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授课题目 2.1 不等式的基本性质 选用教材 高等教育出版社《数学》 2021 十四五 （基础模块上册）（修订版）
授课 时长 2 课时 授课 类型 新授课
教学提示 本课由实际问题入手，引出比较两个实数大小的“做差比较法”. 并将在初中所学一些不等式的性质的基础上，进一步研究不等关系，梳理不等式的基本性质．
教学目标 理解作差比较法的含义，知道可以通过作差比较法比较两个数 （式）的大小及其步骤，能利用作差比较法比较两个数（式）的大小． 能举例说明不等式的基本性质，能利用不等式的基本性质推断、证明数（式）的大小关系．
教学 重点 作差比较法，不等式性质的简单应用.
教学 难点 不等式性质的应用.
教学 环节 教学内容 教师 活动 学生 活动 设计 意图
情境导入 与相等关系相比，不等关系在现实世界中更为普遍．我们知道，不等式就是描述不等关系的一种重要的数学表示形式，我们将通过实数大小的比较，来研究不等式的基本性质． 2.1.1 实数的大小 两个周长相等的矩形，如图所示，它们的面积哪个更大呢？ 图 （ 1 ） 所 示 为 正 方 形 ， 面 积 为 3cm×3cm=9cm2； 说明 展示情境 提出问题 引导学生观察分析 体会 观察情境 思考问题 计算分析判断 从具体的问题引导学生发现两个实数大小比较的方法，使学生能够顺利完成比较大小的抽象过程，培养学生数学抽象的核心素养
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图 （ 2 ） 所 示 为 长 方 形 ， 面 积 为 4cm×2cm=8cm2． 由于 9 8=1＞0，所以它们的面积不相等，且图（1）所示正方形的面积大于图（2）所示矩形的面积．
一般地，对于任意实数 a，b，如果 a-b>0，那么称 a 大于 b（或 b 小于 a）． 因为实数与数轴上的点是一一对应的，对于任意实数 a，b 都可以在数轴上找到对应的点 A 和 B，如图所示． 显然，当点 A 在点 B 的右边时，a>b；当点 A 在点 B 的左边时，a语言 总结两个
讲解 理解 实数比较
关键 大小的方
词语 法，并利
数形 用数轴进
结合 一步说
提出 分析 明，数形
探索新知 数轴 表示 结合深化 “作差比
的意 较法”，
义， 领会 培养学生
强调 直观想
解释 象、逻辑
等价 推理和数
符号 总结 学抽象等
归纳 记忆 核心素养
总结
例 1 比较 5 与 2 的大小． 7 3 解 因为 5 2 15 14 15 14 1 0 ， 7 3 21 21 21 21 所以 5 2 ． 7 3 提问 观察 帮助学 生
掌握 “ 作
典型 引导 思考 差 比 较
例题 分析 求解 法 ” 的 基
本步骤，培
提问 观察 养学生 的
例 2 比较(x+1)(x+2) 与3x 1的大小．解 因为 (x+1)(x+2) (3x 1) (x2 3x 2) (3x 1) x2 3 0 ， 所以(x+1)(x+2) 3x 1． 例 3 比较 2x -x 与 x +2x-3 的大小．解 因为 (2x -x)-(x +2x-3) 2 3 2 = x -3x+3= x -3x+ 3 - +3 2 2 3 2 3 = x 2 4 ， 3 2 对任意实数 x，都有 x 2 ≥0，所以 3 2 3 x 2 4 > 0 ． 故 2x -x >x +2x-3 3．探究与发现 设 a，b 均为实数，试比较 a ＋b －ab 与 ab 的大小． 数学运算、
引导 观察 逻辑推 理
分析 思考 等核心 素
养
提示 求解
分析 理解
练习 2.1.1 比较下列各组实数的大小． （1 4 7 5 2 6 ） 与 ；（2） 与 ；（3） 与 0.83． 5 9 8 3 7 若 a>b，比较2a 1 与2b 1的大小． 比较 x2-1 与 2x2+3 的大小． 比较 x -x 与 x-2 的大小． 提问 思考 通过练习
及时掌握
巩固 练习 动手 学生的知
求解 识掌握情
况，查漏
指导 交流 补缺
