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(共20张PPT)
2.2 基本不等式（第一课时）
授课教师：
1、理解基本不等式的定义，掌握基本不等式的证明方法以及几何解释;
2、会用基本不等式解决简单的最值问题;
3、提升逻辑思维能力，感悟“执果索因”的证明方法，进一步发展数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养和观察分析、抽象概括的能力。
学习目标
学习重点：基本不等式的定义，并用基本不等式解决简单的最值问题.
学习难点：基本不等式的几何解释、用基本不等式解决最值问题.
学习重难点
情景导入
如图，是我们抽象出来的在北京召开的第 24届国际数学家大会的会标，该会标是根据我国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.观察这个图案，回答问题：
（1）四个直角三角形面积的关系？
（2）直角三角形两个直角边的关系？
（3）大正方形的面积是？ 4个直角三角形的面积和是？ 它们两者之间的大小关系是？
a2+b2＞2ab
相等
不相等
情景导入
由赵爽弦图抽象出了一类重要不等式：
一般地， a、b∈R， 有a2+b2≥2ab ，当且仅当a=b时，等号成立.
（4）当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b时,可以得到什么结论
当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b时,正方形EFGH缩为一个点,这时有a +b =2ab.
概念讲解
思考1：如果a>0, b>0, 我们用分别代替a,b,可得到什么结论呢？
由a2+b2≥2ab 可以得到 ②（基本不等式）
当且仅当时，等号成立
等号成立条件
几何平均数
算术平均数
前提
条件
代数解释：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
概念讲解
思考2：我们通过考察a2+b2≥2ab的特殊情形获得了基本不等式，你能否直接利用不等式的性质证明基本不等式呢
基本不等式的证明
法一：作差法
当且仅当时，等号成立
概念讲解
基本不等式的证明
法二：用分析法证明：
显然，（5）是成立的.当且仅当a=b时，（5）中的等号成立.
要证（2），只要证
-a-b0 （3）
要证（4），只要证
只要证
a+b （2）
要证
（1）

要证（3），只要证
（5）
（4）
“执果索因”
要证明的结论
逐步寻求充分条件
显然成立的结论或者已知条件
概念讲解
基本不等式的证明
法三：用综合法证明：
-a-b0
“由因导果”
当且仅当a=b时，等号成立.
已知的条件
逐步推出必要条件
要证明的结论成立
概念讲解
如图，AB是圆O的直径，点C是AB上一点，AC=，BC= .过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD.则OD= ,CD= .
基本不等式的几何解释
，
= ，
，
思考：移动点C在AB上的位置，观察CD和OD的关系？
概念讲解
基本不等式的几何解释
思考：移动点C在AB上的位置，观察CD和OD的关系？
所以用不等式表示为：
当且仅当时，等号成立
几何解释：在同一圆中半径大于或者等于半弦，当且仅当弦过圆心时，等号成立.
例题讲解
例1.已知，求的最小值.
思考1：“求的最小值”的含义是什么
分析：
“求的最小值”，就是要求一个(=),使都有
思考2：代数式什么结构特点 能否用基本不等式求的最小值？如果能，如何求？
本题中要求的代数式和的形式,而且=1.
例题讲解
例1.已知，求的最小值.
解：因为，所以，
因此所求的最小值为2.
思考3：在上述解答过程中，是否必须说明“当且仅当，即
时，等号成立”
当且仅当，即，时，等号成立.
例题讲解
思考3：在上述解答过程中，是否必须说明“当且仅当，即
时，等号成立”
这是为了说明2是（>0)的一个取值，即等号可以取到，这样才能说明的最小值为2.
思考4：请同学们想一想，当2时，成立吗？这时能说（>0)的最小值吗？
不能，因为此时是（>0)的一个取值.
例题讲解
例1.已知，求的最小值.
解：因为，所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
因此所求的最小值为2.
一正
二定
三相等
积定和最小
例题讲解
一正：各项必须为正
二定：各项之和或各项之积为定值
三相等：必须验证取等号时的条件是否具备
当且仅当时，等号成立.
一正
二定
三相等
和定积最大
例题讲解
例2.已知x，y都是正数，求证：
(１)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值２；
(２)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2．
例题讲解
例2.已知x，y都是正数，求证：
(１)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值２；
(２)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2．
证明：所以
（1）当等于定值P时， ，∴
当且仅当时，上式等号成立，此时有最小值
（2）当时， ，两边平方，
当且仅当时，上式等号成立，此时有最大值
积定和最小
和定积最大
课堂小结
重要不等式
基本不等式
替换
代数解释
几何解释
应用
一正二定三相等
证明方法
小结
跟踪训练
1.当取什么值时，取得最小值？最小值是多少
2.已知求1-的最大值.
3.已知直角三角形的面积等于50cm2,当两条直角边的长度各为多少时，两条直角边的和最小？最小值是多少？
1.已知
2.
3.
