资源简介

11.3.2 多边形的内角和
课标解读
学生学什么：多边形内角和与边数的关系
学生学到什么程度：能运用三角形内角和定理转化四边形的内角和，通过类比的方法自主探究五边形、六边形的内角和，再从特殊到一般发现n边形的内角和公式，并能熟练掌握公式计算多边形内角和和边数.
学生怎么学：学生在实际问题的指引下，开始逐步思考正多边形内角度数与边数的关系，教师引导学生将四边形转化成三角形求四边形内角和，类比四边形内角和的研究方法，学生进一步自主探究从特殊到一般推导出多边形内角和公式.
数学核心素养：几何直观、推理能力、运算能力、应用意识
二、教学内容解析
多边形的内角和公式反映了多边形的边数与内角和之间的关系，是三角形内角和定理的应用和多边形的对角线条数与边数关系的延续，同时多边形内角和公式为多边形外角和公式的学习做铺垫。
首先研究四边形的内角和，把四边形进行分割成三角形，利用三角形内角和定理推出任意四边形的内角和，再类比四边形内角和的研究方法，多边形的对角线能把多边形分成几个三角形，根据多边形从同一顶点引出的对角线条数推导分割出的三角形个数与边数关系，从而得出多边形内角和公式，因此，多边形的内角和问题可以转化为三角形的内角和问题来解决。
多边形内角和公式的探索过程中，把多边形分割成若干个三角形体现了化归与转化思想，由四边形的内角和推导多边形的内角和体现了从特殊到一般的思想，根据多边形内角和计算多边形的边数体现了方程思想。
三、学生学情分析
学生在前面已经学习过三角形内角和定理、正方形和长方形的内角和、多边形的对角线条数与边数的关系，有了一定的几何推理论证的基础和归纳推理的能力。但由具体的多边形内角和到n边形内角和公式的获得，是一个由具体到抽象的过程，把多边形内角和转化成三角形内角和的思考，如何确定分割的三角形个数，多边形的内角和随边数的变化而变化，这个过程中要关注从同一顶点引出的对角线条数、分割的三角线个数、内角和与多边形边数的关系，学生把握这个推理过程还是有一定难度，因此，在教学中需要着重引导学生注意不同分割方法得到的三角形个数与多边形内角和的关系。
四、教学目标设置
几何课教学重在定理性质的推导过程，难在对定理的掌握和应用；本节课的教学是通过三角形内角和定理的转化，立足培养学生的几何意识、转化思想、类比推理思想、方程思想。立足于本章及本节，教学目标定位为：
掌握不同方法探索多边形的内角和、外角和公式；
能运用多边形的内角和、外角和公式解决一些简单问题；
经历多边形内角和公式的推导和应用，体验转化、类比和方程的数学思想方法，培养探究推理、发现问题和动手操作的能力.
教学重点：多边形内角和公式的探索与推导过程.
教学难点：获得将多边形分割成三角形来解决问题的思路，确定分割后的三角形个数与边数的关系.
五、教法策略分析
1.多边形内角和公式的推导思路是本节课的重点，教学过程中采用启发式教学、探索式教学方法，通过三角形内角和定理引出研究四边形内角和的方法，再类比四边形内角和的研究方法，从而获得将多边形分割成三角形来解决多边形内角和问题的思想.
2.“确定分割后的三角形个数与边数的关系”是本节课的教学难点，教学过程中采用特殊到一般的思想方法，同时通过列表的方式列举出多个多边形“从同一顶点引出的对角线条数”和“分割出的三角形个数”的数据，引导学生观察进而归纳推导出n边形分割出的三角形个数与边数的关系.
六、教学过程设计
1.情境导入
问题：如图所示,小华从A点出发,沿直线前进10米后左转24°,再沿直线前进10米,又向左转24°,…,照这样走下去,他第一次回到出发地A点时,一共走的路程是多少米 你能计算吗
教师引导学生发现小华行走的路径是一个外角为24°或内角为180°-24°=156°的正多边形，要求小华走的路程之和，就要知道这个正多边形的边数，因此本题可以转换成“已知一个正多边形的每个外角为24°或每个内角度数为156°，求该正多边形的边数”的问题，那么正多边形的内角度数、外角度数与其边数有什么样的关系呢？从而引出今天的课题。
2.探索n边形的内角和
师：通过前面的学习，我们已经知道三角形的内角和等于180o，正方形、长方形的内角和是360o，那么任意一个四边形的内角和是否等于360o呢？
教师引导学生在几何画板中观察一下任意四边形的内角和度数，（教师演示）不断改变四边形形状，学生会发现不同形状的四边形内角和度数是不变的，四边形的内角和始终是360°，进而提出猜想:任意四边形的内角和等于360°.
