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授课题目 1.1 集合及其表示 选用教材 高等教育出版社《数学》 （基础模块上册）（修订版）
授课 时长 3 课时 授课 类型 新授课
教学提示 本课以学生学过的教学内容为载体，通过学生熟悉的情境和问题引入集合的概念及有关概念；体会集合及相关概念的抽象过程，学习用数学语言表示集合，并判断元素与集合之间的关系.
教学目标 能举例说明什么是集合，什么是集合的元素；能判断给定对象是否组成集合；能判断给定元素与集合之间的关系，并能用“ ”或“ ”表示． 知道常用数集的表示符号． 知道列举法、描述法的一般格式，能选择合适的方法表示给定集合．
教学 重点 元素与集合之间的关系；集合的描述法.
教学 难点 空集的理解；用描述法表示集合．
教学 环节 教学内容 教师 活动 学生 活动 设计 意图
引入 义务教育阶段，我们已经学习过一些集合，如正整数的集合、实数的集合、所有正方形的集合．为了更有效地使用集合语言，我们需要进一步学习集合的有关知识. 介绍讲解 倾听领会 引出新知
情境导入 1.1.1 集合的概念 中国古代四大发明是：造纸术、印刷术、指南针和火药.四大发明可以组成一个集合. 图书馆里，为便于查找，会按照某种方式将同一类的书刊摆放在一起. 比如，可以所有数学书籍放在一起组成数学书籍专区，专区内所有数学书就可以组成一个集合. 数学中也常常会根据需要将一些需要研 引导学生联系原有知识思考 回忆思考分析 以原有知识和生活经验创设情境，引发学生思考.
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究的对象放在一起．比如，平面上到原点 O的距离等于 1 的所有点也可以组成一个集合.可见，人们常会将一些研究对象组成一 个整体，并且用集合这个词表示这个整体.那么，具有什么特征的整体可以组成一 个集合呢？ 启发引导
一般地，由某些确定的对象组成的整体称为集合，简称为集．组成这个集合的对象称为这个集合的元素. 集合常用大写英文字母表示．如，集合 A，集合 B，集合 C，…．；集合的元素常用小写英文字母表示．如，a，b，c，…． 在上面例子中，造纸术、印刷术、指南针和火药都是四大发明组成的集合的元素；数学书籍专区中的每本书都是专区内所有数学书籍这个集合的元素；已知的圆上所有的点都是“平面内到圆心的距离等于半径的所有 点”组成的集合的元素. 讲解 理解 归纳概念
突出强调
符号规范
说明 记忆 表述
探索新知 举例 思考
例 1 判断下列对象能否组成集合？ 小于 6 的所有自然数； 方程 x2+3x 4=0 的所有实数解； 所有的平行四边形； 某班级中的所有高个子同学． 解 （1）因为小于 6 的自然数包括 0，1，2， 3，4，5 这五个数，它们是确定的对象，所以它们可以组成集合； （2）因为方程 x2+3x 4=0 的实数解是 4 和 1，它们是确定的对象，所以可以组成集合； 提问 思考 回顾初中
知识帮助
理解集合
引导 分析 概念逐步
提升数学
典型 例题 抽象素养
讲解 解决
强调 交流
因为平行四边形的特征是确定的，因此满足此特征的对象是确定的，所以可以组成集合； 因为高个子没有具体标准，对象不是确定的，所以不能组成集合．
新知探索 如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于 A，记作 a∈A，读作“a 属于 A”. 如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于 A，记作 a A，读作“a 不属于 A”. 温馨提示 组成集合的对象必须是确定的；同一个集合的元素必须是互补相同的．如例 1（4）中，因为不能确定哪些同学是“高个子”，所以该班高个子同学的全体不能组成一个集合．但该班身高为 1.75ｍ及以上的同学的全体能组成一个集合，这个集合里的元素就是身高为 1.75ｍ及以上的同学. 讲解说明 理解记忆 加深认识元素与集合关系
典型例题 例 2 方程 x2=4 的所有实数解组成的集合为 A，则-2 A，5 A（用符号“∈”或 “ ”填空）． 解 因为(-2) =4，所以-2 是方程 x2=4 的解，故-2∈A． 因为 5 ≠4，所以 5 不是方程 x2=4 的解，故 5 A． 提问引导讲解 思考解决交流 加深对符号的认识区分“∈” 和“S”
新知探索 含有有限个元素的集合称为有限集.不含任何元素的集合称为空集，记作 ，空集 也是有限集. 含有无限个元素的集合称为无限集. 由数组成的集合称为数集. 讲解 说明举例 理解 记忆思考 认识集合类型
例如，例 1（1）和（2），小于 6 的所有自然数组成的集合和方程 x2+3x 4=0 的所有实数解组成的集合都是有限集. 又例如，例 1（3）所有的平行四边形组成的集合，不等式 x 3<0 的所有解组成的集合都是无限集. 数学中一些常用数集及其记法： 说明 记忆 强调常用数集的内涵和表示方法
