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同步探究学案
课题 7.1.1 两条直线相交 单元 第七章 学科 数学 年级 七年级
学习 目标 1.理解邻补角和对顶角的概念。 2.掌握“对顶角相等”的性质。
重点 “对顶角相等”的性质。
难点 能正确辨认两条相交直线所形成的邻补角和对顶角，能推出“对顶角相等”的性质。
探究过程
导入新课 【引入思考】 问题：你能再举出一些相交线和平行线的实例吗？
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助直线相交所成的角的位置关系和数量关系，研究相交线。 操作：取两根木条a，b，将它们钉在一起，并把它们想象成两条直线，就得到一个相交线的模型．在转动木条的过程中，它们所成的角也在变化，你能发现这些角之间不变的关系吗？ 探究：任意画两条相交的直线，形成四个角，∠1和∠2 有怎样的位置关系 ∠1和∠3呢 分别量一下各个角的度数，∠1 和∠2 的度数有什么关系 ∠1和∠3 呢 利用信息技术工具，改变两条直线相交所成的角的大小，上述关系还保持吗？为什么？ 填表： 两条直线相交所形成的角位置关系数量关系分类∠1，∠2∠1，∠3
提炼概念： 1．邻补角：∠1 和∠2有一条公共边OC，它们的另一边互为______________________（∠1 和∠2互补），具有这种位置关系的两个角，互为邻补角。 符号语言运用： ∵ ∠1与∠2是邻补角 ∴ ∠1+∠2＝________ 2．对顶角：∠1 和∠3有一个公共顶点O，并且∠1 的两边分别是∠3的两边的_________________，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角。 3．对顶角的性质：对顶角________. 符号语言运用： ∵ ∠1与∠3是对顶角 ∴ ∠1________∠3 问题：图中还有没有其他的邻补角吗？还有没有其他的对顶角吗？ 思考：如图，∠1＝∠3．这个结论可以通过补角的性质得到吗？ 典例精讲 例：如图，直线a，b相交于点O，∠1=40 ° ，求∠2 ，∠3 ，∠4 的度数．
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图中，和是对顶角的是（ ） A． B． C． D． 2．下列图形中，与是邻补角的是（ ） A． B． C． D． 3．如图所示，AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，已知∠AOC＝120°，求∠BOD、∠AOE的度数． 选做题： 4．如图，直线，，相交于点． （1）写出，的邻补角； （2）写出，的对顶角； （3）如果，求，的度数． 【综合拓展类作业】 5．图中是对顶角量角器，你能说出用它测量角的原理吗？
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列各图中，与互为对顶角的是（ ） A． B． C． D． 2．如图，图中的对顶角共有（ ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 3．如图，直线、相交于点，平分，若，求和的度数． 选做题： 4．如图，直线相交于点O，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【综合拓展类作业】 5．（1）观察图1，两条直线交于一点，共有2对对顶角；三条直线相交于一点，共有6对对顶角；四条直线相交于一点，共有______对对顶角．试猜想，10条直线相交于一点，共有______对对顶角； （2）观察图2，两条直线交于一点，共有2对对顶角；三条直线两两相交于不同的点，共有6对对顶角；四条直线两两相交于不同的点，共有______对对顶角．试猜想，10条直线两两相交于不同的点，共有______对对顶角； （3）针对上述两种情形，试归纳出一个一般性的结论．
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第七章 相交线与平行线
7.1.1 两条直线相交
1.理解邻补角和对顶角的概念。
2.掌握“对顶角相等”的性质。
你对两条直线相交、平行一定不陌生吧！菜园篱笆上交叉的竹竿，笔直的公路上的车行道线，大桥的吊索、钢梁上的钢条，棋盘中的横线和竖线，教室里课桌面、黑板面相邻的两条边与相对的两条边……都给我们以相交线或平行线的形象．你能再举出一些相交线和平行线的实例吗？
在上一章中，我们认识了相交线，知道相交是直线之间 的一种基本位置关系，如何刻画这种位置关系呢？本节我们借助直线相交所成的角的位置关系和数量关系，研究相交线。
