资源简介 中小学教育资源及组卷应用平台新人教版七年级数学上名师点拨与训练第6章 几何图形6.2.2 专题 线段计算中体现的四种数学思想一 方程思想方程的思想,是对于一个问题用方程解决的应用,也是对方程概念本质的认识,是分析数学问题中变量间 的等量关系,构建方程或方程组,或利用方程的性质去分析、转换、解决问题。要善用方程和方程组观点来观察处理问题。方程思想是动中求静,研究运动中的等量关系。当一个问题可能与某个方程建立关联时,可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题.【例1-1】如图,在数轴上有A,B,C,D四个整数点(即各点均表示整数),且2AB= BC=3CD.若A,D 两点表示的数分别为-5和6,E 为线段BD 的中点,求点 E 表示的数..【例1-2】 如图,C,D是线段AB上两点,已知AC:CD:DB=1:2:3,M,N分别为AC,DB的中点,且AB=18 cm,求线段 MN 的长.解题策略:在计算线段长度问题时,已知线段的和差关系或比例关系时,可以将关键线段设未知数,并用所设未知数表示其他线段,建立方程模型解决问题。【变式1-1】.(1)【问题探究】如图,点C,D 均在线段AB 上且点C 在点 D 左侧,若AC=BD,CD=6 cm,AB=9 cm,则线段AC 的长为 cm。(2)【方法迁移】已知点C,D 均在线段AB 上且点C 在点D 左侧,若AC=BD,CD=a( cm),AB=b( cm)(b>a),则线段AC 的长为 cm(用含a,b 的代数式表示)。(3)【学以致用】已知七年级某班共有m人,在本班参加拓展课报名统计时发现,选择围棋课的人数是n(n【变式1-2】.如图,在线段AB 的延长线上取一点C,使BC=2AB,在BA 的延长线上取一点 D,使DA=AB,取AB的中点E。若DE=7.5cm,则DC的长为 cm。【变式1-3】.如图,B,C 两点把线段MN 分成三部分,且MB :BC:CN=2:3:4,P 是MN 的中点。若PC=2cm,则MN= cm。【变式1-4】.如图,线段AB被点C、D分成了3:4:5三部分,且AC的中点M和DB的中点N之间的距离是40cm,求AB的长.【变式1-5】. 如图,已知点C在线段AB上,M,N分别是AC,BC的中点.(1)若线段AC=12,BC=8,求线段MN的长度.(2)设AB=a,求线段MN的长度.(3)解决问题:已知线段DE,延长DE到F,使EF= DE;延长ED到G,使DG=2DE,P,Q分别是EF,DG的中点.若PQ=18 cm,求DE的长.二 分类讨论思想分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个标准进行分类,然后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的解答。【例2-1】.如图,数轴上 A,B两点之间的距离. 有一根木棒MN,MN 在数轴上移动(点 M 始终在点 N 的左侧),当点 N 移动到与A,B其中一个端点重合时,点M 所对应的数为9,则当点 N 移动到线段AB 的中点时,点M 所对应的数为 .【例2-2】.一根绳子AB 的长为20cm,C,D 是绳子AB 上任意两点(点C在点D 的左侧)。将AC,BD分别沿C,D两点翻折(翻折处长度不计),A,B两点分别落在CD 上的点E,F 处。(1)当CD=12cm时,E,F 两点间的距离为 cm。(2)当E,F 两点间的距离为2cm时,CD的长为 cm。【例2-3】.如图,数轴上A,B两点对应的有理数分别为10和15,点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动,点Q同时从原点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动,设运动时间为t秒.(1)当0<t<5时,用含t的式子填空:BP= ,AQ= ;(2)当t=2时,求PQ的值;(3)当PQ= AB时,求t的值.解题策略当题目条件中没有图形,位置不确定时,或者有些条件的表述不明确时,通常需要分类讨论,分类的标准是对不确定的几种可能情况进行分类。【变式2-1】.已知,点C在直线上,,点M是线段的中点,则线段 .【变式2-2】已知点 A,B,C在一条直线上,AB=6,BC=2,点M是线段AC的中点,求线段AM的长度.【变式2-3】.已知线段 AB=10,C为AB 延长线上的一点,D是线段AC 的中点,且点 D 不与点B 重合.若线段 BD=4,求线段 BC的长.【变式2-4】.如图所示,点C在线段上,,点M、N分别是、的中点.(1)求的长度;(2)求的长度;(3)若数P在直线上,且,点Q为的中点,请直接写出的长度,不用说明理由.三 整体思想整体思想就是从问题的整体性质出发,突出对问题的整体结构的分析和改造,发现问题的整体结构特征,善于用“集成”的眼光,把某些式子或图形看成一个整体,把握它们之间的关联,进行有目的、有意识的整体处理。【例3-1】.如图1,已知点 C 在线段AB 上,且(1)若点 C 为线段AB 上任意一点,其他条件不变,且满足 AC+BC=a,求线段 MN 的长.(2)如图 2,若点 C 为线段AB 延长线上任意一点,其他条件不变,且满足AC-BC=b,求线段 MN的长.【例3-2】.如图,已知点C在线段上,且cm,cm,点M,N分别是,的中点,要求线段的长度,可进行如下的计算.