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人教版八年级数学上名师点拨与训练
第15章 分式
15.3.1分式方程2
学习目标
会分析题意，找出相等关系列分式方程；
会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题；
重点：分析生活中分式方程应用题的数量关系；
难点：将复杂问题中的数量关系用分式方程表示，并进行归纳总结。
老师告诉你
列分式方程解实际应用题的基本步骤：
①审：仔细审题，审清题意，找出题目中已知量与未知量的等量关系。
②设：设出未知数。
③列：列出分式方程。
④解：解分式方程。
⑤验：检验求出的解是不是分式方程的解，也要检验这个解是否符合实际问题。
⑥答：写出答案。
题型1，工程问题
工程问题 基本公式：工作量=工时×工效
【例1-1】．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产多少台机器？
【例1-2】某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用30天时间完成整个工程．当一号施工队工作10天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前8天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程．
（1）若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？
（2）若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？
【变式1-1】．张明清点完一批图书的一半，李强加入清点另一半图书的工作，两人合作清点完另一半图书.如果李强单独清点这批图书需要几小时？
【变式1-2】．问题:“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道,由于采用新的施工方式,________________,提前2天完成任务,求原计划每天修建下水管道的长度 ”
条件:（1）实际每天修建的长度比原计划多25%;
（2）原计划每天修建的长度比实际少75米.
在上述的2个条件中选择1个________________(仅填序号)补充在问题的横线上,并完成解答.
题型2 行程问题
行程问题：（1）路程=速度x时间
顺水速度= 静水速度+水流速度 逆水速度=静水速度-水流速度
【例2-1】小明到离家2400米的体育馆看球赛，进场时，发现门票还放在家中，此时离比赛还有40分钟，于是他立即步行（匀速）回家取票，在家取票用时2分钟，取到票后，他马上骑自行车（匀速）赶往体育馆．已知小明骑自行车从家赶往体育馆比从体育馆步行回家所用时间少20分钟，骑自行车的速度是步行速度的3倍．
(1)小明步行的速度（单位：米/分钟）是多少？
(2)小明能否在球赛开始前赶到体育馆？
【例2-2】广南到那洒高速公路经过两年多的建设，于2020年6月 30日24时正式通车运营，全长的广那高速结束了广南县城不通高速公路的历史．从广南到那洒还有条全长的普通公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上行驶的平均速度快，由高速公路从广南到那洒所需要的时间是由普通公路从广南到那洒所需时间的一半，求该客车由高速公路从广南到那洒需要几小时．
【变式2-1】．随着生活水平的提高和环保意识的增强,小亮家购置了新能源电动汽车,这样他乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟,已知电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍,小亮家到学校的距离为8千米.若设乘公交车平均每小时走x千米,则可列方程为( )
A. B. C. D.
【变式2-2】．斑马线前“车让人”,不仅体现着一座城市对生命的尊重,也直接反映着城市的文明程度.如图,某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道,其中米,在绿灯亮时,小敏共用22秒通过AC路段,其中通过BC路段的速度是通过AB路段速度的1.2倍,则小敏通过AB路段时的速度是( )
A.0.5米/秒 B.1米/秒 C.1.5米/秒 D.2米/秒
【变式2-3】．李明到离家2.1千米的学校参加初三联欢会,到学校时发现演出道具还放在家中,此时距联欢会开始还有42分钟,于是他立即匀速步行回家,在家拿道具用了1分钟,然后立即匀速骑自行车返回学校.已知李明骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟,且骑自行车的速度是步行速度的3倍.
(1)李明步行的速度(单位：米/分)是多少？
(2)李明能否在联欢会开始前赶到学校？
题型3 销售问题
总价=数量x单价
【例3-1】数字乡村建设是加快农业农村现代化的一项重要举措，智慧水产建设是数字乡村建设的重要一环．某乡村鱼塘计划购进智能水质传感器和云平台增氧机若干台，实现智慧水产养殖，提升鱼塘产值．采购人员发现一台水质传感器比一台增氧机贵1000元，用9000元购买的水质传感器的数量与6000元购买的增氧机的数量相同．
(1)分别求一台水质传感器和一台增氧机的售价．
(2)若鱼塘采购资金为40000元，两种设备共购进15台，则最多可购买多少台水质传感器？
【例3-2】人们提倡“节能减排，低碳出行”，随着新能源电动汽车的迅猛发展，在很多高速公路服务区里既有加油站同时又配有充电桩．
(1)在某个服务区，新能源电动汽车的充电桩比燃油汽车的加油枪多4个，爱观察的小萌发现：在1个小时内，平均每个充电桩可以为2辆电动车充电，平均一个加油枪可以为7辆燃油车加油，这样在这1小时内共为80辆车提供了充电、加油的服务．那么这个服务区的充电桩和加油枪分别有多少个？
(2)一般情况下，在高速公路上行驶时燃油汽车平均每公里的汽油费是新能源电动汽车平均每公里电费的倍，两位车主在服务区分别花250元给燃油车加油、花60元给新能源电动车充电，最后燃油汽车可行驶的里程比新能源电动汽车可行驶的里程多100公里，那么新能源汽车在高速路上行驶时平均每公里费用为多少元？
【变式3-1】．某商场计划购进一批甲、乙两种玩具,已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元,用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进的乙种玩具的件数相同.
(1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
(2)商场计划购进甲、乙两种玩具共48件,购进这两种玩具的总资金超过970元但不超过1000元,求商场有哪几种具体的进货方案？最多可以购进乙种玩具多少件？
【变式3-2】．金秋十月，延安苹果大面积成熟.某苹果经销商在果农处用30000元收购了一批苹果，由于市场反响很好，该经销商再一次购进同一种苹果，第二次的收购单价比第一次上涨了，收购量比第一次多了2000千克.已知第二次的收购费用是第一次收购费用的，则水果经销商两次共收购了多少千克苹果？
【变式3-3】．为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，某校投入2万元购进了一批劳动工具.开展课后服务后，学生的劳动实践需求明显增强，需再次采购一批相同的劳动工具，已知采购数量与第一次相同，但采购单价比第一次降低10元，总费用降低了15%.设第二次采购单价为x元，则下列方程中正确的是( )
A. B.
C. D.
题型4 比例问题
【例4-1】古希腊时期，人们认为最美人体的肚脐至脚底的长度与身高长度之比约为0.618，著名的“断臂维纳斯”便是如此．若王老师身高，肚脐到脚底的长度为，为使王老师穿上高跟鞋以后更接近最美人体比例，选择高跟鞋的跟高约为（ ）
A． B． C． D．
【例4-2】在暑假社会实践活动中，小明所在小组的同学与一家玩具生产厂家联系，给该厂组装玩具，该厂同意他们组装240套玩具．这些玩具分为A，B，C三种型号，它们的数量比例以及每人每小时组装各种型号玩具的数量如图所示.
若每人组装同一种型号玩具的速度都相同，根据以上信息，完成下列填空：
(1)从上述统计图可知，A型玩具有________套，B型玩具有_____套，C型玩具有______套；
(2)若每人组装A型玩具16套与组装C型玩具12套所花的时间相同，求a的值并且求每人每小时组装C型玩具多少套？
【变式4-1】．有甲、乙两种糖果，原价分别为每千克a元和b元.根据调查，将两种糖果按甲种糖果x千克与乙种糖果y千克的比例混合，取得了较好的销售效果.现在糖果价格有了调整，甲种糖果单价下降15%，乙种糖果单价上涨20%，但按原比例混合的糖果单价恰好不变，则等于( )
A. B. C. D.
【变式4-2】．甲、乙两种糖果,售价分别为20元/千克和24元/千克,根据市场调查发现,将两种糖果按一定的比例混合后销售,取得了较好的销售效果.现在糖果的售价有了调整:甲种糖果的售价上涨了8%,乙种糖果的售价下跌了10%.若这种混合糖果的售价恰好保持不变,则甲、乙两种糖果的混合比例应为甲:乙=__________.
【变式4-3】．“抗击新冠疫情，人人有责”，学校作为人员密集的场所，要求老师和同学们进入校门后按照要求佩戴好口罩，鲁能巴蜀中学七年级的小张同学从学校了解到，上周五这一天，七年级各班共使用口罩1500只，喜欢统计的小张本周统计了七年级各班每天的口罩使用情况，制作了如下的一个统计表，以1500只为标准，其中每天超过1500只的记为“+”，每天不足1500只的记为“-”，统计表格如下：
周一 周二 周三 周四 周五
（1）本周哪一天七年级同学使用口罩最多，数量是多少只？
（2））本周共使用口罩多少只？
（3）若同学们佩戴的口罩分为两种，一种是普通医用口罩，价格为1元一只，另外一种为N95型口罩，价格为3元一只，且本周所用的普通医用口罩和N95型口罩数量之比为，求本周七年级所有同学们购买口罩的总金额？
题型5，古代问题
【例5-1】我国古代著作《管子·地员篇》中介绍了一种用数学运算获得“宫商角徵羽”五音的方法．研究发现，当琴弦的长度比满足一定关系时，就可以弹奏出不同的乐音．例如，三根弦按长度从长到短排列分别奏出乐音“”，需满足相邻弦长的倒数差相等．若最长弦为个单位长，最短弦为个单位长，求中间弦的长度．
【例5-2】《九章算术》是我国古代著名的数学专著之一．它总结了我国战国、秦汉时期的数学成就．其中有一题，原文：今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里．问善行者几何里及之大意为：现今有不善行者先走10里，善行者再按同路追赶不善行者，当善行者走到100里时，超过不善行者20里．问：善行者走多少里时追上了不善行者？
【变式5-1】．四元玉鉴是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著.该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？(椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆)设这批椽有x株，则符合题意的方程是( )
A. B. C. D.
【变式5-2】．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天.已知快马的速度是慢马的2倍，求两匹马的速度.设慢马的速度为x里/天，则可列方程为( )
A. B. C. D.
【变式5-3】．《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”（粟指带売的谷子，粝米指糙米，其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”，问题：有3斗的粟（1斗=10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为( )
A.6升 B.8升 C.16升 D.18升
【变式5-4】．数学文化《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间.设规定时间为x天，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
题型6 数字问题
【例6-1】有一个两位数，它的个位数字比十位数字大1，这个两位数被个位数字除时，商是8，余数是2，求这个两位数．
【例6-2】一个二位数的十位数字与个位数字的和是12，如果交换十位数字与个位数字的位置并把所得到的新的二位数作为分子，把原来的二位数作为分母，所得的分数约分为，则这个二位数是_____．
【变式6-1】一个两位数的个位数字比十位数字大3，用这个两位数除以个位数字的商是6.设十位数字为x，则所列方程为____________.
