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第七章 相交线与平行线
7.1.2 两条直线垂直
1．认识垂线，理解“互相垂直”和“垂足”的含义。
2．能够过一点画已知直线的垂线。
3．掌握垂线的性质，理解“垂线段最短”并能进行应用。
1.如图，∠1 和∠2有一条公共边OC，它们的另一边互为________（ ∠1 和∠2互补），具有这种位置关系的两个角，互为邻补角。
2.如图，∠1 和∠3有一个公共顶点O，并且∠1 的两边分别是∠3的两边的_____________，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角。
3.对顶角的性质：_____________。
反向延长线
反向延长线
对顶角相等
　　如图，是相交线的模型，固定木条 a，转动木条 b．当 b 的位置变化时，a，b 所成的∠α 也会发生变化．
a
b
α
b
　　如图，是相交线的模型，固定木条 a，转动木条 b．当 b 的位置变化时，a，b 所成的∠α 也会发生变化．
a
b
α
a
b
α
a
b
α
当两条直线a，b相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们就说a与b互相垂直．记作： a⊥b。
两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
垂直是相交的一种特殊情形.
记作：AB ⊥CD，垂足为O，或AB ⊥CD于点Ｏ。
注 意
1．垂直是两条直线的位置关系，如果 a 是 b 的垂线，那么 b 也是 a 的垂线。　　
2．垂线是直线，不是线段或射线，不能测量其长度。
3．线段、射线的垂直是指它们所在的直线垂直。
　　根据两条直线垂直的定义可知，如果两条直线相交所成的四个角中的任意一个角等于 90°，那么这两条直线垂直．
　　下图中，如果直线 AB，CD 相交于点 O，∠AOD＝90°，
那么 AB⊥CD．
　　这个推理过程可以写成下面的形式：
　　因为____________________，
　　所以________(垂直的定义)．
∠AOD＝90°
AB⊥CD
A
B
C
D
O
如果 AB⊥CD ，那么∠AOD 是多少度？写出 这个推理过程。
∠AOD＝90° AB⊥CD
判定
性质
因为 ___________
所以 ___________．
A
B
C
D
O
AB⊥CD
∠AOD =90°
垂直的定义既是判定也是性质
说一说：在日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见，如图中窗户上互相垂直的木条、网球拍上互相垂直的网线。你能再举出其他例子吗？
　　探究：用三角尺或量角器画已知直线 l 的垂线，这样的垂线能画出几条？
思考：如何用三角尺画垂线？
　　第 1 步：让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合；
　　第 2 步：沿另一直角边画直线，这条直线就是已知直线的垂线．
l
无数条
l
　　探究：用三角尺或量角器画已知直线 l 的垂线，这样的垂线能画出几条？
（1）经过直线 l 上一点 A 画 l 的垂线，这样的垂线能画出几条？
思考：过直线上的一点如何用三角尺画垂线？
　　第 1 步：让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合；
　　第 2 步：沿直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点；
　　第 3 步：沿此直角边画直线，这条直线就是已知直线的垂线．
一条
A
l
（2）经过直线 l 外一点 B 画 l 的垂线，这样的垂线能画出几条？
l
B
一条
仿照过直线上一点画已知直线的垂线，画出垂线．
过一点画已知直线的垂线，其本质就是利用三角尺（或量角器），使过一点的直线与已知直线所形成的夹角为 90°．
垂线的性质（1）　
经过一点（在已知直线上或直线外），能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线。
由此得到关于垂线的基本事实：
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
例： 如图所示，过点P画出射线AB或线段AB的垂线．
解：如图所示。
画一条射线或线段的垂线，就是画它们所在直线的垂线。
　　思考：如图所示，在灌溉时，要把河中的水引到农田 P 处，如何挖渠能使渠道最短？
　　要解决这个问题，我们需要找到河渠中到点 P 的距离最近的点。如何确定这个点呢？
探究：如图，P是直线 l 外一点， PO⊥l，垂足为O，我们称 PO 为点 P 到直线 l 的_______。A是直线l上除点O外一点，连接PA。测量并比较线段PO与PA的长度，你能得到什么结论？改变点A的位置呢？（你也可以利用信息技术工具，在直线l上拖动点A，改变点A的位置，探究PO与PA的长度关系．）
