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人教版八年级数学上名师点拨与训练
第15章 分式
专题 分式方程含参问题的八种解题策略
分式方程中的含参问题主要涉及在方程中引入参数后，如何求解这些参数以及方程的解。以下是解决这类问题的一些基本步骤和技巧：
1.将参数看作常数
在解分式方程时，首先将方程中的参数看作常数，并用含有参数的代数式表示未知数。
2.去分母
通过乘以最简公分母，将分式方程转化为整式方程，从而简化问题。
3.解整式方程
求解转化后的整式方程，得到关于未知数的解。
4.检验解的有效性 ：
将求得的解代入原分式方程进行检验，确保解满足原方程且分母不为零
5.处理增根 ：
如果整式方程有解，但这个解使原分式的分母为零，则这个解称为增根。需要将增根代入整式方程的解中，求出参数的值。
6.根据解的情况求参数的值：
如果已知分式方程有特殊解，可以将这个特殊解代入原方程，建立关于参数的方程，然后求解参数的值。
如果已知分式方程的解的范围，可以用含有参数的代数式表示方程的解，然后根据解的范围建立与参数有关的关系式，求出参数的取值范围。
注意事项 ：
在求解过程中，需要考虑方程的解是否有意义，例如分母不能为零。
需要注意增根的情况，确保求解的参数值不会导致原方程出现增根。
通过以上步骤和技巧，可以有效地解决分式方程中的含参问题
类型一 根据分式方程解的具体值确定字母参数的值
根据方程解的定义把方程的解代入原方程转化为关于参数的方程，解方程求解.
【例1-1】．是分式方程的解，则（　　）
A．2 B． C．4 D．
【例1-2】已知关于的分式方程的解为，则的值为（　　）
A．4 B．3 C．0 D．
【例1-3】．已知是分式方程的解，那么k的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．4
【变式1-1】若是关于的分式方程的解，则的值等于　 　．
【变式1-2】．若是分式方程的根，则a的值为 　 　．
【变式1-3】．当m=　 　时，方程 的解为1．
【变式1-4】．关于的方程的解是，则　 　．
【变式1-5】．若关于x的分式方程的解为x＝3，则常数m的值为（　　）
A．6 B．﹣1 C．0 D．﹣2
类型二 根据分式方程解的符号确定字母参数的取值范围
解关于参数的方程.
根据解的符号列不等式，注意解不能是增根的条件。
【例2-1】．若关于x的分式方程的解是负数，则字母m的取值范围是(　　).
A．m>3 B．m<3且m≠-2
C．m>-3 D．m>-3且m≠-2
【例2-2】．若关于x的分式方程的解是负数，则字母m的取值范围是　 　.
【变式2-1】若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是(　　).
A．a≥1 B．a>1 C．a≥1且a≠4 D．a>1且a≠4
【变式2-2】关于x的方程 的解是正数，则a的取值范围是　 　．
【变式2-3】．已知关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是　 　
【变式2-4】．若关于x的方程 有正数解，则（　　）．
A．m＞0且m≠3 B．m＜6且m≠3 C．m＜0 D．m＞6
【变式2-5】．如果关于x的方程的解是正数，那么m的取值范围是　 　．
类型三 根据分式方程的整数解确定字母参数的值
解关于参数的方程.
根据解的符号列不等式，注意解不能是增根的条件。
在参数的取值范围内确定整数值
【例3-1】已知关于的分式方程有整数解，且一次函数图象经过第一、二、三象限，则整数的值为　 　．
【例3-2】．若关于的分式方程有正整数解，则整数为　 　．
【变式3-1】．已知关于x的分式方程有整数解，且一次函数图像经过第一、二、三象限，则整数a的值为　 　．
【变式3-2】．若关于的分式方程有负整数解，则整数的值是　 　．
【变式3-3】．若关于x的不等式组的解集为,且关于x的分式方程有整数解,则符合条件的所有整数a有_________________个.
【变式3-4】．若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且使得关于y的分式方程有整数解，则满足条件所有整数a的乘积为_________.
类型四 根据分式方程的解的范围确定字母参数的值
解关于参数的方程.
