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人教版九年级数学下名师点拨与训练
第28章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数2
学习目标：
1.能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据三角函数值说出对应锐角度数；
2.能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式；
3.结合锐角三角函数概念和含特殊角的直角三角形的性质，推导特殊角的三角函数值，了解知识之间的关系，学会综合运用，认识到三角函数也属于数的运算系列，掌握由角到边和由边到角的转换.
老师告诉你
特殊角的三角函数值的求法是根据勾股定理及三角函数的定义可得：
一、知识点拨
知识点1 、 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值：
【新知导学】
例1-1．的值是( )
A. B.1 C. D.
例1-2．已知是锐角，且，那么的度数为( )
A. B. C. D.无法确定
【对应导练】
1．计算：___________；
2．计算：_________________.
3．计算：
(1)
(2)
4．计算：.
5．计算：(1);
(2).
知识点2 、锐角三角函数之间的关系：
同角三角函数之间的平方关系：
有勾股定理可知：
正弦余弦与正切之间的关系：
一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比。即或。
互余的两个角的三角函数关系：
①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值。即
②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值。即
若∠A＋∠B＝90°，则或
【新知导学】
例2-1 .在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则cos A＝（　　）
A． B． C． D．
例2-2 .若sin（70°﹣α）＝cos50°，则α的度数是（　　）
A．50° B．40° C．30° D．20°
【对应导练】
1．小明同学遇到了这样一道题，，则锐角的度数为( )
A. B. C. D.
2．在中，，则为( )
A.直角三角形 B.等边三角形
C.含60°的任意三角形 D.是底角为30°的等腰三角形
3．三角函数、、之间的大小关系是( )
A. B.
C. D.
4．定义一种运算；，.例如：当，时，，则的值为________.
5 .在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝2，则cos A的值为（　　）
A． B． C． D．2
二、题型训练
1.利用特殊角的三角函数值计算
1．求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
2．计算：.
3．计算：.
2.利用特殊角的三角函数值求角
4．已知为锐角,,则______.
5．已知是锐角,且,则的度数是________ .
6．在中,,都是锐角,且,,则是( )
A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定
7．在中，，，，则的度数( )
A. B. C. D.无法确定
3.计算器计算函数值
8．用计算器求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
9．已知下列锐角的三角函数值，用计算器求锐角A的度数：
（1）；
（2）
（3）；
（4）.
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．最接近下列哪个数值( )
A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8
2．的值等于( ).
A. B. C. D.1
3．的值为( )
A.1 B. C.2 D.
4．已知，是锐角，则的度数是( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
5．构造几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要应用,小康在计算时,构造出如图所示的图形：在中,,,延长到D,,连接,得.根据此图可求得的结果( )
A. B. C. D.
6．已知为锐角，，则的度数为( )
A. B. C. D.
7．下列计算中，错误的个数是( )
①；
②；
③；
④.
A.1 B.2 C.3 D.4
8．在锐角中，若，则等于( )
A. B. C. D.
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．如图，为测量一座大厦AB的高度，当小明在C处时测得楼顶A的仰角为60°，接着沿BC方向行走30 m至D处时测得楼顶A的仰角为30°，则大厦AB的高度是_______________.
10．在锐角中，若，则_________________.
12．比较大小：________（填“>”“=”或“<”）.
13．将一副三角板按如图方式摆放，则的正切值为_____.
三、解答题（每小题8分。共48分）
14．求下列各式的值：
（1）；
（2）.
答案：（1）0
（2）
解析：（1）原式.
（2）原式.
15．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点A、点B的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹.
(1)在图①中找一个格点C，使得；
(2)在图②中找点D，作使得；
(3)在图③中找点E，作使得.
16.(0分)如图,AB为半圆O的直径,弦AD、BC相交于点P,若CD=3,AB=4,求tan∠BPD的值
17．热气球的探测器显示，从热气球A处看大楼BC顶部C的仰角为30°，看大楼底部B的俯角为45°，热气球与该楼的水平距离AD为60米，求大楼BC的高度.（结果精确到1米，参考数据：）
18．计算
（1）计算:
（2）已知是锐角,且,计算值.
19．综合与实践：在学习《解直角三角形》一章时，小邕同学对一个角的倍角的三角函数值与这个角的三角函数值是否有关系产生了浓厚的兴趣，并进行研究.
【初步尝试】我们知道：___________，___________.
发现：___________(填“=”或“”).
【实践探究】在解决“如图1，在中，，，，求的值”这一问题时，小邕想构造包含的直角三角形，延长到点D，使，连接BD，所以可得，问题即转化为求的正切值，请按小邕的思路求的值.