【变式6-2】一个两位数，个位上的数比十位上的数大4，用个位上的数去除这个两位数商是3，求这个两位数.
【变式6-3】有一个最简分数，如果分子加1，分子则比分母少2；如果分母加1，则分数值等于，原分数是 ．
题型7 商品利润问题
售价-进价=利润 进价x利润率=利润 标价x折扣=售价
【例7-1】飞盘运动由于门槛低、限制少，且具有较强的团体性和趣味性，在全国各地悄然兴起，深受年轻人喜爱．某商家购进了海绵和橡胶两种飞盘进行销售，已知一个橡胶飞盘比一个海绵飞盘的进价多30元，其中购买海绵飞盘花费4000元，购买橡胶飞盘花费3200元，且购买海绵飞盘的数量是购买橡胶飞盘数量的2倍．
(1)求一个海绵飞盘的进价是多少元；
(2)商家第一次购进的飞盘很快售完，决定再次购进同种类型的海绵和橡胶两种飞盘共80个，但海绵飞盘的进价比第一次购买时提高了16%，而橡胶飞盘的进价在第一次购买时进价的基础上打9折，如果商家此次购买海绵和橡胶两种飞盘的总费用不超过4800元，那么此次最多可购买多少个橡胶飞盘？
【例7-2】某商场用元购入一批空调，然后以每台元的价格销售，因天气炎热，空调很快售完，商场又以元的价格再次购入该种型号的空调，数量是第一次购入的2倍，但购入的单价上调了元，每台的售价也上调了元．
(1)商场第一次购入的空调每台进价是多少元？
(2)商场既要尽快售完第二次购入的空调，又要在这两次空调销售中获得的利润率不低于，打算将第二次购入的部分空调按每台九五折出售，最多可将多少台空调打折出售？
【变式7-1】．习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”、为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动，用元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用元购买的套数只比第一批少4套，设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是( )
A. B. C. D.
【变式7-2】．为筹办元旦联欢会，八年一班两次到超市购买同一款饮料，第一次按标价购买，用了元；第二次超市有优惠活动，按标价的6折购买，用了元，若两次一共购买了瓶饮料，这种饮料的标价是多少？
【变式7-3】．今年，某市举办了一届主题为“强国复兴有我”的中小学课本剧比赛.某队伍为参赛需租用一批服装，经了解，在甲商店租用服装比在乙商店租用服装每套多10元，用500元在甲商店租用服装的数量与用400元在乙商店租用服装的数量相等.
（1）求在甲，乙两个商店租用的服装每套各多少元？
（2）若租用10套以上服装，甲商店给予每套九折优惠.该参赛队伍准备租用20套服装，请问在哪家商店租用服装的费用较少，并说明理由.
【变式7-4】习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是最深厚的文化软实力，是中国特色社会主义植根的沃土，是我们在世界文化激荡中站稳脚跟的根基.为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著读书活动.用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城8折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套.
(1)求第一批购进的“四大名著”每套的价格是多少元；
(2)该校共购进“四大名著”多少套？
题型8 图形问题
从图形图表上挖掘信息，建立等量关系
【例8-1】如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了．
(1)“丰收1号”单位面积产量为 ，“丰收2号”单位面积产量为 （结果用含的式子表示）；
(2)若“丰收2号”的单位面积产量是“丰收1号”的单位面积产量的倍，求的值．
【例8-2】李师傅要给一块长9米，宽7米的长方形地面铺瓷砖，如图，现有A和B两种款式的瓷砖，且A款正方形瓷砖的边长与B款长方形瓷砖的长相等，B款瓷砖的长大于宽，李师傅打算按如下设计图的规律进行铺瓷砖，若A款瓷砖的用量比B款瓷砖的2倍少14块，且恰好铺满地面，则B款瓷砖的长为_______米，宽为_______米．
【变式8-1】如图1，在一张长方形纸片的四个角分别剪去一个边长相等的正方形，可折叠成如图2的一个无盖长方体纸盒．
(1)若图1中原长方形纸片长，宽，被剪掉的正方形边长为，折叠得到的无盖长方体纸盒的长、宽、高之和为，求a的值；
(2)现有60张同样规格的长方形纸片，可制作成60个无盖长方体纸盒，剪下来的正方形恰好全部制作成正方体（每个正方体需要6个正方形），现把20名同学分为甲、乙两组，甲组制作无盖长方体纸盒，乙组制作正方体，若甲组平均每人制作的无盖长方体纸盒个数是乙组平均每人制作的正方体个数的一半，求甲组有多少名同学？
【变式8-2】如图，甲和乙均是容积为90立方分米无盖的长方体盒子．

(1)甲盒子底面是边长为a分米的正方形，这个盒子的高是___________分米；这个盒子的表面积是_____________平方分米．（用含有a的式子表示）
(2)乙盒子底面是长方形，甲盒子比乙盒子高5分米. 选用2元/平方分米的材料，制作甲乙两个盒子的底面，乙盒子底面材料费用是甲盒子底面材料费用的2倍，求乙盒子的高．
【变式8-3】刘峰和李明相约周末去科技馆看展览，根据他们的谈话内容，试求李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时各行多少千米？
刘峰：我查好地图了，你看看 李明：好的，我家门口的公交车站，正好有一趟到科技馆那站停的车，我坐明天8：30的车.
刘峰：从地图上看，我家到科技馆的距离比你家近10千米，我就骑自行车去了. 李明：行，根据我的经验，公交车的速度一般是你骑自行车速度的3倍，那你明天早上8：00点从家出发，如顺利，咱俩同时到达.
【变式8-4】．小宇家附近新修了一段公路，他想给市政写信，建议在路的两边种上银杏树.他先让爸爸开车驶过这段公路，发现速度为60千米/小时，走了约2分钟，由此估算这段路长约______千米.然后小宇查阅资料，得知银杏为落叶大乔木，成年银杏树树冠直径可达8米.小宇计划从路的起点开始，每隔a米种一棵树，绘制示意图如图：
考虑到投入资金的限制，他设计了另一种方案，将原计划的a扩大一倍，则路的两侧共计减少100棵数，请你求出a的值.
【变式8-5】．如图所示的电路的总电阻为，若，则____________.
，
题型9 和差倍分问题
【例9-1】我区某葡萄种植庄园计划要在规定时间种植6000棵葡萄树．在实际施工时，参与种植人数比计划人数多，这样每天实际种植葡萄树比原计划每天多，结果比原计划提前2天完成种植任务．原计划每天种植多少棵葡萄树？
【例9-2】第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地5G下载速度是每秒多少兆？
【变式9-1】赵强同学借了一本书,共280页,要在两周借期内读完.当他读了一半时,发现平均每天要多读21页才能在借期内读完.他读前一半时,平均每天读多少页？如果设读前一半时,平均每天读x页,则下面所列方程中,正确的是( )
A. B. C. D.
【变式9-2】．在读书活动中，某同学对甲、乙两个班学生的读书情况进行了统计：甲班学生人数比乙班学生人数多3，甲班学生读书480本，乙班学生读书360本，乙班平均每人读书的本数是甲班平均每人读书的本数的.求甲、乙两班分别有多少人.设乙班有x人，依题意，可列方程为___________.
【变式9-3】．金秋十月，延安苹果大面积成熟.某苹果经销商在果农处用30000元收购了一批苹果，由于市场反响很好，该经销商再一次购进同一种苹果，第二次的收购单价比第一次上涨了，收购量比第一次多了2000千克.已知第二次的收购费用是第一次收购费用的，则水果经销商两次共收购了多少千克苹果？
题型10 航行问题
顺水速度= 静水速度+水流速度 逆水速度=静水速度-水流速度
【例10-1】．一艘轮船在静水中的最大航速为千米/时，它沿江以最大航速顺流航行千米所用时间，与以最大航速逆流航行千米所用时间相等．求江水的流速为多少千米/时．
【例10-2】两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是50km/h，水流速度是akm/h．
（1）2h后两船相距多远？
（2）2h后甲船比乙船多航行多少千米？
（3）一艘小快艇送游客在甲、乙两个码头间往返，其中去程的时间是回程的时间3倍，则小快艇在静水中的速度v与水流速度a的关系是 ．
【变式10-1】．一艘轮船在静水中的速度为，它沿江顺流航行与逆流航行所用时间相等，江水的流速为________.
【变式10-2】．一只小船从A港口顺流航行到B港口需6 h，而由B港口返回到A港口需要8 h.某日，小船在早上6时出发由A港口顺流航行到B港口时，发现船上一个救生圈在途中掉入水中，于是立刻返回寻找救生圈，1 h后找到救生圈.