(1)请填空:解:因为M是的中点,所以___________,因为cm,所以cm.因为N是的中点,所以,因为cm,所以___________,所以___________.(2)对于(1),如果cm,cm,其他条件不变,请求出的长度.(要求有过程)解题策略:在求线段长度的过程中,若发现该线段分成的几条线段长无法直接求出,(或者直接求出非常复杂),可考虑整体思想,分析出要求的线段整体上与已知线段之间存在的数量关系。【变式3-1】.如图,已知点在线段的延长线上,点,分别是,的中点.(1)若,,则线段 ; .(直接写出结果)(2)若,,其他条件不变,求线段的长.(用含的式子表示)【变式3-2】.如图所示,点是线段的中点,.(1)若,,则 , ;(2)若,,求线段的长用含、的式子表示.【变式3-3】.已知点 是线段 上一点, .(1)若 ,求 的长;(2)若 , 是 的中点, 是 的中点,请用含 的代数式表示 的长,并说明理由.【变式3-4】如图,已知C,D为线段AB上顺次两点,M,N分别是AC,BD的中点.(1)若AB=24,CD=10,求MN的长.(2)若AB=a,CD=b,请用含,b的式子表示出MN的长.【变式3-5】如图,点C,D为线段AB的三等分点,点E为线段AC的中点,若ED=12,则线段AB的长为 .四 利用数形结合思想、方程思想、分类讨论思想解决动态问题。数形结合思想通过“以形助数,以数辅形”,使复杂问题简单化,抽 象问题具体化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的 本质,它是数学的规律性与灵活性的有机结合。【例4-1】.如图,已知A,B,C 是数轴上的三点,O是原点,点C 表示的数为6,BC=4,AB=12。(1)写出数轴上点 A,B表示的数。(2)动点 P,Q分别从点A,C同时出发,点P 以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,点Q 以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,M为AP 的中点,点 N 在线段CQ 上,且 设运动时间为t(s)(t>0)。①求数轴上点 M,N表示的数(用含 t 的式子表示)。②当t 为何值时,原点O 恰为线段PQ 的中点 【例4-2】.已知有理数在数轴上对应的点分别为,其中b是最小的正整数,满足.(1)填空:__________,_____________,___________;(2)现将点A,点B和点C分别以每秒4个单位长度,1个单位长度和1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动,设运动时间为t秒.i)定义:已知为数轴上任意两点,将数轴沿线段的中点Q进行折叠,点M与点N刚好重合,所以我们又称线段的中点Q为点M和点N的折点.试问:当t为何值时,这三个点中恰好有一点为另外两点的折点?ii)当点A在点C左侧时(不考虑点A与点B重合),是否存在一个常数m,使得的值在一定时间范围内不随t的改变而改变?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.【例4-3】. 定义:若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段,则称这个点是这条线段的三等分点.图1 图2(1)如图1,点是线段的一个三等分点,满足,若,则 .(2)如图2,已知,点从点出发,点从点出发,两点同时出发,都以每秒的速度沿射线方向运动秒.①当为何值时,点是线段的三等分点.②在点,点开始出发的同时,点也从点出发,以每秒的速度沿射线方向运动,在运动过程中,点,点分别是,的三等分点,请直接写出的值.解题策略:点在线段上运动时,若涉及速度,解决问题的关键就是用点运动的路程表示线段的长度,利用线段的和差关系建立方程求出未知的时间即可。通常应用方程思想,分类思想,数形结合思想。【变式4-1】.数轴是数学中的一个重要工具,利用数轴可以将数与形进行完美的结合,如:数轴上点表示的数为,点表示的数为,则两点之间的距离为.如图所示,点为数轴上的三个点,表示的数分别为,满足,且为的倒数.动点,分别从点出发,分别以每秒1个单位长度和4个单位长度的速度向右运动,动点从点出发,以每秒3个单位长度的速度向左运动,三个动点同时出发,设运动的时间为秒(),请回答下列问题:(1)直接写出的值: , , ;(2)当时,求的值;(3)在运动过程中,的值是否发生变化?若发生变化,请用含的式子表示;若不发生变化,请求出的值.【变式4-2】.已知线段,点C为线段AB的中点,点D为线段AC上的三等分点,则线段BD的长的最大值为( )A.16 B.18 C.15 D.20【变式4-3】.如图,点O是数轴的原点,点A在数轴上位于原点左侧,点B在数轴上位于原点右侧,.(1)当,时,点A表示的数为 ,点B表示的数为 ;(2)若点C、D为数轴上任意两点,点M是线段AC的中点,点N是线段BD的中点.①当点C与点D重合时,探究AB与MN的数量关系,并说明理由.②当时,直接写出MN的长度(用m,n表示).【变式4-4】.综合运用【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具,利用数轴可以将数与形完美地结合.研究数轴我们发现了许多重要的规律:若数轴上点A,点B表示的数分别为a,b,则A,B两点之间的距离,线段的中点表示的数为.