【拓展延伸】如图2，在中，，，.请模仿小邕的思路或者用你的新思路，试着求一求的值.
人教版九年级数学下名师点拨与训练
第28章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数2
学习目标：
1.能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据三角函数值说出对应锐角度数；
2.能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式；
3.结合锐角三角函数概念和含特殊角的直角三角形的性质，推导特殊角的三角函数值，了解知识之间的关系，学会综合运用，认识到三角函数也属于数的运算系列，掌握由角到边和由边到角的转换.
老师告诉你
特殊角的三角函数值的求法是根据勾股定理及三角函数的定义可得：
一、知识点拨
知识点1 、 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值：
【新知导学】
例1-1．的值是( )
A. B.1 C. D.
答案：A
解析：,
故选：A.
例1-2．已知是锐角，且，那么的度数为( )
A. B. C. D.无法确定
答案：A
解析：，
，
故选：A.
【对应导练】
1．计算：___________；
答案：
解析：原式
.
故答案为：.
2．计算：_________________.
答案：1
解析：，
故答案为：1.
3．计算：
(1)
(2)
答案：(1)0
(2)1
解析：（1）
（2）
4．计算：.
答案：3
解析：原式
.
5．计算：(1);
(2).
答案：(1)
(2)
解析：(1)原式.
(2)原式.
知识点2 、锐角三角函数之间的关系：
同角三角函数之间的平方关系：
有勾股定理可知：
正弦余弦与正切之间的关系：
一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比。即或。
互余的两个角的三角函数关系：
①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值。即
②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值。即
若∠A＋∠B＝90°，则或
【新知导学】
例2-1 .在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则cos A＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据锐角三角函数的定义以及勾股定理求出AC，再由锐角三角函数的定义进行计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，＝，
可设BC＝4k，则AB＝5k，由勾股定理得，
AC＝＝3k，
∴cosA＝＝，
故选：C．
例2-2 .若sin（70°﹣α）＝cos50°，则α的度数是（　　）
A．50° B．40° C．30° D．20°
【分析】一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，依此可得70°﹣α+50°＝90°，解方程即可求解．
【解答】解：∵sin（70°﹣α）＝cos50°，
∴70°﹣α+50°＝90°，
解得α＝30°．
故选：C．
【对应导练】
1．小明同学遇到了这样一道题，，则锐角的度数为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：
2．在中，，则为( )
A.直角三角形 B.等边三角形
C.含60°的任意三角形 D.是底角为30°的等腰三角形
答案：A
解析：，
∴，，
，，
，，
是直角三角形.
故选：A.
3．三角函数、、之间的大小关系是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：∵(),
∴,
当时,正弦值是随着角的增大而增大,
∴
∴,
故选：C.
4．定义一种运算；，.例如：当，时，，则的值为________.
答案：
解析：
.
故答案为：.
5 .在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝2，则cos A的值为（　　）
A． B． C． D．2
【分析】根据锐角三角函数的定义和勾股定理求解即可．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，
由于tanA＝2＝，不妨设b＝k，则a＝2k，由勾股定理得，c＝＝k，
所以cosA＝＝＝，
故选：A．
二、题型训练
1.利用特殊角的三角函数值计算
1．求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
答案：（1）
（2）
（3）2
（4）
解析：（1）原式.
（2）原式.
（3）原式.
（4）原式.
2．计算：.
答案：.
解析：原式=
=
=
=.
3．计算：.
答案：
解析：
.
2.利用特殊角的三角函数值求角
4．已知为锐角,,则______.
答案：
解析：∵a为锐角,且,
∴,
解得：.
故答案为：.
5．已知是锐角,且,则的度数是________ .
答案：45
解析：由,
可得,=
故答案为45.
6．在中,,都是锐角,且,,则是( )
A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定
答案：B
解析：∵中,、都是锐角,,,
∴.
∴.
故选B.
7．在中，，，，则的度数( )
A. B. C. D.无法确定
答案：B
解析：，，，
，
.
故选：B.
3.计算器计算函数值
8．用计算器求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
答案：（1）
（2）
（3）
（4）
解析：（1）原式.
（2）原式.
（3）原式.
（4）原式.
9．已知下列锐角的三角函数值，用计算器求锐角A的度数：
（1）；
（2）
（3）；
（4）.
答案：（1）
（2）
（3）
（4）
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．最接近下列哪个数值( )
A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8
答案：C
解析：∵,,
观察四个选项,最接近,
故选：C.
2．的值等于( ).