（1）若小船按水流速度由A港口漂流到B港口，需要多长时间？
（2）救生圈于何时掉入水中？
【变式10-3】．一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行所用的时间，与以最大航速沿江逆流航行所用的时间相等，江水的流速是多少？
题型11 方案设计问题
【例11-1】某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作3个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要10个月可以完成．
（1）乙队单独完成这项工程需要几个月？
（2）已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月）．为了确保经费和工期，采取甲队做a个月，乙队做b个月（a、b均为整数）分工合作的方式施工，问有哪几种施工方案？
【例11-2】位于四川省广汉市的“三星堆”，被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，被誉为“长江文明之源”，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体．七中育才八年级学生计划下周前往此处开展文史探究活动．下面是两位同学对于出行方案的讨论：
芳芳：我们一共有810名师生，如果租用甲种大巴刚好可以坐满．
敏敏：乙种大巴座位数比甲种多，如果租用乙种大巴可以少租3辆，也刚好可以坐满．
(1)请根据以上信息，求出每辆甲种和每辆乙种大巴的座位数；
(2)为保证顺利出行，大巴车司机计划近期加油两次，打算采用两种加油方式：
方式一：每次均按照相同油量（100升）加油；
方式二：每次均按照相同金额（500元）加油．
若第一次加油单价为x元/升，第二次加油单价为y元/升（）．请分别写出每种加油方式的平均单价（用含x、y的代数式表示），并根据你所学知识帮助大巴车司机选择上述哪种加油方式更合算．
【变式11-1】．某商场计划购进一批甲、乙两种玩具,已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元,用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进的乙种玩具的件数相同.
(1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
(2)商场计划购进甲、乙两种玩具共48件,购进这两种玩具的总资金超过970元但不超过1000元,求商场有哪几种具体的进货方案？最多可以购进乙种玩具多少件？
【变式11-2】．今年，某市举办了一届主题为“强国复兴有我”的中小学课本剧比赛.某队伍为参赛需租用一批服装，经了解，在甲商店租用服装比在乙商店租用服装每套多10元，用500元在甲商店租用服装的数量与用400元在乙商店租用服装的数量相等.
（1）求在甲，乙两个商店租用的服装每套各多少元？
（2）若租用10套以上服装，甲商店给予每套九折优惠.该参赛队伍准备租用20套服装，请问在哪家商店租用服装的费用较少，并说明理由.
【变式11-3】．某贸易公司现有480吨货物，准备外包给甲、乙两个车主来完成运输任务.已知甲车主单独完成运输任务比乙车主单独完成任务要多用10天，而乙车主每天运输的吨数是甲车主的1.5倍，公司需付甲车主每天800元运输费，乙车主每天运输费1200元，同时公司每天要付给发货工人200元工资.
(1)求甲、乙两个车主每天各能运输多少吨货物？
(2)公司制定如下方案，可以由甲、乙任意一个车主单独完成，也可以由两车主合作完成.请你通过计算，帮该公司从这三种方案中选择一种既省钱又省时的外包方案.
题型12 素材问题
【例12-1】根据以下素材，探索完成任务.
奶茶销售方案制定问题
素材1 当下年轻人喜欢喝奶茶，在入夏之际某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”．每杯“芝士杨梅”的售价比“满杯杨梅”贵2元，购买1杯“芝士杨梅”和2杯“满杯杨梅”共需53元．
素材2 两款奶茶配料表如下： 芝士杨梅配料芝士/杯茉莉清茶/杯杨梅肉多肉 满杯杨梅配料茉莉清茶/杯杨梅肉多肉
素材3 5月27日当天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”获利润480元，其中每杯“芝士杨梅”的利润是每杯“满杯杨梅”的倍，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯．
素材4 由于芝士保质期将至，为了去库存，5月28日决定对“芝士杨梅”每杯降价4元促销，并要求当天芝士消耗量不少于3500mL，配制的17500mL茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”．
问题解决
任务1 确定奶茶的售价 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的售价是多少？
任务2 确定奶茶的成本 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的成本是多少？（）
任务3 拟定最优方案 为了使5月28日这两种奶茶获利最大，需制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共多少杯？
【例12-2】根据以下素材，探索完成任务
素材1 某中学701班自制一款组合式的木质收纳架．如图所示，已知单个收纳架由2个横杆和5个竖杆组成，横杆长为60厘米，竖杆长为32厘米．
素材2 可提供的制作原料是每根长为160厘米的木条．考虑到所制作的收纳架的牢固性，规定单根杆件的用料不能拼接而成．
解决问题
任务（一） 拟定裁切方案 一根160厘米长的木条有以下裁剪方法．（余料作废）方法①：当只裁剪32厘米的竖杆时，最多可裁剪_________根；方法②：当先裁剪下1根60厘米长的横杆时，余下部分最多能裁剪32厘米长的竖杆_________根；方法③：当先裁剪下2根60厘米长的横杆时，余下部分最多能裁剪32厘米长的竖杆_________根．
任务（二） 核算材料费用 班委会计划在教室墙壁上安装5个收纳架，若用任务（一）中的方法②和方法③进行裁剪，则裁剪多少根160厘米长的木条，才能刚好得到所需要的用料？
任务（三） 评价安装工效 同学们在安装过程中发现：单位时间内可以安装根竖杆或根横杆．任务（二）中的5个收纳架安装完毕时，发现安装竖杆所需的时间与安装横杆所需的时间相同，求的值．
【变式12-1】《花卉装点校园,青春献礼祖国》项目学习方案：
项目情景 国庆将至,向阳中学购买花卉装点校园,向祖国母亲生日献礼.同学们需完成了解花卉知识(包括花语等知识),购买花卉,插花,摆放盆栽等任务
素材一 采购小组到市场上了解到每枝A种花卉比每枝B种花卉便宜3元,用600元购买的B种花卉数量为用240元购买的A种花卉数量的2倍
任务一 小组成员甲设用240元购买的A种花卉的数量为x,由题意得方程：①；小组成员乙设②,由题意得方程：
素材二 插花时,技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成m盆小盆栽的插花任务或完成盆大盆栽的插花任务,并且完成25盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同
任务二 求m的值
(1)任务一中横线①处应填________,横线②处应填________.
(2)完成任务二.
【变式12-2】．【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”,为给师生提供更加良好的阅读环境,学校决定扩大图书馆面积,增加藏书数量,现需购进20个书架用于摆放书籍.
【素材呈现】
素材一：有A,B两种书架可供选择,A种书架的单价比B种书架单价高；
素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个；
素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的.
【问题解决】
(1)问题一：求出A,B两种书架的单价；
(2)问题二：设购买a个A种书架,购买总费用为w元,求w与a的函数关系式,并求出费用最少时的购买方案；
(3)问题三：实际购买时,商家调整了书架价格,A种书架每个降价m元,B种书架每个涨价元,按问题二的购买方案需花费21120元,求m的值.
人教版八年级数学上名师点拨与训练
第15章 分式
15.3.1分式方程2
学习目标
会分析题意，找出相等关系列分式方程；
会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题；
重点：分析生活中分式方程应用题的数量关系；
难点：将复杂问题中的数量关系用分式方程表示，并进行归纳总结。
老师告诉你
列分式方程解实际应用题的基本步骤：
①审：仔细审题，审清题意，找出题目中已知量与未知量的等量关系。
②设：设出未知数。
③列：列出分式方程。
④解：解分式方程。
⑤验：检验求出的解是不是分式方程的解，也要检验这个解是否符合实际问题。
⑥答：写出答案。
题型1，工程问题
工程问题 基本公式：工作量=工时×工效
【例1-1】．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产多少台机器？
答案：现在平均每天生产200台机器
解析：设原计划平均每天生产x台机器，则现在平均每天生产台机器.
根据题意，得
方程两边同乘，得
解得.
检验：当时，，
所以，是所列分式方程的解，且符合题意.
所以.
答：现在平均每天生产200台机器.
【例1-2】某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用30天时间完成整个工程．当一号施工队工作10天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前8天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程．
（1）若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？
（2）若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？
【分析】（1）设二号施工队单独施工需要x天，根据题意列方程即可得到结论；
（2）根据题意列式计算即可．
【解答】解：（1）设二号施工队单独施工需要x天，
根据题意得：，
解得：x＝45，
经检验，x＝45是原分式方程的解．
答：若由二号施工队单独施工，完成整个工期需要45天．
（2）根据题意得：（天），
答：若由一、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要18天．
【点评】本题考查了分式方程的应用，正确的理解题意是解题的关键．
【变式1-1】．张明清点完一批图书的一半，李强加入清点另一半图书的工作，两人合作清点完另一半图书.如果李强单独清点这批图书需要几小时？
答案：
解析：设李强单独清点这批图书需要.
根据题意，得.
解得.
检验：当时，，
所以，是所列分式方程的解，且符合题意.
答：李强单独清点这批图书需要.
【变式1-2】．问题:“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道,由于采用新的施工方式,________________,提前2天完成任务,求原计划每天修建下水管道的长度 ”
条件:（1）实际每天修建的长度比原计划多25%;
（2）原计划每天修建的长度比实际少75米.
在上述的2个条件中选择1个________________(仅填序号)补充在问题的横线上,并完成解答.
答案：选（1）或（2）;选（1）原计划每天修建下水管道的长度为300米;选（2）原计划每天修建下水管道的长度为300米
解析:选（1）或（2）
（1）设原计划每天修建下水管道的长度为x米
经检验:是所列方程的解
答:原计划每天修建下水管道的长度为300米.
（2）设原计划每天修建下水管道的长度为x米
,(舍)
经检验:是所列方程的解.
答:原计划每天修建下水管道的长度为300米.
