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7.1.2 两条直线垂直 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书 数学》七年级下册（以下统称“教材”）第七章“相交线与平行线”7.1.2两条直线垂直，内容包括：理解垂线、垂线段等概念；能用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线；掌握基本事实：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离.
2.内容解析
本节课是在学生已经学习了相交线、对顶角等知识的基础上，进一步研究两条直线相交的特殊情况——垂直，学习垂线的概念和性质，点到直线的距离等知识，是进一步学习空间里的垂直关系，研究三角形、四边形等平面图形以及平面直角坐标系等知识的基础．
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解垂线的概念和性质.
二、目标和目标解析
1.目标
（1）理解垂线、垂线段的概念；能用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线；掌握基本事实：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离.
（2）经历观察、思考、探究、猜想、验证等活动归纳出垂线的概念和性质，体会从一般到特殊的数学思想方法，进一步培养观察、分析、归纳能力，发展空间观念.
（3）会利用所学知识进行简单的推理，感受数学语言的简洁美，并能将学到的知识应用到生活中去，增强应用意识．
2.目标解析
在本节课的学习中，学生从相交线出发，研究特殊的相交——垂直，在这个过程中感悟“从一般到特殊”的数学研究路径. 学生在观察、思考、探究、猜想、验证的过程中，逐步提高几何直观和逻辑推理能力，为今后学习几何证明打下基础.
学生从实际问题中抽象出垂直模型，再用数学知识解决实际问题，在这个过程中逐步提高数学应用能力和数学建模的核心素养.
三、教学问题诊断分析
关于“有且只有”的学习：
“有且只有”是一种比较严谨的数学逻辑用语，它和日常生活中相对模糊的表达习惯不同. “有”表示存在，“只有”表示唯一性，合起来就是强调存在且唯一. 对于初次接触这种说法的学生来说，这种精确的双重限定的表达比较复杂. 另外，要正确运用“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”这个基本事实来解决问题，需要学生具备较强的逻辑思维能力.
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：理解关于垂线的基本事实.
四、教学过程设计
（一）复习引入
问题1 如图，在相交线的模型中，如果两根木条a，b所成的角中有一个角∠α=35 ，其他三个角分别等于多少度？如果∠α等于90 呢？
设计意图：结合上一节课的研究内容展开本节课的学习，不仅可以让学生感悟“从一般到特殊”的数学研究路径，还可以加强知识间的联系，帮助学生建构数学知识体系.
（二）合作探究
1.垂直
一般地，当两条直线a、b相交所成的四个角中有一个角是直角时，我们说a与b互相垂直，记作“a⊥b”.
2.垂线和垂足
两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足. 如图，AB⊥CD，垂足为O.
3.垂线的性质
如果直线AB，CD相交于点O，∠AOD=90 ，那么AB⊥CD.
推理过程
因为 ∠AOD=90 ，
所以 AB⊥CD.
4.垂线的判定
如果AB⊥CD，那么∠AOD=90 .
推理过程
因为 AB⊥CD，
所以 ∠AOD=90 .
问题2 两条直线垂直和相交是什么关系？
答：垂直是相交的特殊情况.
问题3 如何判定两条射线垂直？两条线段呢？
答：两条射线垂直、两条线段垂直、线段与射线垂直、线段与直线垂直、射线与直线垂直，都是指它们所在的直线垂直．
问题4 在日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见.你能再举出其他例子吗？
探究1 用三角尺画已知直线l的垂线.
(1)经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条？
(2)经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条？
关于垂线的基本事实
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
设计意图：在学习了垂直的相关概念和性质之后，让学生联系生活实际，从生活中发现垂直模型，这个过程加强了数学与现实世界的联系，有助于数学抽象的核心素养的培养.
（三）典例分析
例2 如图，过点P画出射线AB或线段AB的垂线.
（画一条射线或线段的垂线，就是画它们所在直线的垂线. ）
（2） （3）
（四）合作探究
问题5 如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖渠能使渠道最短？
探究2 如图，P是直线l外一点，PO⊥l，垂足为O，我们称PO为点P到直线l的垂线段. A是直线l上除点O外一点，连接PA. 测量并比较线段PO与PA的长度，你能得到什么结论？改变点A的位置呢？
结论：线段PO的长度比线段PA的长度短.
验证：利用几何画板软件进行验证.
1.垂线段最短
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成垂线段最短.
2.点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离.
问题解决：
设计意图：学生在度量、猜想的基础上，运用信息技术手段（几何画板）进行验证，一是提高研究的一般性，体现逻辑的严密性；二是通过动态演示变化过程，帮助学生感受变化过程中的不变规律，增强几何直观，化抽象为形象.
巩固练习
1. 当两条直线相交所成的四个角都相等时，这两条直线有什么位置关系，为什么？
解：这两条直线是垂直关系.
因为 两条直线相交所成的四个角都相等，
所以 每个角都是360 ÷4=90 ，
所以 这两条直线是垂直关系.
2. 如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？
3. 如图，在一张半透明的纸上画一条直线l，在l上任取一点P，在l外任取一点Q，折出过点P且与l垂直的直线，这样的直线能折出几条？为什么？过点Q呢？
解：过点P且与l垂直的直线只能折出一条，过点Q且与l垂直的直线也只能折出一条.因为在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
4. 如图，分别过点P画直线AB，CD的垂线，并量出点P到直线AB的距离.
（点P到直线AB的距离就是线段PQ的长度.）
5. 如图，在三角形ABC中，∠C=90 .
(1)分别指出点A到直线CB，点B到直线AC的距离是哪些线段的长度？
(2)三条边AB，AC，CB中哪条边最长，为什么？
解：(1)点A到直线CB的距离是线段AC的长度；点B到直线AC的距离是线段BC的长度.
(2)三条边中AB边最长，理由如下：
因为垂线段最短，
所以AB>AC，AB>BC，
所以AB边最长.
6. 如图，AB⊥l，CB⊥l，B为垂足，那么A，B，C三点在同一条直线上吗？请说明理由.
解：A，B，C三点在同一条直线上.
理由如下：
因为 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
所以 若AB⊥l，BC⊥l，则直线AB与直线BC重合，
所以 A，B，C三点在同一条直线上．
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略.
归纳总结
感受中考
1. (2024 北京)如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC．若∠AOC＝58 ，则∠EOB的大小为（B）A．29 B．32 C．45 D．58
第1题图 第2题图
2. (2020 河北)如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（D）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
3. (2016 淄博)如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有（D）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
第3题图 第4题图
4. (2020 吉林)如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处．他们的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是 　 　．
设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力.
（八）小结梳理
（九）布置作业
1.必做题：习题7.1 第3题，第4题，第6题.
2.选做题：选做题：用量角器画已知直线l的垂线.
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