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8.1 平方根（第1课时 平方根）教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书 数学》七年级下册第八章 实数 8.1平方根，内容包括：第1课时 平方根.
2.内容解析
本节课是在学生学习了有理数以及有理数乘方的基础上来学习平方根，之前的有理数乘方的学习为本节课学习奠定了一定的知识基础，更利于学生找出一个正数的两个平方根. 它不仅是对前面所学知识的巩固,也为后面算术平方根的学习奠定了基础.教材通过求具体数字的平方根引入，顺势给出平方根的定义，结合具体例子便于学生理解与掌握平方根的概念，并运用概念，会求一个数的平方根.
基于以上分析，本节课的教学重点是: 掌握平方根的概念并会求一个数的平方根.
二、目标和目标解析
1.目标
（1）正确理解平方根的概念，会求一个数的平方根
（2）知道平方根的表示方法
（3）学生经历由特殊到一般，培养学生观察，归纳，类比的能力..
2.目标解析
（1）教材由具体数字引入，并引导学生利用有理数乘方公式反推出一个数的平方根，顺势引出平方根的概念过渡自然水到渠成.通过小组讨论，培养合作精神，让学生在探索问题的过程中，体验解决问题的方法和乐趣，增强学习兴趣.
（2）学生能根据平方根的定义求一个数的平方根.
（3）在实际问题中能运用平方根解决问题，并会表示一个数的平方根.
三、教学问题诊断分析
本节课平方根学习是建立有理数乘方学习的基础上.由具体数字引入，让学生更加清晰深刻地理解平方根的定义.本节课学生学习的困难之处在能表示一个数的平方根，理解平方根，正的平方根，负的平方根表示的区别，能在具体题目中理解”“”“”这三种所代表的不一样的意义，一题一解让学生对解题技巧和解题步骤有清楚的认知，最后通过拓展训练培养学生综合解题的能力.
基于以上分析，本节课的教学难点为: 认识和会表示一个数的平方根.
四、教学过程设计
（一）复习引入
观看表格信息思考问题
有什么运算与乘方互为逆运算的吗？
【设计意图】通过复习引入，让学生明白运算与运算之间的关系，并提出问题，激发学生思考和学习的兴趣.
（二）新知讲解
①任何数的平方都是一个非负数
②互为相反数的两个数的平方相等
我们把0，分别叫作，的平方根
归纳：一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫作的平方根或二次方根．这就是说，如果，那么叫作的平方根．
1.判断下列说法是否正确。
①是的平方根. （ √ ）
②是的平方根. （ √ ）
③是的平方根. （ √ ）
④的平方根是. （ × ）
⑤是的一个平方根. （ × ）
⑥的平方根是; （ × ）
⑦一个数的一个平方根是，另一个平方根一定是（ √ ）
【设计意图】通过正反例讲解让学生深刻理解平方根的概念，对比乘方的运算和求平方根的运算，让学生掌握平方和开方互为逆运算.
（三）典例讲解
例1 求下列各数的平方根：
(1) (2) (3) (4)
(5) (6) (7) (8)
解(1)∵,∴的平方根是
(2)∵,∴的平方根是
(3)∵,∴的平方根是
(4)∵,∴的平方根是
(5)∵,∴的平方根是
(6)∵,∴的平方根是
(7)∵任何数的平方都是非负数,∴没有平方根
(8)∵,∴的平方根是
归纳总结：
正数的平方根有两个，它们互为相反数；
0的平方根就是0 ；
负数没有平方根．
例2.解下列方程(1) (2)
(3) (4)
解(1)原式可变形为：
∵
∴或
解(2)原式可变形为：
∵
∴或
解(3)原式可变形为：
∵
∴或
解得：或
解(4)∵
∴或
解得或
点拨：变形为开方解方程得的值
【设计意图】通过练习让学生熟练运用平方根的定义，求一个数的平方根，并归纳出正数，负数，0的平方根的情况.