操作：取两根木条a，b，将它们钉在一起，并把它们想象成两条直线，就得到一个相交线的模型．在转动木条的过程中，它们所成的角也在变化，你能发现这些角之间不变的关系吗？
探究：任意画两条相交的直线，形成四个角，∠1和∠2 有怎样的位置关系 ∠1和∠3呢
分别量一下各个角的度数，∠1 和∠2 的度数有什么关系 ∠1和∠3 呢
利用信息技术工具，改变两条直线相交所成的角的大小，上述关系还保持吗？为什么？
两条直线相交 所形成的角 位置关系 数量关系 分类
∠1，∠2 ①有公共边 ②边与互为反向延长线 互补 邻补角
∠1，∠3 两边边与、与分别互为反向延长线． 相等 对顶角
填表：
∠1 和∠2有一条公共边OC，它们的另一边互为反向延长线（ ∠1 和∠2互补），具有这种位置关系的两个角，互为邻补角。
图中还有没有其他的邻补角吗？
∠1 与∠4
∠3 与∠2
∠3 与∠4
符号语言：
∵ ∠1和∠2是邻补角
∴ ∠1+∠2＝180°
注意
1．邻补角互补．
2．互为邻补角的两个角满足：
（1）有公共顶点和一条公共边；（2）另一边互为反向延长线．
3．邻补角是成对出现的，单独一个角或两个以上的角不能互为邻补角．
　　构成邻补角的两种类型
　　（1）由两条直线相交形成；
　　（2）由一条直线和一条端点在该直线上的射线形成，如图中的∠1和∠2．
1
2
∠1 和∠3有一个公共顶点O，并且∠1 的两边分别是∠3的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角。
图中还有没有其他的对顶角吗？
∠2 与∠4
注意
1．两条直线相交是形成对顶角的前提条件．
2．两直线相交，对顶角有 2 对．
思考：如图，∠1＝∠3．这个结论可以通过补角的性质得到吗？
　　观察图形，可以得到：
　　∠1 与∠2 互补，∠3 与∠2 互补，由“同角的补角相等”，可以得出∠1＝∠3．
　　类似地，∠2＝∠4．
对顶角的性质：对顶角相等。
思考：如图，∠1＝∠3．这个结论可以通过补角的性质得到吗？
证明：　　
因为∠1 与∠2 互补，∠3 与∠2 互补，
所以∠1＝∠3（同角的补角相等）．
对顶角的性质：对顶角相等。
例：如图所示，直线a，b相交，∠1=40 ° ，求∠2 ，∠3 ，∠4 的度数．
解：由∠1和∠2互为邻补角，得
∠2=180°- ∠1= 180°- 40= 140°
由对顶角相等，得
∠1=∠3＝40 °，∠2=∠4＝140 °
【知识技能类作业】必做题：
1．如图中，∠1和∠2是对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
B
【知识技能类作业】必做题：
2．下列图形中，∠1与∠2是邻补角的是（ ）
A． B． C． D．
C
【知识技能类作业】必做题：
3．如图所示，AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，已知∠AOC＝120°，求∠BOD、∠AOE的度数．
解：∵AB、CD相交于点O，∠AOC＝120°，
∴∠BOD＝120°，∠AOD＝60°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE＝∠EOD＝30°
【知识技能类作业】选做题：
4.如图，直线，，相交于点．
（1）写出，的邻补角；
（2）写出，的对顶角；
（3）如果，求，的度数．
解：(1)∠AOC的邻补角是：∠COB，∠AOD；
∠BOE的邻补角是：∠AOE，∠BOF；
(2)∠DOA的对顶角是∠COB，∠EOC的对顶角是∠DOF；
(3)∵∠AOC=50°，由对顶角相等可知：
∴∠BOD=50°，
由邻补角互补可知：
∠COB=180°-∠BOD =180° - 50°=130°．
【综合拓展类作业】
5.图中是对顶角量角器，你能说出用它测量角的原理吗？
解：由题意得，BC、AD相交于O，
∴∠AOB与∠COD是对顶角，
∴∠AOB=∠COD．
故根据“对顶角相等”，活动指针的读数，就是所测角的度数．
对顶角
邻补角
相交线
所成的角
邻补角互补
对顶角相等
【知识技能类作业】必做题：
1．下列各图中，∠1与∠2互为对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
B
【知识技能类作业】必做题：
2．如图，图中的对顶角共有（ ）
A．4对
B．5对
C．6对
D．7对
A
【知识技能类作业】必做题：
3．如图，直线、相交于点，平分，若，求和的度数．
解：平分，，
，
，．
【知识技能类作业】选做题：
4.如图，直线相交于点O，平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
解：（1）平分，
，
；
【知识技能类作业】选做题：
5.如图，直线相交于点O，平分．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