A. B. C. D.1
答案：C
解析：
故选：C.
3．的值为( )
A.1 B. C.2 D.
答案：B
解析：原式.
故选：B.
4．已知，是锐角，则的度数是( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
答案：C
解析：，是锐角，
，
故选C.
5．构造几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要应用,小康在计算时,构造出如图所示的图形：在中,,,延长到D,,连接,得.根据此图可求得的结果( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：在中,,,延长CB使,连接AD,得,
设,则,
∴,
故选：C.
6．已知为锐角，，则的度数为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：为锐角，，
，
.
故选C.
7．下列计算中，错误的个数是( )
①；
②；
③；
④.
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：C
解析：
8．在锐角中，若，则等于( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：，
，，
，，
在锐角中，，
故选：A.
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．如图，为测量一座大厦AB的高度，当小明在C处时测得楼顶A的仰角为60°，接着沿BC方向行走30 m至D处时测得楼顶A的仰角为30°，则大厦AB的高度是_______________.
答案：15
解析：在中，∠ACB=60°
=即tan60°==
BC=
在中，∠ADB=30°
tan∠ADB=即tan30°==
BD=
CD=30
-=30
AB=15
故答案为15
10．在锐角中，若，则_________________.
答案：
解析：，，
，
，，
（负值舍去），，
，
，
，
故答案为：.
11．计算：_____.
答案：
解析：根据特殊角的三角函数值，直接计算即可得.
故答案为.
12．比较大小：________（填“>”“=”或“<”）.
答案：<
解析：在锐角三角函数中，正切值随角度的增加而增加，
故答案为：<.
13．将一副三角板按如图方式摆放，则的正切值为_____.
答案：
解析：如图，作交DC的延长线于点E，
由题意知，，
，，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
故答案为.
三、解答题（每小题8分。共48分）
14．求下列各式的值：
（1）；
（2）.
答案：（1）0
（2）
解析：（1）原式.
（2）原式.
15．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点A、点B的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹.
(1)在图①中找一个格点C，使得；
(2)在图②中找点D，作使得；
(3)在图③中找点E，作使得.
答案：(1)见解析；
(2)见解析；
(3)见解析.
解析：（1）如图，点C即为所求，
（2）如图，即为所求，
（3）如图，即为所求，
16.(0分)如图,AB为半圆O的直径,弦AD、BC相交于点P,若CD=3,AB=4,求tan∠BPD的值
答案： 解析： 连接BD, 根据圆周角定理可得∠ADB=90°，证得△PCD ∽△PAB,根据相似三角形的性质结合余弦的定义可得∠BPD的余弦值，再结合勾股定理即可求得结果.
连接BD,
∵AB是直径,
∴∠ADB=90°.
∵∠C=∠A,∠D=∠B,
∴△PCD ∽△PAB,
∴ .
在Rt△PBD中,cos∠BPD= = ,
设PD=3x,PB=4x,
则BD= ,
∴tan∠BPD= .
考点：圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数
点评：本题综合性强，知识点较多，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注.
17．热气球的探测器显示，从热气球A处看大楼BC顶部C的仰角为30°，看大楼底部B的俯角为45°，热气球与该楼的水平距离AD为60米，求大楼BC的高度.（结果精确到1米，参考数据：）
答案：这栋楼的高度约为95米.
解析：由题意可知，，米，
在中，(米)，
在中，(米)，
(米).
答：这栋楼的高度约为95米.
18．计算
（1）计算:
（2）已知是锐角,且,计算值.
答案：（1）1
（2）0
解析:（1）解:
（2）是锐角,且,
,
,
19．综合与实践：在学习《解直角三角形》一章时，小邕同学对一个角的倍角的三角函数值与这个角的三角函数值是否有关系产生了浓厚的兴趣，并进行研究.
【初步尝试】我们知道：___________，___________.
发现：___________(填“=”或“”).
【实践探究】在解决“如图1，在中，，，，求的值”这一问题时，小邕想构造包含的直角三角形，延长到点D，使，连接BD，所以可得，问题即转化为求的正切值，请按小邕的思路求的值.
【拓展延伸】如图2，在中，，，.请模仿小邕的思路或者用你的新思路，试着求一求的值.
答案：【初步尝试】，，
【实践探究】
【拓展延伸】
解析：【初步尝试】，，，
故答案为：，，；
【实践探究】如图1，在中，，，，
.
，
，
，，
.
【拓展延伸】如图2，作的垂直平分线交于点E，连接.
则，，.
中，，，.
，.
设，则，
在中，，
解得，即，.
.
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