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人教版八年级数学上名师点拨与训练
第15章 分式
15.3.1分式方程
学习目标
1.理解分式方程的概念，并会判断一个方程是否是分式方程.
2.掌握解分式方程的基本思路和解法.
3 .理解分式方程可能无解(即产生增根)的原因
重点：会解可化为-元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的解.
难点：会解可化为-元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的解.
老师告诉你
分离分式法：
如果一个分式的分子的次数高于或等于分母的次数，那么可以像假分数化为带分数那样，将这个分式化为整式部分与分式部分的和或差，这种分式变形的方法叫做分离分式法。
知识点拨
知识点1 分式方程的概念
分母里含有未知数的方程叫做分式方程．
基本方法归纳：判断分式方程时只需看分母中必须有未知数；分式方程的解只需带入方程看等式是否成立即可．
【新知导学】
例1-1．下列方程中，是分式方程的是( )
A. B. C. D.
例1-2．在①；②；③；④；⑤中，分式方程有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【对应导练】
1．下列式子：
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥.
其中，是关于x的分式方程有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2．方程、、、中分式方程的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
知识点2 分式方程的解法
分式方程的解法
解分式方程的步骤：解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”．它的一般解法是：
（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母
（2）解所得的整式方程
（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根．
基本方法归纳：分式方程首要是方程两边同乘以分母最小公倍数、去掉分母，转化为整式方程求解，其次注意一定要验根．
注意问题归纳： 解完方程后一定要注意验根．
【新知导学】
例2-1．解下列方程：
(1)；
(2).
例2-2．解方程：.
【对应导练】
1．若分式与值相等，则m的值不可能是( )
A. B.0 C. D.
2．解分式方程时，去分母化为一元一次方程，正确的是( )
A. B. C. D.
3．解分式方程时,可以选择换元法,如果设,那么原方程可化为关于y的分式方程,去分母化为关于y的一元二次方程的一般形式是( )
A. B. C. D.
4．下面是某同学解分式方程的部分过程：
解：方程两边同乘________,得,
去括号,得,
移项、合并同类项,得,
系数化为1,解得.
(1)这位同学解题过程中横线处应填________,解题过程缺少的步骤是________.
(2)该同学反思上述解答过程时,发现不仅缺少了一步,还存在错误,请写出正确的解答过程.
知识点3 增根
分式方程化成整式方程解得的未知数的值，如果这个值令最简公分母为零则为增根．
注意：增根一定是是方程最简公分母为0，但使最简公分母为0的数不一定是增根。
【新知导学】
例3-1．若分式方程有增根,则______.
例3-2．若关于x的方程无解,求a的值______.
例3-3．若关于x的分式方程的解是负数,则字母m的取值范围是______.
【对应导练】
1．若关于x的分式方程有增根，则实数m的值是______.
2．若关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是( )
A.或
B.
C.且
D.且
3．若关于x的分式方程有增根,则m的值为( )
A.1 B.3 C.1或3 D.2
4．若关于x的方程的解为正数,则的取值范围是( )
A. B.
C.且 D.且
5．若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是( )
A.且 B.且 C.且 D.且
二，题型训练
1.待定系数法求方程中字母系数的值
1．已知关于x的分式方程其中A、B为实数，则实数___________，___________
2．由下表数据可知,________.
代数式 x
值 a b 2
3．如图是一个电脑运算程序图,当输入不相等的a,b后,按照程序图运行,会输出一个结果.若,时,输出的结果为2,则x的值为______.
2、分式方程的解法在解方程中的应用
4．解方程
(1)
(2)
5．下面是小颖同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应任务.
解方程：.
方程两边同乘__________，得.第一步
去括号，得.第二步
移项、合并同类项，得.第三步
系数化为1，得第四步
所以是原方程的解第五步
(1)任务一：第一步横线处所填的内容为__________，这一步的依据为__________；
(2)任务二：在小组组长的引导下，小颖反思上述解答过程缺少了一步，请你补全这一步；
(3)任务三：在解分式方程的过程中，需要注意哪些事项，请你写出一条，并于同学们分享.
3、分式方程的解（增根）在解方程或求字母值中的应用
6．若关于x的一元一次不等式组有且只有2个整数解,且关于y的分式方程的解为正数,则所有满足条件的整数a的值之和为______.
7．若关于x的分式方程有增根,则a的值是______.