【问题情境】如图,数轴上点A表示的数为,点B表示的数为8,点P从点A出发,以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,同时点Q从点B出发,以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动.设运动时间为t秒().备用图【综合运用】(1)A,B两点间的距离 ,线段的中点表示的数为 ;(2)求当t为何值时,P、Q两点相遇,并写出相遇点所表示的数;(3)求当t为何值时,;(4)若点M为的中点,点N为的中点,点P在运动过程中,线段的长度是否发生变化?若变化,请说明理由;若不变,求出线段的长.新人教版七年级数学上名师点拨与训练第6章 几何图形6.2.2 专题 线段计算中体现的四种数学思想一 方程思想方程的思想,是对于一个问题用方程解决的应用,也是对方程概念本质的认识,是分析数学问题中变量间 的等量关系,构建方程或方程组,或利用方程的性质去分析、转换、解决问题。要善用方程和方程组观点来观察处理问题。方程思想是动中求静,研究运动中的等量关系。当一个问题可能与某个方程建立关联时,可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题.【例1-1】如图,在数轴上有A,B,C,D四个整数点(即各点均表示整数),且2AB= BC=3CD.若A,D 两点表示的数分别为-5和6,E 为线段BD 的中点,求点 E 表示的数.【答案】解:设,则∵,∴,解得,∴又∵点A 表示的数是-5,∴点B 表示的数是-5+3=-2.∵点D 表示的数是6,∴线段BD 的中点E 表示的数为【知识点】线段的中点;线段的和、差、倍、分的简单计算【解析】【分析】设,则 ,根据A、D表示的数得到,列方程求得x,再求得B表示的数,根据E为线段BD 的中点求解即可.【例1-2】 如图,C,D是线段AB上两点,已知AC:CD:DB=1:2:3,M,N分别为AC,DB的中点,且AB=18 cm,求线段 MN 的长.【答案】【知识点】线段的中点;线段的和、差、倍、分的简单计算【解析】【分析】设AC、CD、DB的长分别为xcm、2xcm、3xcm,先结合“AC+CD+DB=AB”可得x+2x+3x=18,求出x的值,再求出AC=3cm,CD=6cm,DB=9cm,再利用线段中点的性质求出MC和DN的长,最后利用线段的和差求出MN的长即可.解题策略:在计算线段长度问题时,已知线段的和差关系或比例关系时,可以将关键线段设未知数,并用所设未知数表示其他线段,建立方程模型解决问题。【变式1-1】.(1)【问题探究】如图,点C,D 均在线段AB 上且点C 在点 D 左侧,若AC=BD,CD=6 cm,AB=9 cm,则线段AC 的长为 cm。(2)【方法迁移】已知点C,D 均在线段AB 上且点C 在点D 左侧,若AC=BD,CD=a( cm),AB=b( cm)(b>a),则线段AC 的长为 cm(用含a,b 的代数式表示)。(3)【学以致用】已知七年级某班共有m人,在本班参加拓展课报名统计时发现,选择围棋课的人数是n(n【答案】(1)1.5(2)(3)解:如图,表示七年级某班人数,表示七年级某班男生人数,表示七年级某班女生人数,表示参加围棋课的男生,表示未参加围棋课的男生,表示未参加围棋课的女生,表示参加围棋课的女生,设,,则,,∵选择围棋课的人数有人,∴,即,解得:,∵,∴.【知识点】线段的中点;线段的和、差、倍、分的简单计算【解析】【解答】(1)解:∵,,,∴,故答案为:;()解:∵,,,∴,故答案为:;【分析】()利用线段和差可得,,即可求解;()利用线段和差,即可求解;()根据题意画出线段图,设,,则,,根据题意,表示出m,n,即可求解;【变式1-2】.如图,在线段AB 的延长线上取一点C,使BC=2AB,在BA 的延长线上取一点 D,使DA=AB,取AB的中点E。若DE=7.5cm,则DC的长为 cm。【答案】20【知识点】线段的中点;线段的和、差、倍、分的简单计算【解析】【解答】解:设,为的中点,,∴,则解得∴∴∴,故答案为:.【分析】设,根据E为的中点可得,根据,求得x,再根据,求解即可.【变式1-3】.如图,B,C 两点把线段MN 分成三部分,且MB :BC:CN=2:3:4,P 是MN 的中点。若PC=2cm,则MN= cm。【答案】36【知识点】线段的中点;线段的和、差、倍、分的简单计算【解析】【解答】解:∵,∴设,则,∵点P是的中点,∴,∴,∵,∴,解得,∴.故答案为:.【分析】根据线段比例,设设,则,列出一元一次方程求解即可.本题考查两点间的距离,弄清楚线段之间的数量关系是关键.【变式1-4】.如图,线段AB被点C、D分成了3:4:5三部分,且AC的中点M和DB的中点N之间的距离是40cm,求AB的长.【答案】解:依题可设AC=3xcm,则CD=4xcm,DB=5xcm,∵M是AC的中点,N是DB的中点,∴CM= AC= cm,DN= DB= cm∵MN=MC+CD+DN,MN=40cm,∴ ,解得:x=5,∴AB=AC+CD+DB=12x=12×5=60(cm).【知识点】线段的中点;线段的和、差、倍、分的简单计算【解析】【分析】根据题意可设AC=3xcm,则CD=4xcm,DB=5xcm,根据中点定义可知CM= cm,DN= cm,由MN=MC+CD+DN=40cm,代入可列出方程,解之求得x值,从而求得AB长.