题型2 行程问题
行程问题：（1）路程=速度x时间
顺水速度= 静水速度+水流速度 逆水速度=静水速度-水流速度
【例2-1】小明到离家2400米的体育馆看球赛，进场时，发现门票还放在家中，此时离比赛还有40分钟，于是他立即步行（匀速）回家取票，在家取票用时2分钟，取到票后，他马上骑自行车（匀速）赶往体育馆．已知小明骑自行车从家赶往体育馆比从体育馆步行回家所用时间少20分钟，骑自行车的速度是步行速度的3倍．
(1)小明步行的速度（单位：米/分钟）是多少？
(2)小明能否在球赛开始前赶到体育馆？
【答案】(1)小明步行的速度是80米/分
(2)小明不能在球赛开始前赶到体育馆
【知识点】分式方程的实际应用
【分析】本题考查了分式方程的应用，读懂题意，正确找出题目中的等量关系，列出方程是解决问题的关键．
（1）设小明步行速度为x米/分，则自行车的速度为米/分，根据题意列出分式方程求解即可；
（2）求出小明总共需要的时间进行比较即可．
【详解】（1）解：设小明步行速度为x米/分，则自行车的速度为米/分
根据题意得：，
解得：
经检验是原方程的解．
答：小明步行的速度是米/分．
（2）根据题意得，小明总共需要： ．
答：小明不能在球赛开始前赶到体育馆．
【例2-2】广南到那洒高速公路经过两年多的建设，于2020年6月 30日24时正式通车运营，全长的广那高速结束了广南县城不通高速公路的历史．从广南到那洒还有条全长的普通公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上行驶的平均速度快，由高速公路从广南到那洒所需要的时间是由普通公路从广南到那洒所需时间的一半，求该客车由高速公路从广南到那洒需要几小时．
【答案】该客车由高速公路从广南到那洒需要 小时
【知识点】分式方程的实际应用
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设该客车由高速公路从广南到那洒需要x小时，则该客车由普通公路从广南到那洒需要小时，再根据客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上行驶的平均速度快列出方程求解即可．
【详解】解：设该客车由高速公路从广南到那洒需要x小时，则该客车由普通公路从广南到那洒需要小时．
依题意，得
解得
经检验 是原方程的解，且符合题意．
答：该客车由高速公路从广南到那洒需要 小时．
【变式2-1】．随着生活水平的提高和环保意识的增强,小亮家购置了新能源电动汽车,这样他乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了15分钟,已知电动汽车的平均速度是公交车的2.5倍,小亮家到学校的距离为8千米.若设乘公交车平均每小时走x千米,则可列方程为( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：15分钟小时
设乘公交车平均每小时走x千米,则电动汽车的平均速度是每小时走2.5x千米,
得：
故选D.
【变式2-2】．斑马线前“车让人”,不仅体现着一座城市对生命的尊重,也直接反映着城市的文明程度.如图,某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道,其中米,在绿灯亮时,小敏共用22秒通过AC路段,其中通过BC路段的速度是通过AB路段速度的1.2倍,则小敏通过AB路段时的速度是( )
A.0.5米/秒 B.1米/秒 C.1.5米/秒 D.2米/秒
答案：B
解析：设通过AB的速度是xm/s,
根据题意可列方程：,
解得,
经检验：是原方程的解且符合题意.
所以通过AB时的速度是1m/s.
故选B.
【变式2-3】．李明到离家2.1千米的学校参加初三联欢会,到学校时发现演出道具还放在家中,此时距联欢会开始还有42分钟,于是他立即匀速步行回家,在家拿道具用了1分钟,然后立即匀速骑自行车返回学校.已知李明骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟,且骑自行车的速度是步行速度的3倍.
(1)李明步行的速度(单位：米/分)是多少？
(2)李明能否在联欢会开始前赶到学校？
答案：(1)70米/分
(2)能
解析：(1)设步行速度为x米/分,则自行车的速度为米/分,
根据题意得：,
解得：,
经检验是原方程的解,
即李明步行的速度是70米/分.
(2)根据题意得,李明总共需要：.
即李明能在联欢会开始前赶到.
答：李明步行的速度为70米/分,能在联欢会开始前赶到学校.
题型3 销售问题
总价=数量x单价
【例3-1】数字乡村建设是加快农业农村现代化的一项重要举措，智慧水产建设是数字乡村建设的重要一环．某乡村鱼塘计划购进智能水质传感器和云平台增氧机若干台，实现智慧水产养殖，提升鱼塘产值．采购人员发现一台水质传感器比一台增氧机贵1000元，用9000元购买的水质传感器的数量与6000元购买的增氧机的数量相同．
(1)分别求一台水质传感器和一台增氧机的售价．
(2)若鱼塘采购资金为40000元，两种设备共购进15台，则最多可购买多少台水质传感器？
【答案】(1)一台水质传感器的售价为3000元，一台增氧机的售价为2000元
(2)该鱼塘最多可购买10台水质传感器
【知识点】分式方程的实际应用、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，（1）设一台水质传感器的售价为x元，则一台增氧机的售价为元，根据“用9000元购买的水质传感器的数量与6000元购买的增氧机的数量相同，”列方程求解即可；
（2）设购买m台水质传感器，则购买台增氧机，根据题意列不等式求解即可．
【详解】（1）解：设一台水质传感器的售价为x元，则一台增氧机的售价为元．
由题意得，
解得，
经检验是分式方程的解且符合实际，
．
答：一台水质传感器的售价为3000元，一台增氧机的售价为2000元．
（2）解：设购买m台水质传感器，则购买台增氧机．
由题意得，
解得．
答：该鱼塘最多可购买10台水质传感器．
【例3-2】人们提倡“节能减排，低碳出行”，随着新能源电动汽车的迅猛发展，在很多高速公路服务区里既有加油站同时又配有充电桩．
(1)在某个服务区，新能源电动汽车的充电桩比燃油汽车的加油枪多4个，爱观察的小萌发现：在1个小时内，平均每个充电桩可以为2辆电动车充电，平均一个加油枪可以为7辆燃油车加油，这样在这1小时内共为80辆车提供了充电、加油的服务．那么这个服务区的充电桩和加油枪分别有多少个？
(2)一般情况下，在高速公路上行驶时燃油汽车平均每公里的汽油费是新能源电动汽车平均每公里电费的倍，两位车主在服务区分别花250元给燃油车加油、花60元给新能源电动车充电，最后燃油汽车可行驶的里程比新能源电动汽车可行驶的里程多100公里，那么新能源汽车在高速路上行驶时平均每公里费用为多少元？
【答案】(1)充电桩和加油枪分别有12个，8个
(2)新能源汽车在高速路上行驶时平均每公里费用为0.15元
【知识点】分式方程的实际应用、其他问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程和分式方程在实际生活中的应用，正确理解题意，建立方程是解决本题的关键．
（1）设服务区的充电桩有x个，则加油枪有个，建立方程：，解方程即可；
（2）新能源汽车在高速路上行驶时平均每公里费用y元，则燃油汽车平均每公里的汽油费为元，由题意得： ，再解分式方程即可，注意需要检验．
【详解】（1）解：设服务区的充电桩有x个，则加油枪有个，
由题意得：，
解得：，
则，
答：充电桩和加油枪分别有12个，8个．
（2）解：设新能源汽车在高速路上行驶时平均每公里费用y元，则燃油汽车平均每公里的汽油费为元，
由题意得： ，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意．
答：新能源汽车在高速路上行驶时平均每公里费用为0.15元
【变式3-1】．某商场计划购进一批甲、乙两种玩具,已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元,用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进的乙种玩具的件数相同.
(1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
(2)商场计划购进甲、乙两种玩具共48件,购进这两种玩具的总资金超过970元但不超过1000元,求商场有哪几种具体的进货方案？最多可以购进乙种玩具多少件？
答案：(1)甲,乙两种玩具的进价分别是15元/件,25元/件
(2)共有3种方案：方案一：购进甲种玩具20件,购进乙种玩具28件；方案二：购进甲种玩具21件,购进乙种玩具27件；方案三：购进甲种玩具22件,购进乙种玩具26件；最多可以购进乙种玩具28件
解析：(1)设甲种玩具进价x元/件,则乙种玩具进价为元/件,根据题意,得
,
解得,
经检验是原方程的解.
∴.
答：甲,乙两种玩具的进价分别是15元/件,25元/件；
(2)设购进甲种玩具y件,则购进乙种玩具件,根据题意,得
,
解得.
∵y是整数,
∴y取20,21,22,共有3种方案.
方案一：购进甲种玩具20件,购进乙种玩具28件,
方案二：购进甲种玩具21件,购进乙种玩具27件,
方案三：购进甲种玩具22件,购进乙种玩具26件,
则最多可以购进乙种玩具28件.
【变式3-2】．金秋十月，延安苹果大面积成熟.某苹果经销商在果农处用30000元收购了一批苹果，由于市场反响很好，该经销商再一次购进同一种苹果，第二次的收购单价比第一次上涨了，收购量比第一次多了2000千克.已知第二次的收购费用是第一次收购费用的，则水果经销商两次共收购了多少千克苹果？
答案：14000千克苹果
解析：设第一次收购的苹果每千克x元，则第二次收购的苹果每千克元.
根据题意，得，解得.
经检验，是原方程的解，且符合题意.
（千克），
（千克）.
水果经销商两次共收购了14000千克苹果.
【变式3-3】．为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，某校投入2万元购进了一批劳动工具.开展课后服务后，学生的劳动实践需求明显增强，需再次采购一批相同的劳动工具，已知采购数量与第一次相同，但采购单价比第一次降低10元，总费用降低了15%.设第二次采购单价为x元，则下列方程中正确的是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：设第二次采购单价为x元，则第一次采购单价为元，
依题意得：，
故选：D.
题型4 比例问题
【例4-1】古希腊时期，人们认为最美人体的肚脐至脚底的长度与身高长度之比约为0.618，著名的“断臂维纳斯”便是如此．若王老师身高，肚脐到脚底的长度为，为使王老师穿上高跟鞋以后更接近最美人体比例，选择高跟鞋的跟高约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用
【分析】设选择高跟鞋的跟高约为x厘米，根据“最美人体的肚脐至脚底的长度与身高长度之比约为0.618”列方程，求解即可．
【详解】设选择高跟鞋的跟高约为x厘米，由题意得
解得
所以，选择高跟鞋的跟高约为5厘米．
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，能够根据题意列出分式方程是解题的关键．
【例4-2】在暑假社会实践活动中，小明所在小组的同学与一家玩具生产厂家联系，给该厂组装玩具，该厂同意他们组装240套玩具．这些玩具分为A，B，C三种型号，它们的数量比例以及每人每小时组装各种型号玩具的数量如图所示.
