原说法正确,符合题意；
B、的值越大越小,梯子越平缓,原说法错误,不符合题意；
C、的值越小越小,梯子越平缓,原说法错误,不符合题意；
D、陡缓程度与的函数值有关,原说法错误,不符合题意；
故选：A.
2．在中，，若，，则是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：的对边为AC，斜边为，.
知识点2 、 锐角∠A的余弦
如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°。
我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，
cos A==，
【新知导学】
例2-1．如图,已知在中,,则( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：在中,.
故选：C.
例2-2．如图，在中，，于点D，则下列结论不正确的是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：，
，
在中，，故A正确，不符合题意；
，
在中，，故B正确，不符合题意；
，，
，
在中，，故D正确，不符合题意，C错误，符合题意；
故选：C.
【对应导练】
1．如图,在中,,若,则是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：由,
∴是,
故选：C.
2．在中，，，，则的值是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：根据题意画出图如图所示：
，，，
.
故选：D.
3．在中，，，，则的余弦值为________.
答案：/
解析：如图所示，
在中，，，
，
则.
故答案为：.
知识点3 、 锐角∠A的正切
如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°。
我们把锐角A的对边与邻边的比叫做 ∠A 的正切，记作 tanA， 即
tan A==．
sin A、cos A、tan A分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切，统称为锐角∠A的三角函数．
【新知导学】
例3-1．如图,在平面直角坐标系中,点A在x轴的正半轴上,点B坐标为,则的值为___.
答案：
解析：做轴于点C,
∵点B坐标为,
∴,,
∴.
故答案为：.
例3-2．在高位100米的楼顶得得地面上某十字路口的俯角为，那么楼底到这个十字路口的水平距离是_______________米（用含的代数式表示）.
答案：.
解析：如图所示，
，，
.
故答案为：.
【对应导练】
1．在中，，已知，，则的值为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：，，，
，
故选：C.
2．如图，是圆锥的母线，为底面直径，已知，圆锥的侧面积为，则的值为( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：根据题意可知：，
解得，
，
，
.
故选：A.
3．已知在中，，，，则等于( )
A.6 B.16 C.12 D.4
答案：B
解析：如图：
，，
，
故选：B.
知识点4、锐角∠A的正弦、余弦、正切的定义应用
1.在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，知道三条边的任意两条边，可以求出锐角∠A（或者∠B）的正弦、余弦、正切的值。
2.已知锐角的正弦值求直角三角形的边长以及三角形周长、面积等。
注意：当用三角函数定义求角的三角函数值时，首先要判断这个三角形是否为直角三角形，若是，还应明确哪个角是直角，切忌硬套定义式．对于复杂问题，需要构造直角三角形，将所考察的角置身在这个直角三角形中．
(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．
　　(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．
　　(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．
　　(4)由锐角三角函数的定义知：
当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0．
【新知导学】
例4-1．在中，，，，求，和的值.
答案：，，
解析：在中，.
，
，
.
例4-2．分别求出图中，的正弦值、余弦值和正切值.
答案：（1），，；，，
（2），，；，，
（3），，；，，
解析：（1），，，
，
，，
，，
，.
（2），，，
，
，，
，，
，.
（3），，，
，
，，
，，
，.
【对应导练】
1．如图,点A为边上的任意一点,作于点C,于点D,下列用线段比表示的值,错误的是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：∵,,
∴,
∴,
∴,
只有选项C错误,符合题意.
故选C.
2．如图,点,,,在上,是的一条弦,则( ).
A. B. C. D.
答案：D
解析：连接CD,
∵,,
∴,,
∵,
∴,
∵,
∴,
故选：D.
3．如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值为_____.
答案：
解析：延长到D，连接，如图：
，，，
，
，
.
故答案为：.
二、题型训练
1.已知三角形边长求锐角三角函数值
1．如图所示，的顶点是正方形网格的格点，则的值为( )
A． B． C． D．
答案：D
解析：在B点正上方找一点D,使,连接CD交AB于点O,由网格可得: ,则,
故.
故选D
2．如图，在平行四边形ABCD中，，BE平分交CD于O，交AD延长线于E，连接CE.
（1）求证：四边形BCED是菱形；
（2）若，，求的面积.
答案：（1）见解析；（2）16
解析：（1）因为BE平分，
所以，
因为四边形ABCD为平行四边形，
所以，
所以，
所以，
所以BC平行且等于DE并且，
所以四边形BCED是菱形.
（2）因为BCED是菱形，
所以，，
而，
所以OD是的中位线，
所以，.
因为，
所以，
所以.
3．6个全等的小正方形如图放置在中，则的值是________.
答案：
解析：如图，
有6个大小相同的小正方形，恰好如图放置在中，设小正方形的边长为a，
，，，
，
，
.
故答案为：.
2.已知锐角函数值求三角形边长
4．2024年5月29日16时12分,“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射.当火箭上升到点A时,位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米,仰角为,则此时火箭距海平面的高度为(　　)
A.千米 B.千米 C.千米 D.千米
答案：A
解析：由题意得：
∴千米
故选：A.
5．在中,,,,则BC的长为( )
A.6 B.7.5 C.8 D.12.5
答案：A
解析：如图
,,,
,
解得：,
故选：A.
6．如图,为测量一棵与地面垂直的树OA的高度,在距离树的底端30米的B处,测得树顶A的仰角为,则树OA的高度为( )
A.米 B.米 C.米 D.米
答案：C
解析：在中,
∵米,为,
∴(米).
故选C.