8．若关于x的分式方程的解为正数,则m的取值范围是( )
A. B.且
C. D.且
4、分类讨论思想在分式方程中的应用
9．已知关于的分式方程
(1)若分式方程的根是，求的值
(2)若分式方程有增根，求的值
(3)若分式方程有无解，求的值
10．若关于x的分式方程有解，求m的取值范围.
11．若关于的分式方程无解，则_________．
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．下列方程中是分式方程的是( )
A. B. C. D.
2．方程的解是( )
A. B. C. D.
3．解方程时，
小燕认为：方程两边都乘以，得.
小红认为：方程两边都乘以，得.
小杰认为：方程两边都乘以，得.
以上三位同学的理解，错误的是( )
A.小燕 B.小红
C.小杰 D.没有错误，三位同学都正确
4．如图是一个计算程序，若输出A的值为-2，则输入a的值为( )
A.-3 B.-1 C.1或-3 D.-1或-3
5．若关于x的方程无解，则m的值等于( )
A. B. C. D.3
6．已知关于x的分式方程有增根，则k的值为( )
A.2 B. C. D.3
7．若关于x的分式方程的解为，则m值为( )
A.2 B.0 C.6 D.4
8．若关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是( )
A.且 B. C.且 D.
填空题（每小题4分，共20分）
9．若是分式方程的解，则a的值为_________.
10．若关于x的分式方程无解，则_________.
11．若关于x的分式方程会产生增根，则m的值为___________.
12．若方程的解为，则方程的解为_________.
关于x的不等式组有解且至多有5个整数解，且关于y的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数a的和为______________.
三、解答题（每小题8分，共48分）
14．解分式方程：
（1）；
（2）.
15．某同学解方程的过程如下：
解：整理，得，①
….
（1）请你说明第①步的依据是_______________；
（2）请把以上解方程的过程补充完整.
16．观察下面给出的等式，回答下列问题：
①，
②，
③，
……
（1）猜想：第n个等式是__________；
（2）计算：；
（3）若，求x的值.
17．当a为何值时，关于x的分式方程的解与方程的解相同？
18．关于这类方程，我们可以用对应法来求解.
原方程变为：或；
解得或.
(1)请用对应法解方程：；
(2)能否用对应法解方程：，如果能，请用对应法求解，如果不能，请说明理由.
(3)如果方程能用对应法求解，求a，b的值.
19．阅读材料：关于x的方程的解为，；的解为，；……（可变形为）的解为，.根据以上材料解答下列问题.
（1）①方程的解为_________；
②方程的解为_________.
（2）解关于x的方程：.
人教版八年级数学上名师点拨与训练
第15章 分式
15.3.1分式方程
学习目标
1.理解分式方程的概念，并会判断一个方程是否是分式方程.
2.掌握解分式方程的基本思路和解法.
3 .理解分式方程可能无解(即产生增根)的原因
重点：会解可化为-元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的解.
难点：会解可化为-元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的解.
老师告诉你
分离分式法：
如果一个分式的分子的次数高于或等于分母的次数，那么可以像假分数化为带分数那样，将这个分式化为整式部分与分式部分的和或差，这种分式变形的方法叫做分离分式法。
知识点拨
知识点1 分式方程的概念
分母里含有未知数的方程叫做分式方程．
基本方法归纳：判断分式方程时只需看分母中必须有未知数；分式方程的解只需带入方程看等式是否成立即可．
【新知导学】
例1-1．下列方程中，是分式方程的是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：根据分式方程的定义，分母中含有未知数的方程是分式方程，所以排除A、C、D，正确的是B，故选B
例1-2．在①；②；③；④；⑤中，分式方程有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案：B
解析：③；④是分式方程，共2个，
故选B.
【对应导练】
1．下列式子：
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥.
其中，是关于x的分式方程有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案：B
解析：①分母中不含有未知数，是整式方程；
②分母中含有未知数，故是分式方程；
③不是等式，故不是方程；
④分母中含有未知数，故是分式方程.
⑤分母中不含有未知数，故不是分式方程；
⑥分母中不含有未知数，故不是分式方程；
综上所述：分式方程有②④，共2个，
故选：B.
2．方程、、、中分式方程的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：C
解析：根据分式方程的定义可知：
、、是分式方程，
故选：C.
知识点2 分式方程的解法
分式方程的解法
解分式方程的步骤：解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”．它的一般解法是：
（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母
（2）解所得的整式方程
（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根．
基本方法归纳：分式方程首要是方程两边同乘以分母最小公倍数、去掉分母，转化为整式方程求解，其次注意一定要验根．
注意问题归纳： 解完方程后一定要注意验根．
【新知导学】
例2-1．解下列方程：
(1)；
(2).