若每人组装同一种型号玩具的速度都相同，根据以上信息，完成下列填空：
(1)从上述统计图可知，A型玩具有________套，B型玩具有_____套，C型玩具有______套；
(2)若每人组装A型玩具16套与组装C型玩具12套所花的时间相同，求a的值并且求每人每小时组装C型玩具多少套？
【答案】(1) 132，48，60；(2) a=4，6(套)
【知识点】条形统计图和扇形统计图信息关联、分式方程的实际应用
【分析】（1）根据题意，可得三套玩具各自的百分比与总套数，计算可得三套玩具各自的件数；
（2）根据题意，每人组装A型玩具16套与组装C型玩具12套所花的时间相同，根据条形图可得各自的时间，列出关系式解可得a的值．
【详解】（1）A型玩具：240×55%=132（套）；
B型玩具：240×（1﹣55%﹣25%）=240×20%=48（套）；
C型玩具：240×25%=60（套）．
（2）依题意，得：，解得：a=4．
经检验，a=4是所列方程的根，所以a的值为4．
当a=4时，2a－2=6．故每人每小时组装C型玩具6套．
【点睛】本题考查了扇形图、条形图的综合运用，解题的关键在于结合两个统计图，找到总数与各部分的关系．
【变式4-1】．有甲、乙两种糖果，原价分别为每千克a元和b元.根据调查，将两种糖果按甲种糖果x千克与乙种糖果y千克的比例混合，取得了较好的销售效果.现在糖果价格有了调整，甲种糖果单价下降15%，乙种糖果单价上涨20%，但按原比例混合的糖果单价恰好不变，则等于( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：甲、乙两种糖果，原价分别为每千克a元和b元，两种糖果按甲种糖果x千克与乙种糖果y千克的比例混合，混合后糖果的平均价格为元.甲种糖果单价下降15%，乙种糖果单价上涨20%，混合后糖果的平均价格为元.按原比例混合的糖果单价恰好不变，，整理，得，，故选D.
【变式4-2】．甲、乙两种糖果,售价分别为20元/千克和24元/千克,根据市场调查发现,将两种糖果按一定的比例混合后销售,取得了较好的销售效果.现在糖果的售价有了调整:甲种糖果的售价上涨了8%,乙种糖果的售价下跌了10%.若这种混合糖果的售价恰好保持不变,则甲、乙两种糖果的混合比例应为甲:乙=__________.
答案：3:2
解析：设甲:乙,即混合时若甲糖果需千克,乙糖果就需千克
根据题意,得
解这个方程,得
所以甲、乙两种糖果的混合比例应为甲:乙
【变式4-3】．“抗击新冠疫情，人人有责”，学校作为人员密集的场所，要求老师和同学们进入校门后按照要求佩戴好口罩，鲁能巴蜀中学七年级的小张同学从学校了解到，上周五这一天，七年级各班共使用口罩1500只，喜欢统计的小张本周统计了七年级各班每天的口罩使用情况，制作了如下的一个统计表，以1500只为标准，其中每天超过1500只的记为“+”，每天不足1500只的记为“-”，统计表格如下：
周一 周二 周三 周四 周五
（1）本周哪一天七年级同学使用口罩最多，数量是多少只？
（2））本周共使用口罩多少只？
（3）若同学们佩戴的口罩分为两种，一种是普通医用口罩，价格为1元一只，另外一种为N95型口罩，价格为3元一只，且本周所用的普通医用口罩和N95型口罩数量之比为，求本周七年级所有同学们购买口罩的总金额？
答案：（1）1547
（2）7520
（3）10528
解析：（1），
周一使用口罩最多，数量是：（只）；
（2）（只），
答：本周共使用口罩7520只；
（3）根据题意，得：（元），
答：本周七年级所有同学们购买口罩的总金额为10528元.
题型5，古代问题
【例5-1】我国古代著作《管子·地员篇》中介绍了一种用数学运算获得“宫商角徵羽”五音的方法．研究发现，当琴弦的长度比满足一定关系时，就可以弹奏出不同的乐音．例如，三根弦按长度从长到短排列分别奏出乐音“”，需满足相邻弦长的倒数差相等．若最长弦为个单位长，最短弦为个单位长，求中间弦的长度．
【答案】
【知识点】分式方程的实际应用
【分析】本题考查了分式的运用，理解题意中的数量关系，设中间弦长为，列式求解即可，掌握分式的运用是解题的关键．
【详解】解：根据相邻弦长的倒数差相等，设中间弦的长度为，
∴，
解得，，
检验，当时，原式有意义，
∴中间弦的长度为 ．
【例5-2】《九章算术》是我国古代著名的数学专著之一．它总结了我国战国、秦汉时期的数学成就．其中有一题，原文：今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里．问善行者几何里及之大意为：现今有不善行者先走10里，善行者再按同路追赶不善行者，当善行者走到100里时，超过不善行者20里．问：善行者走多少里时追上了不善行者？
【答案】里
【知识点】分式方程的实际应用
【分析】设善行者走里时就追上了不善行者，根据速度比等于路程比列出分式方程，解方程即可求解．
【详解】解：设善行者走里时就追上了不善行者，
根据题意，
解得.
答：善行者走里时追上了不善行者.
【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
【变式5-1】．四元玉鉴是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著.该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？(椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆)设这批椽有x株，则符合题意的方程是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：∵这批椽有x株，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，
∴一株椽的价格为文，
根据题意得：.
故选：D.
【变式5-2】．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天.已知快马的速度是慢马的2倍，求两匹马的速度.设慢马的速度为x里/天，则可列方程为( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：
【变式5-3】．《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”（粟指带売的谷子，粝米指糙米，其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”，问题：有3斗的粟（1斗=10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为( )
A.6升 B.8升 C.16升 D.18升
答案：D
解析：根据题意得：3斗＝30升，
设可以换得的粝米为x升，
则，
解得，
经检验：是原分式方程的解，
答：可以换得的粝米为18升.
故选：D.
【变式5-4】．数学文化《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间.设规定时间为x天，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
答案：A
解析：设规定时间为x天，则快马所需的时间为天，慢马所需的时间为天，由题意得：
.
故选：A.
题型6 数字问题
【例6-1】有一个两位数，它的个位数字比十位数字大1，这个两位数被个位数字除时，商是8，余数是2，求这个两位数．
【答案】34
【知识点】解分式方程、分式方程的实际应用
【分析】设十位上的数字为，则个位上的数字为，两位数是，利用两位数减2除以个位数字，商是8列出方程，解方程求出方程的根，检验后求出两位数即可．
【详解】解：设十位上的数字为，则个位上的数字为，
则：，
解方程得：，
经检验：是原方程的根，
所以个位上的数字为：＝3＋1＝4，
所以这个两位数是：3×10＋4＝34．
答：这个两位数是34．
【点睛】本题考查数字问题分式方程应用题，掌握分式方程解应用题的步骤与解法，关键是抓住两位数减2除以个位数字，商是8列出方程．
【例6-2】一个二位数的十位数字与个位数字的和是12，如果交换十位数字与个位数字的位置并把所得到的新的二位数作为分子，把原来的二位数作为分母，所得的分数约分为，则这个二位数是_____．
【答案】84
【分析】设这个二位数的十位数字为x，则个位数字为（12﹣x），根据“如果交换十位数字与个位数字的位置并把所得到的新的二位数作为分子，把原来的二位数作为分母，所得的分数约分为”，即可得出关于x的分式方程，经检验后即可得出结论．
【详解】设这个二位数的十位数字为x，则个位数字为（12﹣x），
根据题意得：＝，
解得：x＝8，
经检验，x＝8是所列分式方程的解，且符合题意，
∴12﹣x＝4．
故答案为84．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【变式6-1】一个两位数的个位数字比十位数字大3，用这个两位数除以个位数字的商是6.设十位数字为x，则所列方程为____________.
答案：
解析：由题意知，十位数字为x，则个位数字为，所以该两位数为，依题意可列方程为.
【变式6-2】一个两位数，个位上的数比十位上的数大4，用个位上的数去除这个两位数商是3，求这个两位数.
【答案】15.
【分析】设十位上的数字为x，则个位上的数字为x+4，这个两位数为：10x+（x+4），根据用个位上的数去除这个两位数商是3，列出分式方程，求解即可得出答案．
【详解】解：，
解得：x=1，
经检验，x=1是分式方程的解，
10x+（x+4）=10×1+1+4=15．
答：这个两位数为15．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用，利用个位与十位的关系列出方程是解题的关键．在解答本题的过程中根据条件从而得到本题的结果．
【变式6-3】有一个最简分数，如果分子加1，分子则比分母少2；如果分母加1，则分数值等于，原分数是 ．
【答案】
【知识点】分式方程的实际应用
【分析】由分子加1，分子则比分母少2可知，原来分子比分母少，如果设原来的分子是x，则分母是，又由分母加1，则分数值等于即可列出方程，由此解答即可．
【详解】解：设原分数的分子是x，则分母是，由题意列出方程
所以，
所以，
解得：，经检验符合题意；
所以；
因此这个分数是；
故答案为：
【点睛】此题考查的目的是理解掌握分数的基本性质及应用，关键是找出等量关系，设出未知数，列方程解答比较简便．
题型7 商品利润问题
售价-进价=利润 进价x利润率=利润 标价x折扣=售价
【例7-1】飞盘运动由于门槛低、限制少，且具有较强的团体性和趣味性，在全国各地悄然兴起，深受年轻人喜爱．某商家购进了海绵和橡胶两种飞盘进行销售，已知一个橡胶飞盘比一个海绵飞盘的进价多30元，其中购买海绵飞盘花费4000元，购买橡胶飞盘花费3200元，且购买海绵飞盘的数量是购买橡胶飞盘数量的2倍．
(1)求一个海绵飞盘的进价是多少元；
(2)商家第一次购进的飞盘很快售完，决定再次购进同种类型的海绵和橡胶两种飞盘共80个，但海绵飞盘的进价比第一次购买时提高了16%，而橡胶飞盘的进价在第一次购买时进价的基础上打9折，如果商家此次购买海绵和橡胶两种飞盘的总费用不超过4800元，那么此次最多可购买多少个橡胶飞盘？
【答案】(1)50元，；
(2)11.