3.锐角三角函数应用
7．如图是一把遮阳伞的示意图,遮阳伞立柱垂直于,垂足为点D,米.当遮阳伞撑开至如图所示的位置时,,则此时伞内半径的长度为( )
A.米 B.米 C.米 D.米
答案：B
解析：∵,
∴米
故选：B.
8．如图，为了绿化荒山，在坡角的山坡上修建扬水站（），扬水站中出水口B的高度为.现在打算从山脚下的机井房A沿山坡铺设水管，则铺设水管的长度为______m.(用含的三角函数表示)
答案：
解析：在中，，，
，
（m），
则铺设水管的长度为 m；
故答案为：.
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．已知在中，，，，则AC等于( )
A.6 B.16 C.12 D.4
答案：B
解析：如图：
，，
，
故选：B.
2．在中,,,,则BC的长为( )
A.6 B.7.5 C.8 D.12.5
答案：A
解析：如图
,,,
,
解得：,
故选：A.
3．如图是一把遮阳伞的示意图,遮阳伞立柱垂直于,垂足为点D,米.当遮阳伞撑开至如图所示的位置时,,则此时伞内半径的长度为( )
A.米 B.米 C.米 D.米
答案：B
解析：∵,
∴米
故选：B.
4．在中，，，垂足为D，则下列式子中正确的是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：由题意可得，
∵在中，，，
∴，故A正确，符合题意，
，故B错误，不符合题意，
，故C错误，不符合题意，
，故D错误，不符合题意，
故选A.
5．如图，在中，，，，，则下列选项正确的是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：在中，，，，，
，，，
故选D.
6．在中，，，，则的值为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：在中，，，，
由勾股定理得：，
故选C.
7．如图，的顶点都在方格纸的格点上，则的值为( )
A. B. C.3 D.
答案：A
解析：由图可知：，
；
故选A.
8．已知直线，且相邻的两条平行直线间的距离均等，将一个含的直角三角板按图示放置，使其三个顶点分别在三条平行线上，则的值是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：如图：过点A作于D，过点B作于E，
设、、间的距离为，
，，
，
，，
，
在等腰直角中，，
在和中，
，
，
，
在中，，
.
故选：C.
二、填空题（每小题4分，共20分））
9．在中，，，，则的值为________.
答案：
解析：在中，，
.
故答案为：.
10．在中，，，，则的余弦值为________.
答案：/
解析：如图所示，
在中，，，
，
则.
故答案为：.
11．正方形网格中,如图放置,则______.
答案：2
解析：如图,
,
故答案为2.
12．如图1是一种手机平板支架，图2是其侧面结构示意图.托板AB固定在支撑板顶端的点C处，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动.如图2，若量得支撑板长，，则点C到底座DE的距离为______cm（结果保留根号）.
答案：
解析：如图，过点C作，点C到底座DE的距离为CM，
，，
.
故答案为：4.
13．矩形ABCD中AB＝10，BC＝8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，tan∠AFE等于_______
A． B． C． D．
【答案】
【分析】依据折叠的性质以及矩形的性质，易得∠AFE＝∠BCF；在Rt△BFC中，有BC＝8，CF＝10，由勾股定理易得BF的长．根据三角函数的定义，易得tan∠BCF的值，依据∠AFE＝∠BCF，可得tan∠AFE的值．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝10，∠B＝∠D＝90°，
∴∠BCF+∠BFC＝90°，
根据折叠的性质得：∠EFC＝∠D＝90°，CF＝CD＝10，
∴∠AFE+∠BFC＝90°，
∴∠AFE＝∠BCF，
在Rt△BFC中，BC＝8，CF＝CD＝10，
由勾股定理得：BF＝＝＝6，
则tan∠BCF＝＝，
∴tan∠AFE＝tan∠BCF＝，
故答案
【点拨】本题主要考查了矩形的折叠问题，求三角函数值，勾股定理，余角的性质，根据折叠和勾股定理求出，是解题的关键．
三、解答题（每小题8分，共48分）
14．在中，，，，求，和的值.
答案：，，
解析：在中，.
，
，
.
15.如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC，BC＝CD，BD、AC交于点E．
求证：ABCD；
已知BC＝6，AB＝10，求的值．
【答案】(1) 见分析(2)
【分析】（1）由角平分线定义得，．再由等腰三角形性质得．从而得出，即可由平行线的判定定理得出结论；
（2）先由勾股定理求出，再证△CDE∽△ABE，得，代入即可求得，然后由求解即可．
（1）证明：∵BD平分，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴△CDE∽△ABE，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴在中，
．
【点拨】本题考查勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握解直角三角形和相似三角形的判定和性质是解题的关键．
16．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处.已知折痕，且.
（1）与有什么关系？
（2）求矩形ABCD的周长.
答案：（1）
（2）
解析：（2）设，，则，，，.
在中，，
，
，
，（不合题意，舍去）.
故矩形ABCD的周长是.
17．如图，在菱形中，对角线、交于点O，交延长线于点E，交延长线于点F.
（1）求证：四边形为矩形.
（2）若，，则的值为______.
答案：（1）见详解
（2）
解析：（1）证明：四边形是菱形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形是矩形.
（2）四边形是菱形，，
，
在中，，，
，
，
在中，，，
，
在中，.
18．如图，在中，，，的平分线BD交AC于点D，，求AB的长.
答案：
解析：在中，，，
.
.
是的平分线，
.
又，
.
在中，，，
.
19．如图，在中，，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使.
（1）若，求的周长；
（2）若，求的值.
答案：（1）的周长为1
（2）
解析：（1）如图，设BC的垂直平分线交BC于点F，
.
.
，
，
即的周长为1.
（2）设，则.
，
.
在中，，
.
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