P
O
A1
A2
A3
A4
…
可以发现：垂线段 PO 最短．
垂线段
垂线的性质（2）　
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
简单说成：垂线段最短．
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
O
说一说：现在你知道如何挖渠能使渠道最短了吗？
最短（或最近）问题的两依据
（1）两点之间，线段最短；（2）垂线段最短．
【知识技能类作业】必做题：
1．小明某次立定跳远的示意图如图所示，根据立定跳远规则可知小明本次立定跳远成绩为（ ）
A．线段的长度
B．线段的长度
C．线段的长度
D．线段的长度
C
【知识技能类作业】必做题：
2．如图，，于D，则下列结论中，正确的个数为（ ）
①：
②与互相垂直；
③点C到的垂线段是线段；
④点A到的距离是线段的长度；
⑤线段的长度是点C到的距离：
⑥线段的长度是点D到的距离．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
A
【知识技能类作业】必做题：
3．如图，，，垂足为，经过点．求、的度数．
解：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
【知识技能类作业】选做题：
4.如图，直线与相交于点，于点，，则度数为___________．
112.5°
【综合拓展类作业】
5.如图，已知平面内有一个和三点，，，按要求画图，并回答问题：
(1)画线段，射线，直线；
(2)过点画，垂足为点；
(3)对于内部的任意一点，点
到的两边的距离中的较短距离记为，按照上述记法，请你通过测量得出______（填“”“”或“”）．
垂直的定义
垂线的性质1
垂线的性质2
点到直线的距离
　　在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
两条直线垂直
垂线段最短
【知识技能类作业】必做题：
1．如图，已知，，平分，平分，则的度数是（ ）
A．
B．
C．
D．
C
【知识技能类作业】必做题：
2．下列判断正确的是（ ）
A．从直线外一点到已知直线的垂线段叫做点到已知直线的距离
B．过直线外一点作已知直线的垂线，垂线的长度就是这点到已知直线的距离
C．作出已知直线外一点到已知直线的距离
D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
D
【知识技能类作业】必做题：
3．如图，直线、相交于点，，．如果，求的度数
解：，，，
，
．
【知识技能类作业】选做题：
4.如图，，，平分，若，求的度数．
解：，，
．
平分，
．
，
，
．
【综合拓展类作业】
5.如图，某厂房需要在河岸上建一个水泵站引水到C处，若考虑使铺设的水管长度最短，请你画出水泵站位置，并说明其数学道理．
解：如图所示：A点即为所求；
数学道理：垂线段最短．中小学教育资源及组卷应用平台
同步探究学案
课题 7.1.2 两条直线垂直 单元 第七章 学科 数学 年级 七年级
学习 目标 1．认识垂线，理解“互相垂直”和“垂足”的含义。 2．能够过一点画已知直线的垂线。 3．掌握垂线的性质，理解“垂线段最短”并能进行应用。
重点 垂线的画法及性质。
难点 理解垂线段最短，并能进行应用。
探究过程
导入新课 【引入思考】 1.如图，∠1和∠2有一条公共边OC，它们的另一边互为________（∠1和∠2互补），具有这种位置关系的两个角，互为邻补角。 2.如图，∠1和∠3有一个公共顶点O，并且∠1的两边分别是∠3的两边的_____________，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角。 3.对顶角的性质：_____________。 4.观察：如图，是相交线的模型，固定木条a，转动木条b．当b的位置变化时，a，b所成的∠α也会发生变化．
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助相交线模型，研究两条直线垂直及其性质。 一、垂直及其相关概念 （一）当两条直线a，b相交所成的四个角中，有一个角是_______时，我们就说a与b互相垂直．记作：________。__________是相交的一种特殊情形. 两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的_____，它们的交点叫做_____。 如上右图，记作：_________，垂足为_______，或AB⊥CD于点Ｏ。 注意： 1．垂直是两条直线的位置关系，如果a是b的垂线，那么b也是a的________。 2．垂线是_______，不是线段或射线，不能测量其_______。 3．线段、射线的垂直是指它们所在的直线________。 （二）根据两条直线垂直的定义可知，如果两条直线相交所成的四个角中的任意一个角等于90°，那么这两条直线________． 