根据解的范围列不等式，注意解不能是增根的条件。
在解的取值范围内确定参数值
【例4-1】若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数的值之和为　 　．
【例4-2】．若整数m使得关于x的方程的解为非负整数，且关于y的不等式组至少有3个整数解，则所有符合条件的整数m的和为（　　）
A．7 B．5 C．0 D．－2
【变式4-1】．若整数a使关于x的分式方程的解为非负数，且使关于y的不等式组有3个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为　 　。
【变式4-2】．若关于x的一元一次不等式组，至少有2个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是　 　．
【变式4-3】．．若关于x的不等式组的解集为，且关于x的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数a的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式4-4】．．已知关于的分式方程的解满足，则的取值范围是　 　．
类型五 根据方程有增根确定字母参数的值
解关于参数的方程.
根据方程有增根，增根是转化后的整式方程的解代入求值
【例5-1】．已知关于x的分式方程．
（1）若原分式方程有增根，则　 　；
（2）若原分式方程的解为非负数，则m的取值范围为　 　．
【例5-2】若关于的分式方程有增根，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【例5-3】．已知关于x的分式方程有增根，则k＝　 　.
【变式5-1】．小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：.
（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；
（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
【变式5-2】．（1）当　 　时，关于的方程有增根；
（2）若，则的立方根为　 　．
【变式5-3】．已知关于的分式方程有增根，则的值为（　　）
A．2 B． C． D．3
【变式5-4】．若关于x的分式方程有增根，且关于y的不等式中有2个整数解，则整数n是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
【变式5-5】．若关于的分式方程有增根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
类型六 根据方程无解确定字母参数的值
解关于参数的方程.
根据方程无解，即方程的解是增根、转化后的整式方程无解列方程求解
【例6-1】若关于的分式方程无解，则的值为 　 　．
【例6-2】．已知关于x的分式方程＝﹣1无解，则m的值为（　　）
A．1 B．4 C．3 D．1或4
【例6-3】．若关于x的方程无解，求 m 的值．
【变式6-1】．若关于x的分式方程无解，则m的值为　 　．
【变式6-2】．．若关于的方程无解，求的值.
【变式6-3】．．若关于x的分式方程无解，则k的取值是（　　）
A． B．或
C． D．或
【变式6-4】．．关于x的方程 = 无解，则m的值是　 　．
类型七 根据方程有解确定字母参数的值
解关于参数的方程.
根据方程有解，即方程的解不是是增根，转化后的整式方程系数不为0
列不等式确定参数。
【例7-1】关于的分式方程有解，则满足　 　。
【例7-2】．若关于x的方程有解，则（　　）
A．m＜3 B．m≥3 C．m≠3 D．m＞3
【变式7-1】若关于x的方程有解，则必须满足条件（　　）
A．a≠b ，c≠d B．a≠b ，c≠-d
C．a≠-b ， c≠d D．a≠-b ， c≠-d
【变式7-2】若关于x的分式方程有解，求m的取值范围.
【变式7-3】．关于的分式方程有解，求的取值范围.
【变式7-4】．若关于x的分式方程有解,则a的取值为( )
A.
B.
C.且
D.且
类型八 根据方程与另一个方程解相同确定字母参数的值
解两个方程.
根据方程解相同，列方程求解，注意方程的解不是是增根，转化后的整式方程系数不为0。
【例8-1】．若关于x的分式方程 = 的解与方程 =3的解相同，则a=　 　．
【例8-2】已知关于x的分式方程与分式方程的解相同，求m2﹣2m的值．
【变式7-1】．若关于x的分式方程的解与方程的解相同，求a的值.
【变式7-2】．当a为何值时，关于x的分式方程的解与方程的解相同？
【变式7-3】方程与关于x的分式方程1的解相同，求m的值
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第15章 分式
专题 分式方程含参问题的八种解题策略
分式方程中的含参问题主要涉及在方程中引入参数后，如何求解这些参数以及方程的解。以下是解决这类问题的一些基本步骤和技巧：
1.将参数看作常数
在解分式方程时，首先将方程中的参数看作常数，并用含有参数的代数式表示未知数。
2.去分母
通过乘以最简公分母，将分式方程转化为整式方程，从而简化问题。
3.解整式方程
求解转化后的整式方程，得到关于未知数的解。
4.检验解的有效性 ：
将求得的解代入原分式方程进行检验，确保解满足原方程且分母不为零
5.处理增根 ：
如果整式方程有解，但这个解使原分式的分母为零，则这个解称为增根。需要将增根代入整式方程的解中，求出参数的值。
6.根据解的情况求参数的值：
如果已知分式方程有特殊解，可以将这个特殊解代入原方程，建立关于参数的方程，然后求解参数的值。
如果已知分式方程的解的范围，可以用含有参数的代数式表示方程的解，然后根据解的范围建立与参数有关的关系式，求出参数的取值范围。
注意事项 ：
在求解过程中，需要考虑方程的解是否有意义，例如分母不能为零。
需要注意增根的情况，确保求解的参数值不会导致原方程出现增根。
通过以上步骤和技巧，可以有效地解决分式方程中的含参问题
类型一 根据分式方程解的具体值确定字母参数的值
根据方程解的定义把方程的解代入原方程转化为关于参数的方程，解方程求解.
