资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
新人教版七年级数学上名师点拨与训练
第6章 几何图形
6.3.3余角和补角
学习目标：
1.了解余角、补角的概念.
2.掌握余角和补角的性质，并能利用余角、补角的知识解决相关问题.
3.了解方位角的概念，初步掌握方位角的判别；并能用方位角知识解决一些简单的实际问题.
重点：认识角的互余、互补关系及其性质.
难点：通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用规范的语言描述性质.
老师告诉你
余角和补角的性质：
同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等；这个性质也为说明两个角相等提供了思路，认真观察、分析图形，挖掘图形中隐含的数量关系是解题关键。
2.方位角：方位角是以南北方向为起始方向，一般是以北偏东，南偏西等加上角度来表示的。
一、知识点拨
知识点1 、余角与补角
定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．
类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．
【新知导学】
例1-1． 下列图形中，∠1 和∠2一定互为余角的是（　　）
A． B．
C． D．
例1-2．关于补角有下列四个叙述：①锐角的补角是钝角；②只有锐角才有补角；③互为补角的两个角不可能相等；④同角或等角的补角一定相等．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【对应导练】
1．下列说法中正确的是（　　）
A．一个角的补角一定大于这个角
B．锐角和钝角互补
C．如果互补的两个角相等，那么这两个角都是90°
D．若∠1+∠2+∠3= 180°，则∠1，∠2，∠3互补
2．有下列说法：
①若∠A+∠B+∠C=180°，则∠A，∠B，∠C互补；
②若∠1是∠2的余角，则∠2是∠1的余角；
③一个锐角的补角一定比它的余角大90°；
④互补的两个角中，一定是一个钝角与一个锐角．
其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
知识点2 、余角与补角的性质
性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等．
注意：
互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关．
一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°．
【新知导学】
例2-1．若∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，则∠1与∠3的关系是　 　，理由是　 　．
例2-2．如图，∠1=35°，∠AOC=90°，点B，O，D在同一条直线上，则∠2等于（　　）
A．125° B．115° C．105° D．95°
例2-3．
（1）若一个锐角为α，则它的余角为　 　，补角为　 　，它的补角与余角的差为　 　
（2）若一个角的余角是54°38'，则这个角的补角是　 　
【对应导练】
1． 如图，将一副三角尺按不同位置摆放，在哪种摆放方式中∠α与∠β互余 在哪种摆放方式中∠α与∠β互补 在哪种摆放方式中∠α与∠β相等
2．如图，直线AB与CD相交于点F，EF⊥AB于点F．
（1）图中与∠1相等的角是 　 　，与∠1互余的角是 　 　；
（2）若∠AFD＝155°，求∠DFE的度数．
3．如图，直线 AB，CD 相交于点 O，OE 平分∠AOD，OF⊥OC，
（1）图中∠AOF 的余角是　 　（把符合条件的角都填出来）；
（2）如果∠AOC=160°，那么根据　 　，可得∠BOD=　 　度；
（3）如果∠1=32°，求∠2 和∠3 的度数．
4．若与互补，与互补，则与的关系为（　　）
A．互余 B．互补 C．相等 D．以上都不对
知识点3 、方位角
从某点的指北（或指南）方向线起与方向到目标方向线之间的水平夹的锐角,叫方位角。
【新知导学】
例3-1．如图，下列结论中正确的有（　　）
①射线OB的方向是北偏西50°；
②射线OC的方向是东南方向；
③射线OA的方向是北偏东15°；
④∠AOC和∠AOB互为补角．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例3-2．如图， 是北偏东 方向的一条射线， ，则 的方位角是　 　.
【对应导练】
1．某测绘装置上一枚指针原来指向南偏西50°，把这枚指针按逆时针方向旋转90°，则结果指针的指向是　 　．（指向用方位角表示）
2．如图，点A，B，O分别表示手绘地图中厦门鼓浪屿风景区内郑成功纪念馆、郑成功水操台遗址，日光岩三个景点.经测量，郑成功水操台遗址在日光岩的北偏东28°方向，则郑成功纪念馆在日光岩的（　　）
A．北偏东38°方向 B．北偏西28°方向
C．北偏西38°方向 D．北偏东52°方向
.
二、题型训练
1.找出余角、补角
1．小明将一副三角板摆成如图形状，下列结论不一定正确的是（　　）
A． B．与互余
C． D．与互补
2．如图， 是直线 上一点， 为任一射线， 平分 ， 平分 ，
（1）分别写出图中 与 的补角；
（2） 与 有怎样的数量关系，请说明理由.