右图中，如果直线AB，CD相交于点O， ∠AOD＝90°，那么________． 这个推理过程可以写成下面的形式： 因为_______________， 所以________________(垂直的定义)． 想一想：如果AB⊥CD，那么∠AOD是多少度？写出这个推理过程。 解：∠AOD＝________ 因为_______________ 所以_______________． 注意：垂直的定义既是判定也是性质 即：∠AOD＝90°AB⊥CD 说一说：在日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见，如图中窗户上互相垂直的木条、网球拍上互相垂直的网线。你能再举出其他例子吗？ 二、垂线的性质1 探究：用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条？ （1）经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条？ （2）经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条？ 注意：过一点画已知直线的垂线，其本质就是利用三角尺（或量角器），使过一点的直线与已知直线所形成的夹角为________． 归纳：垂线的性质（1） 经过一点（在已知直线上或直线外），能画出已知直线的______垂线，并且只能画出______垂线。 关于垂线的基本事实：在同一平面内，过一点__________一条直线与已知直线垂直。 例：如图所示，过点P画出射线AB或线段AB的垂线． 分析：画一条射线或线段的垂线，就是画它们所在直线的________。 解：____________。 三、垂线的性质2 思考：如图所示，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖渠能使渠道最短？ 提示：要解决这个问题，我们需要找到河渠中到点P的距离_________的点。 探究：如图，P是直线l外一点，PO⊥l，垂足为O，我们称PO为点P到直线l的_________。A是直线l上除点O外一点，连接PA。测量并比较线段PO与PA的长度，你能得到什么结论？改变点A的位置呢？（你也可以利用信息技术工具，在直线l上拖动点A，改变点A的位置，探究PO与PA的长度关系．） 可以发现：垂线段_________． 归纳：垂线的性质（2） 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，____________最短． 简单说成：垂线段________． 直线外一点到这条直线的垂线段的__________，叫做点到直线的距离． 说一说：现在你知道如何挖渠能使渠道最短了吗？ 指出：最短（或最近）问题的两依据 （1）两点之间，________最短；（2）_________最短．
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．小明某次立定跳远的示意图如图所示，根据立定跳远规则可知小明本次立定跳远成绩为（ ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 2．如图，，于D，则下列结论中，正确的个数为（ ） ①：②与互相垂直；③点C到的垂线段是线段；④点A到的距离是线段的长度；⑤线段的长度是点C到的距离：⑥线段的长度是点D到的距离． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 第2题图 第3题图 第4题图 3．如图，，，垂足为，经过点．求、的度数． 选做题： 4.如图，直线与相交于点，于点，，则度数为___________． 【综合拓展类作业】 5.如图，已知平面内有一个和三点，，，按要求画图，并回答问题： (1)画线段，射线，直线； (2)过点画，垂足为点； (3)对于内部的任意一点，点到的两边的距离中的较短距离记为，按照上述记法，请你通过测量得出______（填“”“”或“”）．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，已知，，平分，平分，则的度数是（ ） A． B． C． D． 2．下列判断正确的是（ ） A．从直线外一点到已知直线的垂线段叫做点到已知直线的距离 B．过直线外一点作已知直线的垂线，垂线的长度就是这点到已知直线的距离 C．作出已知直线外一点到已知直线的距离 D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 3．如图，直线、相交于点，，．如果，求的度数． 选做题： 4.如图，，，平分，若，求的度数． 【综合拓展类作业】 5.如图，某厂房需要在河岸上建一个水泵站引水到C处，若考虑使铺设的水管长度最短，请你画出水泵站位置，并说明其数学道理．
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分课时教学设计
第二课时《7.1.2两条直线垂直》教学设计