【变式1-4】 如图,已知点C在线段AB上,M,N分别是AC,BC的中点.(1)若线段AC=12,BC=8,求线段MN的长度.(2)设AB=a,求线段MN的长度.(3)解决问题:已知线段DE,延长DE到F,使EF= DE;延长ED到G,使DG=2DE,P,Q分别是EF,DG的中点.若PQ=18 cm,求DE的长.【答案】(1)∵AC=12,BC=8,M,N 分别是AC,BC的中点,∴MC= AC,NC= BC,∴MN= AC+ BC= ×12+ ×8=10.(2)由(1)可知MN= AC+ BC= (AC+BC)= AB,∵AB=a,∴MN= a.(3)设DE=x cm,则EF= DE= x cm,EP= EF= x cm,DG=2x cm,DQ= DG=xcm.∵PQ=18 cm,可得x+x+x=18,解得x=8,则DE=8 cm.【知识点】线段的中点;线段的和、差、倍、分的简单计算【解析】【分析】(1)由线段的中点可得MC= AC,NC= BC,由MN= AC+ BC即可求解;(2)由(1)可知MN= AC+ BC= (AC+BC)= AB,继而得解;(3)设DE=x cm,则EF= DE= x cm,EP= EF= x cm,DG=2x cm,DQ= DG=xcm.根据PQ=18 cm建立方程并解之即可.二 分类讨论思想分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个标准进行分类,然后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的解答。【例2-1】.如图,数轴上 A,B两点之间的距离. 有一根木棒MN,MN 在数轴上移动(点 M 始终在点 N 的左侧),当点 N 移动到与A,B其中一个端点重合时,点M 所对应的数为9,则当点 N 移动到线段AB 的中点时,点M 所对应的数为 .【答案】21或-3【知识点】线段的中点;线段的和、差、倍、分的简单计算【解析】【解答】解:设 MN 的长度为m.分两种情况讨论:①当点N 与点A 重合时,由点M 所对应的数为9,得点 N 所对应的数为m+9,当点 N 移动到线段AB 的中点时,点 N 所对应的数为m+9+12=m+21,故点M 所对应的数为m+21-m=21.②当点N 与点B 重合时,由点M 所对应的数为9,得点 N 所对应的数为m+9,当点N 移动到线段AB的中点时,点N 所对应的数为m+9-12=m-3,故点M所对应的数为m-3-m=-3.综上所述,点M 所对应的数为21或-3.故答案为:21或-3.【分析】设 MN 的长度为m,分两种情况,当点N 与点A 重合时和当点N 与点B 重合时,根据题意,表示出点N对应的数,即可求解.【例2-2】.一根绳子AB 的长为20cm,C,D 是绳子AB 上任意两点(点C在点D 的左侧)。将AC,BD分别沿C,D两点翻折(翻折处长度不计),A,B两点分别落在CD 上的点E,F 处。(1)当CD=12cm时,E,F 两点间的距离为 cm。(2)当E,F 两点间的距离为2cm时,CD的长为 cm。【答案】(1)4(2)11或9【知识点】两点之间线段最短;线段的和、差、倍、分的简单计算【解析】【解答】解:(1)∵,∴,由于翻折,如图,则,∴,∴,两点间的距离为;故答案为:;(2)当时,如图,由于翻折,则,由图知,,即,∴,∴;当时,如图,则,即,∴,∴;综上,的长为或.故答案为:或.【分析】(1)由已知,翻折后,则,两点间的距离为,由此即可求解;(2)分两种情况:及,画出图形,即可求解.【例2-3】.如图,数轴上A,B两点对应的有理数分别为10和15,点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动,点Q同时从原点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动,设运动时间为t秒.(1)当0<t<5时,用含t的式子填空:BP= ,AQ= ;(2)当t=2时,求PQ的值;(3)当PQ= AB时,求t的值.【答案】(1)5-t;10-2t(2)解:当t=2时,P点对应的有理数为10+2=12,Q点对应的有理数为2×2=4,所以PQ=12﹣4=8;(3)解:∵t秒时,P点对应的有理数为10+t,Q点对应的有理数为2t,∴PQ=|2t﹣(10+t)|=|t﹣10|,∵PQ= AB,∴|t﹣10|=2.5,解得t=12.5或7.5.【知识点】线段上的两点间的距离;一元一次方程的实际应用-行程问题【解析】【解答】解:(1)∵当0<t<5时,P点对应的有理数为10+t<15,Q点对应的有理数为2t<10,∴BP=15﹣(10+t)=5﹣t,AQ=10﹣2t.故答案为:5﹣t,10﹣2t;【分析】(1)先求出当0<t<5时,P点对应的有理数为10+t<15,Q点对应的有理数为2t<10,再根据两点间的距离公式即可求出BP,AQ的长;(2)先求出当t=2时,P点对应的有理数为10+2=12,Q点对应的有理数为2×2=4,再根据两点间的距离公式即可求出PQ的长;(3)由于t秒时,P点对应的有理数为10+t,Q点对应的有理数为2t,根据两点间的距离公式得出PQ=|2t﹣(10+t)|=|t﹣10|,根据PQ= AB列出方程,解方程即可.解题策略当题目条件中没有图形,位置不确定时,或者有些条件的表述不明确时,通常需要分类讨论,分类的标准是对不确定的几种可能情况进行分类。