3 .O是直线AB上一点在同一平面内直线，AB的同侧有∠AOD＝∠DOB＝∠COE＝90°．
(1)请画出题设的图形，并分别写出∠COD的余角，∠AOC的补角；
(2)写出图中相等的锐角，并说明理由
2.求一个角的余角、补角
4．一个角是它的补角的五分之一，则这个角的余角是　 　度．
5．一个角的补角比这个角的余角3倍还多 ，求这个角的度数．
6．如果一个角的补角是130°，那么这个角的余角的度数是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．90°
3.方位角的作图
7．如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上，同时，在它北偏东30°、西北（即北偏西45°）方向上又分别发现了客轮B和海岛C．
（1）仿照表示灯塔方位的方法，分别画出表示客轮B和海岛C方向的射线OB，OC（不写作法）；
（2）若图中有一艘渔船D，且∠AOD的补角是它的余角的3倍，画出表示渔船D方向的射线OD，则渔船D在货轮O的方位角
8．如图，直线与直线相交于点，射线表示正北方向，射线表示正东方向．已知射线的方向是南偏东，射线的方向是北偏东，且的角与的角互余．
（1）①若，则射线的方向是　 　；
②图中与互余的角有　 　，与互补的角有　 　．
（2）若射线是的平分线，则　 　用含的代数式表示
9． 如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，是的平分线，射线是的反向延长线．
（1）射线的方向是　 　；
（2）在图中画出表示南偏东的射线；
（3）在的条件下，求的度数．
课堂达标
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．已知，若与互余，则（　　）
A． B． C． D．
2．若∠1与∠2互为补角，且∠1<∠2，则∠1 的余角是(　　)
A．∠2-∠1 B．∠1+∠2 C． D．
3． 如图，O为直线 AB 上的一点，ON 平分∠BOC，OM平分∠AOC，那么图中互余的角共有 (　　)
A．2对 B．3对 C．4对 D．6对
4．下列说法中，正确的是（　　）
A．一个锐角的补角大于这个角的余角
B．一对互补的角中，一定有一个角是锐角
C．锐角的余角一定是钝角
D．锐角的补角一定是锐角
5．下列说法中，正确的是（　　）
A．两点之间直线最短
B．如果∠α＝53°38'，那么∠α余角的度数为36.22°
C．如果一个角的余角和补角都存在，那么这个角的余角比这个角的补角小
D．相等的角是对顶角
6． 如图，将一副三角板按不同位置摆放，其中和不一定相等的是（　　）
A． B．
C． D．
7．下列说法中，正确的是（　　）
A．如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等
B．如果AC＝BC，那么C是线段AB的中点
C．如果两个角互补，那么它们的角平分线所在直线的夹角为90°
D．射线AB和射线BA是同一条射线
8． 下列图形中，∠1 和∠2 互为余角的是 (　　)
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．已知，则的补角的度数是　 　．
.
10． 如图，在同一平面内，∠AOB=∠COD=90°，在∠AOD 内部引一条射线 OF，在∠AOD外部引一条射线OE，使得 F，O，E三点在同一条直线上，∠COE=∠BOE（图中所有角均指小于 180°的角）。下列结论：
①∠AOE=∠DOE；
②∠AOD+∠COB=180°；
③∠COB-∠AOD=90°；
④∠COE+∠BOF=180°。
其中正确的结论有　 　。（填上你认为所有正确结论的序号）
11． 如图，点O在直线AB 上，射线 OC，OD 在直线 AB 的同侧，若∠AOD=156°，∠BOC=42°，则∠COD 的度数为　 　.
12．一个角的补角比这个角的余角的4倍少60°，这个角的度数是　 　（度）．
13．如图，点O在直线AB上，从点O引出射线OC，其中射线OD平分∠AOC，射线OE平分∠BOC，下列结论：
①∠DOE＝90°；
②∠COE与∠AOE互补；
③若OC平分∠BOD，别∠AOE＝150°；
④∠BOE的余角可表示为．
其中正确的是 　 　．（只填序号）
三、解答题（每小题8分，共48分）
14．如图，直线AB与CD相交于点O，，，则∠1=∠2．请说明理由（补全解答过程）．
解：∵，
∴∠AOE= ▲ （　　）．
∴．
∵ ▲ （　　），
∴，
∴ ▲ （　　）．
15．若一个角的补角等于这个角的余角的6倍，求这个角的度数以及它的余角和补角的度数．
16．如图，以直线AB上的点O为端点作射线OC、OD，满足∠AOC＝54°，∠BOD＝ ∠BOC，求∠BOD的度数．
17． 如图，∠BOC=70°，∠AOC=50°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.
（1）求出∠AOB及其补角的度数；
（2）求出∠DOC和∠AOE的度数，并判断∠DOE与∠AOB是否互补；
（3）若，则∠DOE与∠AOB是否互补 请说明理由.
18．如图，直线AB，CD相交于点O，∠BOM=∠DON=90°.
（1）如图1，若∠COM=35°，则∠BON的度数为　 　°.
（2）如图1，请直接写出图中所有互余的角.
（3）如图2，若射线 OE 在∠MOB 的内部，且 请比较∠MOE 与∠DOE的大小，并说明理由.
19．【数学之美】三角尺中的数学．
（1）如图1．将两块直角三角尺的直角顶点叠放在一起，．若，则　 　；若，则　 　；请直接写出与的数量关系　 　．
（2）如图2．若两个同样的直角三角尺顶点重合如图放置，，则请猜想与的数量关系并说明理由．
（3）如图3，已知点为直线上一点，在直线上方，，三角尺（其中）绕点旋转一周的过程中，写出与可能存在的数量关系，并说明理由．
新人教版七年级数学上名师点拨与训练
第6章 几何图形
6.3.3余角和补角
学习目标：
1.了解余角、补角的概念.
2.掌握余角和补角的性质，并能利用余角、补角的知识解决相关问题.
3.了解方位角的概念，初步掌握方位角的判别；并能用方位角知识解决一些简单的实际问题.
重点：认识角的互余、互补关系及其性质.
难点：通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用规范的语言描述性质.