课型 新授课 复习课口试卷讲评课口其他课口
教学内容分析 两直线垂直是平面几何所要研究的基本内容之一。垂线的概念、画法和性质是重要的基础知识，是进一步学习平面直角坐标系、三角形的高、切线的性质和判定、以及空间里的垂直关系等知识的基础，与其他数学知识一样，它在现实生活中有着广泛的应用。垂线的概念和性质，蕴含着“从一般到特殊”的认识规律，是培养学生思维能力的重要内容之一。
学习者分析 本课学习是学生学习了两直线相交、对顶角等知识的基础上进行的，学生已掌握相交线模型，可以进一步研究两条直线相交的特殊情况——垂直，学习垂线的概念和性质，点到直线的距离等知识，同时，七年级的孩子思维活跃，模仿能力强.同时他们也具备了一定的学习能力，在老师的指导下，能针对某一问题展开讨论并归纳总结，但是受年龄特征的影响，他们对知识迁移能力不强，推理能力还需进一步培养。
教学目标 1．认识垂线，理解“互相垂直”和“垂足”的含义。 2．能够过一点画已知直线的垂线。 3．掌握垂线的性质，理解“垂线段最短”并能进行应用。
教学重点 垂线的画法及性质。
教学难点 理解垂线段最短，并能进行应用。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．认识垂线，理解“互相垂直”和“垂足”的含义。 2．能够过一点画已知直线的垂线。 3．掌握垂线的性质，理解“垂线段最短”并能进行应用。学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：新知导入教师活动2： 1.如图，∠1和∠2有一条公共边OC，它们的另一边互为________（∠1和∠2互补），具有这种位置关系的两个角，互为邻补角。 答案：反向延长线 2.如图，∠1和∠3有一个公共顶点O，并且∠1的两边分别是∠3的两边的_____________，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角。 答案：反向延长线 3.对顶角的性质：_____________。 答案：对顶角相等 观察：如图，是相交线的模型，固定木条a，转动木条b．当b的位置变化时，a，b所成的∠α也会发生变化． 学生活动2： 学生积极回答问题，并观察相交线模型活动意图说明： 通过回顾上节课内容及演示两直线相交，并出示特殊位置，让学生明确本节课的学习内容环节三：新知讲解教师活动3： 讲解：当两条直线a，b相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们就说a与b互相垂直．记作：a⊥b。 垂直是相交的一种特殊情形. 两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 记作：AB⊥CD，垂足为O，或AB⊥CD于点Ｏ。 注意：1．垂直是两条直线的位置关系，如果a是b的垂线，那么b也是a的垂线。 2．垂线是直线，不是线段或射线，不能测量其长度。 3．线段、射线的垂直是指它们所在的直线垂直。 讲解：根据两条直线垂直的定义可知，如果两条直线相交所成的四个角中的任意一个角等于90°，那么这两条直线垂直． 下图中，如果直线AB，CD相交于点O，∠AOD＝90°，那么AB⊥CD． 这个推理过程可以写成下面的形式： 因为___∠AOD＝90°___， 所以__AB⊥CD___(垂直的定义)． 想一想：如果AB⊥CD，那么∠AOD是多少度？写出这个推理过程。 因为__AB⊥CD___ 所以__∠AOD＝90°__． 指出：垂直的定义既是判定也是性质 ∠AOD＝90°AB⊥CD 说一说：在日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见，如图中窗户上互相垂直的木条、网球拍上互相垂直的网线。你能再举出其他例子吗？ 探究：用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条？ 思考：如何用三角尺画垂线？ 预设1：第1步：让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合； 第2步：沿另一直角边画直线，这条直线就是已知直线的垂线． 预设2：无数条 （1）经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条？ 思考：过直线上的一点如何用三角尺画垂线？ 预设1：第1步：让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合； 第2步：沿直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点； 第3步：沿此直角边画直线，这条直线就是已知直线的垂线． 预设2：一条 （2）经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条？ 提示：仿照过直线上一点画已知直线的垂线，画出垂线． 预设：1条 指出：过一点画已知直线的垂线，其本质就是利用三角尺（或量角器），使过一点的直线与已知直线所形成的夹角为90°． 