【变式2-1】.已知,点C在直线上,,点M是线段的中点,则线段 .【答案】或3【知识点】线段的中点;线段的和、差、倍、分的简单计算【解析】【解答】解:当点C在线段上时,如图1,∵,∴,∵点M是线段的中点,∴,∴;当点C在线段的延长线上时,∵,∴,∵点M是线段的中点,∴,∴,即或3.故答案为:或3【分析】本题主要考查了线段的中点的相关计算,根据题意,分点C在线段上和点C在线段的延长线上,两种情况讨论,利用线段中点的性质和线段的和差,进行计算,即可求解.【变式2-2】已知点 A,B,C在一条直线上,AB=6,BC=2,点M是线段AC的中点,求线段AM的长度.【答案】解:①当C在线段AB 上时,如图1,AC=AB-BC=6-2=4.∵M是AC 的中点,∴②当C在线段AB 的延长线上时,如图2,AC=AB+BC=6+2=8,∵M是AC的中点,∴综上所述,AM的长为2 或4.【知识点】线段的中点;数学思想;线段的和、差、倍、分的简单计算【解析】【分析】分C在线段AB 上和C在线段AB 的延长线上两种情况,分别计算出AC的长,再利用线段中点的定义即可求出AM的长.【变式2-3】.已知线段 AB=10,C为AB 延长线上的一点,D是线段AC 的中点,且点 D 不与点B 重合.若线段 BD=4,求线段 BC的长.【答案】解:当点 D在点B 的右侧时,如图1,∵BD=4,∴AD=AB+BD=10+4=14,∵D是线段AC的中点,∴AD=CD=14,∴BC=BD+CD=4+14=18;当点D在点B的左侧时,如图2,AD=AB-BD=10-4=6,∵D是线段AC中点,∴AD=CD=6,∴BC=CD-BD=6-4=2.综上所述,线段 BC的长为18或2.【知识点】线段的中点;线段的和、差、倍、分的简单计算【解析】【分析】分点D在点B的右侧和点D在点B的左侧两种情况,分别计算出AD的长,最后利用线段中点的定义即可求出BC的长.【变式2-4】.如图所示,点C在线段上,,点M、N分别是、的中点.(1)求的长度;(2)求的长度;(3)若数P在直线上,且,点Q为的中点,请直接写出的长度,不用说明理由.【答案】(1)解:,点N分别是的中点,,即的长度为;(2)解:,点M分别是的中点,,由(1)可知,,,即的长度为;(3)的长度为或.【知识点】线段的中点;线段的和、差、倍、分的简单计算【解析】【解答】(3)解:的长度为或,理由如下:,点Q为的中点,,如图,若点在线段上,则;若点在的延长线上,则;综上可知,的长度为或.【分析】(1)利用线段中点的性质分析求解即可;(2)先利用线段中点的性质求出BM的长,再利用线段的和差求出MN的长即可;(3)先利用线段中点的性质求出BQ的长,再分类讨论:①若点在线段上,②若点在的延长线上,再分别画出图形并利用线段的和差求出QN的长即可.三 整体思想整体思想就是从问题的整体性质出发,突出对问题的整体结构的分析和改造,发现问题的整体结构特征,善于用“集成”的眼光,把某些式子或图形看成一个整体,把握它们之间的关联,进行有目的、有意识的整体处理。【例3-1】.如图1,已知点 C 在线段AB 上,且(1)若点 C 为线段AB 上任意一点,其他条件不变,且满足 AC+BC=a,求线段 MN 的长.(2)如图 2,若点 C 为线段AB 延长线上任意一点,其他条件不变,且满足AC-BC=b,求线段 MN的长.【答案】(1)解:∵,∴ .(2)解:∵,∴.【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算【解析】【分析】(1)利用线段的加减,即可求出MN的长;(2)先表示出MC和NC的长,用MC-NC,即可得到MN的长.【例3-2】.如图,已知点C在线段上,且cm,cm,点M,N分别是,的中点,要求线段的长度,可进行如下的计算.(1)请填空:解:因为M是的中点,所以___________,因为cm,所以cm.因为N是的中点,所以,因为cm,所以___________,所以___________.(2)对于(1),如果cm,cm,其他条件不变,请求出的长度.(要求有过程)【答案】(1);3cm;7cm(2)解:点M,N分别是,的中点,cm,cm,∴cm,cm,又∵,∴cm.【知识点】线段的中点;线段的和、差、倍、分的简单计算【解析】【解答】解:(1)∵点M,N分别是,的中点,cm,cm,∴cm,cm,又∵,∴cm.故答案为:;3cm;7cm.【分析】(1)根据题意,由点M,N分别是,的中点,结合,,求得的长,再由,得到的值,即可求出的长度;(2)将cm,cm, 代入分别求得,结合,用a,b表示MN的长度,得到答案.解题策略:在求线段长度的过程中,若发现该线段分成的几条线段长无法直接求出,(或者直接求出非常复杂),可考虑整体思想,分析出要求的线段整体上与已知线段之间存在的数量关系。【变式3-1】.如图,已知点在线段的延长线上,点,分别是,的中点.(1)若,,则线段 ; .(直接写出结果)(2)若,,其他条件不变,求线段的长.(用含的式子表示)【答案】(1)20;15(2)解:∵点,分别是,的中点,∴,∵∴,∴则.【知识点】线段的中点;线段的和、差、倍、分的简单计算【解析】【解答】(1)∵点,分别是,的中点,∴MC=AC,NC=BC,∵,,∴AC=40,NC=5,∴MC=20,MN=15,故答案为:20;15.【分析】(1)利用线段中点的性质求出MC=AC,NC=BC,再将数据代入求出MC=20,MN=15即可;(2)利用线段中点的性质求出MC=AC,NC=BC,再求出,利用线段的和差求出最后求出即可.