解：（2）设，则，
根据题意得，解得：，
，
，
．
【综合拓展类作业】
（1）观察图1，两条直线交于一点，共有2对对顶角；三条直线相交于一点，共有6对对顶角；四条直线相交于一点，共有_____对对顶角．试猜想，10条直线相交于一点，共有____对对顶角；
（2）观察图2，两条直线交于一点，共有2对对顶角；三条直线两两相交于不同的点，共有6对对顶角；四条直线两两相交于不同的点，共有____对对顶角．试猜想，10条直线两两相交于不同的点，共有____对对顶角；
（3）针对上述两种情形，试归纳出一个一般性的结论．
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解：（3）在同一平面内，条直线两两相交，共有对对顶角．中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第一课时《7.1.1 两条直线相交》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课是在学生已经学习了直线、射线、线段和角的有关知识的基础上，进一步研究平面内两条直线相交，并研究两条直线相交所形成的邻补角、对顶角的位置及其数量关系。
学习者分析 在小学，学生结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交；在七年级上册，学生已经初步接触简单的平面几何图形，重点研究了线段和角，知道了互余、互补的角，等角的补角(余角)相等，能画出图形思考问题，初步掌握思考几何问题的方法，学会说点儿理，为本节课的进行做好了知识上和能力上的准备。
教学目标 1.理解邻补角和对顶角的概念。 2.掌握“对顶角相等”的性质。
教学重点 “对顶角相等”的性质。
教学难点 能正确辨认两条相交直线所形成的邻补角和对顶角，能推出“对顶角相等”的性质。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1.理解邻补角和对顶角的概念。 2.掌握“对顶角相等”的性质。学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：新知导入教师活动2： 指出：你对两条直线相交、平行一定不陌生吧！菜园篱笆上交叉的竹竿，笔直的公路上的车行道线，大桥的吊索、钢梁上的钢条，棋盘中的横线和竖线，教室里课桌面、黑板面相邻的两条边与相对的两条边……都给我们以相交线或平行线的形象．你能再举出一些相交线和平行线的实例吗？ 导言：在上一章中，我们认识了相交线，知道相交是直线之间 的一种基本位置关系，如何刻画这种位置关系呢？本节我们借助直线相交所成的角的位置关系和数量关系，研究相交线。 学生活动2： 学生观察图片，并列举出生活中相交线和平行线的实例活动意图说明： 通过学生熟悉的图片引入，激发学生的学习兴趣，指出本节课的学习内容，为新课的开展做好准备环节三：新知讲解教师活动3： 操作：取两根木条a，b，将它们钉在一起，并把它们想象成两条直线，就得到一个相交线的模型．在转动木条的过程中，它们所成的角也在变化，你能发现这些角之间不变的关系吗？ 探究：任意画两条相交的直线，形成四个角，∠1和∠2 有怎样的位置关系 ∠1和∠3呢 分别量一下各个角的度数，∠1 和∠2 的度数有什么关系 ∠1和∠3 呢 利用信息技术工具，改变两条直线相交所成的角的大小，上述关系还保持吗？为什么？ 填表： 两条直线相交所形成的角位置关系数量关系分类∠1，∠2①有公共边 ②边与互为反向延长线互补邻补角∠1，∠3两边边与、与分别互为反向延长线．相等对顶角
归纳1：∠1 和∠2有一条公共边OC，它们的另一边互为反向延长线（ ∠1 和∠2互补），具有这种位置关系的两个角，互为邻补角。 追问：图中还有没有其他的邻补角吗？ 预设：∠1 与∠4 ∠3 与∠2 ∠3 与∠4 注意： 1．邻补角互补． 2．互为邻补角的两个角满足： （1）有公共顶点和一条公共边；（2）另一边互为反向延长线． 3．邻补角是成对出现的，单独一个角或两个以上的角不能互为邻补角． 符号语言： ∵ ∠1和∠2是邻补角 ∴ ∠1+∠2＝180° 指出：构成邻补角的两种类型 （1）由两条直线相交形成； （2）由一条直线和一条端点在该直线上的射线形成，如图中的∠1和∠2． 归纳2：∠1 和∠3有一个公共顶点O，并且∠1 的两边分别是∠3的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角。 追问：图中还有没有其他的对顶角吗？ 预设：∠2 与∠4 注意： 1．两条直线相交是形成对顶角的前提条件． 2．两直线相交，对顶角有 2 对． 思考：如图，∠1＝∠3．这个结论可以通过补角的性质得到吗？ 