归纳：垂线的性质（1） 经过一点（在已知直线上或直线外），能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线。 由此得到关于垂线的基本事实： 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 例：如图所示，过点P画出射线AB或线段AB的垂线． 分析：画一条射线或线段的垂线，就是画它们所在直线的垂线。 解：如图所示。 思考：如图所示，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖渠能使渠道最短？ 引问：要解决这个问题，我们需要找到河渠中到点P的距离最近的点。如何确定这个点呢？ 探究：如图，P是直线l外一点，PO⊥l，垂足为O，我们称PO为点P到直线l的__垂线段 __。A是直线l上除点O外一点，连接PA。测量并比较线段PO与PA的长度，你能得到什么结论？改变点A的位置呢？（你也可以利用信息技术工具，在直线l上拖动点A，改变点A的位置，探究PO与PA的长度关系．） 操作演示： 可以发现：垂线段PO最短． 归纳：垂线的性质（2） 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 简单说成：垂线段最短． 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 说一说：现在你知道如何挖渠能使渠道最短了吗？ 预设： 指出：最短（或最近）问题的两依据 （1）两点之间，线段最短； （2）垂线段最短． 学生活动3： 学生认真并听老师的讲解，然后按要求进行小组合作探究，并派代表汇报交流，最后听老师的点评和讲解活动意图说明： 通过讲解和探究让学生体会垂线的相关概念，并在画图的过程中探究并归纳垂线的两条性质，并理解点到直线的距离环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题：7.1.2两条直线垂直一、两条直线垂直 二、垂线的性质1 三、垂线的性质2教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．小明某次立定跳远的示意图如图所示，根据立定跳远规则可知小明本次立定跳远成绩为（ ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 答案：C 2．如图，，于D，则下列结论中，正确的个数为（ ） ①：②与互相垂直；③点C到的垂线段是线段；④点A到的距离是线段的长度；⑤线段的长度是点C到的距离：⑥线段的长度是点D到的距离． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 答案：A 3．如图，，，垂足为，经过点．求、的度数． 解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 选做题： 4.如图，直线与相交于点，于点，，则度数为___________． 答案：112.5° 【综合拓展类作业】 5.如图，已知平面内有一个和三点，，，按要求画图，并回答问题： (1)画线段，射线，直线； (2)过点画，垂足为点； (3)对于内部的任意一点，点到的两边的距离中的较短距离记为，按照上述记法，请你通过测量得出______（填“”“”或“”）． 解：（1）如下图，线段，射线，直线即为所求； （2）如下图，即为所求； （3）如下图，过点作，，垂足为，；过点作，，垂足为，， 根据题意可知，，，比较可得，， 所以 ． 故答案为：．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，已知，，平分，平分，则的度数是（ ） A． B． C． D． 答案：C 2．下列判断正确的是（ ） A．从直线外一点到已知直线的垂线段叫做点到已知直线的距离 B．过直线外一点作已知直线的垂线，垂线的长度就是这点到已知直线的距离 C．作出已知直线外一点到已知直线的距离 D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 答案：D 3．如图，直线、相交于点，，．如果，求的度数． 解：，，， ， ． 选做题： 4.如图，，，平分，若，求的度数． 解：，， ． 平分， ． ， ， ． 【综合拓展类作业】 5.如图，某厂房需要在河岸上建一个水泵站引水到C处，若考虑使铺设的水管长度最短，请你画出水泵站位置，并说明其数学道理． 解：如下图：A点即为所求； 数学道理：垂线段最短．
教学反思 这节课主要内容是包括两直线垂直及相关概念、垂线的两条性质，在探究过程中通过指导学生过一点画已知直线的垂线，并通过画垂线发现直线外一点到这条直线的垂直线段最短。在教学中，课堂气氛活跃，教学活动让学生动手画一画、动脑想一想，培养学生动手操作能力。
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