老师告诉你
余角和补角的性质：
同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等；这个性质也为说明两个角相等提供了思路，认真观察、分析图形，挖掘图形中隐含的数量关系是解题关键。
2.方位角：方位角是以南北方向为起始方向，一般是以北偏东，南偏西等加上角度来表示的。
知识点拨
知识点1 、余角与补角
定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．
类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．
【新知导学】
例1-1． 下列图形中，∠1 和∠2一定互为余角的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】余角
【解析】【解答】解：∵∠1+∠2=90°
∴∠1和∠2一定互余
故答案为：D.
【分析】 若两角之和为90°，则称这两个角“互为余角”，简称“互余”.
例1-2．关于补角有下列四个叙述：①锐角的补角是钝角；②只有锐角才有补角；③互为补角的两个角不可能相等；④同角或等角的补角一定相等．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：①锐角的补角一定是钝角，故①正确；
②∵90°的补角是90°，∴只有锐角才有补角是错误的，故②错误；
③∵90°的补角是90°，∴互为补角的两个角可能相等； 故③错误；
④同角或等角的补角一定相等，故④正确.
∴正确的有2个，
故答案为：A.
【分析】根据和为180°的两个角互为补角，即可逐项进行判断，得出答案.
【对应导练】
1．下列说法中正确的是（　　）
A．一个角的补角一定大于这个角
B．锐角和钝角互补
C．如果互补的两个角相等，那么这两个角都是90°
D．若∠1+∠2+∠3= 180°，则∠1，∠2，∠3互补
【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：A、一个角的补角不一定大于这个角，如160°的角大于补角20°，故A不符合题意；
B、锐角和钝角不一定互补，如30°的角与130°的角不互为补角，故B不符合题意；
C、如果互补的两个角相等，那么这两个角都是90°，故C符合题意；
D、若∠1+∠2+∠3=180°，则∠1，∠2，∠3不互补，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据和为180°的两个角互为补角，逐项进行判断，即可得出答案.
2．有下列说法：
①若∠A+∠B+∠C=180°，则∠A，∠B，∠C互补；
②若∠1是∠2的余角，则∠2是∠1的余角；
③一个锐角的补角一定比它的余角大90°；
④互补的两个角中，一定是一个钝角与一个锐角．
其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：①补角指的是两个角之间的关系，错误．
②若∠1是∠2的余角，则∠2是∠1的余角，正确．
③同一个锐角的补角一定比它的余角大90°，180°-α-(90°-a)=90°，正确．
④互补的两个角中，一定是一个钝角与一个锐角，可以都是直角，错误．
故答案为：B.
【分析】根据若两角之和满足180°，那么这两个角互为补角；其中一个角叫做另一个角的补角；可判断①说法错误；根据如果两个角的和是直角，那么称这两个角“互为余角”可判断②说法正确；根据补角和余角的定义即可计算得出③说法正确；根据若两角之和满足180°，那么这两个角互为补角即可判断④说法错误，即可得出答案.
知识点2 、余角与补角的性质
性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等．
注意：
互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关．
一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°．
【新知导学】
例2-1．若∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，则∠1与∠3的关系是　 　，理由是　 　．
【答案】∠1=∠3；等角的余角相等
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】若∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，则∠1与∠3的关系是∠1=∠3，理由是等角的余角相等．故答案为：∠1=∠3；等角的余角相等
【分析】根据同角的余角相等，得到∠1和∠3的关系.
例2-2．如图，∠1=35°，∠AOC=90°，点B，O，D在同一条直线上，则∠2等于（　　）
A．125° B．115° C．105° D．95°
【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠AOC=90°，
∴∠1＋∠BOC=90°，
∴∠BOC=90°-∠1=90°-35°=55°，
∵点B，O，D在同一条直线上，
∴∠BOC＋∠2=180°，
∴∠2=180°-∠BOC=180°-55°=125°.
故选：A.
【分析】先根据 ∠1=35°，∠AOC=90° 求出∠BOC的度数，再根据点B，O，D在同一条直线上得出∠BOC＋∠2=180°，最后即可求出∠2的度数.
例2-3．
（1）若一个锐角为α，则它的余角为　 　，补角为　 　，它的补角与余角的差为　 　
（2）若一个角的余角是54°38'，则这个角的补角是　 　
【答案】（1）90°-α；180°-α；90°
（2）144°38'
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：（1）若一个锐角为α，则它的余角为90°-α，补角为180°-α，
（180°-α）-（90°-α）=90°，
∴它的补角与余角的差为90°，
故答案为：90°-α；180°-α；90°；
（2）∵一个角的余角是54°38'，
∴这个角的补角=90°+54°38'=144°38'.
故答案为：144°38'.
【分析】（1）根据和为90°的两个角互为余角，和为180°的两个角互为补角，分别算出α的补角及余角，进而再求出二者的差即可得出答案；
（2）由（1）的结论“一个角的补角与余角的差为90°”列式计算即可.
【对应导练】
1． 如图，将一副三角尺按不同位置摆放，在哪种摆放方式中∠α与∠β互余 在哪种摆放方式中∠α与∠β互补 在哪种摆放方式中∠α与∠β相等
【答案】解：图（1）中，∠α+∠ACB+∠β=180°，
∴∠α+∠β=90°，
故 与 互余；
图（2）中，∠AOB=∠COD，
∴∠α+∠DOB=∠β+∠DOB，
∴∠α=∠β.
图（3）中，∠β+∠CAB=180°，∠α+∠CBA=180°，∠CAB=∠CAB=45°，
∴∠α=∠β.