【例1-1】．是分式方程的解，则（　　）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：直接将x=2代入分式方程，则
解得．
故选：B．
【分析】直接将x=2代入分式方程，解一元一次方程即可
【例1-2】已知关于的分式方程的解为，则的值为（　　）
A．4 B．3 C．0 D．
【答案】D
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】将代入方程，
得：，
解得，
故选：D．
【分析】本题考查分式方程的解．根据某个数是方程的解，可将方程中的未知数替换为这个数，将回代到原方程，可得方程，解方程可求出a值．
【例1-3】．已知是分式方程的解，那么k的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】D
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解： 是分式方程的解，
解得：
故答案为：D
【分析】将代入分式方程中可得关于k的方程，从而得出k值.
【变式1-1】若是关于的分式方程的解，则的值等于　 　．
【答案】1
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：把x＝2代入方程得，
解得a＝1．
故答案为：1．
【分析】将x=2代入方程，再求出a的值即可。
【变式1-2】．若是分式方程的根，则a的值为 　 　．
【答案】6
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：将代入分式方程中，
可得：，
解得，
故答案为：6．
【分析】将x=4代入方程计算即可。
【变式1-3】．当m=　 　时，方程 的解为1．
【答案】
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】∵方程 的解为1,
∴ 3,m= .
故答案为： 。
【分析】根据方程解得意义，把x=1代入原方程，从而将原方程转化为关于m的方程，求解检验即可得出答案。
【变式1-4】．关于的方程的解是，则　 　．
【答案】2
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：将代入，
可得：，
解得：a=2，
故答案为：2.
【分析】将代入，可得，再求出a的值即可.
【变式1-5】．若关于x的分式方程的解为x＝3，则常数m的值为（　　）
A．6 B．﹣1 C．0 D．﹣2
【答案】A
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：去分母，得，
∴m=2x，
将x=3代入，得，
故答案为：A
【分析】先将分式方程化为整式方程，再将x=3代入整式方程即可求出答案.
类型二 根据分式方程解的符号确定字母参数的取值范围
解关于参数的方程.
根据解的符号列不等式，注意解不能是增根的条件。
【例2-1】．若关于x的分式方程的解是负数，则字母m的取值范围是(　　).
A．m>3 B．m<3且m≠-2
C．m>-3 D．m>-3且m≠-2
【答案】C
【知识点】已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：
先去分母可得：
去括号可得：
移项可得：
合并同类项可得：
x的系数化为1可得：
根据分式方程的解为负数可得：，据此可解得：
故答案为：C.
【分析】本题考查分式方程的解.先将分式方程去分母，去括号可得：，再进行移项，合并同类项，将x的系数化为1可求出方程的解为：，根据分式方程的解为负数可列出不等式，解不等式可求出字母m的取值范围.
【例2-2】．若关于x的分式方程的解是负数，则字母m的取值范围是　 　.
【答案】m>-3，且m≠-2．
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式；列一元一次不等式
【解析】【解答】解：，整理得：
2x-m=3(m+1)，解得：x=-(m+3)
∵x<0
∴-(m+3)<0，即m>-3
∵原方程是分式方程
∴x≠-1，即-(m+3≠-1，解得：m≠-2
综上所述，m的取值范围为：m>-3，且m≠-2
故答案为：m>-3，且m≠-2
【分析】先解分式方程，可得x=-(m+3)，再根据解是负数建立不等式，解不等式即可求出答案.
【变式2-1】若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是(　　).
A．a≥1 B．a>1 C．a≥1且a≠4 D．a>1且a≠4
【答案】C
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵关于x的分式方程的解为非负数
∴
∴
∴a≥1
∵x－2≠0
∴x≠2，即
解得：a≠4
综上所述： a≥1且a≠4
故答案为：C
【分析】去分母，将分式方程化为整式方程，解方程即可求出答案.