【变式3-2】.如图所示,点是线段的中点,.(1)若,,则 , ;(2)若,,求线段的长用含、的式子表示.【答案】(1)6;11(2)解:,,,,,,点是线段的中点,,,【知识点】线段的中点;线段的和、差、倍、分的简单计算【解析】【解答】(1)∵CN=4,CN=2BN,∴BN=2,BC=6,∵AB=16,∴AC=AB+BC=22,∵点M是线段AC的中点,∴AM=CM=11,故答案为:6,11.【分析】(1)利用线段的和差求出AC的长,再利用线段中点的性质求出AM的长即可;(2)先求出AC的长,再利用线段中点的性质求出,最后利用线段的和差求出即可.【变式3-3】.已知点 是线段 上一点, .(1)若 ,求 的长;(2)若 , 是 的中点, 是 的中点,请用含 的代数式表示 的长,并说明理由.【答案】(1)解:∵ , ,∴∴(2)解:如图,∵ 是 的中点, 是 的中点,∴ , ,∴【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算【解析】【分析】(1)先由 ,代入得到AC=20,再根据线段的和差关系得到.(2)先根据线段中点性质得到, , ,再根据线段的和差关系得到 DE=DC+CE=.【变式3-4】如图,已知C,D为线段AB上顺次两点,M,N分别是AC,BD的中点.(1)若AB=24,CD=10,求MN的长.(2)若AB=a,CD=b,请用含,b的式子表示出MN的长.分析(1)利用M,N分别是AC,BD的中点,可以得出MC,DN,再利用线段的和差关系表示即可求出答案;(2)和方法(1)一样,利用线段的和差关系表示出关系式即可.解:(1)∵M,N分别是AC,BD的中点,∴MC,DN,∴MN=MC+CD+DN17,故MN的长是17.答:MN的长是17.(2)由(1)可知,MN,∵AB=a,CD=b,∴MN,答:MN的长是.总结提升:本题主要考查两点间的距离,熟练掌握中点的定义和线段的和差关系是解题的关键【变式3-5】如图,点C,D为线段AB的三等分点,点E为线段AC的中点,若ED=12,则线段AB的长为 .分析:设EC=x,根据点E为线段AC的中点,得AC=2EC=2x,再根据点C,D为线段AB的三等分点,得AB=3AC,结合ED=12,求出x,进而得出线段AB的长.解:设EC=x,∵点E为线段AC的中点,∴AC=2EC=2x,∵点C,D为线段AB的三等分点,∴AC=CD=BD=2x,∵ED=EC+CD,ED=12,∴x+2x=12,解得x=4,∴AB=3AC=24,故答案为:24.总结提升:本题主要考查了两点间的距离,掌握线段三等分点的定义,线段之间的数量转化是解题关键.四 利用数形结合思想、方程思想、分类讨论思想解决动态问题。数形结合思想通过“以形助数,以数辅形”,使复杂问题简单化,抽 象问题具体化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的 本质,它是数学的规律性与灵活性的有机结合。【例4-1】.如图,已知A,B,C 是数轴上的三点,O是原点,点C 表示的数为6,BC=4,AB=12。(1)写出数轴上点 A,B表示的数。(2)动点 P,Q分别从点A,C同时出发,点P 以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,点Q 以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,M为AP 的中点,点 N 在线段CQ 上,且 设运动时间为t(s)(t>0)。①求数轴上点 M,N表示的数(用含 t 的式子表示)。②当t 为何值时,原点O 恰为线段PQ 的中点 【答案】(1)解:∵点C 表示的数为6,BC=4,∴OB=6-4=2,∴点 B 表示的数为2。∵AB=12,∴AO=12-2=10,∴点A 表示的数为-10(2)解:①由题意可知:AP=6t,CQ=3t。∵M 为AP 的中点,∴在数轴上点 M 表示的数是-10+3t。∵点 N 在CQ上,∴在数轴上点 N 表示的数是6-t。②分两种情况讨论:i.如解图①,当点 P 在点O 的左侧,点Q 在点O的右侧时,。∵O为PQ 的中点,∴OP=OQ,∴10-6t=6-3t,解得ii.如解图②,当点 P 在点O 的右侧,点 Q 在点O 的左侧时,。∵O为PQ 的中点,∴,∴,解得 (此时AP=8<10,不合题意,舍去)。综上所述,当 时,原点O恰为线段PQ 的中点【知识点】一元一次方程的其他应用;线段的中点;线段的和、差、倍、分的简单计算【解析】【分析】(1)根据数轴上两点间的距离即可求出A、B表示的数;(2)①根据距离=速度×时间可得AP=6t,CQ=3t,根据中点性质可得AM=3t,根据 可得CN=t,根据线段的和差关系即可得答案;②根据中点定义可得,分两种情况,当点 P 在点O 的左侧,点Q 在点O的右侧时或者当点 P 在点O 的右侧,点 Q 在点O 的左侧时,再根据数轴的性质解答即可.【例4-2】.已知有理数在数轴上对应的点分别为,其中b是最小的正整数,满足.(1)填空:__________,_____________,___________;(2)现将点A,点B和点C分别以每秒4个单位长度,1个单位长度和1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动,设运动时间为t秒.i)定义:已知为数轴上任意两点,将数轴沿线段的中点Q进行折叠,点M与点N刚好重合,所以我们又称线段的中点Q为点M和点N的折点.