情境导入 2.1.2 不等式的性质 比较两个实数大小的作差比较法为研究不等关系奠定了基础．那么，如何用这个方法研究不等式的性质呢？ 在义务教育阶段，我们学习过一些不等式的性质. 性质 1 如果 a>b，那么 a+c>b+c．可以用作差比较法证明性质 1． 由 a > b，得 a-b>0，于是 (a+c)-(b+c)= a+c-b-c =a-b >0 ． 所以 a+c >b+c ． 也可以借助数轴来看性质 1，如图所示，实数 a、b 和在数轴上分别对应点 A 和 B，a+c和 b+c 在数轴上分别对应点 A’和点 B’．当 c>0时，点 A 和点 B 同时向右平移 c 个单位，即可到达点 A’和点 B’的位置；当 c<0 时，点 A和点 B 同时向左平移| |个单位，即可到达点 A’和点 B’的位置． 显然，两种情况中，点 A’和点 B’的左右位置与点 A 和点 B 的情况相同． 性质 1 表明，不等式两边同时加上（或减去）同一个数（或代数式），不等号的方向不变．因此性质 1 也称为不等式的加法法则． 利用不等式的加法法则，容易证明： 说明 回顾义务教育阶段学习过的不等式性质，引导学生进一步认识和思考 数形结合利用数轴说明强调 演示 体会 回忆 观察 思考 领会 分析 通过利用 “ 作差比较法” 让学生尝试进行一些不等式性质 的 证明， 了解性质的证明步骤和方法，并数形结合利用数轴进一步说明不等式性质，培养学生直观想象、逻辑推理和数学抽象等核心素养 引导学生
如果 a+b > c，那么 a-c>b． 这表明，不等式的任何一项可以从不等式的一边移到另一边，但同时要改变符号．这条结论也称为移项法则． 性质 2 如果 a>b，c>0，那么 ac>bc；如果 a>b，c<0，那么 acb，b>c，那么 a>c．证明 由 a＞b，b＞c，有 a b＞0，b c＞0； 所以 a-c＝a b＋b c=(a b)＋(b c)＞0，由此得 a>c. 性质 3 表明不等式具有传递性． 我们也可以借助数轴来看不等式的传递性．如图 2-4 所示，对于实数 a、b 和 c，它们在数轴上分别对应点 A、B 和 C，由 a>b，所以点 A 在点 B 的右边，又因为 b>c，即点 B 在点 C 右边，所以三个点从左到右依次为点 C、点 B 和点 A，即 a>b>c． 利用已有的性质可以证明如下结论： 性质 4 如果 a>b，c>d，那么 a+c>b+d．性质 4 也称为同向不等式的可加性． 说明 说明 分析 分析证明思路 数形结合分析说明 引导学生 探究 理解 领会 尝试独立证明 结合图像领会内涵 发现性质 体验性质在不等式运算中的实际应用 展示作差比较法在实际应用中的一些常用方法 提升直观想象核心素养 展示知识之间内在
证明 因为 a>b，c>d，由性质 1 得 a+c>b+c，b+c>b+d， 由性质 3 得 a+c>b+d． 认识发现 之间联系 的联系及性质的进一步应用
典型例题 例 4 用符号“ ”或“ ”填空，并说明利用了不等式的哪（几）条基本性质． 如果 ab，那么 a+4 b+2； 如果 ab，那么 3a-2 3b-3．解 （1）根据不等式性质 1，不等式 ab 两边同时加上 4，不等号方向不变，即 a+4>b+4 又因为 b+4>b+2，所以根据不等式性质 3，可以得到 a+4>b+2． 根据不等式性质 2，不等式 a3b， 再仿照（2）的方法，可以得到 3a-2>3b-3． 例 5 若 a>b>0，c>d>0，试证明 ac> bd．解 因为 a>b，c>0，由不等式的性质 2 得 提问 引导 分析 提问引导 分析 提问 分析 观察 思考 求解 观察思考 求解 观察 思考 帮助学生巩固不等式基本性质 的 应用，培养学生的逻辑推理和数学抽象等核心素养 对不等式
ac>bc． 同理，由 c>d，b>0，得 bc>bd． 因此，由不等式的性质 3 可得 ac>bd． 例 6 如果代数式 6x+7 与代数式 3x-5 的差不大于 2，求 x 的取值范围． 解 由题可知 (6x+7)(3x-5)≤2， 化简得 3x+12≤2， 因此 3x≤2-12， 故 x 10 ． 3 所以 x 的取值范围是| x x 10 ． 3 探究与发现 如果 a>b，c>d，是否有“a-c> b-d ”成立呢？如果成立，请说明理由；否则，请举出反例． 提问分析 求解 思考领悟 性质加深认识 巩固作差比较法， 为后续解不等式做铺垫
巩固练习 练习 2.1.2 已知 a＞b，用符号“＞”或“＜”填空: （1）a+1 b+1；（2） -5a -5b； （3）3a+3 3b+2． 判断下列结论是否正确，并说明理由． 如果 ab，那么 a2>b2； 如果 a>b 且 c>d，那么 a+c>b+d． 3．若代数式 3x-5 与代数式 x+2 的差不小 提问 巡视 指导 思考 动手求解 交流 通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
于 3，求 x 的取值范围．
归纳总结 引导 总结 反思 交流 培养学生 总结学习过程能力
布置作业 书面作业：完成课后习题和学习与训练； 查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习回顾； 拓展作业：阅读教材扩展延伸内容． 说明 记录 巩固提高查漏补缺