【变式2-2】关于x的方程 的解是正数，则a的取值范围是　 　．
【答案】a＜﹣1且a≠﹣2
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：去分母得2x+a=x﹣1，
解得x=﹣a﹣1，
∵关于x的方程 的解是正数，
∴x＞0且x≠1，
∴﹣a﹣1＞0且﹣a﹣1≠1，解得a＜﹣1且a≠﹣2，
∴a的取值范围是a＜﹣1且a≠﹣2．
故答案为：a＜﹣1且a≠﹣2．
【分析】先去分母得2x+a=x﹣1，可解得x=﹣a﹣1，由于关于x的方程 的解是正数，则x＞0并且x﹣1≠0，即﹣a﹣1＞0且﹣a﹣1≠1，解得a＜﹣1且a≠﹣2．
【变式2-3】．已知关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是　 　
【答案】且
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母可得：1-m-(x-1)=-2
解得：x=4-m
∵x为正数
∴x=4-m>0，解得：m<4
∵x-1≠0，即x≠1
则4-m≠1，解得m≠3
综上所述，m的取值范围为：且
故答案为：且
【分析】先将分式方程化为整式方程，再解方程，结合解为正数及分式有意义的条件即可求出答案.
【变式2-4】．若关于x的方程 有正数解，则（　　）．
A．m＞0且m≠3 B．m＜6且m≠3 C．m＜0 D．m＞6
【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：首先根据解分式方程的方法求出x的值，然后根据解为正数以及x 3求出m的取值范围.将方程的两边同时乘以(x-3)可得：x-2(x-3)=m，解得：x=6-m，根据解为正数可得： 且 ，则： 且 ，解得： 且 .
【分析】先利用分式方程的解法求出方程的解，再根据“方程由正数解”即可得到 且 求解即可。
【变式2-5】．如果关于x的方程的解是正数，那么m的取值范围是　 　．
【答案】且
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：原方程整理得：，
解得：，
∵方程的解是正数，
，
．
原式是分式方程，
，即，
，
，
综上可知，m的取值范围为：且．
故答案为：且．
【分析】先求出分式方程的解，再结合题意可得且，再求出m的取值范围即可。
类型三 根据分式方程的整数解确定字母参数的值
解关于参数的方程.
根据解的符号列不等式，注意解不能是增根的条件。
在参数的取值范围内确定整数值
【例3-1】已知关于的分式方程有整数解，且一次函数图象经过第一、二、三象限，则整数的值为　 　．
【答案】3
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：去分母得：1 ax＋1＋2 x＝0，
解得：x＝且x≠2，
∵关于x的分式方程有整数解，
∴为整数且≠2，
解得：a＝0或3或 5或 3或 2，
∵一次函数y＝ax＋a图象经过第一、二、三象限，
∴a＞0，
∴符合条件的a的值为3，
故答案为：3．
【分析】先求出分式方程的解x＝且x≠2，再结合“分式方程的解为整数”求出a＝0或3或 5或 3或 2，再利用一次函数的图象与性质的关系可得a＞0，最后求出满足条件的整数a的值即可．
【例3-2】．若关于的分式方程有正整数解，则整数为　 　．
【答案】或
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：去括号得，
解得，
∵方程有正整数解，即且，
∴，即，且为整数，
∴当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，此时，原分式方程的分母为0，不符合题意；
当时，，不符合题意；
∴或，
故答案为：或．
【分析】本题考查分式方程的解，解分式方程.先去分母，再解分式方程可得：，因为分式方程有正整数解可推出：，且为整数，分五种情况：，，，，，依次求出解x，再进行检验，可确定整数m的值.
【变式3-1】．已知关于x的分式方程有整数解，且一次函数图像经过第一、二、三象限，则整数a的值为　 　．
【答案】3
【知识点】分式方程的解及检验；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
解得：，
∵关于x的分式方程有整数解 ，
∴
当时，，舍去
∴，
∵一次函数图像经过第一、二、三象限
∴，
∴，
故答案为：3.
【分析】先利用分式方程的计算方法及步骤求出方程的解，再结合“关于x的分式方程有整数解”可得，再求出a的值，最后利用一次函数的图象与系数的关系分析求解即可.
【变式3-2】．若关于的分式方程有负整数解，则整数的值是　 　．
【答案】5或6或8
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：解方程得到：
∵分式方程有负整数解，
∴整数的值是5或6或8，
故答案为：5或6或8.
【分析】根据解分式方程的步骤解方程得到：然后根据分式方程有负整数解，进而即可求解，
【变式3-3】．若关于x的不等式组的解集为,且关于x的分式方程有整数解,则符合条件的所有整数a有_________________个.