【分析】（1）设一个海绵飞盘的进价为x元，则一个橡胶飞盘的进价为（x+30）元，由题意：购买海绵飞盘花费4000元，购买橡胶飞盘花费3200元，且购买海绵飞盘的数量是购买橡胶飞盘数量的2倍．列出分式方程，解方程即可；
（2）设此次可购买a个橡胶飞盘，则购买个海绵飞盘，由题意：海绵飞盘的进价比第一次购买时提高了16%，而橡胶飞盘的进价在第一次购买时进价的基础上打9折，商家此次购买海绵和橡胶两种飞盘的总费用不超过4800元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
（1）
解：设一个海绵飞盘的进价为x元，则一个橡胶飞盘的进价为（x+30）元，
由题意得：，
解得：x=50，
经检验，x=50是原方程的解，且符合题意，
答：一个海绵飞盘的进价为50元；
（2）
设此次可购买a个橡胶飞盘，则购买个海绵飞盘，
由题意得：
解得：
∵a是整数，
∴a最大值为11，
答：此次最多可购买11个橡胶飞盘．
【点睛】此题考查分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系与不等关系，正确列出分式方程和一元一次不等式．
【例7-2】某商场用元购入一批空调，然后以每台元的价格销售，因天气炎热，空调很快售完，商场又以元的价格再次购入该种型号的空调，数量是第一次购入的2倍，但购入的单价上调了元，每台的售价也上调了元．
(1)商场第一次购入的空调每台进价是多少元？
(2)商场既要尽快售完第二次购入的空调，又要在这两次空调销售中获得的利润率不低于，打算将第二次购入的部分空调按每台九五折出售，最多可将多少台空调打折出售？
【答案】(1)商场第一次购入的空调每台进价是元
(2)最多将8台空调打折出售
【知识点】分式方程的实际应用、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．解答分式方程时，一定要注意验根．
（1）设商场第一次购入的空调每台进价是x元，根据题目条件“商场又以元的价格再次购入该种型号的空调，数量是第一次购入的2倍，但购入的单价上调了元”列出分式方程解答即可；
（2）设将y台空调打折出售，根据题目条件“在这两次空调销售中获得的利润率不低于，打算将第二次购入的部分空调按每台九五折出售”列出不等式并解答即可．
【详解】（1）设商场第一次购入的空调每台进价是x元，由题意列方程得：
，
解得：，
经检验是原方程的根，且符合题意，
答：商场第一次购入的空调每台进价是2400元；
（2）设将y台空调打折出售，根据题意，得：
，
解得：，
答：最多将8台空调打折出售．
【变式7-1】．习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”、为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动，用元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用元购买的套数只比第一批少4套，设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，由题意得，
.
故选：B.
【变式7-2】．为筹办元旦联欢会，八年一班两次到超市购买同一款饮料，第一次按标价购买，用了元；第二次超市有优惠活动，按标价的6折购买，用了元，若两次一共购买了瓶饮料，这种饮料的标价是多少？
答案：元
解析：设饮料的标价是x元，
依题意得，，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意；
∴饮料的标价是元.
【变式7-3】．今年，某市举办了一届主题为“强国复兴有我”的中小学课本剧比赛.某队伍为参赛需租用一批服装，经了解，在甲商店租用服装比在乙商店租用服装每套多10元，用500元在甲商店租用服装的数量与用400元在乙商店租用服装的数量相等.
（1）求在甲，乙两个商店租用的服装每套各多少元？
（2）若租用10套以上服装，甲商店给予每套九折优惠.该参赛队伍准备租用20套服装，请问在哪家商店租用服装的费用较少，并说明理由.
（1）答案：甲，乙两个商店租用的服装每套各50元，40元
解析：设乙商店租用服装每套x元，则甲商店租用服装每套（x+10）元，
由题意可得：，
解得：，
经检验，是该分式方程的解，并符合题意，
，
甲，乙两个商店租用的服装每套各50元，40元.
（2）答案：乙商店租用服装的费用较少
解析：乙商店租用服装的费用较少.
理由如下：该参赛队伍准备租用20套服装时，甲商店的费用为：（元），乙商店的费用为：（元），
，
乙商店租用服装的费用较少.
【变式7-4】习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是最深厚的文化软实力，是中国特色社会主义植根的沃土，是我们在世界文化激荡中站稳脚跟的根基.为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著读书活动.用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城8折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套.
(1)求第一批购进的“四大名著”每套的价格是多少元；
(2)该校共购进“四大名著”多少套？
答案：(1)150元
(2)44套
解析：(1)设第一批购进“四大名著”每套的价格为x元，
则根据题意，得
解得
经检验是所列方程的解.
答：第一批购进的“四大名著”每套的价格是150元.
(2)当时，，
所以(套).
答：该校共购进“四大名著”44套.
题型8 图形问题
从图形图表上挖掘信息，建立等量关系
【例8-1】如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了．
(1)“丰收1号”单位面积产量为 ，“丰收2号”单位面积产量为 （结果用含的式子表示）；
(2)若“丰收2号”的单位面积产量是“丰收1号”的单位面积产量的倍，求的值．
【答案】(1)；
(2)5
【分析】（1）分别求出“丰收1号”、“丰收2号”的面积，再用500除以面积即可；
（2）根据题意列出关于等式求解即可，注意需要验根．
(1)
解：“丰收1号”的面积为：，
单位面积产量为：；
“丰收2号”的面积为：，
单位面积产量为：；
故答案为：；；
(2)
解：由题意，可得，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
∴a的值为5．
【点睛】本题考查了列代数式，分式方程，解题的关键是根据题意列出相应的分式方程．
【例8-2】李师傅要给一块长9米，宽7米的长方形地面铺瓷砖，如图，现有A和B两种款式的瓷砖，且A款正方形瓷砖的边长与B款长方形瓷砖的长相等，B款瓷砖的长大于宽，李师傅打算按如下设计图的规律进行铺瓷砖，若A款瓷砖的用量比B款瓷砖的2倍少14块，且恰好铺满地面，则B款瓷砖的长为_______米，宽为_______米．
【答案】 1 或
【分析】设款瓷砖边长为米，款瓷砖长为米、宽为米，则，解得，由题意知是正整数，设为正整数），解得，将为正整数代入即可得出结果．
【详解】解：设款瓷砖边长为米，款瓷砖长为米、宽为米，
则，
解得：，
经检验，a=1是原方程的解，
由题意得：是正整数，
设为正整数），
解得：，
当时，，舍去）；
当时，，舍去）；
当时，；
当时，．
故答案为：1，或．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，正确理解题意，根据题意设出未知数列出方程组是解题的关键．
【变式8-1】如图1，在一张长方形纸片的四个角分别剪去一个边长相等的正方形，可折叠成如图2的一个无盖长方体纸盒．
(1)若图1中原长方形纸片长，宽，被剪掉的正方形边长为，折叠得到的无盖长方体纸盒的长、宽、高之和为，求a的值；
(2)现有60张同样规格的长方形纸片，可制作成60个无盖长方体纸盒，剪下来的正方形恰好全部制作成正方体（每个正方体需要6个正方形），现把20名同学分为甲、乙两组，甲组制作无盖长方体纸盒，乙组制作正方体，若甲组平均每人制作的无盖长方体纸盒个数是乙组平均每人制作的正方体个数的一半，求甲组有多少名同学？
【答案】(1)4
(2)15名
【知识点】分式方程的实际应用、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】（1）根据“折叠得到的无盖长方体纸盒的长、宽、高之和为”，列出方程，即可求解；
（2）设甲组有x名同学，则乙组有名同学，根据“甲组平均每人制作的无盖长方体纸盒个数是乙组平均每人制作的正方体个数的一半”，列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：
解得：
答：a的值为4．
（2）解：设甲组有x名同学，则乙组有名同学，根据题意得：
，
解得：
经检验，是原方程的解且符合题意．
答：甲组有15名同学．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
【变式8-2】如图，甲和乙均是容积为90立方分米无盖的长方体盒子．

(1)甲盒子底面是边长为a分米的正方形，这个盒子的高是___________分米；这个盒子的表面积是_____________平方分米．（用含有a的式子表示）
(2)乙盒子底面是长方形，甲盒子比乙盒子高5分米. 选用2元/平方分米的材料，制作甲乙两个盒子的底面，乙盒子底面材料费用是甲盒子底面材料费用的2倍，求乙盒子的高．
【答案】(1)，
(2)
【知识点】分式方程的实际应用、列代数式
【分析】（1）长方体体积为长宽高的乘积，已知甲的地面是边长为的正方形，就可以求出高，长宽高已知即可表示表面积．
（2）根据甲乙盒子的高的关系可以表示乙的高，根据地面材料费求出乙的底面积（长宽积），利用体积建立关于高的关系方程，求出乙的高．
【详解】（1）解：，则，表面积=（平方分米）
（2）解：设乙的高为分米，甲的高为分米．
依题意得：
解得：
经检验是此分式方程的解．
答：乙盒子的高为5分米．
【点睛】本题主要考了长方体的体积及表面积的知识，利用公式建立分式方程模型是解题关键．
【变式8-3】刘峰和李明相约周末去科技馆看展览，根据他们的谈话内容，试求李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时各行多少千米？
刘峰：我查好地图了，你看看 李明：好的，我家门口的公交车站，正好有一趟到科技馆那站停的车，我坐明天8：30的车.
刘峰：从地图上看，我家到科技馆的距离比你家近10千米，我就骑自行车去了. 李明：行，根据我的经验，公交车的速度一般是你骑自行车速度的3倍，那你明天早上8：00点从家出发，如顺利，咱俩同时到达.