师生活动：引导学生如何利用三角形内角和求出四边形的内角和，上节课学习了多边形，知道了多边形的边、内角、外角和对角线以及对角线将多边形分割成几个三角形.因此通过添加对角线可以将四边形转化成三角形，你能利用三角形内角和定理证明四边形的内角和等于360o吗？
已知：四边形ABCD，求证：∠A+∠B+∠C+∠D=360o
思考：把四边形分割成三角形还有其他分法吗？
思考：你还有其他的证明方法吗？（学生自行完成证明过程）
【总结】四边形的内角和为360°.
问题：类比上面的问题，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少吗？
以上是在方法都是将四边形分割成若干个三角，转化为三角形内角和进行求解，那么五边形、六边形的内角和问题也可以通过添加对角线解决，由特殊到一般推导出n边形的同一顶点引出的对角线可以分割的三角形个数，进而得到n边形的内角和公式.
学生课前预习填写下面表格，教师引导学生观察数据规律，得出从同一顶点引出的对角线条数、分割出三角形个数、内角和与边数的关系。
多边形 边数 从同一顶点引出的对角线条数 分割出的三角形个数 内角和 外角和
3 0 1 1×180°=180° 360°
4 1 2 2×180°=360° 360°
5 2 3 3×180°=540° 360°
6 3 4 4×180°=720° 360°
... ... ... ... ... ...
n n-3 n-2 (n-2)·180° 360°
【总结】一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作（n-3）条对角线，它们将n边形分成（n-2）个三角形，从而得到n边形内角和公式：（n-2）×180°(n≥3,n为正整数）
【注意】（1）n边形的内角和随边数增加而增加，每增加一条边其内角和增加180°.
多边形的内角和是180°的整数倍.
3.探究多边形外角和
如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和.六边形的外角和等于多少？（学生填写上面的表格）
思考：如果将六边形换成n边形（n是不小于3的任意整数），可以得到同样结果吗？
解：n边形的n个外角加上它们相邻的内角，所得总和等于n·180°，n边形内角和是(n-2)·180°，所以外角和为n·180°-(n-2)·180°= 2×180°=360°.
【总结】多边形的外角和等于360°.
思考：回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度？每个外角呢？
每个内角的度数是，每个外角的度数是
4.例题讲解
例1：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
【总结】如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补.
例2：一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？
5.巩固练习
练习1：解决情境导入的问题
练习2：求出下列图形中x的值.
练习3：
已知一个多边形，它的内角和比外角和的3倍还多180°，求这个多边形的边数.
已知一个多边形的每个内角与外角的比都是7:2，求这个多边形的边数.
练习4：
如图，在五边形ABCDE中，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC，求∠P的度数．
练习5：
如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=__________
如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7=__________
6.课堂小结
七、教学特色反思
1.引导学生对已有知识经验的再创造，重视思想方法的培养，关注推理能力的形成。在探究就四边形内角和时，引导学生运用三角形内角和定理将四边形内角和问题转化为三角形内角和问题，并采用多种方法将四边形分割成三角形进行证明，逐步开发学生的思维，在探究五边形、六边形内角和时，放手让学生自主探究，再通过列表进行数据分析，进而发现多边形内角和与边数的关系。在这个过程中体现了转化、类比、从特殊到一般的数学思想，学生一步步分析问题、推理证明、得出结论，这是形成良好思维方式的经验基础。
2.课上通过几何画板引导学生观察、实验、比较、分析的探究过程，通过对内角和“变与不变”的思考，进一步几何验证四边形内角和的规律，充分调动学生的多重感官，在动手、动口、动脑活动中，形成表象，逐步实现对多边形内角和规律的探索，这一过程渗透化归思想，感悟知识本质。
3.在边数逐级增加的探索中感悟数学研究方法，从特殊到一般总结归纳出多边形内角和与边数的关系，使学生构建的知识体系更清晰明了。

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