答案：4
解析：∵整理得：,
∵x的不等式组的解集为,
∴,
∵,
等式两边同时乘以得：,
整理得：,
∵关于x的分式方程有整数解,
∴,即,
又∵,
∴当时,,
当时,,
当时,,
当时,(舍去),
当时,,
∴符合条件的所有整数a有：,0,2,3,
故答案为：4.
【变式3-4】．若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且使得关于y的分式方程有整数解，则满足条件所有整数a的乘积为_________.
答案：
解析：由，得：，
不等式组有且仅有4个整数解，
，整数解为：3，2，1，0，
，
，
，
解得：，
方程的解为整数，
为整数，且，
，
a的值为：或1，
满足条件所有整数a的乘积为.
故答案为：.
类型四 根据分式方程的解的范围确定字母参数的值
解关于参数的方程.
根据解的范围列不等式，注意解不能是增根的条件。
在解的取值范围内确定参数值
【例4-1】若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数的值之和为　 　．
【答案】11
【知识点】已知分式方程的解求参数；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
解不等式①可得：，
解不等式②可得：，
∵不等式组的解集为解集为，
∴，
解得：，
，
解得：，
∵分式方程解为正数，
∴，
解得：且，
∴符合条件的整数a的值有2，4，5，
∴所有满足条件的整数的值之和，
故答案为：11．
【分析】先分别求出两个不等式的解集，根据不等式组的解集为解集为，得出，然后解分式方程得：，根据方程解为正数，得出且，可得出符合条件的整数a的值，进而可得到答案．
【例4-2】．若整数m使得关于x的方程的解为非负整数，且关于y的不等式组至少有3个整数解，则所有符合条件的整数m的和为（　　）
A．7 B．5 C．0 D．－2
【答案】A
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解分式方程得：，
由分式方程的解为非负整数，可得：m＋5＝0，3，6，9，12…，
解之：m＝－5，－2，1，4，7…；
解不等式组：m≤y＜10，且不等式组至少有3个整数解，
得到m≤7，
所以m＝－5，－2，1，4，7.（因分式方程中x≠1，故m＝－2舍去）．
故m可取的整数值为－5，1，4，7.
其和为7．
故答案为：A.
【分析】先求出分式方程的解，再根据分式方程的解为非负整数，求出m的值，再结合m≤7，求出所有符合条件的整数，最后利用有理数的加法计算即可.
【变式4-1】．若整数a使关于x的分式方程的解为非负数，且使关于y的不等式组有3个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为　 　。
【答案】21
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：根据分式方程可得：，
∵分式方程的解为非负数，
∴，
解得：，
由于方式方程分母为，
所以，即，
所以，
解关于y的不等式组得：
，
因不等式组有个整数解，即，，三个整数解，
故，
解得：，
综上所得：且，则的整数值为：，，，，
因为，
故答案为：
【分析】结合“关于的分式方程的解为非负数”解出分式方程得出，根据分式方程分母不为0可得，根据“关于y的不等式组有个整数解”解得，进而可确定a的取值，求和即可得出结果。
【变式4-2】．若关于x的一元一次不等式组，至少有2个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是　 　．
【答案】4
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式的解集为，
∵不等式组至少有2个整数解，
∴，
解得：；
∵关于y的分式方程有非负整数解，
∴
解得：，
即且，
解得：且
∴a的取值范围是，且
∴a可以取：1，3，
∴，
故答案为：4．
【分析】本题考查分式方程的解，解一元一次不等式组．先解不等式组可得不等式的解集为，再根据题意可求出a的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程可得，解一元一次方程可得：，由分式方程有正整数解，可得不等式组：且，解不等式组可求出a的取值范围，进而求出a的值，再相加可求出答案．
【变式4-3】．．若关于x的不等式组的解集为，且关于x的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数a的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解①得：
解②得：
∵关于x的不等式组的解集为，
∴
解得：
∵关于x的分式方程的解为非负数，且
∴
综上所述，a的取值范围为：
∴满足条件的整数有2，3，5，共三个，
故答案为：B.
【分析】解不等式组结合关于x的不等式组的解集为，得到a的取值范围为解分式方程即可得到a的取值范围为：进而即可求解.
【变式4-4】．．已知关于的分式方程的解满足，则的取值范围是　 　．
【答案】且
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：将分式方程整理可得x=3-；
∵2＜x＜4且x-3≠0
∴2＜3-＜4且3-≠0，解得-7＜k＜7且k≠0.
