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《二次函数与一元二次方程》教学设计
内容和内容解析
内容
二次函数与一元二次方程的关系，包括从函数图象角度理解方程根的情况以及利用方程根的情况判断函数图象的特征。
内容解析
解一元二次方程可以看作已知二次函数的值为0，求自变量的值。从图象上看，如果二次函数的图象与轴有公共点，当自变量取公共点的横坐标时，函数的值为0，由此可求出相应的一元二次方程的根。当二次函数的图象与轴有两个公共点时，相应的一元二次方程有两个不等的实数根当二次函数的图象与轴有一个公共点时，相应的一元二次方程有两个相等的实数根当二次函数的图象与轴没有公共点时，相应的一元二次方程没有实数根。通过探究二次函数与一元二次方程的联系，进而掌握利用二次函数的图象求一元二次方程近似解的方法。
二次函数与一元二次方程的联系再次展示了函数与方程联系，一方面可以深化对一元二次方程的认识，另一方面又可以运用二次函数解决一元二次方程的有关问题.同时也有一些数学思想渗透到本节课中，例如函数与方程的联系，体现了函数与方程的数学思想，运用图象解决两者的关系体现数形结合的数学思想，对判别式的讨论，体现了分类讨论的数学思想等。
基于以上分析，确定本节课的教学重难点是:二次函数与一元二次方程的联系。
目标和目标分析
1.教学目标
(1)学生能够理解二次函数与一元二次方程之间的联系
(2)经历观察、分析、探究二次函数与一元二次方程关系的过程，提高学生的观察能力、分析问题和解决问题的能力。在探究过程中，培养学生运用数形结合、转化等数学思想方法解决问题的能力。
(3)通过实际问题的解决，让学生体会数学在实际生活中的应用价值，培养学生的应用意识和创新精神。
2.目标分析
从学生视角出发，多角度对教学目标进行分析：
认识 1.认识二次函数与一元二次方程的基本形式2.认识二次函数与一元二次方程数学表达式上的不同与联系
理解 理解二次函数和x轴的交点与一元二次方程根的对应关系 理解二次函数图象判断一元二次方程根的情况的原理
应用 应用用所学知识，求解二次函数和x轴的交点以及对应的一元二次方程的根 应用二次函数图象判断给定一元二次方程根的情况，并能解决简单的实际问题
体验 体验数学知识之间的紧密联系，感受数形结合、转化等数学思想方法的魅力，增强学习数学的兴趣和信心 体会数学在实际生活中的应用价值
学生学情分析
学生在学习一次函数时，对于函数与一元一次方程的联系已经有了一定的了解，会利用一次函数图象求一元一次方程的解。二次函数与一元二次方程的联系在探究过程上与之前一致，但二次函数与x轴公共点的个数共有三种情况，这些是需要教师在教学过程中进行设计的，另外要使学生了解一元二次方程的根的几何意义，这需要在授课过程中进行多次对比。
基于以上分析，确定本节课的教学难点是：用数形结合的思想二次函数与一元二次方程的联系。
教学策略分析
（一）直观启思策略
1.运用图形计算器、数学软件或实物模型等直观手段展示二次函数图像变化及与一元二次方程的关系，使学生直观感受两者联系，为后续思考奠定基础。
2.通过精心设计的问题引导学生深入思考，从二次函数与一元二次方程的转化关系等方面入手，促使学生在直观认知的基础上进行理性思考，加深对知识的理解。
（二）合作分层策略
1.组织小组合作学习，学生分组探讨二次函数与一元二次方程的关系，通过合作交流拓宽思维，培养合作意识和交流能力。
2.结合分层教学，根据学生不同水平在小组合作中给予不同任务，基础好的学生探索拓展内容，基础弱的学生巩固基础知识，确保全体学生在合作中共同进步。
（三）归纳拓展策略
1.引导学生及时归纳总结二次函数与一元二次方程的关系，建立知识体系，培养逻辑思维和概括能力。
2.通过设计不同难度的练习题和拓展任务，让学生在巩固知识的同时进行拓展提升，激发学习兴趣和探索欲望。
五、教学过程设计
（一）复习回顾，引入新课
问题1：关于的一元一次方程的解为，则当= 时，一次函数的函数值为0。
问题2：一次函数的图象如图所示，则关于的一元一次方程 的解为 。
问题3：从“数”和“形”的两个方面进行分析一次函数与一元一次方程的联系
问题4：猜想二次函数与一元二次方程之间是否也有类似的联系？
师生活动 ：教师提出问题，学生积极思考，并作出回答，进而引发学生进行猜想。
【设计意图】通过回答第1，2问题，学生回忆起一次函数与一元一次方程“数”和“形”之间的联系，从而猜想一下二次函数与一元二次方程的联系，使学生产生好奇心，激发学生的求知欲，进行类比推理学习，为后面的学习做好铺垫。
观察思考，探究新知
如教科书图22.2-1，以的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度(单位:)与飞行时间(单位:)之间具有函数关系。
问题5:小球的飞行高度能否达到15m 如果能，需要多少飞行时间
师生活动:组织学生进行独立思考。学生经过活动，运用之前学习过的知识很容易会得出，只需要解方程就可以得出时问为1s和3s时高度可达15米。
追问1：小球的飞行高度能否达到20m 小球的飞行高度能否达到20.5m 为什么
师生活动:学生经过类比推理，代入计算会发现，当小球飞行2s时高度为20米;将20.5代入式子会发现方程无实数根，也就是说小球的飞行高度达不到20.5米。
追问2：小球从飞出到落地要用多少时间
师生活动:学生进行小组交流后，会发现小球飞出和落地高度都为0，因此解方程结果为0和4，也就是说0s时小球飞出，4秒时小球落地。
教师总结：发现二次函数与一元二次方程联系密切.例如已知函数的值为3,求自变量x的值,可以看作解一元二次方程(即 );反过来，解方程又可以看作已知二次函数的值为 0，求自变量的值.