试问:当t为何值时,这三个点中恰好有一点为另外两点的折点?ii)当点A在点C左侧时(不考虑点A与点B重合),是否存在一个常数m,使得的值在一定时间范围内不随t的改变而改变?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.【答案】解:(1)-2,1,5;(2)i)t秒后点A、B、C表示的数分别是:4t-2,1+t,5+t,当点A是中点时,1+t+5+t=2(4t-2),得t=,当点B是中点时,4t-2+5+t=2(1+t),得t=(舍去),当点C是中点时,4t-2+1+t=2(5+t),得t=,综上,当t=或t=时,这三个点中恰好有一点为另外两点的折点;ii)存在,∵t秒后点A、B、C表示的数分别是:4t-2,1+t,5+t,∴AC=5+t-4t+2=7-3t,当点A在点B的右侧时即AB =4t-2-1-t =3t-3时,=,∴常数m=2,此时=2AC+2AB=8,即AC+AB=4,∵AC+AB=7-3t+3t-3=4,∴当常数m=2时,的值在一定时间范围内不随t的改变而改变;当点B在点A右侧即AB=1+t-4t+2=3-3t时,=,∴常数m=-2,此时=2AC-2AB=8,即AC-AB=4,∵7-3t-(3-3t)=4,∴m=-2舍去,综上,当常数m=2时,的值在一定时间范围内不随t的改变而改变.【知识点】线段的中点;偶次方的非负性;绝对值的非负性;一元一次方程的实际应用-几何问题;数轴上两点之间的距离【解析】【解答】解:(1)∵b是最小的正整数,∴b=1,∵,∴a+2=0,c-5=0,∴a=-2,c=5,故答案为:-2,1,5;【分析】(1)根据b是最小的正整数,得到b=1,再由 ,结合平方式与绝对值的非负性,求得,进而求得a和c的值,得到答案;(2)i)先得到运动t秒后三个点对应的数为4t-2,1+t,5+t,分点A是中点,点B是中点和点C是中点,三种情况,结合两点的中点公式,列出代数式,分别计算t的值,即可得到答案;ii)由t秒后点A、B、C表示的数分别是:4t-2,1+t,5+t,分别用t表示出AC、AB,根据,将AC、AB的式子代入,即可求出常数m的值.【例4-3】. 定义:若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段,则称这个点是这条线段的三等分点.图1 图2(1)如图1,点是线段的一个三等分点,满足,若,则 .(2)如图2,已知,点从点出发,点从点出发,两点同时出发,都以每秒的速度沿射线方向运动秒.①当为何值时,点是线段的三等分点.②在点,点开始出发的同时,点也从点出发,以每秒的速度沿射线方向运动,在运动过程中,点,点分别是,的三等分点,请直接写出的值.【答案】(1)3(2)解:由题意可得:,∴,∵点是线段的三等分点,分两种情况:当时,,解得:;当时,,解得:;综上所述:当为或时,点是线段的三等分点;由题意得:,则,,∵点,点分别是,的三等分点,∴可以分四种情况讨论:当时,则,,分别解得:,∴解得:;当时,则,,分别解得:,∴解得:;当时,则,,分别解得:,∴解得:;当时,则,,分别解得:,∴解得:(舍去);点,点分别是,的三等分点,的值为或或.【知识点】线段的中点;一元一次方程的实际应用-几何问题【解析】【解答】解:(1)∵点是线段的一个三等分点,满足,,∴AM+BM=AB,即AM+2AM=9,解得:AM=3cm.故答案为:3;【分析】(1)根据线段的构成AM+BM=AB并结合已知可得关于AM的方程,解方程即可求解;(2)①根据路程等于速度乘以时间得,则,由题意可分两种情况:Ⅰ、当AC=时,Ⅱ、当AC=时,可得关于t的方程,解方程即可求解;②由题意可分四种情况讨论:Ⅰ、当AC=,DE=时,Ⅱ、当AC=,DE=时,Ⅲ、当AC=,DE=时,Ⅳ、当AC=,DE=时,分别可得关于x的方程,解方程即可求解.解题策略:点在线段上运动时,若涉及速度,解决问题的关键就是用点运动的路程表示线段的长度,利用线段的和差关系建立方程求出未知的时间即可。通常应用方程思想,分类思想,数形结合思想。【变式4-1】.数轴是数学中的一个重要工具,利用数轴可以将数与形进行完美的结合,如:数轴上点表示的数为,点表示的数为,则两点之间的距离为.如图所示,点为数轴上的三个点,表示的数分别为,满足,且为的倒数.动点,分别从点出发,分别以每秒1个单位长度和4个单位长度的速度向右运动,动点从点出发,以每秒3个单位长度的速度向左运动,三个动点同时出发,设运动的时间为秒(),请回答下列问题:(1)直接写出的值: , , ;(2)当时,求的值;(3)在运动过程中,的值是否发生变化?若发生变化,请用含的式子表示;若不发生变化,请求出的值.【答案】(1)-12;-3;3(2)解:方法一:运动秒后,点表示的数是,点表示的数是分两种情况:①在点与点相遇之前时,,解得②在点与点相遇之后时,,解得所以,当或时,.方法二:运动秒后,点表示的数是,点表示的数是因为,所以所以或,所以或(3)解:不会发生变化,秒后,点表示的数是所以,,所以故的值不会发生变化,.【知识点】有理数的倒数;偶次方的非负性;绝对值的非负性;线段的和、差、倍、分的简单计算;数轴上两点之间的距离【解析】【解答】(1)∵为的倒数 ,∴b=-3,∵,∴a+12=0,-3+c=0,解得:a=-12,c=3,故答案为:-12;-3;3.