图（4）中，∠α+∠β=180°，
故 与 互补；
故在(1) 中 与 互余，在（4）中 与 互补，在(2)(3) 中 与 相等.
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【分析】图（1）中，由平角定义和∠ACB=90°，可得∠α+∠β=90°；图（2）中根据等式的性质和∠AOB=∠COD可得结论：∠α=∠β；图（3）中由邻补角的性质和等腰直角三角形的性质可得∠α=∠β；图（4）中看图可得∠α+∠β=180°；再由“互补两个角和为180°”，“互余的两个角和为90°”，即可对结论进行判断并作答.
2．如图，直线AB与CD相交于点F，EF⊥AB于点F．
（1）图中与∠1相等的角是 　 　，与∠1互余的角是 　 　；
（2）若∠AFD＝155°，求∠DFE的度数．
【答案】（1）∠2；∠3
（2）解：∵∠AFD＝155°，
∴∠BFD＝180°﹣∠AFD＝180°﹣155°＝25°，
∵EF⊥AB，
∴∠BFE＝90°，
∴∠DFE＝∠BFD+∠BFE＝25°+90°＝115°．
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图所示
对顶角相等
故填：
与∠1互余的角是
故填：
【分析】（1）根据对顶角相等定理可找到与∠1相等的角，根据余角、平角的定义可以找到与∠1互余的角；（2）∠1 是已知角的邻补角，可求，再加上90°，即为∠DFE的度数。
3．如图，直线 AB，CD 相交于点 O，OE 平分∠AOD，OF⊥OC，
（1）图中∠AOF 的余角是　 　（把符合条件的角都填出来）；
（2）如果∠AOC=160°，那么根据　 　，可得∠BOD=　 　度；
（3）如果∠1=32°，求∠2 和∠3 的度数．
【答案】（1）∠BOC或∠AOD
（2）对顶角相等；160
（3）解：∵OE平分∠AOD，∠1=32°∴∠AOD=2∠1=64°，
∴∠2=∠AOD=64°，
又∵OF⊥OC，
∠3=90°﹣64°=26°.
【知识点】余角、补角及其性质；垂线的概念；对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】解：（1）图中∠AOF的余角是∠BOC、∠AOD（把符合条件的角都填出来）；
（2）如果∠AOC=160°，那么根据对顶角相等可得∠BOD=160度；
【分析】（1）根据互余两角和为90°，结合图形找出即可；
（2）从图形中可知∠AOC和∠DOB为对顶角，直接可求解；
（3）根据角平分线可求∠AOD的度数，然后根据对顶角和邻补角可求解.
4．若与互补，与互补，则与的关系为（　　）
A．互余 B．互补 C．相等 D．以上都不对
【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵与互补，与互补，∴与相等．
故选：C．
【分析】本题考查了补角的性质，根据同角或等角的补角相等，即可求解.
知识点3 、方位角
从某点的指北（或指南）方向线起与方向到目标方向线之间的水平夹的锐角,叫方位角。
【新知导学】
例3-1．如图，下列结论中正确的有（　　）
①射线OB的方向是北偏西50°；
②射线OC的方向是东南方向；
③射线OA的方向是北偏东15°；
④∠AOC和∠AOB互为补角．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】钟面角、方位角；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：①射线OB的方向是北偏西40°，故①不正确；
②射线OC的方向是东南方向，故②正确；
③射线OA的方向是北偏东25°，故③不正确；
④∠AOC+∠AOB=175°≠180°，故④不正确.
故正确的有1个.
故答案为：A.
【分析】方向角一般是以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转至目标的方向线所形成的小于90°的角；和为180°的两个角互为补角，据此进行判断，即可得出答案.
例3-2．如图， 是北偏东 方向的一条射线， ，则 的方位角是　 　.
【答案】北偏西60°
【知识点】钟面角、方位角；角的运算
【解析】【解答】如图所示： 是北偏东 方向的一条射线， ，
，
的方位角是北偏西 .
故答案为：北偏西 .
【分析】先求出∠1=60°，再计算求解即可。
【对应导练】
1．某测绘装置上一枚指针原来指向南偏西50°，把这枚指针按逆时针方向旋转90°，则结果指针的指向是　 　．（指向用方位角表示）
【答案】南偏东40°
【知识点】钟面角、方位角；角的运算
【解析】【解答】解：一枚指针原来指向南偏西50°，把这枚指针按逆时针方向旋转90°，则结果指针的指向是南偏东40°，
故答案为：南偏东40°．
【分析】先确定指针与正南方向的夹角在旋转后为：90°-50°=40°，即可得到其方位角.
2．如图，点A，B，O分别表示手绘地图中厦门鼓浪屿风景区内郑成功纪念馆、郑成功水操台遗址，日光岩三个景点.经测量，郑成功水操台遗址在日光岩的北偏东28°方向，则郑成功纪念馆在日光岩的（　　）
A．北偏东38°方向 B．北偏西28°方向
C．北偏西38°方向 D．北偏东52°方向
【答案】C
【知识点】钟面角、方位角；角的运算
【解析】【解答】解：∵∠AOB=66°，∠BOC=28°，
∴∠AOC=66°-28°=38°，
∴郑成功纪念馆在日光岩的北偏西38°方向，
故答案为：C.
【分析】根据方位角可得∠BOC=28°，结合角度之间的和差关系即可求解.