【设计意图】在交流和学习中引导学生进行类比推理学习，提高学生的分析、思考和探究数学问题的能力，让学生初步感知二次函数与一元二次方程联系密切.
新知学习，深入理解
问题6： 下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？ 由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？
； ；
师生活动：组织学生进行小组讨论，画出图象，并且通过教师引导进而得到相对应结果。
(1)抛物线与x轴有两个公共点，它们的横坐标是-2，1.当x取公
共点的横坐标时，函数值是0.由此得出方程的根是-2,1。
(2)抛物线与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3.当x=3时，函数值是0.出此得出方程有两个机等的实数根3。
(3)抛物线，与x轴没有公共点.出此可知，方程没有实数根。
师生总结：从“数”和“形”的两个方面进行分析二次函数与一元二次方程的联系。进一步引导学生总结得出二次函数与X轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，关系如下：
二次函数的图象与轴交点 一元二次方程的根
有两个交点 有两个不相等的实数根
有一个交点 有两个相等的实数根
没有交点 没有实数根
【设计意图】通过研究三个具体的函数图象，分别与X轴有两个交点、一个交点和没有交点进而引导学生总结得出二次函数的一般规律。问题由特殊到一般，不仅考验学生对知识点的掌握情况，还要求学生能举一反三，培养学生概括总结归纳知识点的能力。
类比学习，深化理解
问题7：由以上结论引出，可运用二次函数的图象求出一元二次方程的根，并且进一步抛出问题，请学生利用函数图象求出的实数根（结果保留小数点后一位）。
师生活动:学生自主绘图操作，经过绘图可发现横坐标人约为-0.7和 2.7，
因此方程的实数根约为-0.7和2.7.
【设计意图】学生理解如何通过图象与X轴的交点的横坐标，确定一元二次方程的近似解。
强化训练，巩固双基
1.二次函数与x轴的交点问题
（1）二次函数 的图象与 轴的交点个数是 个;
（2）二次函数 的图象与 轴交点个数是 个.
（3）已知二次函数的图象经过点和两个点,则方程的解为 .
（4）若函数的图象与轴只有一个交点,则 的值为 ;
2.已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为 .
3.根据下列表格中二次函数的自变量与函数值y的对应值，判断方程(a≠0，a，b，c为常数)的一个解的范围是(　　)
6.17 6.18 6.19 6.20
－0.03 －0.01 0.02 0.04
A.6＜＜6.17 B．6.17＜＜6.18
C．6.18＜＜6.19 D．6.19＜＜6.20
师生活动 学生观察、思考，教师检验并核对答案
【设计意图】进一步让学生理解二次函数与一元二次方程的联系，提升学生的应用能力
（六）小结归纳，拓展深化
（1）本节课我们学习了哪些内容？
（3）在学习过程中，运用了哪些数学思想方法？
师生活动：学生回答，教师补充.
【设计意图】 通过互动小结，养成整理知识、引导学生总结反思，体会本节课中渗透的数学思想
教学目标检测
课堂检测
二次函数的图象与轴的两个公共点的坐标分别是 ．
2．已知抛物线与轴交于点(1，0)，(－3，0)，则分解因式的结果为 ．
3．已知抛物线与轴的一个公共点坐标为(1，0)，则关于x的一元二次方程的两根为 .
【设计意图】巩固当堂所学充分让学生理解二次函数与一元二次方程的联系。
（二）课后思考
(1)必做题：长江作业P42
(2)选做题：选择生活中的一种球类运动轨迹或者物体形状（类似抛物线），仿照课本实例编一道应用题型。
【设计意图】学以致用，培养的应用意识，培养学生的应用能力，并为后面的二次函数与实际应用做铺垫。
教学反思
在教学过程中，通过多种教学方法的综合运用，学生对二次函数与一元二次方程的关系有了较好的理解。直观演示和小组合作探究让学生更加直观地感受了两者之间的联系，问题引导和实例分析则提高了学生的思维能力和应用意识。
然而，在教学中也发现了一些问题。部分学生在运用关系解决实际问题时还存在困难，需要进一步加强练习和指导。在今后的教学中，可以采取以下改进措施：
1. 增加更多的实际问题情境，让学生在实际应用中加深对关系的理解和掌握。
2. 针对学生的薄弱环节进行有针对性的练习和辅导，如判别式的运用、根据图象特征确定方程根的情况等。
3. 鼓励学生自主探究和合作交流，培养他们的创新思维和解决问题的能力。
4. 及时反馈学生的学习情况，调整教学策略，提高教学效果。

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