答案：(1)
(2)无解
解析：(1)方程两边同时乘以得,
,
解得,
把代入最简公分母得,
,
∴是原分式方程的解；
(2)原方程可变为,,
方程两边同时乘以得,
,
解得,
把代入最简公分母得,
,
∴原分式方程无解.
例2-2．解方程：.
答案：
解析：方程两边同时乘以,得
,
解得,,
检验：当时,,
所以是原分式方程的解.
【对应导练】
1．若分式与值相等，则m的值不可能是( )
A. B.0 C. D.
答案：C
解析：由题得：，
解得.
又，
，则.
故选：C.
2．解分式方程时，去分母化为一元一次方程，正确的是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：原方程变形为，
方程两边都乘得：，
故选：C.
3．解分式方程时,可以选择换元法,如果设,那么原方程可化为关于y的分式方程,去分母化为关于y的一元二次方程的一般形式是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：设,则,
原方程变为,去分母得：；
故选：C.
4．下面是某同学解分式方程的部分过程：
解：方程两边同乘________,得,
去括号,得,
移项、合并同类项,得,
系数化为1,解得.
(1)这位同学解题过程中横线处应填________,解题过程缺少的步骤是________.
(2)该同学反思上述解答过程时,发现不仅缺少了一步,还存在错误,请写出正确的解答过程.
答案：(1)；检验
(2)见解析
解析：(1)这位同学解题过程中横线处应填,解题过程缺少的步骤是检验,
故答案为：；检验；
(2)
方程两边同乘,得,
去括号,得,
移项、合并同类项,得,
系数化为1,解得.
经检验,是原方程的解,
∴方程的解为.
知识点3 增根
分式方程化成整式方程解得的未知数的值，如果这个值令最简公分母为零则为增根．
注意：增根一定是是方程最简公分母为0，但使最简公分母为0的数不一定是增根。
【新知导学】
例3-1．若分式方程有增根,则______.
答案：1
解析：去分母得：,
由分式方程有增根,得到,即,
把代入整式方程得：；
故答案为：1.
例3-2．若关于x的方程无解,求a的值______.
答案：或1
解析：关于x的方程无解,
即,
,
,
,
可分为以下两种情况讨论,
①方程有增根,即,解得,
当时,,解得,
②分式方程化成的整式方程无解,
即,解得,
综上所述,a的值为或1.
故答案为：或1.
例3-3．若关于x的分式方程的解是负数,则字母m的取值范围是______.
答案：且
解析：,
方程两边同乘,得,
,
解得,,
∵关于x的分式方程的解是负数,
,
解得,且,
故答案为：且.
【对应导练】
1．若关于x的分式方程有增根，则实数m的值是______.
答案：1
解析：方程两边同乘以，
可得，
解得，
分式方程有增根，
，解得，
，
.
故答案为：1.
2．若关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是( )
A.或
B.
C.且
D.且
答案：A
解析：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，合并得，
方程的解为正数，
且，
解得且.
故选：A.
3．若关于x的分式方程有增根,则m的值为( )
A.1 B.3 C.1或3 D.2
答案：B
解析：方程的两边都乘以,得,
即,
由于分式方程有增根,
所以,
当时,,
即.
故选：B.
4．若关于x的方程的解为正数,则的取值范围是( )
A. B.
C.且 D.且
答案：D
解析：方程两边都乘以,得：,
解得：,
方程的解是正数,
且,
解得：且,
故选：D.
5．若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是( )
A.且 B.且 C.且 D.且
答案：A
解析：方程两边都乘以，得：，
解得：，
∵，即：，
∴，
又∵分式方程的解为非负数，
∴，
∴，
∴m的取值范围是且，
故选：A.
二，题型训练
1.待定系数法求方程中字母系数的值
1．已知关于x的分式方程其中A、B为实数，则实数___________，___________
答案：1 2
解析：依题意，，
去分母，得
整理得
因为A、B为实数，
所以，
，得，
则，
故答案为：1，2
2．由下表数据可知,________.
代数式 x
值 a b 2
答案：0
解析：由题意可得:,
解得:；经检验,符合题意；
,
,
,
故答案为:0.
3．如图是一个电脑运算程序图,当输入不相等的a,b后,按照程序图运行,会输出一个结果.若,时,输出的结果为2,则x的值为______.