二、题型训练
1.找出余角、补角
1．小明将一副三角板摆成如图形状，下列结论不一定正确的是（　　）
A． B．与互余
C． D．与互补
【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：A、∵ ∠COD=∠AOB=90°，，∴ ，A不符合题意；
B、∵ ∠COD=90°，∴，与互余，B不符合题意；
C、随着摆放的方式不同，∠AOD也不太同，∴ 无法判断，C符合题意；
D、、∴与互补，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据等角的余角相等，互余的定义，互补的定义，逐一判定即可.
2．如图， 是直线 上一点， 为任一射线， 平分 ， 平分 ，
（1）分别写出图中 与 的补角；
（2） 与 有怎样的数量关系，请说明理由.
【答案】（1）解：∵ 平分 ，
∴∠FOB=∠EOF，
∵∠AOF+∠FOB=180°，
∴∠AOF的补角是∠BOF和∠EOF；
∵ 平分 ，
∴∠AOG=∠EOG，
∵∠BOG+∠AOG=180°，
∴∠BOG的补角是∠AOG和∠EOG
（2）解： 与 互余，
理由是：∵ 平分 ， 平分 ，
∴∠EOF = ，∠EOG=
∴∠EOF+∠EOG= （ + ）
∵ + =180°，
∴∠EOF+∠EOG= =90°，
∴ 与 互余
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义得出∠FOB=∠EOF，∠AOG=∠EOG，根据补角定义和邻补角定义求出即可．（2）根据角平分线定义得出∠EOF= ∠BOE，∠GOE= ∠AOE，根据∠AOE+∠BOE =180°，根据余角的定义得出即可．
3 .O是直线AB上一点在同一平面内直线，AB的同侧有∠AOD＝∠DOB＝∠COE＝90°．
(1)请画出题设的图形，并分别写出∠COD的余角，∠AOC的补角；
(2)写出图中相等的锐角，并说明理由
【答案】(1)图见分析，∠COD的余角为∠AOC，∠DOE；∠AOC的补角为∠BOC；
(2)∠AOC＝∠DOE；∠COD＝∠BOE，理由见分析．
【分析】（1）根据题目的条件画出对应的几何图形，然后利用余角和补角的定义写出∠COD的余角，∠AOC的补角；
（2）根据等角的余角相等可判断∠AOC＝∠DOE；∠COD＝∠BOE．
(1)解：如图，
∠COD的余角为∠AOC，∠DOE；∠AOC的补角为∠BOC；
(2)解：图中相等的锐角有：∠AOC＝∠DOE；∠COD＝∠BOE．
理由如下：
∵∠AOD＝∠DOB＝∠COE＝90°，
∴∠AOC+∠COD＝90°，∠COD+∠DOE＝90°，
∴∠AOC＝∠DOE；
∵∠BOE+∠DOE＝90°，∠COD+∠DOE＝90°，
∴∠BOE＝∠COD．
【点拨】本题考查了求一个角的余角和补角，解决本题的关键是准确作出符合条件的图形，熟记余角和补角的定义.
2.求一个角的余角、补角
4．一个角是它的补角的五分之一，则这个角的余角是　 　度．
【答案】60
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：设这个角为x，补角为（180°-x），则
，
解得：x=30°，
则这个角为30°．
所以，它的余角=90°-30°=60°
故答案为：60．
【分析】根据题意求出 ，再解方程求出x=30°，最后求解即可。
5．一个角的补角比这个角的余角3倍还多 ，求这个角的度数．
【答案】解：设这个角的度数是 ，则
答：这个角的度数为
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【分析】根据互为余角的两个角的和等于90°，互为补角的两个角的和等于180°，列出方程，然后解方程即可．
6．如果一个角的补角是130°，那么这个角的余角的度数是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．90°
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵一个角的补角是130 ，
∴这个角为50 ，
∴这个角的余角的度数是40 .
故答案为：B.
【分析】直接利用互补的定义得出这个角的度数，进而利用互余的定义得出答案.
3.方位角的作图
7．如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上，同时，在它北偏东30°、西北（即北偏西45°）方向上又分别发现了客轮B和海岛C．
（1）仿照表示灯塔方位的方法，分别画出表示客轮B和海岛C方向的射线OB，OC（不写作法）；
（2）若图中有一艘渔船D，且∠AOD的补角是它的余角的3倍，画出表示渔船D方向的射线OD，则渔船D在货轮O的方位角
【答案】解：（1）如图1：
，
（2）如图2：
，
由∠AOD的补角是它的余角的3倍，得
180°﹣∠AOD=3（180°﹣∠AOD）．
解得∠AOD=45°．
故D在O南偏东15°或北偏东75°．
故答案为：D在O南偏东15°或北偏东75°．
【知识点】钟面角、方位角；余角、补角及其性质
【解析】【分析】（1）根据方向角的度数，可得答案；
（2）根据余角与补角的关系，可得∠AOD的度数，根据角的和差，可得方向角．
8．如图，直线与直线相交于点，射线表示正北方向，射线表示正东方向．已知射线的方向是南偏东，射线的方向是北偏东，且的角与的角互余．
（1）①若，则射线的方向是　 　；
②图中与互余的角有　 　，与互补的角有　 　．
（2）若射线是的平分线，则　 　用含的代数式表示
【答案】（1）北偏东；和；
（2）
【知识点】钟面角、方位角；余角、补角及其性质；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）解： 根据题意可得，
，
，
射线的方向是北偏东．
，，，
，
图中与互余的角有和，与互补的角有．
（2）解：，平分，
，
．
【分析】（1）①利用方向角的计算方法求解即可；
②根据余角和补角的定义求解即可；
（2）利用角平分线的定义及角的运算求解即可。
9． 如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西，是的平分线，射线是的反向延长线．
（1）射线的方向是　 　；
（2）在图中画出表示南偏东的射线；
（3）在的条件下，求的度数．
【答案】（1）南偏东°
（2）解：如图射线即为所求作的射线；
（3）解：由已知得，
射线的方向是南偏东，
．
【知识点】钟面角、方位角；角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∵射线OD是OB的反向延长线，射线OB的方向是北偏西40°，
∴射线OD的方向是南偏东40°，
故答案为：南偏东40°.