故答案为：-7＜k＜7且k≠0.
【分析】首先将k作为字母系数解分式方程，用含k的代数式表示x，然后根据分式方程的解的取值范围列不等式组，解不等式组即可.
类型五 根据方程有增根确定字母参数的值
解关于参数的方程.
根据方程有增根，增根是转化后的整式方程的解代入求值
【例5-1】．已知关于x的分式方程．
（1）若原分式方程有增根，则　 　；
（2）若原分式方程的解为非负数，则m的取值范围为　 　．
【答案】-1；且．
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵原分式方程有增根，
∴，
把代入，
得，
∴，
故答案为：.
（2）解：去分母化简得：，
解得：，
∵分式方程有解且解为非负数，
∴且，即：且，
解得：且，
故答案为：且．
【分析】（1）先利用分式方程的计算方法及步骤求出方程的解，再结合“ 原分式方程有增根 ”可把代入，最后求出m的值即可；
（2）先利用分式方程的计算方法及步骤求出方程的解，再结合“ 原分式方程的解为非负数 ”可得且，即：且，再求出m的取值范围即可.
【例5-2】若关于的分式方程有增根，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】将分式方程转换为2=3（x-4）-m，
∵分式方程有增根，
∴x-4=0，
∴x=4，
将x=4代入2=3（x-4）-m，可得：2=3×（4-4）-m，
解得：m=-2，
故答案为：D.
【分析】先将分式方程转换为整式方程，再将x=4代入2=3（x-4）-m，求出m的值即可.
【例5-3】．已知关于x的分式方程有增根，则k＝　 　.
【答案】-3
【知识点】分式方程的解及检验；分式方程的增根
【解析】【解答】解：去分母得，，
∵分式方程有增根，
∴，即，
∴
∴
故答案为：
【分析】先去分母得到，进而根据分式方程的增根即可求解。
【变式5-1】．小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：.
（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；
（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
【答案】（1）解：方程两边同时乘以得
解得
经检验，是原分式方程的解.
（2）解：设？为，
方程两边同时乘以得
由于是原分式方程的增根，
所以把代入上面的等式得
所以，原分式方程中“？”代表的数是-1.
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【分析】（1）先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检验即可；
（2）先将分式方程转换为整式方程，再根据方程的增根为，将其代入整式方程求出m的值即可。
【变式5-2】．（1）当　 　时，关于的方程有增根；
（2）若，则的立方根为　 　．
【答案】（1）或6
（2）1
【知识点】解分式方程；分式方程的增根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】
（1）化简分式方程得，∵有增根 ∴解得，
当x=2时，，m=-4；
当x=-2时，，m=6；
综上，当m=-4或m=6时，原方程会有增根。
（2）化简得：=，可知，解得
∴===1。
故答案为：1。
【分析】
（1）先将分式化简，得到用含m得式子表示得x的值，有增根说明分式得分母为0，据此算出x得取值，x取多个值时，需要分别来带入并计算出m得值。
（2）先整理等式右侧的分式方程，根据等式两侧分式值相等，分别把等式右侧的x的系数和常数项的值与等式左侧的一一对应，列方程求解，得到A、B的值，再带入多项式化简即可。注意，这里求得是该多项式的立方根。
【变式5-3】．已知关于的分式方程有增根，则的值为（　　）
A．2 B． C． D．3
【答案】C
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】，化简得x=-k-1，
∵分式方程有增根
∴x-2=0，∴x=2
把x=2带入x=-k-1，得k=-3，C选项正确。
故答案为：C。
【分析】分式方程有增根，需要满足两个条件：
1、增根分式方程去分母后得到的整式方程得解；
2、增根使得最简公分母为零；
所以先正常进行化简求值，得到用k来表示x得式子，然后把x得值代入该式子，求出k即可。
【变式5-4】．若关于x的分式方程有增根，且关于y的不等式中有2个整数解，则整数n是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：由题意得，
∴，
解得，
∵关于的分式方程有增根，
，
解得，
，
∵关于的不等式中有2个整数解，
，
解得，
∴整数是3，
故答案为：A
【分析】先结合题意化简分式方程，进而得到，再根据分式方程的增根即可得到，再结合已知条件即可得到n的取值范围，进而即可求解。
【变式5-5】．若关于的分式方程有增根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：分式方程两边同时乘x-4去分母，得
2=3(x-4)-m，
由分式方程的最简公分母是x-4，
∴分式方程的增根是x=4．
把x=4代入2=3(x-4)-m，
∴m=-2．
故答案为：D
【分析】解分式方程，再根据增根的定义即可求出答案.