巩固练习 练习 1.1.1 1.下列各语句中的对象能否组成集合？如果能组成集合，写出它的元素.如果不能组成集合， 请说明理由． 某校汉字录入速度快的学生； 某校汉字录入速度为 90 字符/min及以上的所有学生； 方程(2x-3)(x+1)=0 的所有实数解； 大于-5 且小于 5 的整数； 大于 3 且小于 1 的所有实数; 非常接近 0 的数. 2．用符号“∈”或“ ”填空． （1）-1 N；0.5 N；0 N* （2）-2 Z；0 Z； 1 Z； 4 （3）-3 Q； 2 Q；π Q； 3 （4） 5 R；π R； 3 R． 3 3．判断下列集合是有限集还是无限集． （1）你所在班级的所有同学组成的集合； 提问 巡视 指导 思考 动手求解 交流 通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
方程 x+2=0 的所有正整数解组成的集合； 小于 3 的所有整数组成的集合； 数轴上表示大于 0 且小于 1 的所有点组成的集合．
情境导入 1.1.2 集合的表示法 小于 6 的正整数组成一个集合，大于 3 的实数也组成一个集合.那么，除了用这种自然语言表示集合， 还可以如何表示集合呢？ 质疑 思考 引出新知
新知探索 1.列举法 把集合的所有元素一一列举出来，中间用逗号隔开，再用花括号“{ }”把它们括起来，这种表示集合的方法称为列举法． 例如，小于 6 的所有正整数组成的集合可以表示为{1，2，3，4，5}； 中国古代四大发明组成的集合可以表示为{指南针，造纸术，火药，印刷术}； 太阳系八大行星组成的集合可以表示为 {水星，金星，地球，火星，木星，土星，天王星，海王星}． 讲解说明举例 理解记忆思考 结合实例学习列举法的表达方式和要点
典型例题 例 3 用列举法表示下列集合. 中国古典长篇小说四大名著组成的集合； 大于-3 且小于 10 的所有偶数组成的集合． 解 （1）中国古典长篇小说四大名著组成的集合用列举法表示为｛《水浒传》，《三国演 义》，《西游记》，《红楼梦》｝ 提问引导讲解 强调 思考分析解决 交流 巩固列举法表示集合的基本方法
（2）大于-3 且小于 10 的所有偶数为- 2，0，2，4，6，8 它们组成的集合用列举法 表示为{-2，0，2，4，6，8}.
情境导入 2.描述法 比 3 大的实数组成的集合能用列举法表示出来么？ 这个集合具有特征性质：元素都是实数并且元素都比 3 大，所以可以利用元素具有的特征或者性质来表示这个集合： {x∈R|x>3}. 质疑 思考 引出新知
新知探索 利用元素的特征性质来表示集合的方法称为描述法． 描述法表示集合时，在花括号“{ }”中画一条竖线，竖线的左侧是集合的代表元素及取值范围，竖线的右侧是元素所具有的特征性质． 约定：如果集合的元素是实数，那么“∈ R”可略去不写，例如，{x∈R|x>3}可以简写 为{x|x>3}. 讲解说明 理解记忆 学习描述法表达方式和要点
典型例题 例 4 用描述法表示下列集合： 小于 1 的所有整数组成的集合； 所有偶数组成的集合； 在平面直角坐标系中，由第一象限内的所有点组成的集合. 分析 （1）中元素的取值范围是整数，元素的特征性质是小于 1；（2）中元素的特征性质可以写成 2k (k∈Z)的形式；（3）中元素是平面直角坐标系中的点，用有序实数对(x，y)表示， 特征性质是横、纵坐标(即 x，y)均为正数. 提问 引导 讲解 思考 分析 解决 领会描述法的基本使用方式并强调表达方式的规范性，了解集合中所有元 素的特征
解 （1）小于 1 的所有整数组成的集合为{x ∈Z| x<1}． 所有偶数组成的集合为{x| x=2k， x∈Z}，也可以表示为{偶数}；这个集合也可以表示为{偶数}． 第一象限内的所有点组成的集合为 {(x，y) | x>0，y>0}． 例 5 用写出不等式 2x+1>9 的解集. 解 由不等式 2x+1>9，得 2x>8，故 x>4 ．因此不等式 2x+1>9 的解集可以用描述法表示为{x|x>4} . 例 6 分别用列举法和描述法表示方程 x -9=0 的解集. 解 解方程 x -9=0，得 x1=-3， x2=3.故方程的解组成的集合用列举法表示为{-3，3}，用描述法表示为{x|x=-3 或 x=3}. 温馨提示 有些集合只能用列举法或描述法表示，有些集合两种方法都适用，要根据需要具体问题进行具体分析. 强调 交流 也可以用文字来描述 体会描述法的适用情况 理解列举法和描述法 的 定义，体会同一集合采用不同表示方法之间的转换
巩固练习 练习 1.1.2 1. 用列举法表示下列集合： 大于-5 且小于 9 的所有奇数组成的集合； 方程 x -2x-3=0 的解集. 2. 用描述法表示下列集合． （1）大于-1 且小于 3 的所有实数组成的集合； 提问 巡视 思考 动手求解 及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（2）平方等于 9 的所有实数组成的集合． 3. 用适当的方法表示下列集合 2x y 5 方程组 x y 1 的解集; 平面直角坐标系中，由第三象限的所有点组成的集合． 指导 交流
归纳总结 引导 提问 回忆 反思 培养学生总结学习过程能力
布置作业 书面作业：完成课后习题和学习与训练； 查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾； 拓展作业：阅读教材扩展延伸内容. 说明 记录 继续探究延伸学习

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