答案：或10
解析：当时,,解得：；
当时,,解得：；
综上,x的值为或10.
故答案为：或10.
2、分式方程的解法在解方程中的应用
4．解方程
(1)
(2)
答案：(1)
(2)
解析：(1),
两边同时乘以得,,
整理得,,
移项得,,
合并同类项得,,
系数化为1得,,
把代入得,,
∴是原方程的根；
(2),
两边同时乘以得,,
去括号得,,
移项、合并同类项得,,
系数化为1得,,
把代入得,,
∴是原方程得根.
5．下面是小颖同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应任务.
解方程：.
方程两边同乘__________，得.第一步
去括号，得.第二步
移项、合并同类项，得.第三步
系数化为1，得第四步
所以是原方程的解第五步
(1)任务一：第一步横线处所填的内容为__________，这一步的依据为__________；
(2)任务二：在小组组长的引导下，小颖反思上述解答过程缺少了一步，请你补全这一步；
(3)任务三：在解分式方程的过程中，需要注意哪些事项，请你写出一条，并于同学们分享.
答案：(1)，等式的基本性质2(或等式两边同时乘同一个数或除以同一个不为0的数，所得结果仍是等式)
(2)检验：当时，
(3)去分母时，每一项都要乘最简公分母，不能漏乘；分式方程必须检验(答案不唯一)
解析：(1)∵分式方程的公分母为，
∴第一步横线处所填的内容为，这一步的目的是去分母，其依据是等式的基本性质.
(2)缺少的步骤为：
检验：当时，；
(3)建议：去分母时，每一项都要乘最简公分母，不能漏乘；分式方程必须检验(答案不唯一)
3、分式方程的解（增根）在解方程或求字母值中的应用
6．若关于x的一元一次不等式组有且只有2个整数解,且关于y的分式方程的解为正数,则所有满足条件的整数a的值之和为______.
答案：8
解析：
解得：,
∵不等式组有且只有2个整数解,
∴,
解得
解分式方程得,
∵y的值解为正数,
∵,且,
∵且,
∴满足条件的整数a的值有3和5,
∴
故答案为：8.
7．若关于x的分式方程有增根,则a的值是______.
答案：2
解析：方程两边都乘以,得：,
分式方程有增根,
,即,
将代入,得：,
故答案为：2.
8．若关于x的分式方程的解为正数,则m的取值范围是( )
A. B.且
C. D.且
答案：B
解析：,
,
,
关于x的分式方程的解为正数,
且,即,,
且,
且,
故选：B.
4、分类讨论思想在分式方程中的应用
9．已知关于的分式方程
(1)若分式方程的根是，求的值
(2)若分式方程有增根，求的值
(3)若分式方程有无解，求的值
答案：(1)
(2)
(3)或
解析：（1）把代入得，
，
解得；
（2），
两边都乘以得，
，
整理得，，
由分式有增根，则，
∴或，
把代入，a的值不存在，
把代入，解得，
综上可知，；
（3）由（2）可知，，
当时，方程无解，即，
当时，要使方程无解，则分式方程有增根，由（2）知，
综上可知，或.
10．若关于x的分式方程有解，求m的取值范围.
答案：，且
解析：将方程的两边同乘以，
得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得.
分式方程有解，
，，且，
解得，且.
故该分式方程有解时m的取值范围为，且.
11．若关于的分式方程无解，则_________．
答案：6，10
解析：∵关于的分式方程无解，
∴，
原方程去分母得：
解得： ，时，方程无解．
或是方程无解，此时．
故答案为6，10．
三、课堂达标
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．下列方程中是分式方程的是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：A、是一元一次方程，故此选项错误；
B、，是一元一次方程，故此选项错误；
C、是一元二次方程，故此选项错误；
D、，是分式方程，正确.
故选：D.
2．方程的解是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：原方程去分母得:,
整理得:,
解得:,
检验:当时,,
故原方程的解为,
故选:C.
3．解方程时，
小燕认为：方程两边都乘以，得.
小红认为：方程两边都乘以，得.
小杰认为：方程两边都乘以，得.
以上三位同学的理解，错误的是( )
A.小燕 B.小红
C.小杰 D.没有错误，三位同学都正确
答案：C
解析：方程两边都乘以，得，.
故选C
4．如图是一个计算程序，若输出A的值为-2，则输入a的值为( )
A.-3 B.-1 C.1或-3 D.-1或-3
答案：A
解析：当时，解得，则（不符合题意，舍去）；当时，解得，经检验，是该分式方程的解，且（符合题意）.综上所述，输入a的值为-3.