类型六 根据方程无解确定字母参数的值
解关于参数的方程.
根据方程无解，即方程的解是增根、转化后的整式方程无解列方程求解
【例6-1】若关于的分式方程无解，则的值为 　 　．
【答案】10或-4或3
【知识点】分式方程的解及检验；分式方程的增根
【解析】【解答】解：
方程两边都乘（x+2）（x-2），得2（x+2）+mx=5（x-2），
化简得：（m-3）x=-14；
当原分式方程有增根时，分式方程无解，
此时整式方程的根为x=-2或x=2，
将x=-2代入（m-3）x=-14，
解得：m=10；
将x=2代入（m-3）x=-14，
解得：m=-4；
当整式方程无解时，原分式方程无解，
此时，m-3=0，
解得：m=3；
综上所述，当m=10或m=-4或m=3时，原方程无解．
故答案为：10或-4或3.
【分析】根据原分式方程存在增根或原方程约去分母后，整式方程无解时，分式方程均无解，分类讨论即可得出答案.
【例6-2】．已知关于x的分式方程＝﹣1无解，则m的值为（　　）
A．1 B．4 C．3 D．1或4
【答案】D
【知识点】分式方程的增根；分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：＝﹣1，
方程两边同时乘以（x﹣3），得3﹣2x+mx﹣9＝3﹣x，
移项、合并同类项，得(m﹣1)x＝9，
∵方程无解，
∴x＝3或m﹣1＝0，
∴m﹣1＝3或m＝1，
∴m＝4或m＝1，
故选：D．
【分析】本题考查了根据分式方程的无解求参数的值，首先方程两边同时乘以（x﹣3），对原方程进行化简，得到(m﹣1)x＝9，当分式方程无解时有两种情况，一是分母为0，即x-3＝0，解得x=3，带入整式方程的m=4，二是化简后的整式方程m-1=0，解得m=1，因此选择D；
【例6-3】．若关于x的方程无解，求 m 的值．
【答案】解：方程两边同乘以，得：
，
化简得：，
当时，原方程无解，
可能的增根是或，
当时，，
当时，，
当或时，原方程无解，
或或时原方程无解．
【知识点】分式有无意义的条件；解分式方程；分式方程的增根
【解析】【分析】分式方程无解，一是产生增根，需要舍去，有解变无解；二是解出的根是含有字母的代数式，字母的取值使代数式无意义，只有这两种情况下分式方程无解，据此可求m值。
【变式6-1】．若关于x的分式方程无解，则m的值为　 　．
【答案】或1
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：根据解分式方程的步骤
去分母，得
x(x-m)-3(x-1)=x(x -1)，
x2-mx-3x+3=x2-x，
(m + 2)x = 3，
①当m+2= 0时，m=-2，此整式方程无解，原方程无解；
②当m=1时，x=1是原方程的增根，原方程无解；
综上可知，当m=-2或m=1时，原方程无解.
故答案为：-2或1.
【分析】先把分式方程化成整式方程得出(m+ 2)x =3，从而根据整式方程无解及分式方程有增根两种情况考虑即可解题.
【变式6-2】．．若关于的方程无解，求的值.
【答案】解：方程两边同时乘以，
得：，
整理得：，
当时，一元一次方程无解，
此时，
当时，，
∵关于x的方程无解，
∴，
当时，解得：；
当时，解得：；
综上：m的值或或
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【分析】将原分式方程去分母转换为整式方程，先令一元一次方程无解得出的值，然后表示出的值，根据原方程无解可得，分别代入计算即可得出结果．
【变式6-3】．．若关于x的分式方程无解，则k的取值是（　　）
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：
6x=x+3-k(x-1)
6x=x+3-kx+k
(k+5)x=k+3
∵关于x的分式方程无解
∴当k+5=0时，即k=-5时，分式方程无解
当k+5≠0时，
此时分式方程有增根
∴x(x-1)=0，解得x=0或x=1
∴当x=0时，即，解得：k=-3
∴当x=1时，即，无解
综上所述，k的取值是k=-5或k=-3
故答案为：B
【分析】将分式方程的增根代入去分母后的整式方程求未知系数的值即可求出答案.