（四）新知讲解
的平方根表示为，读作：正负根号
表示的正的平方根
表示的负的平方根
表示的平方根
即得
1.判断下列各式计算是否正确，并说明理由．
(1) ( × )
(2) ( √ )
(3) ( × )
(4) ( × )
(5)的平方根是±2 （ √ ）
2.下列各式是否有意义？为什么？
(1) (2) (3) (4) (5)
解(1)有意义
(2)无意义，负数没有平方根，也就没有负的平方根
(3)有意义
(4)有意义
(5)无意义，负数没有平方根
归纳总结
因为负数没有平方根
所以只有当时，有意义，而当时，没有意义
【设计意图】通过正反例辨别让学生掌握正的平方根，负的平方根，平方根三者表示之间的联系与区别.
（五）典例分析
例3 说出下列各式的意义，并求它们的值
(1) (2) (3) (4)
(5) (6) (7) (8)
解(1)196的平方根；
(2) 的平方根；
(3)的平方根；
(4)的平方根；
(5)169的正的平方根；
(6)0.0049的负的平方根；
(7)的负的平方根；
(8)的正的平方根；
【设计意图】通过此题练习让学生更加熟练辨别正的平方根，负的平方根和平方根三者表示之间异同，准确理解式子的含义.
（六）变式训练
1.计算下列各式
(1)__________ (2)__________
(3)________ (4)_______
2.若则的值为_______
3.若，则的值为_______
4.的平方根是________
5.的平方根是__________
6.若平方根是,则=________
解1.(1) (2) (3) (4)
2.
3.49
4.
5.
6.4
点拨：的平方根：表示的意义为A的正的平方根，即应先算出的值，再求其平方根
7.已知且是正数，求的值
解：由
∴
即得
∵是正数
∴
∴
【设计意图】通过练习让学生更加熟练运用平方根解决问题，利用(4)(5)对比两者的区别，这也是学生一个高频错误点，针对这个错误提出了解决方法.
（七）拓展探究
1.已知的平方根是，的平方根是它本身，求的平方根
解：由题意可得，
解得：
∴
2.已知的两个平方根是与，求的值.　
解：由题意可得
解得：
∴的两个平方根分别和
∴
3.若与是数的平方根，求这个数 .
解：由题意可得当时，
解得：
∴的两个平方根分别和
∴
当时
解得：
∴是的平方根
∴
综上所述：这个数是或
点拨：
①若M的平方根为和：
②若和是M的平方根： 或
4.对定义运算“*”如下: ，已知则求数的值
解：由题意得：
当时，
,
解得 (舍去)
当时，
解得或(舍去)
综上所述：
【设计意图】通过练习侧重学生培养学生综合解决问题的能力，通过（2）（3）实例区别两种表述的不同，利于学生理解和掌握此知识点.
（八）当堂测试
1.9的平方根是( A )
A. B. C. D.
2.下面说法中不正确的是( D )
A.4是16的平方根 B.－4是16的平方根
C.16的平方根是4 D.16的平方根是4
3.下列式子错误的是( B )
A. B.
C. D.
4.的平方根分别是，则的值为____1_____
5.计算下列式子
(1)________ (2)________
(3)________ (4)________
(5)_______ (6)_______
解(1)15 (2) (3) (4) (5) (6)
6. 解方程
(1) (2)
(3) (4)
解(1)
(2)或
(3)
(4)
7.已知的平方根是，的平方根是，求的平方根
解：由题意可得
解得：
∴
8.若与是的平方根，求与这个数
解：由题意可得当时，
解得：
∴的两个平方根分别和
∴
当时
解得：
∴是的平方根
∴
综上所述：当时，；当时，
【设计意图】针对本节课所学，巩固学生求一个数的平方根，理解式子的意义和培养学生综合解题的能力.
（九）小结梳理
【设计意图】通过课堂小结，使学生对本节课的知识有一个系统的回顾和认识，进而形成一个清晰的脉络，加深学生对平方根理解与掌握．
（十）布置作业
P41.练习1，P42练习2，3题.
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