选做题
4.已知，求的最大值.2024年普通高中“课堂教学大比武”半决赛课时导学案
科目： 数学 授课教师： 班级： 学生姓名： 组别： 时间： 年 月 日（星期 ）
课 题 2.2 基本不等式 学 习 过 程 设 计
内容分析 基本不等式是高中教材人教A版(2019)必修第一册第二章第二节的内容,是在学生学习了等式与不等式的性质和掌握了一定的不等式证明方法等基础上的进一步探究.基本不等式是几何平均数不大于算术平均数的最简单和最基本的情形.基本不等式的代数结构也是数学模型思想的一个范例，借助这个模型可以求最大值和最小值.本节内容在一定程度上是前面学习的运用，也是后面系统学习不等式证明的基础.通过基本不等式的学习，可以培养学生直观想象、数形结合、逻辑推理、数学运算等核心素养. 学习环节 学生活动 课堂随记
情境创设 问题1：如图是我们抽象出来的在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，该会标是根据我国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.观察这个图案，回答问题： (1)四个直角三角形的面积什么关系？ (2)直角三角形的直角边大小关系是？ (3)大正方形的面积是多少？4个直角三角形的 面积和是多少？它们两者之间的大小关系是？ (4)当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b时,可以得到什么结论
学习目标 1、理解基本不等式的定义，掌握基本不等式的证明方法以及几何解释; 2、会用基本不等式解决简单问题; 3、提升逻辑思维能力，感悟“执果索因"的证明方法，进一步发展数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养和观察分析、抽象概括的能力.
学习重点 基本不等式的定义，并用基本不等式解决简单的最值问题
自主学习 思考1:特别地，若a>0,b>0，分别用代替上式中的a,b，可以得到什么样的式子呢 思考2:我们通过考察ab的特殊情形获得了基本不等式，你能否直接利用不等式的性质证明基本不等式呢 问题2:在图中，AB是圆O的直径，点C是AB上一点， AC=a,BC=b.过点C做垂直于AB的弦DE,连接AD,BD, 则OD= ,CD= ， 所以基本不等式的几何解释为？
学生分析 基本不等式是在学生已经学习了等式性质与不等式性质，并且具备了一定的推理论证能力的基础上进行的.但是，学生尚未学习“几何平均数”、“最值”的含义，用几何变化现象解释变量变化也有一定困难.
学法指导 本节课注重调动学生积极思考、主动探究.在教学过程中，教师从实际出发，不断创设问题，引导学生积极地观察和分析，激发学生的求知欲和学习积极性，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间. (1)探究学习法:学生通过观察分析赵爽弦图，抽象概括出重要不等式; (2)自主学习法:以问题驱动课堂，通过问题串，引导学生去自主发现基本不等式; (3)反馈练习法:通过练习检验基本不等式的应用情况，找出学生存在的问题，进而帮助学生解决问题，从而充分发挥学生的主观能动性. 合作探究 例1:已知，求的最小值. 思考1：求的最小值的含义是什么 思考2：本题中求最小值的代数式在结构上有什么特点 思考3：上述过程中，是否必须说明“当且仅当即x=1时等号成立.” 思考4：请同学们想一想，当y0<2时，成立吗？这时能说是（x>0）的最小值吗？ 总结：根据例1的解答过程，你能说明满足什么条件能够用基本不等式求最值吗 例 2: 已知x,y都是正数，求证: 如果积等于定值P，那么当时，和有最小值; 如果和等于定值S,那么当时，积有最大值
课前预习 内容和要求 1.预习教材44-46页，思考： ⑴基本不等式的定义是？ ⑵基本不等式的代数解释和几何解释是？ ⑶教材中基本不等式是怎么证明的？你还有其他方法能证明吗？ ⑷通过预习基本不等式的定义以及教材上的例题，思考利用基本不等式求最值需要满足什么条件？如何利用基本不等式求最值？ 2.阅读导学案，自己尝试回答问题.
分组讨论 分组实验 座位前后左右四人一组 作业设计 必做题：教材46页练习题3.4.5 选做题： 1.已知x>1,求的最小值. 2.求的最大值. 3.求x(1 3x)的最大值. 4.已知x<0，求的最大值.
学习资源 推荐 学习反思
附件：本课时教学内容复印件2024年普通高中“课堂教学大比武”半决赛教学设计
科目： 数学 授课教师： 上课班级： 时间： 年 月 日（星期 ） 午第 节
课 题 2.2 基本不等式 教 学 过 程 设 计
教学目标 1、理解基本不等式的定义，掌握基本不等式的证明方法以及几何解释; 2、会用基本不等式解决简单问题; 3、提升逻辑思维能力，感悟“执果索因"的证明方法，进一步发展数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养和观察分析、抽象概括的能力. 教学环节 老师活动 学生活动 设计意图
议 5 分钟 问题1：观察第24届国际数学家大会的会标（赵爽弦图） (1)四个直角三角形的面积（相等） (2)直角三角形的直角边（不相等） (3)大正方形的面积是a +b ，4个直角三角形的面积和是2ab，它们两者之间的大小关系：a +b > 2ab. (4)当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b时,a +b =2ab. 引导学生推导出重要不等式 通过对赵爽弦图的分析，推导出重要不等式：一般地， a,b∈R，有a +b ≥ 2ab，当且仅当a=b时，等号成立. 从赵爽弦图出发，推导出重要不等式，为推导基本不等式作铺垫.