分析：观察图形，可以得到： ∠1 与∠2 互补，∠3 与∠2 互补，由“同角的补角相等”，可以得出∠1＝∠3． 类似地，∠2＝∠4． 归纳3：对顶角的性质：对顶角相等。 证明： 因为∠1 与∠2 互补，∠3 与∠2 互补， 所以∠1＝∠3（同角的补角相等）． 例：如图所示，直线a，b相交，∠1=40 ° ，求∠2 ，∠3 ，∠4 的度数． 解：由∠1和∠2互为邻补角，得 ∠2=180°- ∠1= 180°- 40= 140° 由对顶角相等，得 ∠1=∠3＝40 °，∠2=∠4＝140 °学生活动3： 学生动手操作，独立思考，然后小组合作探究后班内交流汇报活动意图说明： 让学生观察图形，抓住两个角的特点，尝试给出邻补角、对顶角的概念，培养学生数学语言的表达能力；再通过进一步观察比较、小组讨论，引导学生根据同角的补角相等，得出对顶角相等的性质。并通过例题，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力。环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题：7.1.1 两条直线相交一、邻补角 二、对顶角 三、对顶角的性质教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图中，和是对顶角的是（ ） A． B． C． D． 答案：B 2．下列图形中，与是邻补角的是（ ） A． B． C． D． 答案：C 3．如图所示，AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，已知∠AOC＝120°，求∠BOD、∠AOE的度数． 解：∵AB、CD相交于点O，∠AOC＝120°， ∴∠BOD＝120°，∠AOD＝60°， ∵OE平分∠AOD， ∴∠AOE＝∠EOD＝30° 选做题： 4.如图，直线，，相交于点． （1）写出，的邻补角； （2）写出，的对顶角； （3）如果，求，的度数． 解：(1)∠AOC的邻补角是：∠COB，∠AOD； ∠BOE的邻补角是：∠AOE，∠BOF； (2)∠DOA的对顶角是∠COB，∠EOC的对顶角是∠DOF； (3)∵∠AOC=50°，由对顶角相等可知： ∴∠BOD=50°， 由邻补角互补可知： ∠COB=180°-∠BOD =180° - 50°=130°． 【综合拓展类作业】 5.图中是对顶角量角器，你能说出用它测量角的原理吗？ 解：由题意得，BC、AD相交于O， ∴∠AOB与∠COD是对顶角， ∴∠AOB=∠COD． 故根据“对顶角相等”，活动指针的读数，就是所测角的度数．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列各图中，与互为对顶角的是（ ） A． B． C． D． 答案：B 2．如图，图中的对顶角共有（ ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 答案：A 3．如图，直线、相交于点，平分，若，求和的度数． 解：平分，， ， ，． 选做题： 4．如图，直线相交于点O，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 解：（1）平分， ， ； （2）设，则， 根据题意得， 解得：， ， ， ． 【综合拓展类作业】 5.（1）观察图1，两条直线交于一点，共有2对对顶角；三条直线相交于一点，共有6对对顶角；四条直线相交于一点，共有______对对顶角．试猜想，10条直线相交于一点，共有______对对顶角； （2）观察图2，两条直线交于一点，共有2对对顶角；三条直线两两相交于不同的点，共有6对对顶角；四条直线两两相交于不同的点，共有______对对顶角．试猜想，10条直线两两相交于不同的点，共有______对对顶角； （3）针对上述两种情形，试归纳出一个一般性的结论． 解：（1） （2） （3）在同一平面内，条直线两两相交，相交直线的对数，对顶角的对数． 故答案为：在同一平面内，条直线两两相交，共有对对顶角．
教学反思 本课秉持着从具体事物到抽象概念、由感性认知迈向理性思维的渐进式认知规律，以启发探究式学习为核心方法，选取学生日常生活中常见的实例作为探究素材，这样的设计不仅能够有效激发学生对学习的热情，还能帮助学生深入了解相交线在生活中的实际原型，助力其构建起直观且形象的数学模型。在教学实践过程中，着重突出学生的自主学习能力，同时重视学生之间的交流与合作，将其融入探究活动中，让学生在自主探索相交线知识的过程中，深刻理解并熟练掌握邻补角、对顶角的概念与性质，积累丰富的数学活动经验，进而提升学生的探究能力、发现问题的能力以及创新能力。
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