【分析】(1)利用倒数的定义求出b的值,再利用非负数之和为0的性质求出a、c的值即可;(2)先求出点M、N表示的数,再分类讨论: ①在点与点相遇之前时,②在点与点相遇之后时, 再分别列出方程求解即可;(3)先求出点P表示的数,再利用两点之间的距离公式求出PM和CN的长,最后利用线段的和差求出即可.【变式4-2】.已知线段,点C为线段AB的中点,点D为线段AC上的三等分点,则线段BD的长的最大值为( )A.16 B.18 C.15 D.20【答案】D【知识点】线段的中点;线段的和、差、倍、分的简单计算【解析】【解答】∵点C为线段AB的中点,AB=24,∴AC=BC=AB=12,∵点D是线段AC上的三等分点,∴CD=AC=4或CD=AC=8,①当CD=AC=4时,如图所示:∴BD=BC+CD=12+4=16;②当CD=AC=8时,如图所示:∴BD=BC+CD=12+8=20,综上,线段BD的长的最大值为20,故答案为:D.【分析】先利用线段中点的性质及线段的和差求出CD=AC=4或CD=AC=8,再分类画出图形并利用线段的和差求出BD的长即可.【变式4-3】.如图,点O是数轴的原点,点A在数轴上位于原点左侧,点B在数轴上位于原点右侧,.(1)当,时,点A表示的数为 ,点B表示的数为 ;(2)若点C、D为数轴上任意两点,点M是线段AC的中点,点N是线段BD的中点.①当点C与点D重合时,探究AB与MN的数量关系,并说明理由.②当时,直接写出MN的长度(用m,n表示).【答案】(1)-6;2(2)解:①∵点M是AC的中点,点N是CB的中点,,,如图,当点C在线段AB上时:,如图,当点C在线段BA的延长线上时:,如图,当点C在线段AB的延长线上时:,综上所述,;②或.【知识点】线段的中点;线段的和、差、倍、分的简单计算【解析】【解答】解:(1)∵,,,∴,即,∵点B在数轴上位于原点右侧,∴点B表示的数为:,∴,∵点A在数轴上位于原点左侧,∴点A表示的数为∶,故答案为:;(2)②∵点C、D为数轴上任意两点,点M是线段的中点,点N是线段的中点,∴分情况讨论:当在上时,点D在上时,∵,,∴,∴,∴;当在上时,点D在延长线上时,设:,则,∵,∴,∴,∴;当在上时,点D在延长线上时,设,则,,∴,∴,∴,∴;当在延长线上时,点D在延长线上时,同理得:;当在延长线上时,点D在上时,同理得:;当在延长线上时,点D在延长线上时,同理得:;当在延长线上时,点D在延长线上时,同理得:;当在延长线上时,点D在上时,同理得:;当在延长线上时,点D在延长线上时,同理得:;综上所述:或.【分析】(1)先根据线段和差关系计算OA和OB的长,再利用数轴求解即可;(2)①分两情况讨论:点C在线段AB上或点C在线段BA的延长线上,分别列式即可证明出;②分9种情况讨论:点C在线段AB上,依据点D在的位置有3种;点C在线段AB的延长线上,依据点D的位置有3种;点C在线段BA的延长线上,依据点D的位置有3种;并列式分别计算即可得到本题答案.【变式4-4】.综合运用【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具,利用数轴可以将数与形完美地结合.研究数轴我们发现了许多重要的规律:若数轴上点A,点B表示的数分别为a,b,则A,B两点之间的距离,线段的中点表示的数为.【问题情境】如图,数轴上点A表示的数为,点B表示的数为8,点P从点A出发,以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,同时点Q从点B出发,以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动.设运动时间为t秒().备用图【综合运用】(1)A,B两点间的距离 ,线段的中点表示的数为 ;(2)求当t为何值时,P、Q两点相遇,并写出相遇点所表示的数;(3)求当t为何值时,;(4)若点M为的中点,点N为的中点,点P在运动过程中,线段的长度是否发生变化?若变化,请说明理由;若不变,求出线段的长.【答案】(1)10;3(2)解:根据题意可知:t秒后,点P表示的数为,点Q表示的数为,∵当P、Q两点相遇时,P、Q表示的数相同,∴,解得:,∴,∴当秒时,P、Q两点相遇,相遇点表示的数为4;(3)解:根据题意可知:∵,∴,∴或解得:或,∴当秒或3秒时,;(4)解:不变.根据题意可知:中点M表示的数为,中点N表示的数为,∴∴线段的长度不变.【知识点】线段的中点;一元一次方程的实际应用-几何问题;线段的和、差、倍、分的简单计算;数轴上两点之间的距离;数轴的点常规运动模型【解析】【解答】解:(1)根据数轴可得:点A表示的数为-2,点B表示的数为8,∴A、B两点之间的距离AB=8-(-2)=10,线段AB中点表示的数为=3,故答案为:10;3.【分析】(1)参照题干中的定义,利用两点之间的距离公式及中点表示方法列出算式求解即可;(2)先分别求出点P表示的数为,点Q表示的数为,再结合“当P、Q两点相遇时,P、Q表示的数相同”列出方程,再求解即可;(3)先求出,再结合PQ=5,列出方程,求解即可;(4)先利用中点表示方法分别求出点M、N表示的数,再求出即可.21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)" 21世纪教育网(www.21cnjy.com) 展开更多...... 收起↑ 资源预览