【分析】（1）利用角的运算和方向角的定义分析求解即可；
（2）根据题干中的要求作出射线OE即可；
（3）先利用角的运算求出，再结合，求出∠COE的度数即可.
课堂达标
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．已知，若与互余，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】常用角的度量单位及换算；余角
【解析】【解答】解：∵，若与互余，
∴．
故选：B．
【分析】本题考查了余角的定义，如果两个角的和是一个直角，称这两个角互为余角，据此计算，即可求解.
2．若∠1与∠2互为补角，且∠1<∠2，则∠1 的余角是(　　)
A．∠2-∠1 B．∠1+∠2 C． D．
【答案】D
【知识点】余角；补角
【解析】【解答】解：∵∠1与∠2互为补角，
∴∠1+∠2=180°.
∴∠1的余角为：.
故答案为：D.
【分析】根据余角的定义即可得出结果．
3． 如图，O为直线 AB 上的一点，ON 平分∠BOC，OM平分∠AOC，那么图中互余的角共有 (　　)
A．2对 B．3对 C．4对 D．6对
【答案】C
【知识点】余角
【解析】【解答】解：∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴，
∴，
∴∠MOC与∠NOC互余，∠MOA与∠NOC互余，∠MOC与∠NOB互余，∠MOA与∠NOB互余，
互余的角共有4对，
故答案选：C.
【分析】根据角平分线的定义和平角的概念求出∠MOC+∠NOC =90°，根据余角的概念判断即可.
4．下列说法中，正确的是（　　）
A．一个锐角的补角大于这个角的余角
B．一对互补的角中，一定有一个角是锐角
C．锐角的余角一定是钝角
D．锐角的补角一定是锐角
【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：A：一个锐角的补角为钝角，它的余角为锐角，故其补角大于其余角，选项A符合题意；
B：一对互补的角中，也可以两个角是直角，故B不符合题意；
C：锐角的余角一定是锐角，故C不符合题意；
D：锐角的补角一定是钝角，故D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据余角的定义及补角的定义逐项判断即可。
5．下列说法中，正确的是（　　）
A．两点之间直线最短
B．如果∠α＝53°38'，那么∠α余角的度数为36.22°
C．如果一个角的余角和补角都存在，那么这个角的余角比这个角的补角小
D．相等的角是对顶角
【答案】C
【知识点】两点之间线段最短；余角、补角及其性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、两点之间线段最短，故A不符合题意；
B、∵90°-53°38'＝36°22'，∴∠α余角的度数为36.22°，故B不符合题意；
C、如果一个角的余角和补角都存在，那么这个角的余角比这个角的补角小，故C符合题意；
D、相等的角不是对顶角，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据“两点之间线段最短”可判断A；根据和为90°的两个角互为余角可判断B；和为90°的两个角互为余角，和为180°的两个角互为补角，故一个角的补角比其余角大90°，据此可判断C；对顶角是相等的，但相等的角不一定是对顶角，据此判断D.
6． 如图，将一副三角板按不同位置摆放，其中和不一定相等的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、∠α+∠β=180°-90°=90°，所以∠α与∠β不一定相等，故此选项符合题意；
B、由图可知，∠α与∠β是同一个角的余角，肯定相等，故此选项不符合题意；
C、由图可知，∠α与∠β是都是45°角的补角，肯定相等，故此选项不符合题意；
D、由图可知，∠α与∠β是一对对顶角，肯定相等，故此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据角的构成和"同角的余角（或补角）相等"及对顶角相等可求解.
7．下列说法中，正确的是（　　）
A．如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等
B．如果AC＝BC，那么C是线段AB的中点
C．如果两个角互补，那么它们的角平分线所在直线的夹角为90°
D．射线AB和射线BA是同一条射线
【答案】A
【知识点】直线、射线、线段；余角、补角及其性质；线段的中点；角平分线的概念
【解析】【解答】解：A、如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等，A符合题意；
B、在同一条线段中，如果AC=BC，则C是线段AB的中点，B不符合题意；
C、在一平角中，如果一条直线把平角分成两个角，则这两个角互为补角，其角平分线所在直线的夹角为90°，C不符合题意；
D、射线AB和射线BA不是同一射线，其端点及延长的方向不一样，D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据射线用两个大写字母表示，端点在前、如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角、从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线，等角的补角相等，逐项分析即可求解.
8． 下列图形中，∠1 和∠2 互为余角的是 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】余角
【解析】【解答】A、∠1+∠2＞90°，不是互为余角关系，故本选项错误；
B、∠1与∠2互为余角关系，故本选项正确；
C、∠1=∠2，是对顶角，不是互为余角关系，故本选项错误；
D、∠1与∠2互为补角关系，故本选项错误；
故答案选：B.