【变式6-4】．．关于x的方程 = 无解，则m的值是　 　．
【答案】1或0
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：去分母得mx=3，
∵x=3时，最简公分母x﹣3=0，此时整式方程的解是原方程的增根，
∴当x=3时，原方程无解，此时3m=3，解得m=1，
当m=0时，整式方程无解
∴m的值为1或0时，方程无解．
故答案为：1或0．
【分析】先把分式方程化为整式方程得到mx=3，由于关于x的分式方程 = 无解，当x=3时，最简公分母x﹣3=0，将x=3代入方程mx=3，解得m=1，当m=0时，方程也无解．
类型七 根据方程有解确定字母参数的值
解关于参数的方程.
根据方程有解，即方程的解不是是增根，转化后的整式方程系数不为0
列不等式确定参数。
【例7-1】关于的分式方程有解，则满足　 　。
【答案】k≠3且k≠5
【知识点】已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项、合并同类项得：，
解得：，
∵该方程有解，
∴且，
∴且，
∴且，
故答案为：且．
【分析】解分式方程得，再根据分式方程有意义的条件即可得到答案．
【例7-2】．若关于x的方程有解，则（　　）
A．m＜3 B．m≥3 C．m≠3 D．m＞3
【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：化简原方程得：x=m，∵原方程有解，∴，即，∴，C选项正确。
故答案为：C。
【分析】先化简求出用含m的式子表示的x的值，然后根据题目要求方程有解，从而确定原方程的分母并不能为0，继而求出m的取值范围。
【变式7-1】若关于x的方程有解，则必须满足条件（　　）
A．a≠b ，c≠d B．a≠b ，c≠-d
C．a≠-b ， c≠d D．a≠-b ， c≠-d
【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；解分式方程
【解析】【解答】根据题意，
解方程：
去分母得：
整理得：
解得：
若x存在解，则即
综上，，
故选：B
【分析】根据题意解方程，找到保证有解的条件是c、d不能互为相反数，互为相反数的两个数代数和是0，商是-1，观察原方程等号两边不能是-1，得到a、b不能相等。
【变式7-2】若关于x的分式方程有解，求m的取值范围.
答案：，且
解析：将方程的两边同乘以，
得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得.
分式方程有解，
，，且，
解得，且.
故该分式方程有解时m的取值范围为，且.
【变式7-3】．关于的分式方程有解，求的取值范围.
答案：方程两边乘，得，
整理，得，解得.
因为方程有解，
所以，解得，
所以的取值范围是.
解析：
【变式7-4】．若关于x的分式方程有解,则a的取值为( )
A.
B.
C.且
D.且
答案：D
解析：分式方程整理得,
去分母得,即.当，
即时,解得.
由分式方程有解,得,
即,
则a的取值为且.
类型八 根据方程与另一个方程解相同确定字母参数的值
解两个方程.
根据方程解相同，列方程求解，注意方程的解不是是增根，转化后的整式方程系数不为0。
【例8-1】．若关于x的分式方程 = 的解与方程 =3的解相同，则a=　 　．
【答案】1
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：解 =3，得x=2．
把x=2代入 = ，得 =1．
解得a=1，
检验：a=1时，a+1≠0，
a=1是分式方程的解，
故答案为：1．
【分析】解出方程的x值，将其代入分式方程，可得出a的值。
【例8-2】已知关于x的分式方程与分式方程的解相同，求m2﹣2m的值．
【分析】先求出分式方程的解，再把x的值代入，求出m，再把m的值代入m2﹣2m计算．
【解答】解：，
3（x﹣1）＝2x，
解得x＝3，
检验：当x＝3时，2x（x﹣1）≠0，
∴x＝3是此方程的解；
把x＝3代入，
得，
解得m；
把m代入m2﹣2m2．
【变式7-1】．若关于x的分式方程的解与方程的解相同，求a的值.
答案：解：将方程去分母，得.
解得.
经检验，是原分式方程的解.
把代入，
得，
去分母，得.
解得.
经检验，是原分式方程的解，
a的值为2.
解析：
【变式7-2】．当a为何值时，关于x的分式方程的解与方程的解相同？
答案：
解析：由方程，得，解得，
经检验，是原方程的解.
因为方程的解与方程的解相同，
所以也是方程的解，
把代入方程，
得，
解得，
经检验，是原方程的解.
【变式7-3】方程与关于x的分式方程1的解相同，求m的值
【分析】解方程求出方程的解，代入方程1中求出m的值
【解答】解：方程两边都乘以(x﹣2)(x=2)，得：解得x＝2，
把x＝2，代入方程1
解得m＝4．
【点评】本题主要考查分式方程的解，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
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