答案：刘峰骑自行车每小时行20千米，李明乘公交车每小时行60千米
解析：设刘峰骑自行车每小时行x千米，则李明乘公交车每小时行千米，
根据题意，得，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
（千米/时），
答：刘峰骑自行车每小时行20千米，李明乘公交车每小时行60千米.
【变式8-4】．小宇家附近新修了一段公路，他想给市政写信，建议在路的两边种上银杏树.他先让爸爸开车驶过这段公路，发现速度为60千米/小时，走了约2分钟，由此估算这段路长约______千米.然后小宇查阅资料，得知银杏为落叶大乔木，成年银杏树树冠直径可达8米.小宇计划从路的起点开始，每隔a米种一棵树，绘制示意图如图：
考虑到投入资金的限制，他设计了另一种方案，将原计划的a扩大一倍，则路的两侧共计减少100棵数，请你求出a的值.
答案：路长约2千米
解析：设每a米种一棵树，则另一方案每2a米种一棵树
依题意，得：
解得：
经检验，是所列方程的解，且符合题意.
答：a的值为15.
【变式8-5】．如图所示的电路的总电阻为，若，则____________.
，
答案：
解析：根据并联电阻的特点，总电阻为，，
则有：，
，
，
，
故答案为：.
题型9 和差倍分问题
【例9-1】我区某葡萄种植庄园计划要在规定时间种植6000棵葡萄树．在实际施工时，参与种植人数比计划人数多，这样每天实际种植葡萄树比原计划每天多，结果比原计划提前2天完成种植任务．原计划每天种植多少棵葡萄树？
【答案】500棵
【知识点】分式方程的实际应用
【分析】本题考查分式方程的实际应用，设原计划每天种树x棵，根据题意，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设原计划每天种树x棵，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，
答：原计划每天种植500棵葡萄树．
【例9-2】第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地5G下载速度是每秒多少兆？
【答案】60兆
【分析】设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，根据“小明比小强所用的时间快140秒”列出方程求解即可．
【详解】解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆
由题意得：
解得：x=4，
经检验：x=4是原分式方程的解，且符合题意，
15×4=60，
答：该地5G的下载速度是每秒60兆．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数列出方程．
【变式9-1】赵强同学借了一本书,共280页,要在两周借期内读完.当他读了一半时,发现平均每天要多读21页才能在借期内读完.他读前一半时,平均每天读多少页？如果设读前一半时,平均每天读x页,则下面所列方程中,正确的是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：读前一半用的时间为:,读后一半用的时间为:.由题意得,,
故选:C.
【变式9-2】．在读书活动中，某同学对甲、乙两个班学生的读书情况进行了统计：甲班学生人数比乙班学生人数多3，甲班学生读书480本，乙班学生读书360本，乙班平均每人读书的本数是甲班平均每人读书的本数的.求甲、乙两班分别有多少人.设乙班有x人，依题意，可列方程为___________.
答案：
解析：
【变式9-3】．金秋十月，延安苹果大面积成熟.某苹果经销商在果农处用30000元收购了一批苹果，由于市场反响很好，该经销商再一次购进同一种苹果，第二次的收购单价比第一次上涨了，收购量比第一次多了2000千克.已知第二次的收购费用是第一次收购费用的，则水果经销商两次共收购了多少千克苹果？
答案：14000千克苹果
解析：设第一次收购的苹果每千克x元，则第二次收购的苹果每千克元.
根据题意，得，解得.
经检验，是原方程的解，且符合题意.
（千克），
（千克）.
水果经销商两次共收购了14000千克苹果.
题型10 航行问题
顺水速度= 静水速度+水流速度 逆水速度=静水速度-水流速度
【例10-1】．一艘轮船在静水中的最大航速为千米/时，它沿江以最大航速顺流航行千米所用时间，与以最大航速逆流航行千米所用时间相等．求江水的流速为多少千米/时．
【答案】16千米/时
【分析】设江水的流速为千米/时，根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】设江水的流速为千米/时，根据题意得，
，
解得，
经检验，是原方程的解，
答：江水的流速为16千米/时．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
【例10-2】两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是50km/h，水流速度是akm/h．
（1）2h后两船相距多远？
（2）2h后甲船比乙船多航行多少千米？
（3）一艘小快艇送游客在甲、乙两个码头间往返，其中去程的时间是回程的时间3倍，则小快艇在静水中的速度v与水流速度a的关系是 ．
【答案】（1）2h后两船相距千米（2）2h后甲船比乙船多航行千米；（3）
【分析】（1）分别求得甲乙两船行驶的路程，即可求解；
（2）用甲船行驶的路程减去乙船行驶的路程，即可求解；
（3）由题意可得去程是逆水行驶，返程是顺水行驶，设码头之前的距离为，列方程求解即可．
【详解】解：（1）2h后，甲船行驶的路程为，乙船行驶的路程为
两船相距为
答：2h后两船相距千米
（2）由（1）得2h后，甲船行驶的路程为，乙船行驶的路程为
甲船比乙船多航行
答：2h后甲船比乙船多航行千米
（3）由题意可得去程是逆水行驶，返程是顺水行驶，设码头之前的距离为
则去程时间为，返程时间为
由题意可得，即，解得
快艇在静水中的速度v与水流速度a的关系是为
故答案为
【点睛】此题考查了列代数式，以及分式的应用，解题的关键是掌握船顺流航行和逆流航行的速度公式是解题的关键．
【变式10-1】．一艘轮船在静水中的速度为，它沿江顺流航行与逆流航行所用时间相等，江水的流速为________.
答案：6
解析：设江水的流速为.根据题意，得，解得.经检验，是原分式方程的解，且符合题意.
【变式10-2】．一只小船从A港口顺流航行到B港口需6 h，而由B港口返回到A港口需要8 h.某日，小船在早上6时出发由A港口顺流航行到B港口时，发现船上一个救生圈在途中掉入水中，于是立刻返回寻找救生圈，1 h后找到救生圈.
（1）若小船按水流速度由A港口漂流到B港口，需要多长时间？
（2）救生圈于何时掉入水中？
答案：（1）设小船按水流速度由A港口漂流到B港口需要x h.
根据题意，得，
解得.
经检验，是所列方程的根.
答：若小船按水流速度由A港口漂流到B港口需要48 h.
（2）设救生圈是在y时掉入水中的，
则，
解得.
答：救生圈是在11时掉入水中的.
解析：
【变式10-3】．一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行所用的时间，与以最大航速沿江逆流航行所用的时间相等，江水的流速是多少？
答案：
解析：设水流速度为，则由题意得，
，
解得，
经检验，是原方程的解，
答：江水的流速是.
题型11 方案设计问题
【例11-1】某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作3个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要10个月可以完成．
（1）乙队单独完成这项工程需要几个月？
（2）已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月）．为了确保经费和工期，采取甲队做a个月，乙队做b个月（a、b均为整数）分工合作的方式施工，问有哪几种施工方案？
【答案】（1）15（2）方案一：甲队作4个月，乙队作9个月；方案二：甲队作2个月，乙队作12个月
【分析】(1)设完成本项工程的工作总量为1,由题意可知,从而得出x=15. 即单独完成这项工程需要15个月.
(2)根据题目关键信息：该工程总费用不超过141万元、采取甲队做a个月，乙队做b个月（a、b均为整数）分工合作的方式施工可以列出关于a、b方程组，从而得出a、b的取值范围，根据a、b的取值范围及a、b均为整数的关系得出b为3的倍数，则b=9或b=12．从而得出a的取值.确定工程方案.
【详解】（1）设乙队需要x个月完成，根据题意得：
经检验x=15是原方程的根
答：乙队需要15个月完成；
（2）根据题意得：，解得：a≤4 b≥9
∵a≤12，b≤12且a，b都为正整数，
∴9≤b≤12又a=10﹣b，
∴b为3的倍数，∴b=9或b=12．
当b=9时，a=4；
当b=12时，a=2
∴a=4，b=9或a=2，b=12．
方案一：甲队作4个月，乙队作9个月；
方案二：甲队作2个月，乙队作12个月；
【点睛】本题主要考查列方程解决工程问题，工程问题是中考常考知识点.根据 a、b的取值范围及a、b均为整数的关系得出b为3的倍数是本题的难点.
【例11-2】位于四川省广汉市的“三星堆”，被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，被誉为“长江文明之源”，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体．七中育才八年级学生计划下周前往此处开展文史探究活动．下面是两位同学对于出行方案的讨论：
芳芳：我们一共有810名师生，如果租用甲种大巴刚好可以坐满．
敏敏：乙种大巴座位数比甲种多，如果租用乙种大巴可以少租3辆，也刚好可以坐满．
(1)请根据以上信息，求出每辆甲种和每辆乙种大巴的座位数；
(2)为保证顺利出行，大巴车司机计划近期加油两次，打算采用两种加油方式：
方式一：每次均按照相同油量（100升）加油；
方式二：每次均按照相同金额（500元）加油．
若第一次加油单价为x元/升，第二次加油单价为y元/升（）．请分别写出每种加油方式的平均单价（用含x、y的代数式表示），并根据你所学知识帮助大巴车司机选择上述哪种加油方式更合算．
【答案】(1)每辆甲种大巴车的座位数有45个，每辆乙种大巴车的座位数有54个
(2)方式一：，方式二：；选择方式二
【知识点】列代数式、异分母分式加减法、分式方程的实际应用
【分析】本题主要考查分式方程的应用、列代数式．
（1）设每辆甲种大巴车的座位数为a个，则每辆乙种大巴车的座位数为个，根据“都租同一种车辆，甲种大巴车比乙种大巴车多3辆”列出方程，求解即可；
（2）根据“加油费用加油量加油单价”分别算出两种加油方式的平均单价，再利用作差法比较两种加油方式的平均单价的大小即可求解．
【详解】（1）解：设每辆甲种大巴车的座位数为a个，则每辆乙种大巴车的座位数为个，
根据题意可得：，
解得：，
经检验，为原方程的解，
则，
答：每辆甲种大巴车的座位数有45个，每辆乙种大巴车的座位数有54个；
（2）解：按照方式一加油的平均单价为（元/升），
按照方式二加油的平均单价为（元/升），
按方式一加油的平均单价﹣按方式二加油的平均单价得：
（元/升），
∵，，且，
∴，，即，
∴选择方式二加油更合算．
【变式11-1】．某商场计划购进一批甲、乙两种玩具,已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元,用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进的乙种玩具的件数相同.