【分析】根据互为余角的两个角的和等于90°对各选项分析判断即可得.
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．已知，则的补角的度数是　 　．
【答案】
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠=38°25'，
∴∠的补角=180°-38°25'=141°35'.
故答案为：141°35'.
【分析】如果两个角的和等于180°，那么这两个角叫做互为补角，从而知道了其中一个角，求另一个角，可用180°减去已知角，再根据度分秒的换算进行计算即可.
10． 如图，在同一平面内，∠AOB=∠COD=90°，在∠AOD 内部引一条射线 OF，在∠AOD外部引一条射线OE，使得 F，O，E三点在同一条直线上，∠COE=∠BOE（图中所有角均指小于 180°的角）。下列结论：
①∠AOE=∠DOE；
②∠AOD+∠COB=180°；
③∠COB-∠AOD=90°；
④∠COE+∠BOF=180°。
其中正确的结论有　 　。（填上你认为所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【知识点】余角；补角
【解析】【解答】解： ①∵ ∠AOB=∠COD
即 ∠AOC+∠AOD=∠AOD+∠BOD
∴∠AOC=∠BOD
∵∠COE=∠BOE
∴∠AOC+∠COE=∠BOD+∠BOE
即 ∠AOE=∠DOE
① 正确
②∵ ∠AOB=∠COD=90°
∴ ∠AOB+∠COD=180°
∴∠AOB+∠AOC+∠AOD=180°
∴ ∠AOD+∠COB=180°
② 正确
③∵ ∠COB-∠BOD= ∠COD =90°
∵ ∠COD ≠ ∠AOD
∴ ∠COB-∠AOD≠90°
③错误
④∵ ∠COE=∠BOE
∵ ∠ BOE+ ∠ BOF=180°
∴ ∠COE+∠BOF=180°
④正确
故答案为：①②④.
【分析】根据领补角和为180°即可得到答案.
11． 如图，点O在直线AB 上，射线 OC，OD 在直线 AB 的同侧，若∠AOD=156°，∠BOC=42°，则∠COD 的度数为　 　.
【答案】18°
【知识点】角的运算；补角
【解析】【解答】解：∵∠AOD =156°，
∴∠BOD=180°-∠AOD=24°，
∵∠BOC =42°，
∴∠COD=∠BOC-∠BOD=18°，
故答案为：18°.
【分析】先利用平角定义求出∠BOD =24°，然后再利用角的和差关系进行计算，即可解答.
12．一个角的补角比这个角的余角的4倍少60°，这个角的度数是　 　（度）．
【答案】40
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：设这个角为x，
由题意得， ，
解得 ．
故答案为：40．
【分析】这个角为x，则余角为（90°-x），补角为（180°-x），根据题意可列方程求解即可。
13．如图，点O在直线AB上，从点O引出射线OC，其中射线OD平分∠AOC，射线OE平分∠BOC，下列结论：
①∠DOE＝90°；
②∠COE与∠AOE互补；
③若OC平分∠BOD，别∠AOE＝150°；
④∠BOE的余角可表示为．
其中正确的是 　 　．（只填序号）
【答案】①②③④
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠COD＝∠AOC，∠COE＝∠BOE＝∠BOC，
∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝（∠AOC+∠BOC），
∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠DOE＝90°，故①结论正确；
∵∠AOE+∠BOE＝180°，
∴∠AOE+∠COE＝180°，
即∠AOE与∠COE互补，故②结论正确；
∵OC平分∠BOD，
∴∠COD＝∠BOD，
∵∠BOD＝180°﹣∠AOD，
∴∠COD＝90°﹣∠AOD，
∴∠AOD＝90°﹣∠AOD，
解得：∠AOD＝60°，
∴∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝60°+90°＝150°，故③结论正确；
∵∠DOE＝90°，
∴∠COE＝90°﹣∠COD，
∴∠BOE＝90°﹣∠COD，
∵∠BOE的余角为：90°﹣∠BOE，
∴∠BOE的余角为：∠COD，
∵∠COD＝∠AOC，∠AOC＝∠AOE﹣∠COE，
∴∠COD＝（∠AOE﹣∠COE），
即∠BOE的余角可表示为：（∠AOE﹣∠COE），故④结论正确，
综上所述，正确的有①②③④．
故答案为：①②③④．
【分析】根据角平分线的定义知：∠DOE＝∠COD+∠COE＝（∠AOC+∠BOC），由∠AOC+∠BOC＝180°，求得∠DOE＝90°，故①结论正确；根据补角的定义得
∠AOE+∠COE＝180°，即∠AOE与∠COE互补，故②结论正确；∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝60°+90°＝150°，故③结论正确；根据余角的定义知∠BOE的余角为∠COD，∠COD＝∠AOC，∠AOC＝∠AOE﹣∠COE，∴∠COD＝（∠AOE﹣∠COE），即∠BOE的余角可表示为：（∠AOE﹣∠COE），故④结论正确，综上所述，正确的有①②③④．
三、解答题（每小题8分，共48分）
14．如图，直线AB与CD相交于点O，，，则∠1=∠2．请说明理由（补全解答过程）．
解：∵，
∴∠AOE= ▲ （　　）．
∴．
∵ ▲ （　　），
∴，
∴ ▲ （　　）．
【答案】解：∵，
∴∠AOE=90°（垂直的意义）
∴．
∵（已知）
∴，
∴∠2（同角的余角相等）
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；垂线的概念
【解析】【分析】利用垂直的定义得到直角，再利用同角的余角相等得到答案.