教材分析 基本不等式是高中教材人教A版(2019)必修第一册第二章第二节的内容,是在学生学习了等式与不等式的性质和掌握了一定的不等式证明方法等基础上的进一步探究.基本不等式是几何平均数不大于算术平均数的最简单和最基本的情形.基本不等式的代数结构也是数学模型思想的一个范例，借助这个模型可以求最大值和最小值.本节内容在一定程度上是前面学习的运用，也是后面系统学习不等式证明的基础.通过基本不等式的学习，可以培养学生直观想象、数形结合、逻辑推理、数学运算等核心素养.
导 20 分钟 思考1:特别地，若a>0,b>0，分别用代替a,b，可以得到什么样的式子呢 [教师提出问题，对学生的回答进行补充] 思考2:我们通过考察ab的特殊情形获得了基本不等式，你能否直接利用不等式的性质证明基本不等式呢 [教师巡视学生的做法之后,与学生一起得到分析法证明的过程，同时指出，只要把上述过程倒过来，就能用不等式的性质直接推出基本不等式了.] 问题2:AB是圆O的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b.过点C做垂直于AB的弦DE,连接AD,BD,则OD= ,CD= [教师巡视观察学生思考探究情况和遇到的问题.] 学生推导出基本不等式： 当a>0,b>0时，有,当且仅当a=b时等号成立.叫做两个正数的算术平均数，叫做两个正数的几何平均数. 所以，基本不等式代数解释:两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数. 学生根据所学等式与不等式的性质，来证明基本不等式; 学生阅读教材探究，探索思考和几何意义，从而思考基本不等式的几何解释. 由重要不等式推导出基本不等式，通过分析基本不等式的代数结构特征，得到基本不等式的代数解释，加深对基本不等式的认识. 根据不等式的性质，采用不同的方法证明基本不等式，引导学生认识“分析法”“执果索因”的证明过程和证明格式. 将图中的几何元素与和建立联系，引导学生得到基本不等式的几何解释.
教学重点 基本不等式的定义，并用基本不等式解决简单的最值问题
教学难点 基本不等式的几何解释、用基本不等式解决最值问题. 练 15 分钟 例1:已知，求的最小值 思考1：求的最小值的含义是什么 思考2：本题中求最小值的代数式在结构上有什么特点 思考3：上述过程中，是否必须说明“当且仅当即x=1时等号成立.” 思考4：请同学们想一想，当y0<2时，（成立吗？这时能说是（x>0)的最小值吗？ 根据例1的解答过程，你能说明满足什么条件能够用基本不等式求最值吗 例 2: 已知x,y都是正数，求证: 如果积等于定值P，那么当时，和有最小值; 如果和等于定值S,那么当时，积有最大值 学生讨论，根据教师的引导，归纳出基本不等式的使用条件: (1)代数式能够转化为两个正数的和或者积的形式; (2)它们的和或者积为定值; (3)代数式中等号可以取到. 通俗的说，即“一正二定三相等”. 自己独立完成证明过程，并在老师的引导下，总结出基本不等式的最值定理：“积定和最小，和定积最大” 在学生已有的基础知识和认知水平上，通过应用基本不等式解决一个简单的最小值问题抽象概括出利用基本不等式求最值时需要注意的问题 明确指出基本不等式能够解决的两类问题，为用基本不等式解决简单的最大(小)值问题创造条件.
学情分析 基本不等式是在学生已经学习了等式性质与不等式性质，并且具备了一定的推理论证能力的基础上进行的.但是，学生尚未学习“几何平均数”、“最值”的含义;用几何变化现象解释变量变化也有一定困难.
学法指导 本节课注重调动学生积极思考、主动探究.在教学过程中，教师从实际出发，不断创设问题，引导学生积极地观察和分析，激发学生的求知欲和学习积极性，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间. (1)探究学习法:学生通过观察分析赵爽弦图，抽象概括出基本不等式; (2)自主学习法:以问题驱动课堂，通过问题串，引导学生去自主发现基本不等式; (3)反馈练习法:通过练习检验基本不等式的应用情况，找出学生存在的问题，进而帮助学生解决问题，从而充分发挥学生的主观能动性. 作业设计 必做题：教材46页练习题3.4.5 选做题：1.已知x>1,求的最小值. 2.求的最大值. 3..求x(1 3x)的最大值. 4.已知x<0，求的最值.
板书设计 2.2 基本不等式 一.情景导入 三．课堂练习 重要不等式： 例1 “一正二定三相等” 二．新课教学 例2 “积定和最小，和定积最大” 1.基本不等式： 四．课堂小结 2.代数解释 五．跟踪训练 3.证明（作差法、分析法、综合法） 4.几何解释
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