(1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
(2)商场计划购进甲、乙两种玩具共48件,购进这两种玩具的总资金超过970元但不超过1000元,求商场有哪几种具体的进货方案？最多可以购进乙种玩具多少件？
答案：(1)甲,乙两种玩具的进价分别是15元/件,25元/件
(2)共有3种方案：方案一：购进甲种玩具20件,购进乙种玩具28件；方案二：购进甲种玩具21件,购进乙种玩具27件；方案三：购进甲种玩具22件,购进乙种玩具26件；最多可以购进乙种玩具28件
解析：(1)设甲种玩具进价x元/件,则乙种玩具进价为元/件,根据题意,得
,
解得,
经检验是原方程的解.
∴.
答：甲,乙两种玩具的进价分别是15元/件,25元/件；
(2)设购进甲种玩具y件,则购进乙种玩具件,根据题意,得
,
解得.
∵y是整数,
∴y取20,21,22,共有3种方案.
方案一：购进甲种玩具20件,购进乙种玩具28件,
方案二：购进甲种玩具21件,购进乙种玩具27件,
方案三：购进甲种玩具22件,购进乙种玩具26件,
则最多可以购进乙种玩具28件.
【变式11-2】．今年，某市举办了一届主题为“强国复兴有我”的中小学课本剧比赛.某队伍为参赛需租用一批服装，经了解，在甲商店租用服装比在乙商店租用服装每套多10元，用500元在甲商店租用服装的数量与用400元在乙商店租用服装的数量相等.
（1）求在甲，乙两个商店租用的服装每套各多少元？
（2）若租用10套以上服装，甲商店给予每套九折优惠.该参赛队伍准备租用20套服装，请问在哪家商店租用服装的费用较少，并说明理由.
（1）答案：甲，乙两个商店租用的服装每套各50元，40元
解析：设乙商店租用服装每套x元，则甲商店租用服装每套（x+10）元，
由题意可得：，
解得：，
经检验，是该分式方程的解，并符合题意，
，
甲，乙两个商店租用的服装每套各50元，40元.
（2）答案：乙商店租用服装的费用较少
解析：乙商店租用服装的费用较少.
理由如下：该参赛队伍准备租用20套服装时，甲商店的费用为：（元），乙商店的费用为：（元），
，
乙商店租用服装的费用较少.
【变式11-3】．某贸易公司现有480吨货物，准备外包给甲、乙两个车主来完成运输任务.已知甲车主单独完成运输任务比乙车主单独完成任务要多用10天，而乙车主每天运输的吨数是甲车主的1.5倍，公司需付甲车主每天800元运输费，乙车主每天运输费1200元，同时公司每天要付给发货工人200元工资.
(1)求甲、乙两个车主每天各能运输多少吨货物？
(2)公司制定如下方案，可以由甲、乙任意一个车主单独完成，也可以由两车主合作完成.请你通过计算，帮该公司从这三种方案中选择一种既省钱又省时的外包方案.
答案：(1)甲车主每天能运输16吨货物，乙车主每天能运输24吨货物
(2)两车主合作完成既省钱又省时，计算过程见解析
解析：（1）设甲车主每天能运输吨货物，则乙车主每天能运输吨货物，根据题意得：
，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴.
答：甲车主每天能运输16吨货物，乙车主每天能运输24吨货物.
（2）甲车主单独完成所需时间为（天），
乙车主单独完成所需时间为（天），
甲、乙两车主合作完成所需时间为（天），
甲车主单独完成所需费用为（元），
乙车主单独完成所需费用为（元），
甲、乙两车主合作完成所需费用为（元）.
∵，，
∴该公司选择由两车主合作完成既省钱又省时
答：该公司选择由两车主合作完成既省钱又省时.
题型12 素材问题
【例12-1】根据以下素材，探索完成任务.
奶茶销售方案制定问题
素材1 当下年轻人喜欢喝奶茶，在入夏之际某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”．每杯“芝士杨梅”的售价比“满杯杨梅”贵2元，购买1杯“芝士杨梅”和2杯“满杯杨梅”共需53元．
素材2 两款奶茶配料表如下： 芝士杨梅配料芝士/杯茉莉清茶/杯杨梅肉多肉 满杯杨梅配料茉莉清茶/杯杨梅肉多肉
素材3 5月27日当天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”获利润480元，其中每杯“芝士杨梅”的利润是每杯“满杯杨梅”的倍，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯．
素材4 由于芝士保质期将至，为了去库存，5月28日决定对“芝士杨梅”每杯降价4元促销，并要求当天芝士消耗量不少于3500mL，配制的17500mL茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”．
问题解决
任务1 确定奶茶的售价 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的售价是多少？
任务2 确定奶茶的成本 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的成本是多少？（）
任务3 拟定最优方案 为了使5月28日这两种奶茶获利最大，需制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共多少杯？
【答案】（1）“芝士杨梅”的定价为19元，“满杯杨梅”的定价为17元；（2）“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的成本均为9元/杯；（3）当利润最大时，两种奶茶共制作42杯
【知识点】分式方程的实际应用、销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
【分析】（1）设“芝士杨梅”的售价为x元/杯，“满杯杨梅”的定价为y元/杯，根据题意列方程求解即可；
（2）设“满杯杨梅”成本为a元/杯，则“满杯杨梅”利润为元/杯，根据素材3列方程求解即可；
（3）设制作m杯“芝士杨梅”和n杯“满杯杨梅”，根据素材4列方程求解正整数解，再结合获利最大即可求解．
【详解】（1）设“芝士杨梅”的售价为x元/杯，“满杯杨梅”的定价为y元/杯，
由题意得：，
解得，
答：“芝士杨梅”的定价为19元，“满杯杨梅”的定价为17元，
（2）设“满杯杨梅”成本为a元/杯，则“满杯杨梅”利润为元/杯，
则“芝士杨梅”利润为元/杯，
由题意 ，
解得，
经检验满足题意，
芝士杨梅成本：（元/杯），
答：“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的成本均为9元/杯；
（3）设制作m杯“芝士杨梅”和n杯“满杯杨梅”，
由题意得：，变形得，
∵芝士配料不低于，
∴且m是5的倍数，
∴解得，
∵“芝士杨梅”每杯减4元则每杯利润6元，“满杯杨梅”每杯利润8元，
当时，总利润为266元，
当时，总利润为264元，
∴当利润最大时，两种奶茶共制作42杯．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、二元一次方程组及二元一次方程的应用．找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【例12-2】根据以下素材，探索完成任务
素材1 某中学701班自制一款组合式的木质收纳架．如图所示，已知单个收纳架由2个横杆和5个竖杆组成，横杆长为60厘米，竖杆长为32厘米．
素材2 可提供的制作原料是每根长为160厘米的木条．考虑到所制作的收纳架的牢固性，规定单根杆件的用料不能拼接而成．
解决问题
任务（一） 拟定裁切方案 一根160厘米长的木条有以下裁剪方法．（余料作废）方法①：当只裁剪32厘米的竖杆时，最多可裁剪_________根；方法②：当先裁剪下1根60厘米长的横杆时，余下部分最多能裁剪32厘米长的竖杆_________根；方法③：当先裁剪下2根60厘米长的横杆时，余下部分最多能裁剪32厘米长的竖杆_________根．
任务（二） 核算材料费用 班委会计划在教室墙壁上安装5个收纳架，若用任务（一）中的方法②和方法③进行裁剪，则裁剪多少根160厘米长的木条，才能刚好得到所需要的用料？
任务（三） 评价安装工效 同学们在安装过程中发现：单位时间内可以安装根竖杆或根横杆．任务（二）中的5个收纳架安装完毕时，发现安装竖杆所需的时间与安装横杆所需的时间相同，求的值．
【答案】任务一：5，3，1；任务二：8根，1根；任务三：5
【知识点】分式方程的实际应用、方案问题(二元一次方程组的应用)
【分析】本题考查了二元一次方程组与分式方程的应用，解题的关键是仔细审题，正确列出方程．
任务一：根据围栏材料不同裁剪方法，分别计算出需要的竖杠或横杠；
任务二:利用方法②与方法③列出方程组求解即可；
任务三：利用在单位时间内可以安装m根竖杠或根横杠，所用的时间相同，建立分式方程，求解即可．
【详解】任务一：方法①：(根)
当只裁剪32厘米长的竖杠时，最多可裁剪5根．
方法②：，
当先裁剪下1根60厘米长的横杠时，余下部分最多能裁剪32厘米长的竖杠3根．
方法③：，
当先裁剪下2根60厘米长的横杠时，余下部分最多能裁剪32厘米长的竖杠1根．
任务二：设按方法②需裁剪x根160厘米长的木条，按方法③需裁剪y根160厘米长的木条，依据题意得：
，解得：．
答：按方法②需裁剪8根160厘米长的木条，按方法③需裁剪1根160厘米长的木条，才能刚好得到所需要的相应数量的用料．
任务三：依据题意得，解得：，
经检验，是该方程的解．
【变式12-1】《花卉装点校园,青春献礼祖国》项目学习方案：
项目情景 国庆将至,向阳中学购买花卉装点校园,向祖国母亲生日献礼.同学们需完成了解花卉知识(包括花语等知识),购买花卉,插花,摆放盆栽等任务
素材一 采购小组到市场上了解到每枝A种花卉比每枝B种花卉便宜3元,用600元购买的B种花卉数量为用240元购买的A种花卉数量的2倍
任务一 小组成员甲设用240元购

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