15．若一个角的补角等于这个角的余角的6倍，求这个角的度数以及它的余角和补角的度数．
【答案】解：设这个角的度数为，则这个角的余角为，这个角的补角为．
由题意，得．
解得．
∴，．
答：这个角的度数为，它的余角为，补角为．
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【分析】 设这个角的度数为，则这个角的余角为，这个角的补角为，根据“ 这个角的补角等于这个角的余角的6倍 ”列出方程并解之即可.
16．如图，以直线AB上的点O为端点作射线OC、OD，满足∠AOC＝54°，∠BOD＝ ∠BOC，求∠BOD的度数．
【答案】解：∵∠AOC＝54°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝126°，
又∵∠BOD＝ ∠BOC，
∴∠BOD＝ ×126°＝42°
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质
【解析】【分析】依据邻补角的定义，即可得到∠BOC的度数，再根据∠BOD＝ ∠BOC，即可得到∠BOD的度数．
17． 如图，∠BOC=70°，∠AOC=50°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.
（1）求出∠AOB及其补角的度数；
（2）求出∠DOC和∠AOE的度数，并判断∠DOE与∠AOB是否互补；
（3）若，则∠DOE与∠AOB是否互补 请说明理由.
【答案】（1）解：（1）∠AOB＝∠BOC＋∠AOC＝70°＋50°＝120°，
其补角为180° ∠AOB＝180° 120°＝60°.
（2）解：∠DOE与∠AOB互补，理由如下：
∵∠DOC=∠BOC=×70°＝35°，∠COE=∠AOC=×50°＝25°．
∴∠DOE＝∠DOC＋∠COE＝35°＋25°＝60°．
∴∠DOE＋∠AOB＝60°＋70°＋50°＝180°，
∴∠DOE与∠AOB互补．
（3）解：∠DOE与∠AOB不一定互补，理由如下：
∵∠DOC=∠BOC=α，∠COE=∠AOC=β，
∴∠DOE＝∠DOC＋∠COE=α＋β=（α＋β），
∴∠DOE＋∠AOB=（α＋β）＋（α＋β）=（α＋β），
∵α＋β的度数不确定
∴∠DOE与∠AOB不一定互补．
【知识点】角的运算；角平分线的概念；补角
【解析】【分析】（1）利用角的运算求出∠AOB的度数，再利用补角的定义及角的运算求出补角即可；
（2）先利用角平分线的定义求出∠DOC=∠BOC=×70°＝35°，∠COE=∠AOC=×50°＝25°，再利用角的运算求出∠DOE的度数，最后利用补角的定义分析求解即可；
（3）先利用角平分线的定义及角的运算和等量代换求出∠DOE＋∠AOB=（α＋β）＋（α＋β）=（α＋β），再结合α＋β的度数不确定，从而可得∠DOE与∠AOB不一定互补．
18．如图，直线AB，CD相交于点O，∠BOM=∠DON=90°.
（1）如图1，若∠COM=35°，则∠BON的度数为　 　°.
（2）如图1，请直接写出图中所有互余的角.
（3）如图2，若射线 OE 在∠MOB 的内部，且 请比较∠MOE 与∠DOE的大小，并说明理由.
【答案】（1）145
（2）解：∵∠AOC+∠COM =90°，
∴∠AOC与∠COM互余，
∵∠AOC+∠AON =90°，
∴∠AOC与∠AON互余，
∵∠BOD =∠AOC，
∴∠BOD与∠COM互余， ∠BOD与∠AON互余
（3）解：∠MOE=∠DOE，
∵∠BOM =∠DON =90°，
设 则
【知识点】角的运算；余角
【解析】【解答】(1)∵BOM =90°，
∴∠AOM=90°，
∵∠COM=35°，
∴∠AOC=55°，
∴∠BOD=55°，
∵∠DON=90°，
∴∠BON =∠BOD+∠DON =55°+90°=145°；
故答案为：145；
【分析】(1)根据题意，得∠AOC=55°，再求出∠BOD，即可得.
(2)根据互余的定义，利用角之间的关系进行计算即可得.
(3)设∠MOC=x，根据 得 进而可得结论.
19．【数学之美】三角尺中的数学．
（1）如图1．将两块直角三角尺的直角顶点叠放在一起，．若，则　 　；若，则　 　；请直接写出与的数量关系　 　．
（2）如图2．若两个同样的直角三角尺顶点重合如图放置，，则请猜想与的数量关系并说明理由．
（3）如图3，已知点为直线上一点，在直线上方，，三角尺（其中）绕点旋转一周的过程中，写出与可能存在的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）；；
（2）解：猜想：
理由：
（3）解：①如图所示：
设的延长线为，则，
；
②当三角尺一边不在内部时，如图所示：
，，
综上所述或
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；旋转的性质
【解析】【解答】（1），，
，，
，
，
，
，
，
【分析】(1)根据直角三角板的特点以及余角、补角的性质，利用角的和差关系即可求解；
（2）猜想： ，根与图象可得，由角的和差关系以及直角三角板的特点即可求解；
（3）分两种情况进行讨论：①设的延长线为，则，根据求得的度数，由角的和差关系即可求解；②当三角尺一边不在内部时， 由，，利用角的和差关系即可求解.，综合从而求解.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