5．若关于x的方程无解，则m的值等于( )
A. B. C. D.3
答案：B
解析：
去分母得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
关于x的方程无解，
，
，
故选：B.
6．已知关于x的分式方程有增根，则k的值为( )
A.2 B. C. D.3
答案：C
解析：去分母，得，
移项，合并同类项得.
原方程有增根，
，
解得.
故选：C.
7．若关于x的分式方程的解为，则m值为( )
A.2 B.0 C.6 D.4
答案：C
解析：分式方程的解为，
，．
故选C
8．若关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是( )
A.且 B. C.且 D.
答案：A
解析：去分母得，解得.关于x的分式方程的解是非负数，，.，，
，即，的取值范围是且.
故选A
填空题（每小题4分，共20分）
9．若是分式方程的解，则a的值为_________.
答案：6
解析：将代入分式方程，可得，解得.
10．若关于x的分式方程无解，则_________.
答案：1或
解析：，
去分母得：，
整理得：，
当，即时，方程无解；
由分式方程无解有增根时，可得，
解得或，
把代入，不存在，
把代入，得，
解得，
综上，若要关于x的分式方程无解，a的值为1或.
故答案为：1或.
11．若关于x的分式方程会产生增根，则m的值为___________.
答案：-4或6
解析：去分母，得.分式方程会产生增根，，解得或，把代入整式方程，得，解得；把代入整式方程，得，解得.则m的值是-4或6.
12．若方程的解为，则方程的解为_________.
答案：
解析：设，则方程可变形为.方程的解为，可得方程的解为，，解得.
关于x的不等式组有解且至多有5个整数解，且关于y的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数a的和为______________.
答案：4
解析：解不等式，得：，
不等式组有解，
不等式组的解集为：，
该不等式组至多有5个整数解，
该不等式组的整数解为：1，0，，，，
，
，
解分式方程，
得：，且，
该分式方程有正整数解，且，
则，
即满足条件的所有整数a的和为：4，
故答案为：4.
三、解答题（每小题8分，共48分）
14．解分式方程：
（1）；
（2）.
答案：（1）
（2）
解析：（1），方程两边同乘以，得，解这个整式方程，得.
检验：把代入，得.
所以，是原分式方程的解.
（2），
方程两边同乘以，得，解这个整式方程，得.
检验：把代入，
得，所以，是原分式方程的解.
15．某同学解方程的过程如下：
解：整理，得，①
….
（1）请你说明第①步的依据是_______________；
（2）请把以上解方程的过程补充完整.
答案：（1）分式的基本性质
（2）见解析
解析：（1）分式的基本性质.
（2）方程两边同乘，得.
去括号，得.
移项，得.
合并同类项，得.
系数化为1，得.
检验：当时，，
是原分式方程的增根，原分式方程无解.
16．观察下面给出的等式，回答下列问题：
①，
②，
③，
……
（1）猜想：第n个等式是__________；
（2）计算：；
（3）若，求x的值.
答案：（1）.
（2）
.
（3），
，
，
，
方程两边都乘，得，
解得，
经检验，是原方程的解，
所以.
解析：
17．当a为何值时，关于x的分式方程的解与方程的解相同？
答案：
解析：由方程，得，解得，经检验，是原方程的解.因为方程的解与方程的解相同，所以也是方程的解，把代入方程，
得，解得，
经检验，是原方程的解.
18．关于这类方程，我们可以用对应法来求解.
原方程变为：或；
解得或.
(1)请用对应法解方程：；
(2)能否用对应法解方程：，如果能，请用对应法求解，如果不能，请说明理由.
(3)如果方程能用对应法求解，求a，b的值.
答案：(1)或
(2)或
(3)，
解析：（1）方程整理得：，
原方程变为：或，
解得：或；
（2）方程整理得：，
原方程变为：或，
解得：或；
（3）方程整理得：，
方程能用对应法求解，
，解得：
经检验和符合题意.
19．阅读材料：关于x的方程的解为，；的解为，；……（可变形为）的解为，.根据以上材料解答下列问题.
（1）①方程的解为_________；
②方程的解为_________.
（2）解关于x的方程：.
答案：（1）①，
②，
（2），
解析：（1）②的解为或，
解得，.
（2）原方程可变形为，
由题意可得或，
解得，，
即原方程的解为，.
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